文档内容
班级 姓名 学号 分数
第四章 图形的相似单元测试（A卷·夯实基础）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2021·全国·九年级课时练习）下列线段成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．2，4，4，8 D．3，5，6，9
【答案】C
【分析】
根据成比例线段的概念判断即可．
【详解】
解：A、∵ ，∴四条线段不是成比例线段，不符合题意；
B、∵ ，∴四条线段不是成比例线段，不符合题意；
C、∵ ，∴四条线段是成比例线段，符合题意；
D、∵ ，∴四条线段不是成比例线段，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是成比例线段，解题关键是明确四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，方法是判断前两条线段之比与后两条
线段之比是否相等．
2．（2021·全国·九年级课时练习）如果 ，且b是a、c的比例中项，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【详解】
解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念．解题关键是明确在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．
3．（2020·四川·金堂县竹篙中学校九年级月考）如图，l∥l∥l，直线a，b与l、l、l 分别相交于A、B、
1 2 3 1 2 3
C和点D、E、F．若 ，DE＝4.2，则DF的长是（ ）
A． B．6 C．6.3 D．10.5
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出 ，再把已知条件代入求解即可．
【详解】
解：∵l∥l∥l， ，DE＝4.2，
1 2 3
∴ ，即 ，
解得：EF＝6.3，
∴DF＝DE+EF＝10.5．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
4．（2021·全国·九年级课时练习）两个相似多边形的一组对应边的长分别为 ， ，那么它们的相似
比为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据相似多边形的性质求解即可；
【详解】
两个相似多边形一组对应边的长分别为 ， ，
∴它们的相似比为： ．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了利用相似多边形的性质求相似比，准确计算是解题的关键．
5．（2021·全国·九年级课时练习）下列图形中一定相似的一组是（ ）．
A．邻边对应成比例的两个平行四边形 B．有一条边相等的两个矩形
C．有一条边相等的两个菱形 D．底角都是 的两个等腰三角形
【答案】D
【分析】
利用相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等逐项判断即可．
【详解】
解：A、邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故错误，不符合题
意；
B、有一条边相等的两个矩形，对应边的比不一定相等，因而不一定相似，故错误，不符合题意；；
C、有一个内角对应相等的两个平行四边形，对应边的比不一定相等，故错误，不符合题意；；
D、底角都是60°的等腰三角形一定是等边三角形，因而一定相似，故正确，符合题意；．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，解题关键是明确判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等．
两个条件必须同时具备．
6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与
点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
【答案】C
【分析】
利用等边三角形的性质可得 再利用公共角可得答案．
【详解】
解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
7．如图， ，图中相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【分析】
本题告知了 ，则三条平行线分成的三角形有：△ADE，△AFG，△ABC，通过平行可以证
明三角形相似的判定定理是，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
所以他们两两相似.
【详解】
在△AFG中∵DE∥FG∴△ADE∽△AFG；
在△ABC中
∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
∵FG∥BC∴△AFG∽△ABC
∴相似三角形共有3对
故选B．
【点睛】
本题考察了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，三角
形相似的传递性也有一定涉及，两个三角形与同一个三角形相似，则这两个三角形也相似.
8．小华同学的身高为 米，某一时刻他在阳光下的影长为 米，与他邻近的一棵树的影长为 米，则这
棵树的高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成
的两个直角三角形相似．
【详解】
据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为
解得，x=4.8．
故选：B
【点睛】
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
9．（2020·全国·九年级课时练习）下列图形中不是位似图形的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】
根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意，
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意，
根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意，
根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边
平行．
10．（2020·全国·九年级课时练习）如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过
点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线
上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．60m B．50m C．40m D．30m
【答案】C
【分析】
据相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
解：∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB∥DE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
即 ，
解得：AB＝40，
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC∽△EDC解答．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2021·全国·九年级单元测试）设 ，那么 __________．
【答案】
【分析】
根据已知条件用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
12．（2020·全国·九年级课时练习）如图， ，如果 ，那么
________．【答案】12
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．
【详解】
∵DE∥FG∥BC，
∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，
∵EG=4，
，
．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周
长比是______，面积比是______．
【答案】5:2 25:4
【分析】
根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．
【详解】
相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．
两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．
故答案为5：2；25：4．
【点睛】
本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键．
14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比
为________．
【答案】2：3【详解】
试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC与△DEF对应边上的中线的比为
2:3．
考点：相似三角形的应用．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形
是 和 ，它们的相似比为 .
【答案】△CDB；△ACB；3∶5.
