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班级 姓名 学号 分数
第四章 图形的相似单元测试（B 卷·提升能力）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2021·上海·九年级专题练习）下列命题中，是真命题的有（ ）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；
（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
分别利用相似的定义、比例的性质即可判断．
【详解】
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比，是真命题；
（2）两个矩形不一定相似，因为对应边的比值不一定相等，不是真命题；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边成比例，不是真命题；
（4）若线段a与b的比是3:5，但a不一定是3，b不一定是5，不是真命题；
综上，只有（1）是真命题，共1个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，正确把握相似的定义以及比例的性质是解题关键．
2．（2021·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，易证得△ABF∽△EDF，然后由平行线分线段成比
例定理与相似三角形的性质，求得答案．
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴ ，
∴选项A正确，不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B不正确，符合题意；
∵
∴ ，即
∴选项C正确，不符合题意；
∵
∴
∴选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
3．如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A． B． C．± D．
【答案】D
【解析】
根据勾股定理，由OA=AB=1可求OB= = ，然后由BC=1，可根据勾股定理求得OC=
= ，同理求得OD=2，然后根据比例中项的性质，可知OA、OD的比例中项线段为 .
故选：D
4．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则 为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【详解】
解：根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，
可以先求出m= ，m= 不合题意，舍去，
所以 = =
故选：C
【点睛】
本题考查相似多边形的性质．
5．如图， 中， 在 上， 是 的中点，连 并延长交 于 ，已知 ，则 等于
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设BD=1，则CD=n，过F作BC的平行线交AB于M，交AC于N，从而可得ME：EB=MF：BC，再由中
位线的定理可得出答案．
【详解】
过F作BC的平行线交AB于M，交AC于N，设BD=1，则CD=n，
∴ME：EB=MF：BC= BD：BC= ：（n+1），
∴ME= EB，
∵AM=BM，
∴BM=BE-ME=2（n+1）ME-ME=（2n+1）ME，
AE=AM-ME=BM-ME=2nME，BE=BM+ME=2（n+1）ME
∴可得： = = ．
故选C
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，注意熟练运用中位线定理是解题关键.
6．（2021·山东文登·八年级期中）如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以
下四个结论：① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ .其中正确结论的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由
（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所
以正确的有3个，故选C．
点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图，等边 中， 为 边中点， 于 ， 交
于 点，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作AC边上的高BG，垂足为G，在等边三角形中，利用三线合一定理，结合DE∥BD，可求出AE与AC的
关系，从而得出CE与AC的关系，那么再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求．
【详解】
解：从B点作AC边上的高BG，交AC于G，
∵DE⊥AC于E∴DE∥BG
又∵D为AB边中点
∴AE=GE
∵△ABC为等边三角形，且BG为高
∴AG=GC
∴4AE=AC，即CE= AC
∵EF∥AB
∴△EFC∽△ABC
又∵CE= AC
∴△EFC与△ABC的面积之比=（ AC）2：AC2=9：16．
故选：B．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等
于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，正方形 的两边 ， 分别在平面直角坐标系的 、 轴
的正半轴上，正方形 与正方形 是以 的中点 为中心的位似图形，已知 ，若点
的坐标为 ，则正方形 与正方形 的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方
形的相似比．
【详解】
解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3 ，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形 与正方形 是以 的中点 为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
9．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚
的距离CE=5米，窗口高 米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【详解】
由题意知 ，
可得 ，
∴ ，
∵ （米）， 米，
∴ ，
∴ 米，
故选B.
【点睛】
题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
10．如图，已知 于 ， 于 ，要计算 ， 两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别
测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲： ， ；乙： ， ， ； 丙：
和 ；丁： ， ， ．其中能求得 ， 两地距离的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．
【详解】
甲：∵已知AC、∠ACB，∴AB=AC•tan∠ACB，故甲组符合题意；
乙组：∵AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，
∴AE∥EF，
∴∠A=∠E=90°，
∵∠ADB=∠EDF，
∴△DEF∽△DAB，
∴ ，
∴AB= ，故乙组符合题意；
丙：∵∠E=90°，∴∠EDF=90°-∠DFE，
∵∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，
∴AB=AD•tan∠ADB，故丙组正确；
丁组： CD，DE，∠ACB无法求得AB的长，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，本
题只要把实际问题抽象到相似三角形或直角三角形中，利用相关知识进行解答即可.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2020·湖南·澧县教育局张公庙镇中学九年级期中）已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割
点，且AP＞PB，则AP≈_____cm．
【答案】6.18【分析】
根据黄金分割点的定义，知AP为较长线段；则AP= AB，代入数据即可得出AP的值．
【详解】
解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，
且AP＞BP，AP为较长线段；
则AP=10× =5( )≈6.18(cm)．
故答案为：6.18．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项
（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=
AB．
12．（2021·福建·龙海二中九年级月考）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ，
， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出 ，由GH∥CD，得出 ，将两个式子
相加，即可求出GH的长．
【详解】
解： ，
，
即 ①，
，，
即 ②，
① ②，
得 ，
，
，
解得 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
13．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为 的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20 的铁
丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____ .
【答案】
【分析】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得： ，解方程可得.
