文档内容
第六章 计数原理
知识点一、计数原理
1.分类加法计数原理
概念：完成一件事有 类不同方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中有 种不同的
方法，…，在第 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法（也称加法原理）
特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不
漏”
2.分步乘法计数原理
概念：完成一件事需要 个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，…，做第
步有 种不同的方法，那么，完成这件事共有 种不同的方法（也称乘法原理）
特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”
知识点二、排列
1.排列：一般地，从 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元
素中取出 个元素的一个排列
2.排列数：从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从 个不同元素中取出
个元素的排列数，用符号 表示
3.排列数公式： （ ，且 ）
知识点三、组合
1.组合：一般地，从 个不同的元素中取出 个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个
元素的一个组合
2.组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取出
个元素的组合数，用符号 表示
3.组合数公式： （ ，且 ）
4.组合数的性质：（1） ；（2）
知识点四、二项式定理
1.二项式定理
概念：一般地，对于任意的正整数 ，
都有 . 这个公式称为二项式定理，
等号右边的式子称为 的二项展开式， 的二项展开式共有 项，其中各项的系数叫做二项式系数， 称为二项展开式的第 项，又称为二项展开式的通
项
2.二项展开式的特征：
（1）二项展开式共有 项；
（2）二项式系数依次为组合数 ；
（3）各项次数都等于二项式的幂指数 ；
（4）字母 的指数由 开始按降幂排列到0， 的指数由0开始按升幂排列到
3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分
4.二项式系数的性质
对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
增减性：当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的
最大值：当 是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当 是奇数时，中间两项的二项式系数
相等，且同时取得最大值
5.二项式系数和：
（1）二项展开式中各二项式系数之和为 ；
（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 .
类型一：两个基本计数原理的实际应用问题
例1 在某种信息传输过程中，4个数字组成的一个排列 （数字允许重复）表示一个信息，不同的排列表
示不同的信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有2个对位置上的数字相同的信息个数为
A．10 B．11 C．12 D．15
解析:方法1:分有0个时应位置上的数字相同、1个对应位显上的数字相同、2个时应位五上的数字相
同讨论：
（1）若有0个对应位五上的数字相同．则信息为1001，共有1个．
（2）若有1个叶应位丑上的数字相同1101，1011，1000．共有4个．
（3）若有2个时应位置上的数字相同，又分为以下情况
①若位笠一与二对应相同，则信息为0101；②若位五一与三时应相同，则信息为0011；
③若位五一与四对应相同，则信忽为0000；
④若位且二与三对应相同，则信息为1111；
⑤若位里二与四时应相同，则信忠为1100；
⑥若位置三与四时应相同、则信．息为1010．共有6个．
故与信息0110至多有2个对应位置上的数字相同的信息个数为
方法2：若有0个对应位置上的数字相同．共有1个；
若有1个对应位置上的数字相同。共有 (个)；
若有2个对应位五上的数字相同，共有 (个)．
故符合条件的信息共有 (个)．
答案:B
解后反思:分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和，就是把“整体”(即完成这一件事
的方法)分成若于乒不相交的类，使得每一类中的元素的个数易于计算．
类型二：排列、组合应用问题
1． 排列、组合应用题的解题策略
（1） 特殊元素、位置优先安排的策略；
（2） 合理分类与准确分步的策略；
（3） 正难则反，等价转化的策略；
（4） 相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理的策略；
（5） 元素定序，先排后除的策略；
