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第 2 讲 概 率
一、选择题
1．(2022·新余模拟)种植某种树苗，现采用随机模拟的方法估计种植这种树苗 5棵恰好成活
4棵的概率．先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2至9的数字代表成活，0
和1代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生如下30
组随机数：
69801 66097 77124 22961 31516 29747
24945 57558 65258 74130 23224 37445
44344 33315 27120 21782 58555 61017
45241 92201 83005 94976 56173 16624
30344 01117 70362 44134 74235 34781
据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为( )
A．0.37 B．0.40 C．0.34 D．0.41
2．(2022·九江模拟)传说中古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示
数，他们将1,3,6,10,15，…，，称为三角形数；将1,4,9,16,25，…，n2，称为正方形数．现
从1到50的自然数中任取1个，取到的数既不是正方形数，也不是三角形数的概率为( )
A. B. C. D.
3．有一个底面圆的半径为1, 高为2的圆柱，点O ，O 分别为这个圆柱上底面和下底面的
1 2
圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O，O 的距离都大于1的概率为( )
1 2
A. B. C. D.
4.(2022·玉林模拟)有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹．”芍药不仅观赏性强，且具有药用
价值．某地打造了以芍药为主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部
分都是以正方形的顶点为圆心、正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的(如
图所示)．白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍．倘若你置身此正方形花海之中，则
恰好处在红芍中的概率是( )
A．1－ B.－ C.－1 D.
5．智慧城市是通过利用各种信息技术和创新概念，将城市的系统和服务打通、集成，以提
升资源运用的效率，优化城市管理和服务，以及改善市民生活质量．智慧城市目前落地的领
域主要集中在智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区，是智能化社会
建设的实验田．我国某省会城市欲从中选择其中的三个方面进行智慧城市建设试点，则智慧政务被选择的概率为( )
A. B.
C. D.
6．(2022·太原模拟)已知x的取值范围为[0,10]，如图输入一个数 x，使得输出的 x满足
6<x≤8的概率为( )
A. B. C. D.
7.如果一个矩形的长与宽的比值为，那么称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄
金矩形，E，F分别在边AD，BC上，且矩形CDEF也是黄金矩形．若在矩形ABCD内任取
一点，则该点取自黄金矩形CDEF内的概率为( )
A. B.2
C. D.2
8．(2022·泸州模拟)算盘是中国发明的一种手动操作计算辅助工具，迄今已有2600多年的历
史．现有一种算盘(如图一)共两档，自右向左分别表示个位和十位．档中横以梁，梁上一珠，
拨下记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1.现拨动算盘中两枚算珠，如图二则表示
51，如图三则表示20.如果拨动图一算盘中的三枚算珠，表示的整数超过24的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在椭圆＋＝1
内部的概率是________．
10．一个正方体的外接球的表面积为48π，从这个正方体内任取一点，则该点取自正方体的内切球内的概率为________．
11.(2022·西安模拟)如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵
爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”．若直角三角形中较大锐角的正弦值为，则在
大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为________．
12．某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照[50,75)，
[75,100)，[100,125)，[125,150]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图．现用分层抽样
的方法从[75,100)，[125,150]这两组学生中选取5人，再从这5人中任选2人，则这2人的数
学成绩不在同一组的概率为________．
三、解答题
13．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气
质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中
的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
14．(2022·西宁模拟)第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共
设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为 10m(m∈N*)，统计得到以下2×2列联表，
经过计算可得K2≈4.040.
男生 女生 总计
了解 6m
不了解 5m
总计 10m 10m
(1)求m的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥
运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取2人进行面对面交流，求至少抽到一名
女生的概率．
附：独立性检验临界值表
P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
