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《第四章 图形的相似》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习）已知 则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，
交BC于点E，则S BDE：S AEC等于（ ）
△ △
A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：3
3．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形 与矩形 是位似图形，点 是位似中心．若点
的坐标为 ，点 的横坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，
已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高 米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
5．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有
一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的
距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．
A．a＝b B．a b C．a b D．a b
6．（2022·全国·九年级课时练习） 是线段 上一点（ ），则满足 ，则称点 是线段
的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一
片树叶的叶脉 长度为 ， 为 的黄金分割点（ ），求叶柄 的长度．设 ，则
符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）如图所示，要使 ，需要添加一个条件
__________（填写一个正确的即可）8．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，四边形 ∽四边形 ， ， ，
，则 ______．
9．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，已知两条直线DF、AC被三条平行直线 、 、 所截， ，
， ，则 ___________．
10．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩
形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内
部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．
11．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图， ， ， 与 相交于点E，
过点E作 交 于F．且 ， ，则 的长为________．12．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB
缩短为原来的一半，得到线段CD，其中占C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为_______．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，E是 的边BC上的点，已知 ， ，
， ．求证： ．
14．（2022·全国·九年级）已知a，b，c是△ABC的三边长，且
（1）求 的值；
（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．15．（2020·河北·原竞秀学校九年级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度
，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与树顶点 在同一直线上．已知纸板的两
条边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，求树高 ．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交
AC于点F，AF＝ AC．求证： ．
17．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形 ，AB＝8cm，BC＝12cm，
＝4cm， ＝6cm．
(1)求 和 ；
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段吗？四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·全国·九年级单元测试）在 的正方形方格中， 和 的顶点都在边长为1的小正方
形的顶点上．
(1)填空： _________ ， __________；
(2)判断 与 是否相似，并证明你的结论．
19．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至
今仍有借鉴意义．
(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求
灯杆AB的高度；
(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移
动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
20．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△ABC ；
1 1 1
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△ABC 按2：1放大后的位似图形△ABC ；
1 1 1 2 2 2
(3)填空：点A 的坐标 ；△ABC与△ABC 的周长比是 ．
2 2 2 2
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接
DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若BE＝2，AD＝6，且DF＝2EF，求DF的长度．
22．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）如图，在 Rt ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点
P 从点 B 出发，沿线段 BA 以每秒 2 个单位长度的速度向△终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿
折线 AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动．设运
动的时间为 t 秒．(1)AB= ；
(2)用含 t 的代数式表示线段 CQ 的长；
(3)当 Q 在 AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值；
(4)设点 O 是 PA 的中点，当 OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出 t 的值．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，
定理的内容是：如图（1），如果一条直线与 ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三
△
点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，
则有 ， ，
∴ ．请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3）， ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明： ．
△
(2)如图（4），等边 ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点
E，则AE的长为___△_____．
(3)如图（5）， ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使 ，连接FD交AC于E，则四
边形BCEF的面△积为________．
