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专题26 概率和统计
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·河南·统考模拟预测）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2．（2022·北京·北京二中校考模拟预测）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机
地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天
去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
3．（2022·山东德州·统考模拟预测）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局
比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·二模）在 这 个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 、
、 、 、 和 六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中
度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，
则下面说法中正确的是（ ）．A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
6．（2023·天津·统考一模）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位： ）
进行分组，区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二
组，....，第五组.画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为 ，且第一
组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
A．48 B．50 C．54 D．60
7．（2023·四川南充·统考二模）近年来国产品牌汽车发展迅速，特别是借助新能源汽车发展的东风，国产品牌汽
车销量得到了较大的提升．如图是2021年1－7月和2022年1－7月我国汽车销量占比饼状图，已知2022年1－7
月我国汽车总销量为1254万辆，比2021年增加了99万辆，则2022年1－7月我国汽车销量与2021年1－7月相比，
下列说法正确的是（ ）A．日系汽车销量占比变化最大 B．国产汽车销量占比变大了
C．德系汽车销量占比下降最大 D．美系汽车销量变少了
8．（2023·吉林长春·校联考一模）某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域
栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没
有公共边）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．
某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方
式，如图所示，则（ ）
A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%
B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%
C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多
10．（2023·广东·校联考模拟预测）已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天
候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则
以下结论中，正确的是（ ）
A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%
B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%
C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%
D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%
11．（2023·重庆·统考二模）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩 满分为 分，成绩都是整数
中抽取一个样本量为 的样本，其中男生成绩数据 个，女生成绩数据 个，再将 个男生成绩样本数据分为
组： ， ， ，绘制得到如图所示的频率分布直方图 同一组的数据用
该组的中间值代表 则下列说法中正确的是（ ）
A．男生成绩样本数据的平均数为
B．估计有 的男生数学成绩在 分以内
C．在 和 内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为
D．若男生成绩样本数据的方差为 ，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为 和 ，则总样本的方差
为
12．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会
堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大
的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是 ，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这
10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否
互不影响，则（ ）
A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是
C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是
三、填空题
13．（2023·安徽安庆·统考二模）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、
乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的
次品率为______.
14．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）2022年神州十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神州十四号航天员
与神州十五号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲､乙､丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空
站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功任务结束，10分钟内不能
完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲､乙､丙10分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，每
个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲､乙､丙顺序派出，则试验任务成功的概率为___________.
15．（2023·四川南充·统考二模）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ______．
16．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，
某学校制订了“生活､科技､体育､艺术､劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球､足球､排球､乒乓球､羽毛
球”五门课程供学生选修.甲､乙两名同学各从体育课程中选择一门课程，则两人选择课程相同的概率是
___________.
四、解答题
17．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．
某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名
学生的测试成绩，按照 ， ， ， 分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用 表示这10名学生中恰有k
名学生的成绩在 上的概率，求 取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在 的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至
少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、
乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为 ，求 的分布列及期望．
18．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民
警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在
意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：
第三 第六
日期 第一天 第二天 第四天 第五天 第七天
天 天
日期代码
1 2 3 4 5 6 7
杯数 4 15 22 26 29 31 32
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作为y关于x的回归
方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超
过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量
X的分布列.
参考公式和数据：其中
回归直线方程 中，
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
【提能力】
一、单选题
19．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬
奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．小张同学要从24个节气中随机
选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·云南昆明·统考一模）某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天
可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三
次作答的得分情况如图：根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）
A．该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B．该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C．该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D．该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
21．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现
该100名患者中有20名的年龄位于区间 内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间
内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内，则此人患该疾病的概率为
（ ）
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超
过5”的概率记为 ”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为 ，“向上的点数之积为偶数”的概率记为 ”，
则（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·全国·模拟预测）甲、乙两同学进行棒球比赛，约定连胜两局者胜出，比赛结束，最多比赛五局，若前
四局不分胜负，则第五局胜者获胜，比赛结束．已知甲每局获胜的概率为 ，每局比赛没有平局，结果相互独立，
则甲第一局获胜并最终获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）如图（1）反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况；图（2）
反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2019-2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快
B．2016-2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长
C．2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元
D．2016-2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及
25．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 ，且已知
，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1
C．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组： ；乙组： ，若这两组数据的第30
百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则
26．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到
了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手
通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙
通过的概率依次为 ， ， ，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题27．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．
他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为
36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
28．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知 ， ，随机变量 ， 的分布列如下表所示：
0 1 0 1
下列说法中正确的是（ ）A．若 且 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
29．（2023·全国·模拟预测）某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组
有8名选手，其中4名男生，4名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人， 表示事件
“从甲组抽取的是男生”， 表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则
（ ）
A． ， 不是对立事件 B．
C． D．
30．（2023·辽宁·校联考模拟预测）某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上
有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或
者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率
的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P，第四次投完实心
1
球后恰好胜利的概率为P，则（ ）
2
A．
B．
C．
D．若 ，则p的取值范围为
三、填空题
31．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）设 为随机变量，从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条，当两条棱
相交时， ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 为两条棱上两点（不在同一
条棱上）间距离的最小值，则随机变量 的数学期望为_______．
32．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知 为正四棱锥，从O，A，B，C，D五点中任取三点，则取到
的三点恰好在同一个侧面的概率为_________．
33．（2023·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该
数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子
数列”．现在从该数列前21项中，按照奇数与偶数这两种类型进行分层抽样抽取6项，再从这6项中抽出2项，
则至少含有一项是偶数的概率为______．
34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比
如：二进制数 化为十进制的计算公式如下 ，若从二进制数 、 、 、
中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为__________．四、解答题
35．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费 商场在春节期间推出“你摸
球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的 个红球和 个黑球，乙盒内有大小相同的 个
红球和 个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取 个球．具体规则如下：摸出 个红球记为
一等奖，没有红球记为二等奖， 个红球记为三等奖， 个红球记为鼓励奖.
(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为 折、 折、 折和 折．记随机变量 为获得各奖次的折扣率，
求随机变量 的分布列及期望 ；
(2)某一时段内有 人参加该促销活动，记随机变量 为获得 折及以下资格的人数，求 ．
36．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复
习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取
名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分 分）分为 ， ， ， ，
， ， ， 共 组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若 表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于 分”，估计事件 发生的概率；
(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．
参考数据： ， ， ， ， ，， ， ，其中 为第 组的中点值．
37．（2023·贵州·校联考二模）某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，
然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这50名职工考核成绩的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数 （精确到
0.01）；
(2)若该单位职工的考核成绩 服从正态分布 ，其中“ 近似为50名职工考核成绩的平均数 近似为
样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？
（结果四舍五入保留整数.）
附参考数据与公式： ， ，则 ，
， .38．（2023·北京丰台·统考一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度
越高．某平台计算TPI的公式为： ，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的
4个等级：
TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为
，求 的分布列及数学期望 ；
(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为 ，将
2022年同期TPI依次记为 ，记 ， ．请直接写出 取得最大值时 的值．
