文档内容
第 1 讲 计数原理与概率
[考情分析] 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选
择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、
不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．
考点一 排列与组合问题
核心提炼
解决排列、组合问题的一般过程
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少
元素．
例1 (1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到 A，B，C三个路口协助交警值
勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口 A B C
志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求 A，B，C三个路口都
要有志愿者值勤，则不同的安排方法有( )
A．14种 B．11种
C．8种 D．5种
答案 B
解析 由题意得，
以C路口为分类标准：C路口值勤分得人数情况有2种，两个人或一个人，
若C路口值勤分得人数为2，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口值勤，此时有两种安排方法．
若C路口值勤分得人数为1，丙或丁在C路口，具体情况如下．
丙在C路口：
A(丁)B(甲乙)C(丙)；
A(甲丁)B(乙)C(丙)；
A(乙丁)B(甲)C(丙)．
丁在C路口：
A(甲乙)B(丙)C(丁)；
A(丙)B(甲乙)C(丁)；
A(甲丙)B(乙)C(丁)；
A(乙)B(甲丙)C(丁)；
A(乙丙)B(甲)C(丁)；
A(甲)B(乙丙)C(丁)．
所以一共有2＋3＋6＝11(种)安排方法．
(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四
节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，
特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分
别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？( )
A．192 B．240 C．120 D．288
答案 A
解析 由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到AA＝240(种)，
当“立春”和“惊蛰”相邻，且“清明”与“惊蛰”也相邻时，有2种排法，即“惊蛰”在
中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起，即2A＝48(种)，
所以最终满足题意的排法为240－48＝192(种)．
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相
邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题
先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．
跟踪演练1 (1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车
全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求
索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同
学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，
其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( )
A．144种 B．336种C．672种 D．1 008种
答案 A
解析 选取的3个名称中含有祝融的共有C种不同的情况．分析选取的3个名称的不同情况
有A种，其中祝融是第3个被分析的情况有A种，故祝融不是第3个被分析的情况有C(A－
A)＝144(种)．
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、
首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则
甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 B
解析 因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，则安排方法分两类：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速
滑馆，
有A＝2(种)；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有CA＝6(种)，则共有2×6＝12(种)．综上，甲和
乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12＋2＝14.
考点二 二项式定理
核心提炼
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类
讨论求解．
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 (x＋y)8展开式的通项T ＝Cx8－kyk，k＝0，1，…，7,8.令k＝6，得T ＝Cx2y6；令k
k＋1 6＋1
＝5，得T ＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
5＋1
(2)已知n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a
的值为________，展开式中的常数项为________．答案 1 45
解析 因为n的展开式的所有项的二项式系数之和为2n，且奇数项和偶数项的二项式系数之
和相等，所以2n－1＝512，解得n＝10，
所以展开式中第四项T＝Cx73，
4
所以Ca3＝120，解得a＝1，
所以10的展开式的通项为
T ＝Cx10－kk＝Cx10－5k，
k＋1
令10－5k＝0，解得k＝2，
所以展开式中的常数项为C＝45.
易错提醒 二项式(a＋b)n的通项公式T ＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的
k＋1
展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而
二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a ＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＋…＋a(1＋x)8，则a 等
0 1 2 8 6
于( )
A．－448 B．－112
C．112 D．448
答案 C
解析 (1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8
＝a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＋…＋a(1＋x)8，
0 1 2 8
a＝C×(－2)2＝112.
6
(2)(多选)已知(1－2x)2 023＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则( )
0 1 2 2 023
A．展开式中各项系数和为1
B．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
C．a＋a＋a＋…＋a ＝－2
1 2 3 2 023
D．a＋＋＋…＋＝0
0
答案 BCD
解析 令x＝1得a＋a＋…＋a ＝－1，
0 1 2 023
∴A错误；
二项式系数和为C＋C＋…＋C＝22 023，
B正确；
令x＝0得a＝1，
0
∴a＋a＋…＋a ＝－2，∴C正确；
1 2 2 023
令x＝有a＋＋＋…＋＝0，∴D正确．
0考点三 概率
核心提炼
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝.
3．全概率公式
设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝1,2，…，
1 2 n 1 2 n i
n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质
的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 从7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况
有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，
{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝.
(2)(多选)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，
2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放
入乙箱中，分别以A，A，A 表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱
1 2 3
中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则( )
A．A，A，A 两两互斥
1 2 3
B．P(B|A)＝
2
C．P(B)＝
D．B与A 相互独立
1
答案 AB
解析 A，A，A 中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，A正确；
1 2 3
P(B|A)＝＝＝，B正确；
2
P(A)＝，
1
P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝×＋×＋×＝，C错误；
又P(AB)＝×＝，
1
P(A)P(B)＝×＝，
1∴P(AB)≠P(A)·P(B)
1 1
∴A 与B不相互独立，D错误．
1
(3)(2022·益阳调研)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为 i
的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者
i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均
为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1胜3负5胜6胜；1
负4胜5胜6胜．所以甲获得冠军的概率为3＋2×3×＝.
