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8.2 二项式定理（精练）（提升版）
题组一 指定项的系数
1．（2022·贵阳模拟）若 展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】易得 的通项 ，又展开式中存在常数项则
有解，即 ，故正整数n的最小值是5，此时 故答案为：A
2．（2023·四川省） 的二项展开式中含 项的系数为（ ）
A．240 B．16 C．160 D．60
【答案】D
【解析】展开式的通项为 ，
令 ，所以含 项的系数为 ，故选：D.
3．（2022·江苏省）已知等差数列 的第 项是 展开式中的常数项，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由二项式定理， 展开式中的常数项是 ，
即 ，因为 是等差数列，所以 ．故选：D．4．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）在 的展开式中，有理项共有（ ）项
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为展开式的通项为 ，
因为 为整数且 ，所以可取 ，所以有理项一共有 项，故选：C.
5（2022广东）若 的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则 （ ）
A．11 B．10 C．9 D．
【答案】C
【解析】因为第5项二项式系数为 ，第6项的二项式系数为 ，
由题意知 ，所以 ，即 ，所以 ，故选：C.
6（2022·周至模拟）在 展开式中，下列说法错误的是（ ）
A．常数项为-160 B．第5项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
【答案】B
【解析】展开式的通项为 ，
由 ，得 ，所以常数项为 ，A符合题意；
由通项公式可得 为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由 ，可知第3项的系数最大，B不符合题意；
展开式共有 项，所以第 项二项式系数最大，C符合题意；
令 ，得 ，所有项的系数和为1，D符合题意；故答案为：B.
7．（2022·扬州模拟）（多选）已知 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的展开式中的常数项为84
B． 的展开式中不含 的项
C． 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D． 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
【答案】A,C
【解析】因为 展开式的通项公式 ，所以
当 ，A符合题意；
当 时， ，B不符合题意；
的展开式中各项系数和为 ，二项式系数之和为 ，C符合题意；
根据二项式系数的性质可知， 最大，所以， 的展开式中二项式系数最大的项是第五项和
第六项，D不符合题意.
故答案为：AC.
8．（2022·茂名模拟）（多选）已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项
D．有理项共5项【答案】B,D
【解析】因为 ，所以 ，所有奇数项的二项式系数和为 ，A不符合题意，
令 ，得所有项的系数和为 ，B符合题意，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，C不符合题意，
因为 展开式通项为 ，
当 为整数时， ，3，6，9，12，共有5项，D符合题意．
故答案为：BD．
9．（2022·西安模拟）已知 是 的展开式中的某一项，则实数 的值为 .
【答案】±2
【解析】因为 ＝ ， 令 ，得 ，
所以 ，即 ，解得 . 故答案为：±2.
10．（2022·南开模拟）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】-189
【解析】由二项式定理知 的展开式的通项为：
，
令 ，解得 ，所以 的系数是 ，故答案为：-189.
11．（2022·南开模拟）若 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为
．
【答案】60
【解析】 因为各项的二项式系数之和为64， ，即 ；
通项公式 =
令 ，解得 .
展开式中常数项为 .
题组二 多项式的系数
1．（2022·江西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【解析】因为 的展开式为 ，
的展开式为 和 的和，
； ，
所以在 中令 ，即可得到 的项的系数，是 ，
故答案为：A.2．（2022·赣州模拟） 展开式中 的系数为（ ）
A．-260 B．-60 C．60 D．260
【答案】A
【解析】 展开式的通项公式为 .
要求 的系数，只需 .故答案为：A
3．（2022·新乡三模）已知 的展开式中各项的系数之和为2，则展开式中含 项
的系数为（ ）
A．-20 B．-10 C．10 D．40
【答案】C
【解析】令 ，得 ，所以 ，
因为 的展开式通项为 ，
故 的展开式中含 项的系数为 .
故答案为：C.
4（2022·湖南模拟）在 的展开式中，除 项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299 B．-301 C．300 D．-302
【答案】A
【解析】令 ，得 .
所以 的展开式中所有项的系数和为 .
由 可以看成是5个因式 相乘.
要得到 项，则5个因式中有1个因式取 ，一个因式取 ，其余3个因式取1，然后相乘而得.所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中，除 项之外，剩下所有项的系数之和为 .
故答案为：A
5．（2022·柳州模拟） 展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】5
【解析】因为（1+x）5的展开式通项为 （k=0，1，2，3，4，5），
①当k=2时，展开式中x2项为 ，
②当k=4时，展开式中x2项为 ，
所以，展开式中x2的系数为10-5=5.
故答案为：5
6．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
【答案】-28
【解析】(x+y)8的通项公式为 ，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为 ，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为 ，
则展开式中 项为 ，
故答案为：-28
7．（2022·昆明模拟）若 的展开式中存在 项，且 项的系数不为0，则 的值
可以是 ．（写出满足条件的一个 的值即可）【答案】5（答案不唯一）
【解析】由通项公式可得 ，当 时， ，故可取当
时， 故答案为：5（答案不唯一）
8．（2022·嵊州模拟） 展开式中所有项的系数和是 ，含 的项的系数是
．
【答案】243；30
【解析】令x=1，则所有项的系数和是 ；
因为 的通项为 （r=0，1，2，3，4，5），
所以当r=0时，需求 展开式中的 项为 ；
当r=1时，需求 展开式中的 项为 ；
所以含 的项的系数是 .
