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小题满分练 7
一、单项选择题
1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则等于( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
答案 C
解析 ＝
＝＝－＋i，故选C.
2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则集合A*B的
所有元素之和为( )
A．16 B．18 C．14 D．8
答案 A
解析 由题设知A*B＝{1,2,3,4,6}，
∴所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.
3．(2022·卓越高中联盟联考)若“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题，则实数a的取值范
围是( )
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 因为“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题，
则“∀x∈R，sin x－cos x≠a”为真命题，因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin∈[－2,2]，
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
4．(2022·湖北七市(州)联考)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为 1 600,1
100,800，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个
学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生 32人，且测得高一年级、
高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160 cm,165 cm,170 cm.则下列说法正确的是(
)
A．高三年级抽取的学生人数为32
B．高二年级每个学生被抽取到的概率为
C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大
D．所有学生的平均身高估计要小于165 cm
答案 D
解析 根据比例分配的分层随机抽样的定义，高三抽取的学生人数为×32＝16，A错误；分层随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为＝，B错误，C错误；
平均身高为×160＋×165＋×170≈163.9(cm)，D正确．
5．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
{b}：b＝1＋，b＝1＋，b＝1＋，…，依此类推，其中α∈N*(k＝1,2，…)．则( )
n 1 2 3 k
A．b，所以b>b，
1 3
同理可得b>b，b>b，…，
3 5 5 7
于是可得b>b>b>b>…，故A不正确；
1 3 5 7
当n取偶数时，由已知b＝1＋，
2
b＝1＋，
4
因为>，所以b，所以b>b，
1 2
同理可得b>b，b>b，b>b，
3 4 5 6 7 8
又b>b，所以b>b，故B不正确；故选D.
3 7 3 8
方法二 (特殊值法)
不妨取α＝1(k＝1,2，…)，则b＝1＋＝2，
k 1
b＝1＋＝1＋＝1＋＝，
2
b＝1＋＝1＋＝1＋＝，
3
所以b＝1＋＝1＋＝，
4
b＝1＋＝1＋＝，
5
b＝1＋＝1＋＝，
6
b＝1＋＝1＋＝，
7
b＝1＋＝1＋＝.逐一判断选项可知选D.
8
6．(2022·咸阳模拟)设a>0，b>0,2是4a与4b的等比中项，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵2是4a与4b的等比中项，∴4a·4b＝22，∴a＋b＝1.
∵＝，
＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝，b＝时取等号，
∴≤，
∴的最大值为.
7．(2022·湖北八市联考)各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，
数学运算一般使用十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，
则下列选项中表达效率最高的是( )
A．二进制 B．三进制
C．八进制 D．十进制
答案 B
解析 因为f(x)＝＝
＝·，
f′(x)＝·，
令f′(x)>0，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而f(2)＝f(4)，故可得
f(3)>f(2)>f(8)>f(10)．则效率最高的是三进制．
8.(2022·长沙十六校联考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，
延长AD到P，使得AP＝9，若PA＝mPB＋PC(m为常数)，则CD的长度是( )
A. B．0或
C. D．0或
答案 D
解析 ∵A，D，P三点共线，
∴可设PA＝λPD(λ>0)，
∵PA＝mPB＋PC，
∴λPD＝mPB＋PC，
即PD＝PB＋PC，
当m≠0且m≠时，B，D，C三点共线，
∴＋＝1，即λ＝，
∵AP＝9，∴AD＝3，
∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝5，
设CD＝x，∠CDA＝θ，
则BD＝5－x，∠BDA＝π－θ.
∴根据余弦定理可得
cos θ＝＝，
cos(π－θ)＝＝，
∵cos θ＋cos(π－θ)＝0，
∴＋＝0，
解得x＝，
∴CD的长度为；
当m＝0时，PA＝PC，C，D重合，此时CD的长度为0；
当m＝时，PA＝PB，即PB＝PB＋BA，
B，D重合，此时PA＝12，不符合题意，舍去．
二、多项选择题
9．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正方体ABCD－ABC D，则( )
1 1 1 1
A．直线BC 与DA 所成的角为90°
1 1
B．直线BC 与CA 所成的角为90°
1 1
C．直线BC 与平面BBDD所成的角为45°
1 1 1
D．直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1
答案 ABD
解析 如图，连接 AD ，在正方形 AADD 中，AD⊥DA ，因为 AD∥BC ，所以
1 1 1 1 1 1 1
BC ⊥DA，所以直线BC 与DA 所成的角为90°，故A正确；
1 1 1 1
在正方体ABCD－ABC D 中，CD⊥平面BCC B ，又BC ⊂平面BCC B ，所以CD⊥BC .连
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
接 BC，则 BC⊥BC .因为 CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面 DCB A ，所以 BC ⊥平面
1 1 1 1 1 1 1 1
DCB A ，又CA ⊂平面DCB A ，所以BC ⊥CA ，所以直线BC 与CA 所成的角为90°，故B
1 1 1 1 1 1 1 1 1
正确；
连接AC ，交BD 于点O，则易得OC ⊥平面BBDD，连接OB.因为OB⊂平面BBDD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以OC ⊥OB，∠OBC 为直线BC 与平面BBDD所成的角．设正方体的棱长为a，则易得
1 1 1 1 1
BC ＝a，OC ＝，所以在Rt△BOC 中，OC ＝BC ，所以∠OBC ＝30°，故C错误；
1 1 1 1 1 1因为C C⊥平面ABCD，所以∠CBC 为直线BC 与平面ABCD所成的角，易得∠CBC ＝45°，
1 1 1 1
故D正确．故选ABD.