规律方法 求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
跟踪演练3 (1)某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览
室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来
阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有
且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 三人挑选四种书，每人有4种选法，
共有43＝64种方法，
恰有2人选同一种书的方法有CCC种，
即36种方法，
故恰有2人选同一种书的概率P＝＝.
(2)(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其
中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者被
评为“智答能手”．设甲被评为“智答能手”为事件A，乙被评为“智答能手”为事件B，
若P(B|A)＝P(B)，则下列结论正确的是( )
A．P(A|B)＝P(A)
B．P(|A)＝C．甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为
D．甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为
答案 ABD
解析 由题意，可得P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝，
由P(B|A)＝＝P(B)，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立，
所以P(A|B)＝＝＝P(A)，故A正确；P(B|A)＝P(B)＝，
由条件概率的性质得P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝，故B正确；
因为事件A，B相互独立，所以A与，与B，与也都相互独立．甲、乙都被评为“智答能
手”的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，
所以甲、乙至多有一人被评为“智答能手”的概率为1－P(AB)＝1－＝，故C错误；
甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率P()＝P()·P()＝×＝×＝，
所以甲、乙至少有一人被评为“智答能手”的概率为1－P()＝1－＝，故D正确．
专题强化练
一、单项选择题
1．(2022·福州质检)6展开式中的常数项为( )
A．－540 B．－15
C．15 D．135
答案 D
解析 二项式6展开式的通项公式为
T ＝C(3x)6－k·k
k＋1
＝(－1)k·36－kC· ，k≤6，k∈N，
由6－k＝0，解得k＝4，
则T＝(－1)4×32×C＝135，
5
所以6展开式中的常数项为135.
2．(2022·荆州联考)某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有
一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，
则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有( )
A．80种 B．120种
C．130种 D．140种答案 D
解析 若夫妻中只选一人，
则有CCA＝120(种)不同的方案；
若夫妻二人全选，且两人报告顺序相邻，则有CAA＝20种不同的方案，故总计有140种不
同的方案．
3．(2022·惠州模拟)(a－x)(2＋x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 利用二项式定理展开得(a－x)(2＋x)6＝
(a－x)(C26＋C25x＋C24x2＋C23x3＋C22x4＋C2x5＋Cx6)，
则x5的系数为aC2－C22＝12，∴a＝6.
4．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为C，这3只鞋子中任意两只都不成双，
选取的方法为C×23，
所以所求概率为P＝＝.
5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%
的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中
任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 令A＝“玩手机时间超过1 h的学生”，
1
A＝“玩手机时间不超过1 h的学生”，
2
B＝“任意调查一人，此人近视”，
则Ω＝A∪A，且A，A 互斥，
1 2 1 2
P(A)＝0.2，P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，
1 2 1
P(B)＝0.4，
依题意，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)
1 1 2 2
＝0.2×0.5＋0.8×P(B|A)＝0.4，
2
解得P(B|A)＝，
2
所以所求的概率为.6．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某
节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另
一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够
正常营业，否则该店就停业．则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设两家店铺不能都正常营业为事件A，
由题意可知有4人休假的概率为4＝，
有3人休假的概率为C31＝，
所以两家店铺不能都正常营业的概率为P(A)＝＋＝，
所以两家店铺该节假日都能正常营业的概率为1－P(A)＝.
7．(2022·锦州模拟)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称
a，b对于模m同余，记作a＝b(mod m)，比如：26＝16(mod 10)．已知n＝C＋C·8＋C·82
＋…＋C·810，满足n＝p(mod 7)，则p可以是( )
A．23 B．31
C．32 D．19
答案 A
解析 因为n＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810＝(1＋8)10＝(7＋2)10，
也即n＝C·710＋C·79·2＋…＋C·7·29＋C·210，
故n除以7的余数即为C·210＝1 024除以7的余数，1 024除以7的余数为2，结合选项知23
除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意．
8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于 1261
年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律．“杨辉
三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．则下列关于“杨
辉三角”的结论正确的是( )
A．C＋C＋C＋…＋C＝165
B．在第2 022行中第1 011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2∶3答案 C
解析 由C＋C＝C可得
C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1
＝C＋C＋C＋…＋C－1
＝C－1
＝－1＝164，故A错误；
第2 022行中第1 011个数为C
