北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
10.2 二项式定理
一、选择题
1.(2022届湖北襄阳五中10月月考,4)(x-3y)5的展开式中所有项的系数和为( )
A.-32 B.-16 C.10 D.64
答案 A 令x=1,y=1,得展开式中所有项的系数和为(-2)5=-32.故选A.
2.(2022届新疆克拉玛依模拟三,7)若(1+2x)n(n∈N*)的展开式中二项式系数和为128,则该二项展开式中含有
x5的项的系数为( )
A.1 344 B.672 C.336 D.168
答案 B 由题得2n=128,解得n=7,所以可得(1+2x)7的展开式的通项为T k+1 =2k Ck xk,令k=5,得T 6 = C5
7 7
25x5=672x5,所以该二项展开式中含有x5的项的系数为672.故选B.
3.(2020河南部分重点高中联考,9)已知(3x-1)n展开式的第5项的二项式系数最大,且n为偶数,则(3x-1)n展开
式中x2的系数为( )
A.-252 B.252 C.-28 D.28
答案 B 由题意可得n=8,则(3x-1)8的展开式的通项是T r+1 = Cr (3x)8-r·(-1)r,令8-r=2,解得r=6,则展开式中x2
8
的系数为 C6 32=252.
8
4.(2020安徽江南十校质量检测,5)若(1+ax)·(1+x)5的展开式中x2,x3的系数之和为-10,则实数a的值为( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.1
答案 B 由(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5,得x2的系数为 C2 +a C1 =5a+10,x3的系数为 C3 +a C2 =10a+10,又由
5 5 5 5
展开式中x2,x3的系数之和为(5a+10)+(10a+10)=15a+20=-10,解得a=-2.故选B.
5.(2022届成都郫都阶段测,8)已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 C 2×1010+a=2×(11-1)10+a=2×(1110- C1 ×119+…- C9 ×11+1)+a=2×(1110- C1 ×119+…- C9
10 10 10 10
×11)+a+2,∵2×(1110- ×119+…- ×11)能被11整除,∴要使2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,只要a+2能被11
C1 C9
10 10
整除,∵0≤a<11,∴2≤a+2<13,则a+2=11,解得a=9,故选C.
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6.(2022届昆明一中双基检测三,5)( 1)·(1+x)6的展开式中x2的系数为( )
1-
x
A.-5 B.5 C.15 D.30
答案 A (1+x)6的通项为T r+1 = Cr xr,当r=2时,x2的系数为 C2 =15,当r=3时,x3的系数为 C3 =20,可得展开式
6 6 6
中x2项为1×15x2+( 1)×20x3=-5x2,所以x2的系数为-5.故选A.
-
x
7.(2021安徽蚌埠二模,9)在( 2 ) 6 的展开式中,除常数项外,其余各项系数的和为( )
x+ -1
x
A.63 B.-517 C.-217 D.-177
答案 B 常数项是
C3
x3·(2) 3 +
C2
x2· C2(2) 2 ·(-1)2+
C1
x· C1(2)·(-1)4+
C6
(-1)6=581,令x=1,求得各项系
6 x 6 4 x 6 5 x 6
数和为(1+2-1)6=64,则除常数项外,其余各项系数的和为64-581=-517.
8.(2021江西重点中学协作体联考,5)已知( 2) n 的展开式中各项的二项式系数的和为512,则这个展开
√x-
x
式中的常数项是第 项( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 由题设可得2n=512,解得n=9,∴(
√x-
2) n 的展开式的通项为T
r+1
=
Cr
(
√x
)9-r·(
-
2) r =
Cr
·(-2)r·
x 9 x 9
9-3r 9-3r
x 2
,r=0,1,…,9,令
2
=0,解得r=3,∴T
4
为常数项.
9.(2022届重庆实验中学开学考试,2)若(x2+1)(4x+1)8=a+a(2x+1)+a(2x+1)2+…+a ·(2x+1)10,则a+a+…+a 等
0 1 2 10 1 2 10
于( )
5 1
A.2 B.1 C. D.-
4 4
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答案 D 令x=0,则a
0
+a
1
+a
2
+…+a
10
=(0+1)×(0+1)8=1,令x=-1,则a
0
=(1
+1
)×(-2+1)8=5,∴a
1
+a
2
+…+a
10
=1-
2 4 4
5 1
=- .故选D.
4 4
二、填空题
n
10.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,14)已知( 2x3- √3) (n∈N*)展开式的二项式系数之和为32,则展开式
x
中x7的系数为 .
答案 240
5 r
解析 由题知2n=32,则n=5,所以( 2x3- √3) 的展开式的通项为T r+1 = Cr·(2x3)5-r·( - √3)=25-r·(- √3 )r· Cr
x 5 x 5
·x15-4r,令15-4r=7,得r=2,则展开式中x7的系数为23×(-
√3
)2×
C2
=240.
5
11.(2022届贵阳一中10月月考,13)若(4x-1)4=a+ax+ax2+ax3+ax4,则a+a+a+a= .
0 1 2 3 4 1 2 3 4
答案 80
解析 令x=1,则a+a+a+a+a=34=81,令x=0,则a=(-1)4=1,于是a+a+a+a=81-1=80.
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
12.(2022届湘豫名校联盟11月联考,14)若( a)( 1) 5 的展开式中各项系数的和为0,则该展开式的
x+ 2x-
x x
常数项为 .
答案 -120
解析 令x=1,得1+a=0,解得a=-1,可得(
x-
1)(
2x-
1) 5 的常数项为x·
C3
(2x)2(
-
1) 3 -1·
C2
(2x)3
x x 5 x x 5
( 1) 2 =-120.
-
x
13.(2021安徽池州期末,14)(x4-1)4
的展开式中常数项为 .(用数字作答)
x12
答案 -4
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解析 解法一: (x4-1)4 = (x4-1)4 =( x- 1 ) 4 ,其展开式的通项为T r+1 = Crx4-r( - 1 ) r =(-1)r Crx4-4r,令
x12 (x3)4 x3 4 x3 4
4-4r=0,解得r=1,所以常数项为(-1)1
C1
=-4.
4
解法二:(x4-1)4的展开式的通项为T
r+1
=
Cr
x4(4-r)(-1)r=(-1)r
Cr
x16-4r,令16-4r=12,得r=1,所以常数项为T
2
=
C1
4 4 4
(-1)=-4.
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