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解密25 二项式定理
【考点解密】
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T ＝Can－kbk.
k＋1
【方法技巧】
二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；
当k>时，二项式系数是逐渐减小的．
增减性与最
大值 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值
各二项
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
式系数
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
的和
2：一般地，若 .
（1） ；
（2）展开式各项系数和为 ；
（3）奇数项系数之和为 ；
（4）偶数项系数之和为 .【核心题型】
题型一：利用项的系数求参数
1．（2023·重庆·统考二模）已知 的二项展开式中，第 项与第 项的二项式系数相等，则所有项的系数
之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据第 项与第 项的二项式系数相等列出等式，解出 ，再用赋值法即可得出结果.
【详解】解：因为 ，且第 项与第 项的二项式系数相等，
所以 ，解得 ，取 ，所以所有项的系数之和为： .
故选：C
2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位
数为n，则二项式 展开式的常数项为（ ）
A． B．60 C．120 D．240
【答案】B
【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为 ，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 展开式的通项为：
，令 得： ，
所以展开式的常数项为 ，
故选：B．
3．（2023·安徽宿州·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据二项展开式分别求出 的表达式，解方程即可求得结果.
【详解】由题可知， ，所以 ；
同理可得 ；
由 可得 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 .
故选：D
题型二：赋值法在二项式定理的应用
4．（2023·江西赣州·统考一模）已知 ，则 （ ）
A．40 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】设 ，根据二项式展开式可得 、 ，即可求解.
【详解】设 ，
则 ，，
所以 ，
所以 .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可求得 的值，再利用赋值法可求得 和 的值，作差可得出所求代
数式的值.
【详解】因为 ，所以由组合数的性质得 ，
所以 ，
令 ，得 ，即 .
令 ，得 ，
所以 ，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．【答案】A
【分析】将 运用二项式定理按照 和 展开，求出各项的系数，并用赋值法求出
和 的值，令 ，逐项验证即可求解.
【详解】由二项式定理知：
，
，令 ，则有 ；
，
，令 ，则有 ；
故有 ，A正确；
令 ，则有 ，
分别代入B，C，D选项：
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选：A.
题型三：利用二项式定理证明整除问题
7．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中，常数项为 ，则 被8除的余数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用二项式展开式的通项公式结合常数项，可求得a的值，将 利用二项式定理展开，即变为，整理为 即可求得答案.
【详解】由题意， ，
的通项公式为 ，
令 ，不合题意；
的通项公式为 ，
令 ，则 ，所以 的常数项为 ，
解得 ，
所以
，
则 被8除的余数为4，
故选： B
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ，且 ，若 能被13整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【分析】转化为 ，利用二项式定理求解.
【详解】
因为 能被13整除，所以 能被13整除
因为 ，且 ，所以 ，
故选：D9．（2022·全国·高三专题练习） 除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【分析】根据二项式定理将已知合并得原式等于 ，再结合 展开整理即可得答案.
【详解】因为
所以 ，除了第一项之外，其余每一项都含有 的倍数，所以原式
除以 的余数为1.
故选:B．
题型四：不等式求系数的最值问题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为
___________．
【答案】
【分析】利用赋值法，令 ，则 的展开式各项系数之和为 ，即可求得n，确定二项展开式的系数
最大项在奇数项，建立不等式求解即可.
【详解】令 ，则 的展开式各项系数之和为 ，则 ；
由 的展开式通项公式 知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第 项的系数最大，
则 ，化简可得：
经验证可得 ，
则该展开式中系数最大的项为 .
故答案为: .11．（2022·浙江·高三专题练习）已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式
的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________．
【答案】
【分析】由第4项与第8项的二项式系数相等，得 的值；通过赋值 ，得 的值．经过化简，本题的系数与二
项式系数相同，把系数的最值转化为二项式系数的最值求解．
【详解】解：因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ,所以展开式共11项，
令 ，得 ， ，所以 ；
所以通项公式为 ；
,故当 时， 最大，所以最大项为 ．
故答案为： ．
12．（2023·上海·高三专题练习）已知 ，若数列
是个单调递增数列，则 的最大值为_____
【答案】17
【分析】利用二项式定理展开项的通项得出数列的通项，由 ，解关于 的不等式，即可得出结
论.
