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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 讲 集合（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】先通过集合的交集运算得出 ，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.
【详解】 集合 ， ，
，
则 的子集共有 个，
故选：C.
2．已知 其 ，则由 的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 ， 讨论，求出 ，再带入集合 看是否满足互异性
即可.
【详解】解： ，
当 ，即 时， ，集合中有相同元素，舍去；
当 ，即 （舍）或 时， ，符合，
故由 的值构成的集合是 .
故选：D
【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.3．已知集合 ，且 ，则a可以为（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
【答案】B
【分析】求出集合 ，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
可知 ，故A、C、D错误； ，故B正确.
故选：B
4．已知集合 ， ，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【分析】根据题意列式求得 的值，即可得出答案.
【详解】根据条件分别令 ，解得 ，
又 ，所以 ， ，
所以集合B中所有元素之和是 ，
故选：C．
5．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的运算定义求解即可.
【详解】由 解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故选:B.
6．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合 ，根据并集运算法则求 .
【详解】不等式 的解集为 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：C.
7．已知集合 ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，当 时 满足题意，当 ，解出 ，由 ，解得 或
【详解】当 时， ,满足题意.
当 时， ，
若 ，则 或 ，即 或
综上所述， 的所有取值为
故选：D8．已知集合 ， 若 ，则 的值不可能
是（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】由集合A中的元素，计算可能出现在集合B中的元素，得到 的值的范围.
【详解】
若 ，则 的值可能是-3，0，3，不可能是-1.
故选：B.
9．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 得出 ，再分类集合 是空集和不是空集求解 的取值范围即可.
【详解】 ，
，
，
当 时，即 时， ，满足 ，
当 时，有 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 ，
故选：C.
10．已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【分析】由题意可得 ， ，从而可得 ，写出 的子集即可得答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 的子集为 ，共2个.
故选：B.
11．已知集合 ， ，且 ，则 的所有取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 或 ，经检验均满足题意，
若 ，则 或 ，
经检验 满足题意， 与互异性矛盾，
综上 的所有取值为： ，0,2，
故选:D.
12．设集合 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．以上都不对
【答案】A
【分析】 表示以 为圆心， 为半径的圆， 表示直线
上的点，求两个图象交点个数即可.
【详解】 表示以 为圆心， 为半径的圆，
表示直线 上的点，圆心 到直线 的距离 ，
可知直线与圆相交，故 中元素有2个.
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合的表示法，求两个集合的交集，注意数形结合，属于基础题.
13．对于两个非空实数集合 和 ，我们把集合 记作 .若集合
，则 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】计算 ，得到元素个数.
【详解】 ，则 ，则 中元素的个数为
故选：C
14．已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合 ，阴影部分表示为： ，再分析求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，全集 ，
所以图中阴影部分表示的集合为 ．
故选：C.15．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合 ，然后用补集的定义即可求解
【详解】由 可得 ，解得 ，
因为全集 ，所以 ，
所以
故选：D
16．已知集合 ，则 （ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】解分式不等式化简集合A，后由补集定义可得答案.
【详解】 ，
则 ，则 或 .
故选：B
17．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.
【详解】集合 ，即 ，，则 ，所以 .
故选：B
18．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出集合 ，然后计算 即可.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
由 ，可得 或 ，
所以 或 ，
所以 ，
故选：D.
19．已知非空集合 ，集合 ，则 的取值集合与集合 的交
集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程有解和对数型函数的定义域，分别求解 的取值集合与集合 ，取交集即可．
【详解】若集合 是非空集合，则一元二次方程 有解，
即 ，解得 或 ，所以 的取值集合为 ，
集合 即函数 的定义域： ，解得 ，
所以 的取值集合与集合 的交集是 ，
故选：C．20．满足条件 的所有集合 的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的性质、子集的性质进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 且 ，
所以集合 的个数为 ，
故选：D
二、填空题
21．设全集 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间
表示）
【答案】
【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求 即得阴影部分所表示的集合.
【详解】由题得M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，
所以 .所以阴影部分所表示的集合为[0,2].