故答案为：243；30．
9．（2022·河西模拟） 的展开式中， 的系数是 .
【答案】-260
【解析】】 的展开式的通项 ，
令 ，得 ， ；
令 ，得 ， ，
则 的展开式中 的系数是 ．
故答案为：-26010．（2022·武昌模拟） 的展开式中， 项的系数为-10，则实数 .
【答案】2
【解析】 ，
的展开式通项为 ，所以， 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，由题意可得 ，解得 .故答案为：2.
11．（2022·湖北模拟）在 展开式中， 的系数为 .
【答案】7
【解析】化简得 ，根据该展开式的通项公式，可得
，则 的系数为7.故答案为：7
题组三 系数和
1．（2022·惠州模拟）若 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】令 ，代入得 ，令 ，得 ，所以 .
故答案为：B.
2．（2022·鹤壁模拟）设 ，若
则非零实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．-1
【答案】A【解析】∵ ，对其两边求导数，
∴ ，
令 ，得 ，①
又 ，②
∴ ，∴ ，解得 ，
故答案为：A．
3．（2022·上虞模拟）已知 ，则 ，
.
【答案】-3240；-1
【解析】 展开式的通项为： ，
令 ，可得 ；
令 得： ；令 得： ，
.
故答案为：-3240；-1.
4．（2022·平江模拟）已知 ，则
的值为 ．
【答案】78
【解析】令 ，可得 ，令 ，可得 ①
令 ，则 ②
所以② ①可得： ，
所以 ，即 。
故答案为：78。
5．（2022·湖州模拟）设 .若
，则实数 ， ．
【答案】 ；6
【解析】令x=1，则(1+2m)5+(1-1)4=a+a+a+a+a+a=32解得： m= .
0 1 2 3 4 5
(x+1)5的第r+1项系数为T = .所以(x+ 1)5展开式中的x3的系数为 =10，
r+1
(x- 1)4的第r+1项系数为T = ·x4-r.(-1)r 所以(x- 1)4展开式中的x3的系数为- = -4；
r+1
a=10-4=6故答案为： ；6.
3
6．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇数项系数和为 ，偶数项系数和为
【解析】(1)二项式系数的和为 .(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为 ，偶数项的二项式系数和为 .
(4)设(2x－3y)10＝ax10＋ax9y＋ax8y2＋…＋a y10
0 1 2 10
令x＝y＝1，得到a＋a＋a＋…＋a ＝1，①
0 1 2 10
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a－a＋a－a＋…＋a ＝510，②
0 1 2 3 10
其中①＋②得： ，∴奇数项系数和为 ；①－②得：
，∴偶数项系数和为 .
7．（2022·全国·高三专题练习）在 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5） 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.
【答案】（1） ；
（2）1；
（3）奇数项的二项式系数和为 ，偶数项的二项式系数和为 ；
（4）奇数项的系数和为 ，偶数项的系数和为 ；
（5） 的奇次项系数和为 ， 的偶次项系数和为
【解析】设 ，
各项系数和为 ，
奇数项系数和为 ，偶数项系数和为 ，
的奇次项系数和为 ， 的偶次项系数和为（1）二项式系数的和为 ；
（2）令 ， ，则 ，
所以各项系数和为1；
（3）奇数项的二项式系数和为 ，
偶数项的二项式系数和为 ；
（4）由（2）知， ①，取 ， ，
则 ②，
所以奇数项的系数和 ，
偶数项的系数和 ；
（5）由（4）知， 的奇次项系数和为 ，
的偶次项系数和为 .
题组四 二项式定理的运用
1．（2021·全国·高二单元测试）（多选）若 能被13整除，则实数 的值可以为（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
【答案】CD
【解析】∵
，又52能被13整除，∴需使 能被13整除，即 能被13整除，
∴ ， ，结合选项可知CD满足．
故选：CD.
2（2022·广西）设 为奇数，那么 除以13的余数是（ ）
A． B．2 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
因为 为奇数，则上式=
.
所以 除以13的余数是10.
故选：C.
3．（2022高二下·泰兴期末）若 ，则 被
4除得的余数为 .
【答案】1
【解析】由题知， 时， ①，
时， ②，由①+②得，
，
故所以被4除得的余数是1.
故答案为：1.
4．（2022·山东省）若 ，则 被8整除的余
数为___________.
【答案】5
【解析】在已知等式中，取 得 ，
取 得 ，
两式相减得 ，
即 ，
因为
因为 能被8整除，
所以 被8整除的余数为5，
即 被8整除的余数为5，
故答案为：5.