【详解】因为 ，
所以 ,由 ，
得 ，即 ，
解得 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查二项式定理的展开式，考查数列的单调性问题，难度一般，二项式展开项的通项公式运用是关键.
题型五：多项式展开式问题
13．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式 ，则 （ ）
A．－960 B．960 C．－480 D．480
【答案】A
【分析】将 写为 ， 是第8项的系数，计算即可.
【详解】解：因为 ，所以第8项为 ，
所以 .
故选：A
14．（2021·全国·高三专题练习） 的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘
以各项指数之和的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】将 展开，利用题中信息可求得结果.
【详解】
，
所以， 的展开式中各项的指数之和为 ，
展开式中各项系数乘以各项指数之和为 ，
因此，所求结果为 .
故选：C.
【点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.
15．（2020·全国·高三专题练习）将多项式 分解因式得 ，则 （ ）
A．16 B．14 C． D．
【答案】C【分析】将 展开，观察 的系数，对应 的展开相乘，相加得到答案.
【详解】解析：由题意， ， ，所以 ，
故选：C.
题型六：二项式定理的综合问题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） .（2）
【分析】（1）利用赋值法进行求解，令 得， ；令 得， .从而可求结果.
（2）根据二项式系数与 关系及组合数性质得到 ，然后累加可求
的值.
【详解】（1）令 得， ；令 得， .
于是 .
（2） ，
首先考虑
，则 ，
因此 .
故
.
【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性
质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.
17．（2020·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（1）已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比
为 ，求 的值.
（2）记 ， ，
①求 ；
②设 ，求和： .
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【分析】（1）根据 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，得到 求解.
（2）①由题意可得 ，再令 求解；②由题意知 ，根据
，解得 ，结合组合数性质 ，然后求和即
可.
【详解】（1）∵ 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，∴ ，即 ，解得 .
（2）①由题意 ，
令 ，得 ；
②由题意 ，又 ，
∴ ，
∴
，
∴
.
【点睛】本题主要考查二项式系数，项的系数以及组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（2020·江苏·统考模拟预测）已知数列 满足 ，且 ， .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先由 ，得到 ，将所证明结论转化为 ，再由数学归纳法证明，即可
得出结论；（2）先由组合数的运算性质，得到 ，则 ，再由二项式定理，计算
，即可得出结论成立.
【详解】（1）因为 ，即 .
要证 ，只需证 .
用数学归纳法证明：
当 时， ，命题成立；
假设当 ( ， )时命题成立，即 ，
则当 时，有 ，
由于 ，所以 ，显然有 ，
所以当 时，命题也成立.
所以对任意 ，都有 成立，即 得证.
（2）因为 ，
所以 ，
因此
.由（1）知， ，所以 ，
即原命题得证.
【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中的常数项为（ ）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
【答案】D
【分析】先将 展开写为 ,写出 的通项,求出 及 的系数,代入
中即可.
【详解】解:因为
的展开式的通项公式为 ,
令 ,得 ;
令 ,得 ,
所以 的展开式中的常数项为:.
故选:D
20．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算
法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非
常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、
数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
【答案】A
【分析】确定 ，计算 ，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.
【详解】 .
对选项A： ，正确；
对选项B： ，错误；对选项C：当 时， ，错误；
对选项D：当 时， ，错误；
故选：A
21．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 中含有 的项都写成 的形式，即可得解.
【详解】
，
所以 ，
所以 .
故选：D.
22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．64 D．160
【答案】C
【分析】在二项展开式的通项公式中令x的幂指数为3，求出r的值，即可求得 的系数.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，故展开式中 的系数为 .
故选：C.
23．（2023·陕西安康·统考二模）已知 ，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】记 ，对函数求导，根据题干给出的二项式系数的特征，利用赋值法即可求解.
【详解】记 ，
∴
则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
24．（2023·上海静安·统考一模）在 的二项展开式中， 称为二项展开式的第 项，其中
r=0，1，2，3，……，n．下列关于 的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若 ，则二项展开式中系数最大的项是 ．
B．已知 ，若 ，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数 的取值范围是 ．
C．若 ，则二项展开式中的常数项是 ．
D．若 ，则二项展开式中 的幂指数是负数的项一共有12项．
【答案】D【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分 和 两
种情况解不等式即可；C选项：令 ，解方程即可；D选项：令 ，解不等式即可.
