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考向 40 二项式定理
1.（2022年北京卷T8）若 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】当 时， ①；当时， 时， ②；①+②得原
式
y
(1− )(x+y) 8
x
x2y6
2.（2022·新高考1卷T13） 的展开式中 的系数为____________（用数字作答）．
【答案】−28
y
(x+y) 8 −
x
(x+y) 8 x2y6 C2 −C3 =−28
【解析】原式等于 ，由二项式定理，其展开式中 的系数为 8 8 ．
3.（2022·天津卷T11） 展开式中的常数项为____________
【答案】
【解析】
4．（2022·浙江卷T12）已知多项式 ，则 ，
．
【答案】
【解析】由题 ．
令 ，则 ．
又 ，所以 ．1.求二项展开式中的特定项的方法：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式T ＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
r＋1
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
2.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开
分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
3.求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到
特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
4.系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的
关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
5.二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
6.二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A，
1
A，…，A ，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得．
2 n＋1
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数
由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
1.混淆通项公式 与展开式中的第r项
2.混淆二项式展开式中a,b排列顺序设置陷阱
3.混淆二项式系数和项的系数
4.混淆二项式最大项与展开式系数最大项
一、单选题
1． 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的展开式的通项是 ，（ ）
由题意， ，因此， 的系数是 .
故选：B.
2．已知 的二项展开式中，第三项与第 项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（ ）
A．280 B．448 C．692 D．960
【答案】B
【解析】由题， ，
因为第三项与第 项的二项式系数和为84，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以第四项的系数为 ，
故选：B
3． 的展开式中， 的系数等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【答案】D
【解析】 的通项为 ，
令 ，解得 ，所以 项的系数为： .
故选：D
4．已知 （ 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常
数项为（ ）
A． 90 B． 10 C．10 D．90
【答案】A
【解析】因为 （ 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，
所以 ，得 ，所以 ，
则其展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以该展开式中的常数项为 ，
故选：A
5．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】∵ ，
故展开式中 的系数 .
故选：B.
6． 的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】D
【解析】因为 的通项公式为 ，
所以 的展开式中，一次项的系数为 ，
常数项为 ，
所以一次项的系数与常数项之和为 ，
故选：D
7．在 的展开式中，常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240
【答案】D
【解析】由题知，展开式中第 项 ，
令 ，得 ，所以展开式中常数项为 .
故选：D
8．若 ，则 （ ）
A．270 B．135 C． 135 D． 270
【答案】B
【解析】 ，以 代替 ，得 ，
所以其通项公式为 ，
令 ，所以 ，
故选：B
9． 的展开式中的常数项为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
【答案】A
【解析】 的展开式的通项公式为 ，
而 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．
故选：A．
10．若 ，则 （ ）
A．244 B．243
C．242 D．241
【答案】C
【解析】显然 ， ，
令 得 ，
故 .
故选：C.11． 的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A． 540 B．135 C．18 D．1215
【答案】B
【解析】由题意得 ，所以 ，所以 展开式的通项
，
令 ，得 ，
所以展开式中的常数项为 ．
故选：B．
12． 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为 ．
故选：B.
二、填空题
13． 的展开式中 的系数为__________（用数字作答）．
【答案】7
【解析】二项式 的通项公式为： ，令 ，所以 的系数为 ，
故答案为：
14．已知二项式 展开式中含有常数项，则n的最小值为____________．
【答案】6
【解析】二项式 展开式的通项为：
，
二项式 展开式中含有常数项，
有解，
则当 时， 最小，且最小值为6.
故答案为：6.
15． 展开式中 的系数为________.
【答案】
【解析】因为
且 展开式的通项公式为
故 的系数为
故答案为: .
16． ，则 _________.
【答案】－20
【解析】由 ，要得 ，则，所以 ，
故答案为：
一、单选题
1．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 的处理，
经过思考，小猫决定采用精确到 的近似值，则这个近似值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．80 B．24 C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，显然 展开式中没有 项，
展开式的 项为 ，
所以 的展开式中 的系数为80.
故选：A
3．（2022·山东聊城·三模） 的展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的展开式通项为 ，
因为 ，在 中，令 可得 ，
在 中，令 可得 ，
因此，展开式中 项的系数为 .
故选：B.
4．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知 ，
则 （ ）
A．280 B．35 C． D．
【答案】A
【解析】 ，
令 ，则
，
展开式的通项为： ，
令 ，可得 ，所以 .
故选：A.
5．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B．25 C． D．5
【答案】A
【解析】∵
的展开式为 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，则 ，令 ，得 ，
∴ 的展开式中 的系数为 .