故答案为
【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22．已知集合 ，则 ________．
【答案】 或
【分析】由并集与补集的概念求解，【详解】∵ ，∴ 或 ．
故答案为： 或
23．已知集合 ， ，则 ________；
【答案】 /（-1，3]
【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合B，根据并集运算的法则，即可得答案.
【详解】由题意得 ，
所以 ．
故答案为：（-1,3]
24．已知集合 ， ，则 ____________．
【答案】
【分析】分别求出集合 ,再求交集即可.
【详解】由题意得 ， ，所以 ．
故答案为：
25．若集合 ，且 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案.
【详解】依题意， ，
若 ，则 ，不满足集合元素的互异性.
若 ，解得 或 （舍去），
所以 ，此时 .故答案为：
26．已知集合 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据指数函数与幂函数值域得到 ，则得到两者交集.
【详解】根据幂函数 的值域以及指数函数 的值域可知
,所以 .
故答案为： .
27．若集合 ， ，则 ________
【答案】 或
【分析】先解两个集合中的不等式，再利用集合基本运算求解.
【详解】 或 ， 或
，
或 .
故答案为： 或 .
28．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据 可得： ，然后根据集合的包含关系列出不等式，解之即可求解.
【详解】因为 ，则有 ，
又集合 ，所以 ，
故答案为： .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的意义求解即可.
【详解】解：根据题意，集合 表示函数 图像上的点的集合，
集合 为数集，
所以，
故选：C
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式可得集合 ，求函数值域可得集合 ，进而可得 .
【详解】解不等式得 ，
又 ，所以 ，即集合 ，
所以 ，
故选：B.
3．已如集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】解不等式得集合 ，由对数函数性质得集合 ，然后由集合的运算法则计算．
【详解】 ，因为 ，所以 ，即 ，
， ，
，
所以 ．
故选：B．
4．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数的单调性求得集合A，根据正弦函数性质求得集合 ，进而求其交集.
【详解】由 ，可得 ，则
又 ，
所以 .
故选：A
5．已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题化为在 上 值域是 值域的子集，利用二次函数性质求 值域，讨论 、、 结合一次函数性质求 值域，即可确定参数范围.
【详解】要使对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
即 在 上值域是 在 上值域的子集，
开口向上且对称轴为 ，则 上值域为 ；
对于 ：
当 时 在 上值域为 ，
此时， ，可得 ；
当 时 在 上值域为 ，不满足要求；
当 时 在 上值域为 ；
此时， ，可得 ；
综上， 的取值范围 .
故选：D
6．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.
【详解】 ，
，
故选：A7．若 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合 、 ，再根据集合的交集运算可得答案.
【详解】若 ，
，
则 .
故选：B.
二、多选题
8．设 ， ，若 ，则实数 的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】BCD
【分析】先求出集合 ，再由 可知 ，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案.
【详解】集合 ， ， ，
又 ，
所以 ，
当 时， ，符合题意，
当 时，则 ，所以 或 ，
解得 或 ，
综上所述， 或 或 ,
故选：9．设Z表示整数集，且集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由集合中元素的特征，判断两个集合的关系，然后检验各个选项是否正确.
【详解】∵ ，由 ，则 ，
即 中元素都是 中元素，有 ；．
而对于集合 ，当 时， ，故 ，但 ，∴
由 ，有 ，A选项正确； , B选项错误；
由 ，有 ，∴ ， ，C选项错误，D选项正确.
故选：AD．
10．已知集合 ， ，若 ，则 的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】ACD
【分析】对集合B中的 分类讨论即可求解.
【详解】
当 时, , 显然满足条件;
当 时, , 集合 ,
故 , 或 , 解 ,
故实数 的取值的集合是 .
故选：ACD.