【详解】A选项：令 ，解得 ，所以 ，所以A正确；
B选项： ，整理可得 ，当 时，不等式恒成立；当 时，解得 ，所以
，故B正确；
C选项：令 ，解得 ，所以常数项为 ，故C正确；
D选项：令 ，解得 ，所以 可取 ，共11项，故D错.
故选：D.
25．（2023·四川成都·统考二模）二项式 展开式中 的系数为（ ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【答案】B
【分析】利用二项式定理得到 的展开式通项公式，求出 ， ， ，进而与
对应的系数相乘，求出展开式中 的系数.
【详解】 的展开式通项公式为 ，
其中 ， ， ，
故二项式 中 的四次方项为 ，
即展开式中 的系数为 .
故选：B
26．（2023·全国·高三专题练习） 展开式中常数项为（ ）A． B． C．1 D．481
【答案】C
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
【详解】解：根据二项式定理， 表示 个 相乘，
所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：
① 个 中全部选 项展开；
② 个 中有1个选择 项，2个选择 项，3个选择 项展开；
③ 个 中有2个选择 项，4个选择 项展开.
所以，其常数项为： .
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【分析】求出 的通项公式 ，令 和 ，求解对应常数项即可.
【详解】 展开式的通项为 ，令 ，得 ，令 ，得 ，故
展开式的常数项是 .
故选：B．
二、多选题28．（2023·山西晋中·统考二模） ，若 ，则下列结论正确的有
（ ）
A． B．
C． D． 的展开式中第1012项的系数最大
【答案】BC
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x项的系数，从而求解a，即可判断选项A，赋值法即可求解系数和
问题，从而判断选项B、C，利用展开式系数符合规律判断选项D
【详解】对于A， ，可得 ，故A错误；
对于B，因为 ，
令 ，则 ，故B正确；
对于C，令 ，则 ，
令 ，则 ，故C正确；
对于D，由展开式知， ， ，故第1012项的系数 ，不会是展开式中系数最大的项，故D错误.
故选：BC
29．（2023·湖南·模拟预测）已知 ，则下列结论成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】变换得到 ，令 ，可得A正确， ，B正确，令 ，计算C
错误，两边同时求导，令 ，得到D正确，得到答案.
【详解】 ，展开式的通项为 ，
对选项A：令 ，可得 ，正确；
对选项B： ，所以 ，正确；
对选项C：令 ，可得 ，错误；
对选项D： ，两边同时求导，得
，令 ， ，正确．
故选：ABD
30．（2023·云南·统考模拟预测）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
【答案】AC
【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.
【详解】因为展开式的通项公式为 ，
对A，由 ，得 (舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对B，二项式系数和为 ，故B错误；
对C，展开式共有 项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；
对D，令 ，得所有项的系数和为 ，故D错误；
故选：AC.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】AC
【分析】对AB，根据二项式公式求解对应项的系数求解即可；对CD，利用赋值法分别求 与
和 判断即可.
【详解】对A， 为展开式中最高次项系数，只能由 展开式的最高次项相乘，故为 ，即
，故A正确；
对B， ，故 ，故B错误；
对C，令 ，则 ，即 ，令 ，则
，即 .
故 ，故C正确；
对D，令 ，则 ，结合C， ，故
...①
又 ...②，①+②可得 ，故 ， ，故
，故D错误.
故选：AC
三、填空题
32．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则
展开式中的常数项为___________.
【答案】【分析】求出展开式有几项，并写出 的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项.
【详解】由题意，
在 中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，
∴ ，解得： ，
因此 的展开式的通项为： ，
故 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
33．（2023·广东·校联考模拟预测）在 展开式中， 的系数是________．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意可得 ，然后由 的展开式通项即可得到
结果.
【详解】因为 ，
且 的展开式通项为 ，
所以 的系数是 与 展开式中的项的乘积的和，
所以有 ，
故答案为:
34．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）若 ，则
___________.
【答案】0
【分析】先令 ，求出 ，再令 ，得 ，进一步计算得出结果.【详解】令 ，得 .
令 ，得 ，
则 .
故答案为：0.
35．（2023·福建泉州·统考三模）已知 ，且 则
____________．
【答案】0
【分析】利用二项式定理求特定项的系数即可.
【详解】由题意，可得 ， .
， .
故答案为：0.