故选：A．
6．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解
九章算法》一书中，画了一个由二项式 展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方
作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数
值都是它上面的两个数值之和，每一行第 个数组成的数列称为第 斜列．该三角形数阵前5
行如图所示，则该三角形数阵前2022行第 斜列与第 斜列各项之和最大时， 的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】C
【解析】当 时，第 斜列各项之和为 ，
同理，第 斜列各项之和为 ，所以 ，
所以第 斜列与第 斜列各项之和最大时， ，则 .
故选：C．
7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知 ，则关于
的展开式，以下命题错误的是（ ）
A．展开式中系数为负数的项共有3项
B．展开式中系数为正数的项共有4项
C．含 的项的系数是D．各项的系数之和为
【答案】C
【解析】原式= ，所以 的系数为1，是正数； 的系数为
， 的系数为 ， 的系
数为 ， 的系数为 ，
的系数为 ，常数项为 ，所
以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB正确，选项C错
误.
设 ，所以 .所以各项的系数之
和为 ，所以选项D正确.
故选：C
8．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））对于 的展开式，下列说法不正确的是（ ）
A．有理项共5项 B．二项式系数和为512
C．二项式系数最大的项是第4项和第5项 D．各项系数和为
【答案】C
【解析】 的展开式的通项公式为
，
当 时，展开式的项为有理项，
所以有理项有5项，A正确；
所有项的二项式系数和为 ，B正确；
因为二项式的展开式共有10项，
所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误；
令 ，所有项的系数和为 ，D正确.故选：C
9．（2022·江西·上高二中模拟预测（理）） 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式
中的常数项为（ ）
A． B．32 C．−64 D．64
【答案】A
【解析】对于 的展开式通项为 ，
所以原式的常数项为 .
故选：A
10．（2022·北京·人大附中模拟预测） 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为
（ ）
A． B． C．15 D．375
【答案】D
【解析】 ，展开式的通项为
由 得 ，则展开式的常数项为
故选：D
11．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数
（k，n为正奇数）， 是 的导函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
其中 ，
所以 ，
所以 ；
故选：D
12．（2022·山西吕梁·模拟预测（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔
级数”难题．当 时， ，又根据泰勒展开式可以得到
，根据以上两式可求得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，两边同时除以x，
得 ，
又
展开式中 的系数为 ，所以 ，
所以 ．
故选：A．
二、填空题
13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））下面四个命题：
①已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 ；
②存在负数 ，使得 恰有3个零点；
③已知多项式 ，则 ；
④设一组样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为
其中真命题的序号为___________.
【答案】① ③
【解析】对于①：因为 为偶函数，即 ，令 ，所以 ，
又因为 为奇函数，所以 ，令 ，
所以 ，所以 ，故①正确；
对于②：存在负数 ，使得 恰有3个零点等价于 和 ，
有三个不同交点，且 恒过点 ，
画出图像如下所示：根据图像判断至多有两个交点，故②不正确；对于③： ，
，
所以 的系数为：5，故③正确；
对于④：设 的平均数为 ，
则其方差为： ，
则 的平均数为 ，
则其方差为： ，
故④不正确.
故答案为：① ③ .
14．（2021·湖北湖北·模拟预测）代数式 的展开式的常数项是__________(用数字作答)
【答案】3
【解析】 ，
的展开式通项为 ，所以， 的展开式通项为
，
由 ，可得 ，
因此， 的展开式的常数项为 .
故答案为： .
15．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）在 的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为
__________．
【答案】1120
【解析】由 的展开式中只有第5项二项式系数最大得 ，
所以展开式通项为 ，
当 时常数项为 ．
故答案为：1120
16．（2023·全国·模拟预测）若 的展开式中 的系数为9，则a的值为______．
【答案】1
【解析】 ，且 展开式的通项 ，
当 时， ，此时 的系数为 .
当 时， ，此时 的系数为 .展开式中 的系数为 ， ．
故答案为：1
1．(2018全国Ⅲ理) 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】 ，由 ，得 ，所以 的系数为 ．
故选C．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）） 的展开式中x3y3的系数为（
）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为所以 的系数为 。故选：C
3．【2020全国Ⅲ理14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【解析】 ，其二项式展开通项：
，当 ，解得 ，
的展开式中常数项是： ．故答案为： ．
4．【2020天津卷11】在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令
，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ．
5．（2021·浙江卷T13）已知多项式 ，则 ；
．
【答案】5；10
【解析】根据二项式通项公式： ，故 ，
法一：同理， ，
，所以
x=1,得： ，所以
法二：令
6. （2021·天津卷2）在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【解析】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以 的系数是 .故答案为：160.
7．（2021·上海卷T6）若代数式 的展开式中， 的系数为 ，则 ________．
【答案】2
【解析】通项公式为： ,因为 的系数为 ，所以令 ，即
所有 ，解得