（6） 排列、组合混合题先组后排策略；
（7） 复杂问题结构模型策略．
2． 排列、组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相组合进行考查，主要以选择题的形式出现，
难度以中低档题目为主．
例 2 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
（ ）
A．192 种 B． 216种 C．240种 D．288种
解析：甲在最左端时，有 种不同的排法；乙在最左端时，最右端可排除甲、乙之外的4人中的任意1人，有4种排法，中间4个位置有 种不同的排法，所以乙在最左端时，有 种不同的排法．由分类
加法计数原理可知，共有 （种）不同的排法．
答案：B
规律总结：（1）若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他的位置，有俩个以上的约束
条件时，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件．
(2)若以元素为主，需要满足特殊元素的要求，再处理其他的元素．
例3 某小组6个人排队照相留念．
（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但甲必须在前排，乙必须排在后排，有多少种不同的排
法？
（3）若排成一排照相，其中有3名男生和3名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？
分析：（1）排列照相与顺序有关属于排列问题，先选前排或先选后排均可．
（2）由于甲在前排，乙在后排已确定，故先确定甲和乙的排法，再确定其他人的排 法．
（3）由于男生不能相邻，故男生只能排在女生排成后形成的空隙中，用“插空法”求解．ji
解：（1）分成两排照相实际上与排成一排照相一样，是6个元素的全排列问题．依照字面要求，分两
步排也可以．第一步，从6个人中选2人排在前排，有 种排法；第二步，将余下的4人全排在后排，有
种排法，所以共有 （种）不同的排法．
(2)采用优先法：先确定甲的排法，有 种；在确定乙的排法，有 ；最后确定其他人的排法，有
种．因为这是分步问题，所以用分步乘法计数原理，有 （种）不同的排法．
(3)采用“插空法”．先将3名女生排好有 种排法，在两端和女士之间形成4个空位，将3名男生排
入这4个空位，有 种排法，所以共有 （种）不同的排法．
规律总结：排列问题中，“相邻”用“捆绑法”，“不相邻”用“插空法”，特殊位置或特殊元素用
优先安排的策略．例4 50件产品中有3件是次品，从中任取4件．
（1） 至少有1件次品的抽法有多少种？
（2） 至多有2件次品的抽法有多少种？
分析：由于题目中含有“至少”“至多”等词，故可用直接法或间接法求解．应用直接法求解时要注
意将所有情况包括在内，不要遗漏．
解：（1）方法1（直接法）；抽取的4件产品中至少有1件次品分为1件次品，有2件次品、有3件
次品3种情况：有1件次品的抽将有 种；有两件次品的抽法有 种；有三件次品的抽法有
种．根据分类加法计数原理，至少有一件次品的抽法共有 （种）
方法2（间接法）：从50件产品中任意取出4件，有 种抽法，其中没有次品的抽法有抽法有 种，
因此至少有1件次品的抽法共有 （种）．
(2)方法1（直接法）：抽取的4件产品中至多有2件次品的抽法分别为没有次品、1件次品、2件次品
3种情况，根据分类加法计数原理，共有 (种)抽法．
方法2（间接法）;至多有2件次品，即抽出的4件产品中没有3件次品全部抽出的情况，所以共有
(种)抽法．
规律总结：有限制条件的组合问题，主要有“含”与 “不含”“至少”与“至多”等问题·，解决方
法有直接法与间接法两种，解题时要注意题目中的关键词语，防止重复或遗漏．
类型三：二项式一理及其应用
二项式定理是历年高考中的一个必考内容，在高考数学中占有重要的地位，解决二项式定理问题的关
T =Ckan−kbk Ck
键在于抓住通项公式 k+1 n 及二项式系数 n的性质．
(x−y)(x+y) 8 x2 y7
例5． 的展开式中 的系数为．（用数字填写答案）
(x+y) 8 T =Crx8−r yr (x+y) 8 xy7 C7 =8,(x+y) 8 x2y6
解析： 展开式的通项为 r+1 8 ，则 中 的系数为 8 中C6 =28 x2 y7
的系数为 8 ．所以 的系数为8－28＝－20．
答案：－20
解后反思：求展开式中特定项的系数的关键是抓住其通项公式，先准确写出通项后，把系数和字母分
离，再根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，求出相关数值，从而求解．
a 1
(2x+ ) 7
例6．若二项式
x
的展开式中
x3
的系数是84，则实数a＝（ ）
√2
4
A．2 B． C．1 D．
a
T =Cr (2x) 7−r ( ) r =Cr27−rarx7−2r
r+1 7 x 7
解析： ，
{7−2r=−3,¿¿¿¿
由题意，知
{r=5,¿¿¿¿
解得
答案：C
解后反思：利用二项展开式中特定项或特定项的系数求参数的值，主要是通过通项再结合题目中对字
母的指数的特殊要求列出关于参数的方程，解方程求解．
