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北师大版九上第四章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共10小题）
AD 2 S
1．（2019•营口）如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，则 △ADE 的值是（ ）
AB 3 S
四 边 形DBCE
4 2 4
A． B．1 C． D．
5 3 9
【答案】A
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
S AD 4
∴ △ADE=（ ）2= ，
S AB 9
△ABC
S 4
∴ △ADE = ，
S 5
四 边 形DBCE
故选：A．
CD 3 CE
2．（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 = ，则 的值为（ ）
BD 2 CA
3 2 4 3
A． B． C． D．
5 3 5 2
【答案】A【解析】解：∵DE∥AB，
CE CD 3
∴ = = ，
AE BD 2
CE 3
∴ 的值为 ，
CA 5
故选：A．
3．（2019•盘锦）如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内
1
将△ABC 缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的坐标为
2
（ ）
A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）
【答案】A
【解析】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将
1
△ABC缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，
2
∴点P在A′C′上的对应点P′的坐标为：（4，3）．
故选：A．
4．（2018•营口）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原
点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，得到线段AB，则线段AB的中点
E的坐标为（ ）
3 3
A．（3，3） B．（ ， ） C．（2，4） D．（4，2）
2 2【答案】A
【解析】解：∵点C的坐标为（﹣1，﹣2），点D的坐标为（﹣2，﹣1），以原点O为位似中
心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，
∴点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，2），
∵点E是线段AB的中点，
2+4 4+2
∴点E的坐标为（ ， ），即（3，3），
2 2
故选：A．
5．（2018•盘锦）如图，已知在 ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点
F，则下列选项中的结论错误的▱是（ ）
A．FA：FB＝1：2 B．AE：BC＝1：2
C．BE：CF＝1：2 D．S△ABE ：S△FBC ＝1：4
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴△DEC∽△AEF，
CD CE DE
∴ = = ，
AF EF AE
∵E为AD的中点，
∴CD＝AF，FE＝EC，
∴FA：FB＝1：2，A说法正确，不符合题意；
∵FE＝EC，FA＝AB，
∴AE：BC＝1：2，B说法正确，不符合题意；
∵∠FBC不一定是直角，
∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；
1
∵AE∥BC，AE= BC，
2∴S△ABE ：S△FBC ＝1：4，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．（2017•朝阳）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不
与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边
交射线 DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG+DF=√2DP；
④DP•DE＝DH•DC，其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】D
【解析】解：∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠GPH＝∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF＝∠ADP＝45°，
∴△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP＝∠PDF＝45°，
在△HPG和△DPF中，
{∠PHG=∠PDF
∵ PH=PD ，
∠GPH=∠FPD
∴△HPG≌△DPF（ASA），
∴PG＝PF；
∵△HPD为等腰直角三角形，
∴HD=√2DP，HG＝DF，
∴HD＝HG+DG＝DF+DG，
∴DG+DF=√2DP；故③正确，
√2 √2
∵DP•DE= DH•DE，DC= DE，
2 2
∴DP•DE＝DH•DC，故④正确，
由此即可判断选项D正确，故选：D．
7．（2014•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点
5
H，AD＝3，DC＝4，DE= ，∠EDF＝90°，则DF长是（ ）
2
15 11 10 16
A． B． C． D．
8 3 3 5
【答案】C
【解析】解：设DF和AE相交于O点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADC+∠FDA＝∠EDF+∠FDA，
即∠FDC＝∠ADE，
∵AE⊥CF于点H，
∴∠F+∠FOH＝90°，
∵∠E+∠EOD＝90°，∠FOH＝∠EOD，
∴∠F＝∠E，
∴△ADE∽△CDF，
∴AD：CD＝DE：DF，
5
∵AD＝3，DC＝4，DE= ，
2
10
∴DF= ．
3故选：C．
8．（2014•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点
F，AB＝9，BD＝3，则CF等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，∠ADB+∠FDC＝120°
∴∠BAD＝∠FDC
又∵∠B＝∠C＝60°，∴
∴△ABD∽△CDF，
∴AB：BD＝CD：CF，
即9：3＝（9﹣3）：CF，
∴CF＝2．
故选：B．
9．（2019•沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．
故选：C．
10．（2019•鞍山）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点
B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接
BC
FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③ =√2−
CG
S
1；④ △HOM =2−√2，其中正确的结论是（ ）
S
△HOG
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
{
BC=CD
∠BCE=∠DCG
CE=CG
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BG＝EG，
设CG＝a，则BG＝GE=√2a，
∴BC=√2a﹣a，
BC √2a−a
∴ = =√2−1；
CG a
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
1
∴HO= BG，
2
1
∴HO= EG，
2
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2√2b，
∴HO=√2b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO∽△MFE，
