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第一篇 热点、难点突破篇
专题22 计数原理（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高三统考期末）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有
（ ）
A．4种 B．6种 C．21种 D．35种
【答案】B
【分析】元素相同问题用隔板法.
【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有 种.
故选： .
2．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1
名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150 B．90 C．60 D．15
【答案】B
【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可求出.
【详解】将5名大学生分为1，2，2三组，共有 种方法，
则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有 种方法，
则这5人观看比赛的方案种数为90种，
故选：B
3．（2023秋·浙江·高三期末）二项式 的展开式中的常数项是（ ）
A． B．15 C．20 D．
【答案】B
【分析】根据二项展开通项公式求解.
【详解】展开式通项为： ，
令 ，常数项为 ．故选：B
二、多选题
4．（2023春·云南·高三校联考开学考试）若 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则下列说
法正确的是（ ）
A． B．
C．展开式中含 项的系数为35 D．展开式中各项系数和为
【答案】BC
【分析】根据二项式定理的二项式系数的性质、各项系数和、展开式的某一项特点求解判断即可.
1
P(ξ=K)=
【详解】解：由已知 2K，所以 ，故A选项错误，B选项正确；
展开式中含 项为 ，故C选项正确；
令 得展开式中各项系数和为0，而展开式中各项二项式系数和为 ，故D选项错误.
故选：BC．
三、填空题
5．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试） 的展开式中，常数项是______________.
【答案】
【分析】写出二项展开式的通式，令 的次数为 即可.
【详解】 的展开式通项为 ，
令 ，得 ，
故常数项是 ．
故答案为： ．
6．（2023春·浙江·高三开学考试） 展开式中含 项的系数为__________．
【答案】21
【分析】根据二项展开通项公式求解.【详解】展开式的通项公式为 ，
令 则 ，
所以含 项为 ，
所以系数为21，
故答案为：21．
7．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选
出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有___________种
【答案】9
【分析】先按女生个数分类，再分别计数相加即可.
【详解】选出的人员中恰好有一名女生的选法有 种，选出的人员中恰好有两名女生的选法有
种，所以选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有 种．
故答案为：9
8．（2023·高三课时练习）在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则
不同的选取方式的种数为_________.
【答案】120
【分析】利用排除法结合组合数公式即得.
【详解】在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血共有选法 ，
选取5人全是女教师共有选法 ，
∴不同的选取方法有 种.
故答案为：120.
9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末） 的展开式中 的系数为__________.
【答案】121
【分析】展开 ，再求出 展开式中 的系数，即可得答案.
【详解】因为 展开式中 的系数分别为 ，而 ，
故 的展开式中 的系数为 .
故答案为：121.
10．（2022秋·青海西宁·高三统考期中）若 ，则
______； ______.
【答案】 1 0
【分析】令 ，可得第1空答案；令 ，可得第2空答案.
【详解】解：令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以 .
故答案为：1；0.
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知多项式 ，则
（ ）
A．11 B．74 C．86 D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理分别求出 与 一次项的系数，再相加即可.
【详解】对于 ，其展开通项公式为 ，
令 ，得 ，故 ，
对于 ，其展开通项公式为 ，令 ，得 ，故 ，
所以 .
故选：B.
2．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知 的展开式中所有项的系数之和为 ，则展开式中含
的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 可得展开式中所有项的系数之和求出 ，再利用展开式的通项公式即可求解．
【详解】令 可得展开式中所有项的系数之和为 ，故 ，
又 ，即 展开式的通项为 ，
则展开式中含有 的系数为 ．
故选：C．
3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）若二项式 的展开式中只有第5项的二项式系
数最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C．1792 D．1120
【答案】D
【分析】由二项式系数的性质求得 ，然后二项展开式通项公式求得结论．
【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以 .
通项为 ，
令 ，得 ，所以展开式中 项的系数为 ．
故选：D．
4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）某项活动安排了4个节目，每位观众都有6张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢的节目，一位观众最喜欢节目A，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投
给其余的节目，但必须要A节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有（ ）种.
A．150 B．72 C．20 D．17
【答案】D
【分析】对 的得票分类讨论，分别求出投票方案数，再根据分类加法计数原理计算可得.
【详解】解：依题意，当 得 票，则只有 种，
当 得 票，则有 种，
当 得 票，剩下的 票可能投给 个节目或 个节目，则有 种，
当 得 票，剩下的 票可能投给 个节目或 个节目，则有 种，
综上可得一共有 种情况.
故选：D
5．（2023春·广东·高三统考开学考试）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线
上讲座，其中讲座 只能安排在第一或最后一场，讲座 和 必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种 B．56种 C．96种 D．144种
【答案】C
【分析】先求出讲座 只能安排在第一或最后一场的方法总数，再求出讲座 和 必须相邻方法总数，最后由
分步乘法计算原理即可得出答案.
【详解】 由题意知讲座 只能安排在第一或最后一场， 有 种结果，
讲座 和 必须相邻， 共有 种结果，
根据分步计数原理知共有 种结果.
故选:C．
6．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若 的展开式中 的系数为60，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】C
【分析】由二项式定理求得 的关系,然后由均值不等式求得最小值．【详解】 ，令 ， ，
所以 ，∴ ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：C．
7．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习） 展开式中常数项为（ ）
A． B． C．1 D．481
【答案】C
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
【详解】解：根据二项式定理， 表示 个 相乘，
所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：
① 个 中全部选 项展开；
② 个 中有1个选择 项，2个选择 项，3个选择 项展开；
③ 个 中有2个选择 项，4个选择 项展开.
所以，其常数项为： .
故选：C.
二、多选题
8．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知 ，函数 ，其中x的系数为8，则 的系
数可能为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．28
【答案】AB【分析】根据二项式展开公式结合x的系数为8，可得 ，又根据 的系数为 ，分情况求解所有
可能取值.
【详解】x的系数为8，则 ，
则 的系数为 ，
因为 ，所以 可能为7，12，15，16，
则 可取12，16.
故选：AB．
9．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）若 的展开式中各项系数和为32，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中 的系数为15
C．展开式中 的系数为5 D．展开式中常数项为2
【答案】ACD
【分析】由题可得 ，可得 ，然后根据 的展开式的通项公式结合条件即得.
【详解】由题可得 ，
所以 ，故A正确；
所以 ，
又 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，故B错误，C正确；
所以展开式中常数项为 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题10．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试） 的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表
示）
【答案】 和
【分析】先写出 展开式的通项,使 的幂次为整数,解得项数,代入通项即可求得有理项.
【详解】解:由题知,记 展开式的通项为 ,
则 ,
由 ,得 或8,
所以 ,
故有理项是 和 .
故答案为: 和
11．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习） 的展开式中 的系数为___（用
数字作答）
【答案】0
【分析】先把多项式 转化为 ,再应用二项式展开式通项公式求解即可.
【详解】多项式 ，
设 的通项公式为 ，
令 ，则 ，与 相乘可得 项
令 ，则 ，与 相乘可得 项令 ，则 ．与 相乘可得 项
的展开式中 的系数为： ，
故答案为：0．
12．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）若
，则 _________.
【答案】
【分析】将 化为 ，后由二项式定理可得答案.
【详解】 ，
设 展开式通项为 ，
令 ，则 .
设 展开式通项为 ，
令 ，则 .
则 .
故答案为：