【详解】
相似的三角形有：△CDB∽△ACB，△CDB∽△ADC，△ACB∽△ADC
选一组：△CDB∽△ACB，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∵∠ACD+∠DFB=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴△CDB∽△ACB．
∵BC=3，AB=5，
∴相似比为： = ．
故答案为：△CDB；△ACB；3∶5．
相似三角形的判定定理：（1）两边对应成比例及其夹角相等；
（2）三边对应成比例；
（3）两角对应相等；
（4）一条直角边和斜边对应成比例．
16．（2021·全国·九年级课时练习）已知 ，当
______ 时， ．【答案】
【分析】
根据三角形相似，对应边成比例的性质，求解即可．
【详解】
解：∵
∴ ，即
解得：
故答案为 ．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的有关性质是解题的关键．
17．（2021·湖南耒阳·九年级期末）如图，已知 与 是相似比为 的位似图形，点O为位似
中心，若 内一点 与 内一点 是一对对应点，则点 的坐标是______.
【答案】
【分析】
由图中易得两对对应点的横纵坐标均为原来的-2倍，那么点P的坐标也应符合这个规律．
【详解】
∵P(x,y)，相似比为1:2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是(−2x,−2y).故答案为(−2x,−2y).
【点睛】
本题考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是掌握位似变换、坐标与图形性质.
18．（2021·山西翼城·九年级期末）如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m
时，长臂端点升高______【答案】8m
【分析】
由题意证△ABO∽△CDO，可得 ，即 ，解之可得．
【详解】
如图，
由题意知∠BAO=∠C=90°，
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ ，即 ，
解得：CD=8，
故答案为：8m．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（2021·全国·九年级课时练习）如图，矩形 各点的坐标分别为 ， ， ，
．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的 ，写出新矩形各顶点的坐标．【答案】 ， ， ， 或 ， ， ，
【分析】
把点A、B、C、D的横纵坐标分别乘以 或把点A、B、C、D的横纵坐标分别乘以− 即可得到新距形各
顶点的坐标．
【详解】
解：新矩形各顶点的坐标为 ， ， ， 或 ， ， ， ．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似
图形对应点的坐标的比等于k或−k．
20．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．
【答案】EC的长为 ．
【分析】
根据AD∥EB∥FC，由平行线分线段成比例可得EC：AC= BF：DF，代入数据计算即可．
【详解】
∵AD∥EB∥FC，
∴EC：AC= BF：DF，
∴EC：12=7：10，
∴EC= ．【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．
21．如图，在 中， 、 分别是 、 边上的高．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
要证明 ，这两个三角形已经有一个公共角相等，此时可以考虑用两组对应边的比相等且相
应的夹角相等的两个三角形相似，即找到CD：CA与CE：CB是否相等，这时不能直接的找出，则充分利
用题干“ 、 分别是 、 边上的高”中的垂直关系找到角相等的关系，再证明△CDA∽△CEB得
到CD：CE=CA：CB从而运用比例的基本性质得到CD：CA=CE：CB.
【详解】
证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高
∴∠ADC=∠BEC=90°
∵∠C是公共角，∴△CDA∽△CEB（两组角对应相等的两个三角形相似）
∴CD：CE=CA：CB（相似三角形对应边成比例）
∴CD：CA=CE：CB（比例的基本性质）
∴△DCE∽△ACB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）
【点睛】
本题考察了相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例；相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等
且相应的夹角相等的两个三角形相似的综合运用，运用证明一个三角形相似得到的结论去证明另外一个三
角形相似.
22．如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6
米，标杆高为3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，求电视塔的高ED．
【答案】电视塔高ED为11.2 m.【详解】
试题分析：此题考查了相似三角形的性质，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可
考点：相似三角形的应用
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解
即可
23．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.
（1）如果CE=3，EB=9，DF=2，求AD的长；
（2）如果BO：OE：EC=2：4：3，AB=3，求CD的长．
【答案】（1）8；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=6，则AD=AF+FD=8；
（2）由BO：OE：EC=2：4：3，可得BO：CO=2：7，根据AB∥CD得△ABO∽△DCO，则可得出
AB:CD=BO:CO，求出CD的值.
解：（1）∵AB∥EF∥CD，∴ = ，
又∵CE=3，EB=9，DF=2，∴ = ，得AF=6,
∴AD=AF+FD=8.
（2）∵BO：OE：EC=2：4：3，∴BO：CO=2：7，
∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，
∴ = = ，又AB=3，
∴CD= .
