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6.5 二项式定理（精练）（基础版）
题组一 指定项系数
1．（2022·全国·高三专题练习）在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．160 B．192 C．184 D．186
【答案】B
【解析】二项式 的展开式的通项 ，
当 时， ， 项的系数为192.故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，则
.故选：A.
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理）） 的常数项的二项式系数为（ ）
A．375 B．-375 C．15 D．-15
【答案】C
【解析】由二项式 展开式的通项公式为： ；
令 可得 ，即展开式的中第5项是常数项.∴常数项的二项式系数为： ；故选：C.
4．（2022·新疆·三模（理））若 ，则 （ ）A．270 B．135 C． 135 D． 270
【答案】B
【解析】 ，
以 代替 ，得 ，
所以其通项公式为 ，令 ，所以 ，故选：B
5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习） 的展开式中有理项的个数为_____．
【答案】17
【解析】通项公式 ，有理项只需要保证 为整数即可，又
，故 ，共17个.故答案为：17.
6．（2022·上海金山·二模） 的二项展开式中 项的系数为__________.（结果用数字作答）
【答案】24
【解析】由题意可得 的通项公式为： ，
故 项的系数为 ，故答案为：24
7．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测） 的展开式中的常数项为__________.
【答案】
【解析】 的展开式的通项为 ，令 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）在 的展开式中，常数项为__________.
【答案】-252【解析】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数， ，r=5，
其常数项系数为 =-252.，故答案为：-252.
9．（2022·四川·树德中学高三开学考试（理））若二项式 的展开式中第 项与第 项的
系数相同，则其常数项是___________.
【答案】
【解析】由已知条件可得 ，所以， ，
二项式 的展开式通项为 ，
令 ，解得： ，
因此展开式中的常数项为 ，
故答案为： .
题组二 二项式因式相乘的系数
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（理）） 的展开式中 的系数为___________.（用数字
作答）
【答案】-162
【解析】 4属开式的通项公式为 .当 时，x 4的展开式中 的系数
为 ；当 时 的展开式中 的系数为 ，故 — 的展
开式中 的系数为-162.
故答案为：-162
2．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试） 的展开式中， 的系数为___________.【答案】
【解析】 ，
其中 的展开式通项为 ， ，故 时，得含 的项为
；
的展开式通项为 ， ，故 时，得含 的项为
.
因此，式子 的展开式中，含 的项为 ，即系数为 .
故答案为：
3．（2022·四川内江·模拟预测（理）） 的展开式中 的系数为______（用数字作答）.
【答案】9
【解析】由 的展开式通项为 ，
当 时 ，当 时 ，
所以含 的项为 .
故 的系数为9.故答案为：9
4．（2022·广西柳州·模拟预测（理）） 展开式中 的系数为___（用数字作答）．
【答案】
【解析】因为 的展开式通项为 ，，
在 中， ，在 中，令 ，可得 ，
所以，展开式中 的系数为 .
故答案为： .
5．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理）） 的展开式中的常数项为___________.
（用数字作答）
【答案】50
【解析】因为 ，考虑 中的常数项与 项.由通项公式
，即 ，故当 时， 中的常数项为 ，当 时， 中
的项系数为 ，故 的展开式中的常数项为
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数为________________（用数字作
答）．
【答案】-28
【解析】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
7．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数是12，则实数a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】利用二项式定理展开得
则 的系数为 .
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常
数项为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】令 ，则 ，所以 ．
在 中， 的展开式的通项 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．
故选：A
9．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中 项的系数为（ ）
A．96 B． C．120 D．
【答案】A
【解析】依题意 的展开式的通项公式为 ，当 时，得 ；当 时，得 ，
故可得展开式中含 的项为 ，
即展开式中 项的系数为96.
故选:A
10．（2022·天津·南开中学高三阶段练习） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
故它的展开式中含 的系数为 ，
故选：C．
题组三 三项式系数
1．（2022·全国·高三专题练习（理）） 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】120
【解析】法一：在 的展开式中能产生 的项为 ，
所以在这几项的展开式中 的系数和为 ．
法二： ，
所以 的展开式中 的系数就是 中 的系数，而 中 的系数为 ，
展开式中 的系数为120.
故答案为：120.
2．（2022·江苏淮安·模拟预测） 的展开式的常数项是___________．
【答案】70【解析】 的通项公式为 ；
f (x)
当 时， 中的常数项为 ；
当 时， 中的常数项为 ；
当 时， ；
所以 的展开式的常数项为 ；
故答案为：70.
3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在 的展开式中， 项的系数为__．
【答案】66
【解析】在 的表示12个因式 的乘积，
故有2个因式取 ，其余的10个因式都取1，可得展开式中，含 的项，
故含 项的系数为 ，故答案为：66
4．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中常数项为
【答案】
【解析】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为 ．
5．（2022·浙江·模拟预测）在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为
【答案】
【解析】 ，则 的系数为1，的系数为 ，
所以在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为 ．
6．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中的常数项为
【答案】
【解析】 ，
所以展开式中的常数项为
7．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））在 的二项展开式中含 项的系数为
【答案】21
【解析】 的展开式的通项为 ．
的展开式的通项为 ．
由 ，得 ，
， ， 或 ，
在 的展开式中，
含 项的系数为 ．
题组四 系数和
1．（2022·北京工业大学附属中学三模）若 ，则
________．【答案】
【解析】在 中，令 可得： .
再令 可得： ，故 .故答案为： .
2．（2022·辽宁沈阳·三模）若 ，则
_______．
【答案】243
【解析】 的展开式得通项为 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 .
故答案为：243.
3．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设 ．若
，则实数 ________．
【答案】
【解析】令 ，则
解得： .故答案为： .
4．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）设 ，则
__________.
【答案】
【解析】因为 ，
令 得 ，
令 得 ，所以 ；
故答案为：
5．（2022·天津河西·二模）若 ，则 ______．
【答案】
【解析】解：因为 ，
所以，令 得 ，
令 得 ，
另一方面， ，即 ，
所以 .
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）(1)设 .
①求 ；
②求 ；
③求 ；
(2)求 除以9的余数．
【答案】（1）①16，②136，③15；（2）7
【解析】(1)①令x＝1，得a＋a＋a＋a＋a＝(3－1)4＝16.
0 1 2 3 4
②令x＝－1得，a－a＋a－a＋a＝(－3－1)4＝256，
0 1 2 3 4
而a＋a＋a＋a＋a＝(3－1)4＝16，两式相加，得a＋a＋a＝136.
0 1 2 3 4 0 2 4
③令x＝0得a＝(0－1)4＝1，得a＋a＋a＋a＝a＋a＋a＋a＋a－a＝16－1＝15.
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0
（2）解 S＝C ＋C ＋…＋C ＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1
＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.