10．在数列{a}中，对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{a}为“等差比数列”．下面对
n n
“等差比数列”的判断正确的是( )
A．k不可能为0
B．等差数列一定是等差比数列
C．等比数列一定是等差比数列
D．通项公式为a＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列
n
答案 AD
解析 A选项，若k＝0，则数列{a}是常数列，所以分母为0，所以k不可能为0，故A正
n
确；
B选项，当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故B错误；
C选项，当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故C错误；
D选项，因为a＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)，
n
所以
＝
＝＝b，为常数，是等差比数列，
故D正确．
11．(2022·湖南六校联考)已知椭圆C：＋＝1上有一点P，F ，F 分别为其左、右焦点，
1 2
∠FPF＝θ，△FPF 的面积为S，则下列说法正确的是( )
1 2 1 2
A．△FPF 的周长为4＋2
1 2
B．角θ的最大值为90°
C．若S＝，则相应的点P共有2个
D．若△FPF 是钝角三角形，则S的取值范围是(0，)
1 2
答案 ABD
解析 由已知可得a＝2，b＝，
所以c＝，△FPF 的周长为2a＋2c＝4＋2，故A正确；
1 2
因为b＝c，所以以FF 为直径的圆与椭圆C相切于上、下顶点，
1 2
所以θ≤90°，故B正确；
设△FPF 的边FF 上的高为h，
1 2 1 2
则S＝×2×h＝h＝，
所以h＝1<＝b，由椭圆的对称性可知，点P共有4个，故C错误；
因为△PFF 为钝角三角形，所以△PFF 中有一个角大于90°，
1 2 1 2由选项B知∠FPF 不可能为钝角，
1 2
所以∠PFF 或∠PFF 为钝角，
2 1 1 2
当∠PFF＝90°时，
2 1
将x＝代入＋＝1得y＝±1，此时△FPF 的面积为S＝×2×1＝，所以若△FPF 是钝角三角形，
1 2 1 2
则其面积S∈(0，)，故D正确．
12．(2022·苏州模拟)已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两
点，A，B，C的横坐标分别为x，x，x，则( )
1 2 3
A． B．x＝ln x
2 1
C． D．xx＝x
1 3
答案 ACD
解析 y＝，
令y′＝＝0，则x＝1.
则y＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，y ＝.y＝，
max
令y′＝＝0，则x＝e，
则y＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴y ＝.
max
＝a，则x＝ ，A正确；
2
＝a＝＝ ，
y＝在(0,1)上单调递增，
0e，
3
∴ ＝x，C正确；
3
xx＝ ln x＝·ax＝x，D正确．
1 3 2 2三、填空题
13．(2022·日照模拟)6展开式中的常数项为________．
答案
解析 T ＝Cx6－kk
k＋1
令6－k＝0，得k＝4，
∴常数项为4C＝.
14．(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(log 12)＝__________.
3
答案 7
解析 因为函数f(x)＝
所以f(－1)＝2＋log 2＝3，
2
f(log 12)＝
3
所以f(－1)＋f(log 12)＝7.
3
15.(2022·盐城模拟)某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而
成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为
__________，体积为________ cm3.
答案 8 18
解析 公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8个面．
底面是以3 cm为边长的正方形，
其面积为S＝18 cm2，
其中一个正四棱锥的高为 cm.
∴V＝×18××2＝18(cm3)．
16．若函数y＝f(x)的定义域内存在x ，x(x≠x)，使 ＝1成立，则称该函数为“互补函
1 2 1 2
数”．若函数 f(x)＝cos－sin(ω>0)在[π，2π]上为“互补函数”，则 ω 的取值范围为
______________．
答案 ∪
解析 f(x)＝cos＋sin
＝cos＝sin ωx，由“互补函数”的定义得，存在x，x∈[π，2π](x≠x)，f(x)＋f(x)＝2，
1 2 1 2 1 2
所以令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上至少存在两个极大值点，
则ωπ≥2π，得ω≥2.
当2T＝2×≤π，即ω≥4时，显然符合题意；
当2≤ω<4时，分以下两种情况讨论，
当ωπ≤，即ω≤时，2ωπ≥，即ω≥，
所以≤ω≤；
当<ωπ<4π，
即<ω<4时，
2ωπ≥，即ω≥，
所以≤ω<4.
综上，ω的取值范围为∪.
