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回扣 6 概率与统计
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不
同的方法，那么完成这件事共有N＝ m ＋ n 种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么
完成这件事共有N＝ m × n 种不同的方法．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A 表示 ．
(3)排列数公式：A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ·( n － m ＋ 1) ．
(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝ n ( n － 1)
( n － 2) ×…× 3 × 2 × 1 ＝ n ！ .排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 C 表示 ．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.
(4)组合数的性质：①C＝ C ； ②C＝C＋C.
5．二项式定理
(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k＝
0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的 C a n － k b k 叫做二项展开式的通项，用T 表示，即展
k＋1
开式的第k＋1项：T ＝ C a n － k b k.
k＋1
6．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C ＝ C .
(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系
数为C，当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝ 2 n .
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C＋C＋C＋…
＝C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 .
7．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝.
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ．
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－ P ( A ) ．
(4)条件概率公式
P(B|A)＝.
(5)概率的乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(6)全概率公式
P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
(A，A…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω)
1 2 n 1 2 n
(7)贝叶斯公式
P(A|B)＝
i
＝.(i＝1,2，…，n)
8．统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数
据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即＝ ( x ＋ x ＋ … ＋ x)．
1 2 n
(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度．
方差：s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]．
1 2 n
标准差：s＝.
9．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①p≥0(i＝1,2，…，n)；②p＋p＋…＋p＝1.
i 1 2 n
(2)均值公式
E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp＝p.
1 1 2 2 n n i i
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b ；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x－E(X))2·p＋(x－E(X))2·p＋…＋(x－E(X))2·p，标准差为.
1 1 2 2 n n
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) ；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝ np (1 － p ) ；
③若X服从两点分布，则D(X)＝ p (1 － p ) ．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) ．
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ， k ＝ 0,1,2 ， … ， n .
10．一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)y＝bx＋a一定过点(，)，
其中
(2)样本相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
11．独立性检验
利用随机变量χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立
性检验．
12．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
满足正态分布的三个基本概率的值是
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别
在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法
都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步
骤都完成了才算完成这件事．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后
排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，
等价条件．
3．二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件
分别发生的概率，再求和．
5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但
互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频
率，导致样本数据的频率求错．
7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发
生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而
有P(A|B)≥P(AB)．
8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．
(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布．