OM OH √2b √2
∴ = = = ，
EM EF 2b 2
∴EM=√2OM，
OM OM 1
∴
= = =√2−
1，
OE (1+√2)OM 1+√2S
∴ △HOM =√2−1，
S
△HOE
∵EO＝GO，
∴S△HOE ＝S△HOG ，
S
∴ △HOM =√2−1，
S
△HOG
故④错误，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2019•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，
15
垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为 ．
4
15
【答案】
4
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，
∵DE垂直平分AB，
1 1
∴∠DEA＝90°，AE= AB= ×10=5，
2 2
∴∠DEA＝∠C，
又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，
AE DE
∴ = ，
AC BC
5 DE
即 =
8 6
15
∴DE= ．
4
15
故答案为： ．
4
12．（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点
80
F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为 y= ．
x+8
80
【答案】y=
x+8
【解析】解：在矩形 中，AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
DE DF
∴ = ，
BC BF
∵BD=√BC2+CD2=10，BF＝y，DE＝x，
∴DF＝10﹣y，
x 10−y 80
∴ = ，化简得：y= ，
8 y x+8
80
∴y关于x的函数解析式为：y= ，
x+8
80
故答案为：y= ．
x+8
13．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接
1
DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F= ∠EDC，则CF＝ 6 ．
2【答案】6
【解析】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE=√AD2+AE2=√42+32=5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
1 1
∵∠F= ∠EDC，∠CDH= ∠EDC，
2 2
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
BE CB
∴ = ，
AE CF
2 4
∴ = ，
3 CF
∴CF＝6，
故答案为：6．14．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O
1
为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，得到△A B O，则点A的对应点A 的坐标为 （ 2 ，
2 1 1 1
1 ）或（﹣ 2 ，﹣ 1 ） ．
【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）
1
【解析】解：以点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），
2
1 1 1 1
则点A的对应点A 的坐标为（4× ，2× ）或（﹣4× ，﹣2× ），即（2，1）或（﹣2，﹣
1 2 2 2 2
1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
15．（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点
的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当
32 6
△APC是等腰三角形时，P点坐标为 （− ， ）或（﹣ 4 ， 3 ） ．
5 5
32 6
【答案】（− ， ）或（﹣4，3）
5 5
【解析】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，
如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，PE BE PE 4
∴ = ，即 = ，
CO BO 6 8
解得：PE＝3，
∴点P（﹣4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC=√BO2+OC2=√82+62=10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
PE BE BP PE BE 2
∴ = = ，即： = = ，
CO BO BC 6 8 10
6 8
解得：PE= ，BE= ，
5 5
8 32
∴OE＝8− = ，
5 5
32 6
∴点P（− ， ）；
5 5
32 6
综上所述：点P的坐标为：（− ， ）或（﹣4，3）；
5 5
32 6
故答案为：（− ， ）或（﹣4，3）．
5 516．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A B C ，△A B C ，△A B C …
1 1 1 2 2 2 3 3 3
△A B 都是等腰直角三角形，点B，B ，B ，B …B 都在x轴上，点B 与原点重合，点A，
n n n 1 2 3 n 1
∁
1 4
C ，C ，C … 都在直线l：y= x+ 上，点C在y轴上，AB∥A B ∥A B ∥…∥A B ∥y轴，
1 2 3 n 3 3 1 1 2 2 n n
∁
3n−1
AC∥A C ∥A C ∥…∥A ∥x轴，若点A的横坐标为﹣1，则点 的纵坐标是 ．
1 1 2 2 n n n 2n−2
∁ ∁
3n−1
【答案】
2n−2
【解析】解：由题意A（﹣1，1），可得C（0，1），
1 4
设C （m，m），则m= m+ ，解得m＝2，
1 3 3
∴C （2，2），
1
1 4
设C （n，n﹣2），则n﹣2= n+ ，解得n＝5，
2 3 3
∴C （5，3），
2
1 4 19
设C （a，a﹣5），则a﹣5= a+ ，解得a= ，
3 3 3 2
19 9 65 27 3n−1
∴C （ ， ），同法可得C （ ， ），…， 的纵坐标为 ，
3 2 2 4 4 4 n 2n−2
∁
3n−1
故答案为 ．
2n−2三．解答题（共8小题）
17．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正
方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心
在第三象限内画一个△A B C ．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点
1 1 1
O逆时针旋转90°得到△A B C ．
2 2 2
（1）画出△A B C ，并直接写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△A B C ，直接写出在旋转过程中，点A到点A 所经过的路径长．
2 2 2 2
【解析】解：（1）如图所示：点A 的坐标为（﹣2，﹣4）；
1
（2）如图所示：
由勾股定理得OA=√12+22=√5，90×π×√5 √5π
点A到点A 所经过的路径长为 = ．
2 180 2
18．（2012•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）．连
接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE＝∠EAF，请证明你的结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）E是中点时，∠BAE＝∠EAF，
理由如下：
连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥DH，
∴∠B＝∠ECH，
∵∠AEB＝∠CEH，
∴△ABE≌△HCE，
∴AE＝EH，
∵EF⊥AH，
∴△AFH是等腰三角形，
∴∠EAF＝∠H，∵AB∥DH，
