文档内容
第2讲 排列与组合
最新考纲 考向预测
近年排列组合问题考查难度
1.通过实例，理解排列、组合的概念，
命题趋 有所降低，主要以实际问题
能利用计数原理推导排列数公式、组
势 为背景考查计数问题，而且
合数公式．
多数与概率问题综合考查．
2.能利用排列与组合知识解决简单的
核心素
实际问题. 数学建模、数学运算
养
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取 按照一定的顺序排成一列
组合的定义 出m(m≤n)个元素 合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
从n个不同元素中取出 从n个不同元素中取出
定义 m(m≤n)个元素的所有不同排 m(m≤n)个元素的所有不同组
列的个数 合的个数
续 表
排列数 组合数
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m
公式 C＝＝
＋1)＝
性质 A＝ n ！ ，0！＝1 C＝C，C＋C＝C
常用结论
1．解决排列、组合问题的五大技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
2．三个常用公式(1)A＝nA.
(2)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(3)kC＝nC.
常见误区
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，
如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
2．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．( )
(5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
解析：选C.末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排
法，所以偶数的个数为48.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去
1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方
法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
解析：选C.CCC＝60.
4．(易错题)在100件产品中，有2件次品，从中任取3件，其中“至少有1件
次品”的取法有________种．
解析：方法一：第1类，“只有1件次品”，共有CC种；第2类，“有2件次品”，
共有CC种，由分类加法计数原理知共有CC＋CC＝9 604(种)．
方法二：无任何限制共有C种，其中“没有次品”共有C种，则“至少有1件
次品”共有C－C＝9 604(种)．
答案：9 6045．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送
法种数是________．
解析：从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A
＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种)．
答案：24
排列问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】 (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，
共有A·A＝5 040(种)．
(3)方法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，
共有5×A＝3 600(种)．
方法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其
他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将
女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3
个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素
捆绑法
的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素
插空法
插在前面元素排列的空当中
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的
除法处理 全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻
的放法种数为( )
A．36 B．72 C．108 D．144
解析：选B.3本数学书的放法有A种，将3本语文书插入使得语文数学均不
相邻的插法有2A种，故同类书不相邻的放法有2AA＝2×6×6＝72(种)．
2．(2020·湖北洪湖二中月考)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入
学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全党员、面向全
社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该
款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每
周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块．某人在学习过程中，“阅读
文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有(
)
A．192种 B．240种
C．432种 D．528种
解析：选C.若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则共有AA种情况；若“阅
读文章”与“视听学习”相隔一个答题版块，则有4AA种情况，共有AA＋4AA
＝432种情况．故选C.
组合问题
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35
种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【解】 (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561种取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2
100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)方法一(间接法)：选取3种的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－
455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
方法二(直接法)：共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
组合问题的2种题型及解法
题型 解法
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素
“含有”或“不含有”某些元素
补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从
的组合
剩下的元素中去选取
解这类题型必须十分重视“至少”与“至
多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏
“至少”或“至多”含有几个元
解．用直接法和间接法都可以求解，通常用
素的组合
直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接
法处理
1．已知集合I＝{1，2，3}，A，B是I的两个非空子集，且A中所有元素的和大
于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )
A．12对 B．15对
C．18对 D．20对
解析：选D.依题意，当A，B中均有一个元素时，有3对；当B中有一个元素，A中有两个元素时，有C＋C＋C＝8(对)；当B中有一个元素，A中有三个元素时，有
3对；当B中有两个元素，A中有三个元素时，有3对；当A，B中均有两个元素时，
有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20(对)，选D.
2．某校邀请了6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子
女的教育情况，如果这 4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有
________种．
解析：分两步完成，4位中恰有一对是夫妻，则先从6对夫妻中选一对，有C＝
6(种)结果，再从余下的5对夫妻中选两对，每一对中选一位有CCC＝40(种)结果，
根据分步乘法计数原理得，不同的选择方法有6×40＝240(种)．
答案：240
排列、组合的综合应用
(1)(2020·西安五校联考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至
15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两代表团)
安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆
至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排
种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
(2)(2020·浙江温州适应性考试)学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄
西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买，其他水果数量充足．甲、乙、丙、丁
4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种
水果，则他们购买水果的可能情况有________种．
【解析】 (1)如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个
入住同一个宾馆，此时不同的安排种数为CA＝6.如果A，B两代表团及余下3个
代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的
安排种数为CA＝6.综上，不同的安排种数为12.故选B.
(2)依题意，就西梅是否有同学购买进行分类：第一类，甲、乙、丙、丁4位同学
有一位同学购买了西梅，相应的可能情况有C·C·C·A＝240(种)；第二类，甲、乙、
丙、丁4位同学均没有购买西梅，相应的可能情况有C·C·A＝360(种)．由分类加
法计数原理得，满足题意的可能情况有240＋360＝600(种)．
【答案】 (1)B (2)600解决排列、组合的综合问题的关键点
(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、
分步，再利用两个原理作最后处理．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解
决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．
(3)对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同形式，处理这类选择题可采用排
除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．
1．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛
其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48 C．72 D．120
解析：选C.因为A参加时参赛方案有CAA＝48(种)；A不参加时参赛方案有
A＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种．
2．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，
B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那
么不同演出顺序的种数为( )
A．1 860 B．1 320 C．1 140 D．1 020
解析：选C.当A，B节目中只选一个时，共有CCA＝960种演出顺序；当A，B
节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180种演出顺序．所以一共有960＋180
＝1 140 种演出顺序．
3．(2020·山东济宁一中质量检测)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，
其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含
有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种．
解析：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C＝5种
选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A＝120种情况，则
不同的排列共有5×120＝600(种)．
答案：600
思想方法系列18 分类讨论思想——排列、组合问题求解
(2020·普通高等学校招生全国统一模拟考试)五声音阶是中国古乐基本
音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相
邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序．
【解析】 ①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有
2×3×A×A＝24种；
②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2AA＝8种．综上，共有24＋8＝
32种．
【答案】 32
(1)解决排列组合问题经常用到分类讨论思想，其分类原则经常为：一是按元
素的性质分类，二是按事件发生的过程分类，本例是按元素的性质分类．
(2)由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结
果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采
用多种不同的方法求解，看结果是否相同．
1．(2020·安徽合肥模拟)为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，
某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个
县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．64种
解析：选B.根据题意，分2步进行分析：
①先将5人分成3组，要求甲、乙在同一组，
若甲、乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C种分组方法，
若甲、乙两人与另外一人在同一组，有C种分组方法，
则有C＋C＝6种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，有A＝6种情况．则有
6×6＝36种不同的派遣方案．故选B.
2．(2020·河南郑州二模)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国
庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的
6位数的个数为( )
A．96 B．84
C．120 D．360解析：选B.根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个
整体，有A＝120种情况，
其中数字“0”在首位的情况有A＝24种，
数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有A＝24种，
则可以产生120－24－24＋12＝84个不同的6位数，故选B.
[A级 基础练]
1．不等式A<6×A的解集为( )
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
解析：选D.<6×，整理得x2－19x＋84<0，解得7
