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专题 9.2 二项式定理
目录
题型一： 求(a＋b)n形式的“特定项”..........................................................................................3
题型二： 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项..............................................................................5
题型三： 三项式的展开式...............................................................................................................7
题型四： “二项式系数”与“项的系数”的最值问题..............................................................8
题型五： “二项式系数”与“项的系数”的和........................................................................10
知识点总结
知识点一、二项式定理
二项式
(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋…＋ C a n － k b k ＋…＋ C b n (n∈N*)
定理
二项
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n
的二项展开式
展开式
C a n － k b k 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第 k ＋ 1 项，可记做
通项
T ＝Can－k·bk(k＝0,1,2，…，n)
k＋1
二项式
各项的系数 C ( k＝0,1,2，…，n)
系数
知识点二、二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这
一性质可直接由 得到 . 直线 r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称
轴.(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二
项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即 T
的二项式系数最大；如
n是奇数，那么其展开式中间两项T T
果 与 的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项
式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知识点三、杨辉三角的性质
(1)最外层全是 1，第二层(含 1)是自然数列 1,2,3,4，…，第三层(含 1,3)是三角形数列
1,3,6,10,15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数
斜左(右)下方的那个数．例题精讲
题型一：求(a＋b)n形式的“特定项”
【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可
依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定
项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出
其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．
【例1】在 的展开式中， 的系数为 2 4 ．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 ，
，1，2，3，4，
令 ，解得 ，
所以 的系数为 ．
故答案为：24．
【变式训练1】若 的展开式中共有 个有理项，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 的展开式通项公式为： ， ，1，2，3，4，5，6，
7，8，
当 ，4，8时， ， ， 为有理项，
故 ．
故选： ．
【变式训练2】“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】解：由题意， 展开式的通项为： ，当 时， ，展开式的第五项为常数项，充分性成立；
当 时，展开式中存在常数项，如 ， ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件．
故选： ．
【变式训练3】已知 的展开式中各项系数之和为0，则展开式中 的系数为
A．28 B． C．45 D．
【解答】解：令 ，则展开式中各项系数之和为 ，解得 ，
所以 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
所以展开式中 的系数为 ．
故选： ．
【变式训练4】二项式 的展开式中含 项的系数是
A．6 B． C． D．12
【解答】解：因为二项式 的展开式通项为 ，
令 ，则 ，
所以二项式 的展开式中含 项的系数为 ．
故选： ．
【变式训练5】在 的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中 项的系数
A．15 B．54 C．12 D．
【解答】解：由于二项式系数的和是16，故 ，解得 ，故 ，
当 时，展开式中 项的系数为 ．
故选： ．
【变式训练6】 的展开式中 项的系数是
A． B． C． D．
【解答】解：根据 的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，故展开式中 项的系数是 ．
故选： ．
题型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项
【例2】已知 展开式中 的系数为48，则实数
A．1 B． C．2 D．
【解答】解： 展开式的通项公式为 ， ，1， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
展开式中 的系数为 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】 展开式中含 的系数是
A．28 B． C．84 D．
【解答】解： 展开式的通项为 ， ，1，2， ，9，
当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，由 ，可得 ；
当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 ；
当 选取1时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 ，
所以 展开式中含 的系数是 ．
故选： ．
【变式训练2】 展开式中 的系数为
A．56 B． C．64 D．
【解答】解： 的二项展开式满足 ，
当 时，系数为 ，
当 时，系数为 ，
故展开式中 的系数为 ．
故选： ．
【变式训练3】二项式 展开式中 的系数为
A．120 B．135 C． D．
【 解 答 】 解 ： 二 项 式
故它的展开式中 的系数 ．
故选： ．
【变式训练4】已知 的所有项的系数和为3，则 的系数为A．80 B．40 C． D．
【解答】解：由题意令 中 即可得到 ，解
得 ，
此时 变为了 ，若要得到 这一项分以下两种情形：
情形一：第一步若取 中的 ，则第二步只能取 1 个 中的 ，取 3 个
中的 ，
所 以 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 以 及 组 合 数 可 知 情 形 一 所 对 应 的 的 系 数 为
；
情形二：第一步若取 中的 ，则第二步能取2个 中的 ，取2个
中的 ，
所 以 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 以 及 组 合 数 可 知 情 形 二 所 对 应 的 的 系 数 为
．
因此由分类加法计数原理可知 的展开式中 的系数为 ．
故选： ．
题型三：三项式的展开式
【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项
式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
【例3】在 的展开式中， 的系数为
A．60 B．15 C．120 D．30
【解答】解：在 的展开式中，含 的项为 ，故含 的系数为 ，
故选： ．
【变式训练1】 的展开式中， 的系数为
A． B．60 C． D．120
【解答】解：因为
，所以
的展开式通项为 ，
令 ，得 ，则 的系数为 ．
故选： ．
【变式训练2】 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
【解答】解：由题设，多项式展开式各项形式为 ，
且 ， ， ，且都为整数），
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，
即 ．
故选： ．
【变式训练3】在 的展开式中， 的系数是
A．24 B．32 C．36 D．40
【解答】解：根据题意， 的项为： ．
故 的系数是40．故选： ．
题型四：“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果
n是奇数，则中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等并最大.