∴∠H＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴当点E在BC中点位置时，∠BAE＝∠EAF．
19．（2008•旅顺口区）如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小
正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ 13 5 °，BC＝ 2√2 ；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
【解析】解：（1）∠ABC＝135°，BC=2√2；
（2）相似；
∵BC=√22+22=2√2，EC=√1+1=√2；
AB 2 BC 2√2
∴ = =√2， = =√2；
CE √2 DE 2
AB BC
∴ = ；
CE DE
又∠ABC＝∠CED＝135°，∴△ABC∽△DEC．
20．（2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方
形零件的边长是多少？
【解析】解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，
∵AD⊥BC，
EF AK
∴ = ，
BC AD
x 80−x
∴ = ，
120 80
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
21．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后
退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在
镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果
小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【解析】解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，
GD CD
则由△GDC∽△EOC得 = ，
EO OC
1.6 2.1−x
即 = ，
a 2+b
整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，
FB AB
由△FBA∽△EOA得 = ，
EO OA
1.6 2−x
即 = ，
a b
整理得：1.6b＝2a﹣ax②，
将②代入①得：
3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，
∴a＝32，
即OE＝32米，
答：楼的高度OE为32米．
22．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于
点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．
【解析】解：（1）答案不唯一，比如△DEF∽△BEC，证明如下：
∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC；
（2）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
DE FE
∴ = ，
BE CE
∵BE＝2ED，
∴CE＝2FE，
设FE＝m，则CE＝2m，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠DCE＝∠BNE，∠EDC＝∠EBN，
∴△DCE∽△BNE，
CE DE
∴ = ，
NE BE
∵BE＝2DE，
∴NE＝2CE，
∴NE＝4m，
∴CN＝6m，
∴CN＝6EF，即k＝6．
23．（2018•东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO=3√3，BO：CO＝
1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解
决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝ 7 5 °，AB＝ 4√3 ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 O，AC⊥AD，AO=3√3，∠ABC＝
∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【解析】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
OD OB 1
∴ = = ．
OA OC 3
又∵AO=3√3，
1
∴OD= AO=√3，
3
∴AD＝AO+OD＝4√3．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4√3．
故答案为：75；4√3．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
BO EO BE
∴ = = ．
DO AO DA
∵BO：OD＝1：3，
EO BE 1
∴ = = ．
AO DA 3
∵AO＝3√3，
∴EO=√3，
∴AE＝4√3．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4√3）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4√13．
24．（2019•淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，
取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
MB
（1）试证明DM⊥MG，并求 的值．
MG
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2 （0＜ ＜90°），其它条件不变，问
α α
MB
（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示）；若无变化，说明理由．
MG
α
【解析】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，
∴DE∥AC∥GF，
∴∠EDM＝∠FHM，
∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，
∴△EDM≌△FHM（AAS），
∴DE＝FH，DM＝MH，
∵DE＝2FG，BG＝DG，
∴HG＝DG，
∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，
∴GM⊥DM，DM＝MG，
连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2√2a，BF=√2a，
∵∠EBD＝∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF=√BE2+BF2=√10a，
∵EM＝MF，
1 √10
∴BM= EF= a，
2 2
∵HM＝DM，GH＝FG，
1 √2
∴MG= DF= a，
2 2
√10
a
BM 2
∴ = =√5．
MG √2
a
2
MB
（2）解：（1）中 的值有变化．
MG
理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．∵DO＝OA，DG＝GB，
1
∴GO∥AB，OG= AB，
2
∵GF∥AC，
∴O，G，F共线，
1
∵FG= AB，
2
∴OF＝AB＝DF，
∵GF∥AC，AC∥OF，
∴DE∥OF，
∴OD与EF互相平分，
∵EM＝MF，
∴点M在直线AD上，
∵GD＝GB＝GO＝GF，
∴四边形OBFD是矩形，
∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，
∵OM＝MD，OG＝GF，
1
∴MG= DF，设BC＝m，则AB＝2m，
2
易知BE＝2OB＝2•2m•sin ＝4msin ，BF＝2BO＝2m•cos ，DF＝OB＝2m•sin ，
∵BM= 1 EF= 1 √BE2+B α F2=√4m α2 ⋅sin2α+m2 ⋅cos2α α，GM= 1 DF＝m•si α n ，
2 2 2
α
BM √4m2 ⋅sin2α+m2 ⋅cos2α √4sin2α+cos2α
∴ = = ．
MG m⋅sinα sinα