三、填空题11．已知集合 ，若集合 中有2个元素，则实数 的取值
范围是__________
【答案】
【分析】根据 与 的交集仅有2个元素，得到 与 中两解析式只有两个交点，确定出 的范围即可．
【详解】因为集合 ，
由 可得 ，其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆，图下图，
若 中有2个元素，则 与半圆有2个公共点，
当直线经过点 时， ，
当直线与半圆相切时，可得 ，
解得 或 （舍 ，
故 ．
故答案为： ．
12．非空集合 中所有元素乘积记为 ．已知集合 ，从集合 的所有非空子集中任选一
个子集 ，则 为偶数的概率是___ （结果用最简分数表示）．【答案】
【分析】首先求出集合 的非空子集，若 为奇数，则 中元素全部为奇数，求出集合 的非空子
集个数，即可得到 为偶数的集合 的个数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】集合 的非空子集有 个，
若 为奇数，则 中元素全部为奇数，
又 的非空子集个数，共有 个，
所以 为偶数的共有 种，
故 为偶数的概率 ．
故答案为： ．
13．已知集合 ，则 ___________．
【答案】
【分析】计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ，
.
故 .
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且 ， ，记，则 中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，分析可知 ，然后对 的取值由小到大
进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，若 ，则 ，不合乎题意.
①假设集合 中含有 个元素，可设 ，则 ，
，这与 矛盾；
②假设集合 中含有 个元素，可设 ， ，
， ， ，满足题意.
综上所述，集合 中元素个数最少为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大
进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．设A是任意一个n元实数集合，令集合 ，记集合B中的元素个数为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】利用 排除选项D；利用 排除选项AC；举例验证选项B正确.
【详解】当集合A中的元素两两互质时， ．
所以对于选项D，当 时， ，故选项D错误．当 时，若 ，其中 ，有 ，故 ．
对于选项A， ，故 ．故选项A错误．
对于选项C， ，则 .故选项C错误．
对于选项B， ，判断正确
（事实上，当 时，要使 最小， ，记 ，其中 ，当
时，有 ．）
故选：B
二、多选题
3．已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，使得 ，则称
集合 是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.
【详解】对于A， 表示的几何意义是 ，即对曲线每一个点与原点构成的直线 ，
与之垂直的直线 与曲线都存在交点，如图所示，当点 运动时，直线 与曲线 均有交点，
故A正确；
对于B,若满足 ，则 ，在实数范围内无解，故B不正确；
对于C， ，画出 的图象，如图所示，直角 始终存在，即对于任意，存在 ，使得 成立，故C正确；
对于D， ，取点 ，若存在 使得 成立，则 ，则
一定有 ，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新
定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，
要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵
活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，
“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
4．设集合 ，则对任意的整数 ，形如 的数中，是集合
中的元素的有
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】将 分别表示成两个数的平方差，故都是集合 中的元素，再用反证法证明
.
【详解】∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .若 ，则存在 使得 ，
则 和 的奇偶性相同.
若 和 都是奇数，则 为奇数，而 是偶数，不成立；
若 和 都是偶数，则 能被4整除，而 不能被4整除，不成立，∴ .
故选ABD.
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质 ，考查平方差公式及反证法的灵活运
用，对逻辑思维能力要求较高.
三、填空题
5．定义两个点集S、T之间的距离集为 ，其中 表示两点P、Q之间的距离，
已知k、 ， ， ，若 ，则t的值
为______.
【答案】
【分析】集合 表示双曲线 上支的点，集合 表示直线 上的点， ，故
直线与渐近线平行，在渐近线下方，即 ，且与渐近线的距离为 ，计算得到答案.
【详解】 ，即 ， ，故集合 表示双曲线 上支的点，
集合 表示直线 上的点，
，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即 ，且与渐近线的距离为 .双曲线的渐近线为 ，不妨取 ，则 ，即 ，
平行线的距离 ，故 或 （舍去）.
故答案为： .
【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能
力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为 是解题
的关键.
6．集合 有10个元素，设M的所有非空子集为
每一个 中所有元素乘积为 ，则 ___________.
【答案】-1
【分析】分析可得M的所有非空子集为 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积 ，综合即
可得答案.
【详解】集合M的所有非空子集为 可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有 个，这些子集中所有元素乘积 ；
②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有 个
③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有 个
其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则 的和为0，
④只含元素-1的子集1个，满足 ，
综上：所有子集中元素乘积 .
故答案为：-1