【详解】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：
，
解得：x= ，
则这个黄金矩形较短的边长是 cm．故答案为
【点睛】
考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.
14．如图，线段AB、CD相交于E，AD∥BC，若AE：EB=1：2，S =1，则S 等于_____．
△ADE △AEC
【答案】2．
【分析】
由AD∥BC，利用平行线分线段成比例定理，即可得DE：EC＝1：2，又由△ADE与△AEC等高，根据等
高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
解答：
点评：
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴
∴ ，
∵S ＝1，
△ADE
∴S ＝2．
△AEC
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理与三角形面积的求解方法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结
合思想的应用．
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在 中，点 在 上， 交于点 ，若
，且 ，则 _________．【答案】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对
应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF= ．
故答案为 ．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定
△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
16．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，那么点D到AB的距离是
________．
【答案】
【分析】
根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．【详解】
∵AC=5，DE=2，
∴△ADC的面积为 ×5×2=5，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为5，
∴点D到AB的距离是2×5÷3＝ ．
故选A．
【点睛】
此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5．
17．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O， ，
在 的延长线上取一点E，连接 交 于点F已知 ，则 ___．（用含m、
n、k的代数式表示）
【答案】
【分析】
作 交 于点M，首先证明OM是△ABC的中位线，求出OM，FM，再根据△OMF∽△EBF，可得
，由此求出BE即可．
【详解】
解：如图，过点O作 交 于点M．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ．
故答案为 ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注
意掌握数形结合思想的应用．
18．（2020·全国·九年级课时练习）如图， 是将 放大后的图形，若图中线段 ，且
，则 的面积是________．【答案】
【分析】
利用位似图形的性质首先得出 ，进而得出三角形面积比，即可得出答案．
【详解】
∵ 是将 放大后的图形，图中线段 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ = ．
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，得出相似比是解题关键．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（2020·全国·九年级专题练习）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）：
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA B ；
1 1
（2）以O为位似中心，相似比为2 ，在y轴左侧将△OAB放大，得到△OA B ，在网格中画出△OA B
2 2 2 2
并直接写出A 、B 两点坐标．
2 2【答案】(1)见解析；（2）A（﹣6，﹣2）、B（﹣4，2）
2 2
【分析】
（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
（1）如图所示：△OAB，即为所求；
1 1
（2）如图所示：△OAB，即为所求，A（﹣6，﹣2）、B（﹣4，2）．
2 2 2 2
【点睛】
考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在 中， ，
求证： ；
若 ， ， ，求 和 长．【答案】（1）见解析 （2） ， ．
【分析】
（1）利用平行线性质得到对应边成比例，再通过等量代换即可；
（2）设 ，则 ，根据（1）中 ，等到等式，即可求解．
【详解】
解：（1） ，
.
，
，
．
（2）设 ，则 ．
由（1）得： ，
， ，
， ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键掌握平行线截得的对应线段成比例，再通过等量代换进
行求解．
21．（2021·福建省福州第二十二中学九年级月考）如图，花丛中有一路灯 .在灯光下，小明在点D处的
影长 ，沿 方向行走到达点G， ，这时小明的影长 .如果小明的身高为1.7m，
求路灯 的高度.（精确到0.lm)【答案】路灯 的高度约为6.0m
【分析】
根据AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，则有 和 ，
而CD=FG，即可得 = ，从而求出BD的长，再代入前面任意一个等式中，即可求
出AB．
【详解】
由题意，得 ， ， ，
∴ .∴ .
∴ .①
同理， ，
∴ .②
又∵ ，
∴由①，②可得 ，
即 ，
解得 .
将 代入①，得 .
故路灯 的高度约为6.0m.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象
到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
22．（2021·全国·九年级课时练习）如图， ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）证明 与 相似．【答案】（1） ；（2）见解析
【分析】
（1）由图可知 、 的长度，分别代入 ， ， 计算即可得本题答案；
（2）由（1）知 和 对应边成比例，由 可知 ， ， ；再
根据相似三角形的判定定理，对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似，即可判定 与
相似．
【详解】
（1）∵ ，
∴ ， ， ，
即 ．
（2）由（1）知， ，
又∵
∴ ， ， ，
∴ ∽ （对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）．
【点睛】
本题主要考查了比例线段及相似三角形的判定定理的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．如图，已知 ， .（1）若 ， ， ，请问在 上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以
P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由；
（2）若 ， ， ，请问在 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P，C，D三
点为顶点的三角形相似？并求 的长.
【答案】（1）存在， ，见解析；（2）存在2个点P点， 或 ，见解析.
【分析】
（1）存在1个P点，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当 或 时，
使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在两个P点，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当 或 时，
使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可.
【详解】
解：（1)存在1个P点.
设 ，则 .
∵ ， ，
∴ .
当 时， ，即 .
整理，得 ，
∵ ，
∴此方程没有实数解；
②当 时， ，
即 ，解得 .
综上所述， 的长为 ；
(2)存在2个点P.
设 ，则 .
∵ ， ，∴ .①当 时， ，即 ，
解得 ；
②当 时，即 ，即 ，
解得 .
综上所述， 的长为6或 .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，根据题意进行分类讨论是解题关键．
