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第 11 讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综
合问题（最值、范围问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
角度2：椭圆中参数范围问题
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
角度2：双曲线中参数范围问题
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
角度2：抛物线中参数范围问题
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线
交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 .求四边形面积的最小值.
例题2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆 ， ， 分别为左右焦点，点
， 在椭圆E上.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)过左焦点 且不垂直于坐标轴的直线 交椭圆 于 ， 两点，若 的中点为 ， 为原点，直线
交直线 于点 ，求 取最大值时直线 的方程.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆 右焦点并
垂直于 轴的直线 交椭圆 于 ， （点 位于 轴上方）两点，且 （ 为坐标原点）的
面积为 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ， （ ， 异于点 ）两点，且直线 与 的斜率之积为 ，求点 到
直线 距离的最大值．
同类题型归类练
1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点 .
(1)求椭圆的方程；
(2) 为坐标原点，过焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求 面积的最大值.
2．（2022·江苏·高二）已知椭圆C： 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，O
为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求
的最大值．
3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点 ， ，
平面上一动点 到两定点的距离之和为 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线，分别与 交于 ， ， ， 四点，求四边形 面积的最小值．角度2：椭圆中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·三模（文））已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
坐标原点为O，离心率 ，过 且垂直于 轴的直线与 交于 两点， ；过 且斜率为
的直线 与C交于 ， 点．
(1)求 的标准方程；
(2)令 ， 的中点为 ，若存在点 （ ），使得 ，求 的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 经过点 ，点
为椭圆 的右焦点，过点 与坐标轴不垂直的直线 交椭圆于 、 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明
理由．例题3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知椭圆 的离心率为 ， 是其右焦
点，直线 与椭圆交于 ， 两点， ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 ，若 为锐角，求实数 的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆 ： ，焦点为 ､ ，过x轴上的一点M（m，
0）（ ）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形 的周长；
②求 的最小值 的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得 成立？如果存在，求出m的取值范围；如
果不存在，请说明理由.
2．（2022·北京东城·三模）已知椭圆 的左焦点为 ，长轴长为 .过右焦点
的直线 交椭圆C于 两点，直线 分别交直线 于点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段 中点为 ，当点 位于 轴异侧时，求 到直线 的距离的取值范围.3．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知 分别是长轴长为4的椭圆C：
的左右焦点， 是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于 的一个动点，O为坐
标原点，点M为线段 的中点，且直线 与OM的斜率的积恒为 ．
(1)求椭圆C的方程
(2)设过点 且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N
的横坐标的取值范围是 ，求线段AB长的取值范围．
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）设双曲线 的右顶点为 ，虚轴长为 ，两准
线间的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设动直线 与双曲线 交于 两点，已知 ，设点 到动直线 的距离为 ，求 的最大值.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ，双曲线 上除顶点外任一点 满足
直线 与 的斜率之积为4.
(1)求 的方程；
(2)若直线 过 上的一点 ,且与 的渐近线相交于 ， 两点，点 ， 分别位于第一、第二象限，
，求 的最小值.
例题3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知双曲线 （ ， ）的左､右焦点分
别为 ､ ，双曲线 的右顶点 在圆 上，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ､ ，设 为坐标原点.
①求证：点 与点 的横坐标的积为定值；
②求△ 周长的最小值.同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C： 的左右顶点分别为 ，
，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离
的最大值．
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线 上任意一点 满足方程
，
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 在 轴左､右两侧的交点分别是 ，且 ，求 的最小值.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 和圆 ： （其中原点 为圆心），过双曲线 上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 、 ．
（1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围；
（2）求直线 的方程；
（3）求三角形 面积的最大值．
角度2：双曲线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 与圆 交于点
第一象限 ，曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与x轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求
；
（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示 ，并
求 的取值范围．例题2．（2022·全国·高二期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知等轴双曲线
的左顶点 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 交于 ， 两点，若
的面积为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 的左，右两支分别交于 ， 两点，与双曲线 的两条渐近线分别
交于 ， 两点，求 的取值范围．
例题3．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知椭圆 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线
是以 、 两点为顶点，焦距为 的双曲线，设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于
另一点 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证 为一定值；
（3）设△ 与△ （其中 为坐标原点）的面积分别为 与 ，且 ，求 的取值范
围.同类题型归类练
1．（2022·上海普陀·二模）设 ， 分别是双曲线 的左、右两焦点，过点 的
直线 （ ）与 的右支交于 ， 两点， 过点 ，且它的虚轴的端点与焦点的
距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)当 时，求实数 的值；
(3)设点 关于坐标原点 的对称点为 ，当 时，求 面积 的值.
2．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为
和 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 周长
的取值范围.3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为
，点 是其渐近线上的一点，且以 为直径的圆过点 ， ，点 为坐标原点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线
相交于不同的两点 、 ，若 ，求实数 的取值范围.
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））过抛物线 的焦点且斜率为
的直线 与抛物线 交于 、 两点， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）点 为抛物线 上一点，且 ，求 面积的最大值.
例题2．（2022·河南洛阳·三模（文））已知抛物线 ： ， 是 上位于第一象限内的动点，且 到点 的距离的最小值为 .直线 与 交于另一点 ， 是 上位于直线 下方的动点.
(1)求 的值；
(2)当 ，且 面积最大时，求 外接圆的标准方程.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，过抛物线 的焦点 作互相垂直的直线 ， ， 交抛物
线于 ， 两点（ 在 轴上方）， 交抛物线于 ， 两点，交其准线于点 ．
（1）求四边形 的面积的最小值；
（2）若直线 与 轴的交点为 ，求 面积的最小值．
2．（2022·江西赣州·一模（文））已知点 在曲线 上.
(1)求动点 的轨迹 的方程；(2)过原点的直线 与（1）中的曲线 交于 、 两点，求 的最大值与最小值.
角度2：抛物线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．直线 与抛物线 相
切于点 且与 轴交于点 ，点 是点 关于点 的对称点，直线 与抛物线 交于另一点 ，与准线
交于点 ．
(1)证明：直线 直线 ;
(2)设 的面积分别为 ，若 ，求点 的横坐标的取值范围．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到
的距离为3，
(1)求抛物线 的方程和点 的坐标；
(2)设过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ．若 ， 求
斜率 的取值范围．
例题3．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知抛物线 的焦点是 ，如图，过点
作抛物线 的两条切线，切点分别是 和 ，线段 的中点为 ．(1)求抛物线 的标准方程；
(2)求证：直线 轴；
(3)以线段 为直径作圆，交直线 于 ，求 的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段
的中点M且与x轴平行的直线依次交直线 ， ，l于点P，Q，N．
(1)求证： ；
(2)若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，若 ，求实数
的取值范围；
2．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点 、 的坐标分别为 和 ，动点 满足
（ 为坐标原点）．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设点 为 轴上一定点，求点 与轨迹 上点之间距离的最小值 ；(3)过点 的直线 与轨迹 在 轴上方部分交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 点，
求 点横坐标的取值范围．
3．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知抛物线 上一点 ，抛物线 的焦点 在以
为直径的圆上（ 为坐标原点）.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 引圆 的两条切线 、 ，切线 、 与抛物线 的另一交点
分别为 、 ，线段 中点的横坐标记为 ，求实数 的取值范围.