【例4】已知 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数
的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解： 展开式中只有第5项是二项式系数最大，则 ，
展开式的通项为 ，
则该展开式中各项系数 ，
若求系数的最小值，则 为奇数且 ，解得 ，
系数的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练1】 的展开式中各项系数的最大值为
A．112 B．448 C．896 D．1792
【解答】解：该二项式的通项公式为 ，
由 ，可得 ．
因为 ，
所以展开式中各项系数的最大值为 ．
故选： ．【变式训练2】设 为正整数， 的展开式中存在常数项，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题知，
（2） ，
因为存在常数项，
所以 ，所以 ，
为正整数，
故 时， 最小，为3，
故选： ．
【例5】已知 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求 的展开式
中：
（1）所有二项式系数之和．
（2）系数绝对值最大的项．
【解答】解： 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，
则 ，解得 ，
（1） 的展开式中所有二项式系数之和为 ；
（2） 的展开式中系数的绝对值最大的项，即 的展开式中系数的最大的项，
的展开式的通项公式为 ，
，即 ，解得 ，
，
，
系数绝对值最大的项为 ．已知 ．
【变式训练1】（1）若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求 ；
（2）若展开式中存在常数项，求 的最小值．
【解答】解：（1）由题意 ， ；
（2）展开式通项为 ，
令 ，可得 ，
时， 有最小正整数值5．
题型五：“二项式系数”与“项的系数”的和
【要点讲解】(1)①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的
方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需
令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1
即可. ②若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数
0 1 2 n
之和为a＋a＋a＋…＝，偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝.
0 2 4 1 3 5
(2)对于展开式中含有(m＋x)因式的展开问题的一般策略是①“换元法”，即令(m＋x)＝t，
则x＝t－m，再将x＝t－m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；②“整体代入”
法，实质是和“换元法”一致的，即将(m＋x)看成一个“因子”，左右两端都转化为有(m
＋x)的因式即可求解．
【例6】已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的展开式中含 项的系数．
【解答】解：（1）令 得 ，①
令 得 ，②，① ②得 ，
即 ；
（2）由题知 展开式通项为 ，
则 ， ，
所以 的展开式中含 项的系数 ．
【变式训练1】已知 ，其中 ．
（1）求实数 的值；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）根据二项展开式 ，
当 时， ，
解得 ；
（2）当 时， ，
当 时， ；
故 ．
【变式训练2】已知在 的展开式中，前3项的系数分别为 ， ， ，且满足
．
（Ⅰ）求展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中所有有理项．【解答】解： 的展开式通项公式为： ，
，1，2， ，
则 ， ， ，
，解得 ，
（Ⅰ）展开式中各项的二项式系数的和 ；
（Ⅱ）记第 项系数为 ，记第 项系数最大，则有 ，且 ，
又 ，于是 ，解得 ，
所以系数最大项为第3项 和第4项 ；
（Ⅲ）通项 ，
令 ，1，2， ， 所以只有当 ，6时，对应的项才为有理项，
有理项为 ， ．
【变式训练3】从①第4项的系数与第2项的系数之比是 ；②第3项与倒数第2项的二
项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．
已知 ，且 的二项展开式中，____．
（1）求 的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求 的值．
【解答】解：（1）若选择①第 4 项的系数与第 2 项的系数之比是 ，则有
，化简可得 ，求得 或 （舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有 ，
化简可得 ，求得 或 （舍去）．
（2）由（1）可得 ，① 的二项展开式的中间项为 ．
②易知， 、 、 、 、 为正数， 、 、 、 为负数．
在 中，令 ，可得 ．
再令 ，可得 ，
．
【变式训练4】在二项式 的展开式中，_______，给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）
【解答】解：选择①： ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
选择②： ，即 ，解得 ．
选择③： ，则有 ，所以 ．
因为展开式中第7项为常数项，即 ，所以 ．
（1）展开式中系数最大的项为第5项， ，（2）展开式的通项为 ，
令 ，
，
展开式中常数项为第7项，常数项为 ．
【变式训练5】在二项式 的展开式中，
（1）若 ，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为 ，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）若 ，在二项式 的展开式中，
通项公式为 ，令 为整数，可得 ，3，6，
故展开式中的有理项为 ， ， ．
（2） 第4项的系数与第6项的系数比为 ，
， 二项式为 ，
二项展开式中的各项的二项式系数之和为 ．
令 ，可得二项展开式中的各项的系数之和为1．
