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专题四 立体几何与空间向量
第 1 讲 空间几何体
一、选择题
1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的
比值为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母
线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
3.(2022·福州模拟)已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面△ABC水平放置的直观图(斜二
测画法)为△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，则此三棱柱的表面积为(
)
A．4＋4 B．8＋4
C．8＋4 D．8＋8
4．(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(
)
A．20＋12 B．28
C. D.
5．(2022·河南湘豫名校联考)高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状
垃圾篓中，恰好被上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5a，垃圾篓上底
面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为( )
A．154πa2 B.πa2 C．308πa2 D．616πa2
6．(2022·西北工业大学附属中学模拟)如图1，在正方体ABCD－ABC D 中，点P在正方形
1 1 1 1
ABC D 内(包含边界)，若三棱锥P－ABC的侧视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可
1 1 1 1
能是( )7.(2022·湖北联考)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨
(<
10 mm)，中雨(10 mm～25 mm)，大雨(25 mm～50 mm)，暴雨(50 mm～100 mm)，小明用一
个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )
A．小雨 B．中雨
C．大雨 D．暴雨
8．在直三棱柱ABC－ABC 中，AB＝2，AA ＝6，∠ACB＝30°，则此直三棱柱的外接球的
1 1 1 1
表面积是( )
A．48π B．64π C．72π D．84π
9.如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只虫
子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是(
)
A．3 B．3 C．2 D．210.(2022·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱
AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为(
)
A. B. C. D.
11．(2022·聊城模拟)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，
则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之
间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半
轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆
柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项错误的是( )
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为24π
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D．底面积为4π
12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的
体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B.
C. D．[18,27]
二、填空题
13.(2022·湘潭模拟)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗．陀螺的形状结构如图所
示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分
别为h ，h ，r，且h ＝h ＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为 S 和S ，则＝
1 2 1 2 1 2
________.
14．(2022·杭州模拟)将一个四棱锥和一个半圆柱进行拼接，所得几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为________，表面积为______________．15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，
若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
16.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品(如图所示)．该工艺品可以
看成是一个球体被一个棱长为4的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心
重合)，其中一个截面圆的周长为3π，则该球的半径为______；现给出定义：球面被平面所
截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠
的高．如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S＝2πRh.由此可
知，该实心工艺品的表面积是________．
