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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 14 概率与统计（理选填）
概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为：
考点01 排列组合与二项式定理
考点02 事件概率
考点03 随机事件分布列
考点 01：排列组合与二项式定理
：
一选择题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中
选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
【答案】64
【解析】：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
(2)当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种．
故答案为：64．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个
小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安
排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： ．
1二、填空题
1．(2023年天津卷)在 的展开式中， 项的系数为_________．
【答案】
【解析】：展开式的通项公式 ，
令 可得， ，则 项的系数为 ．故答案为：60．
2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式 ，则 ___________，
.
___________
【答案】(1)． ; (2)． ．
【解析】: ， ，
.
所以 ， ，所以 故答案为 ．
3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科) 的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
【解析】： 其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 的
展开通项公式 ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
4．(2020年浙江省高考数学试卷)设 ，则a =________；a +a +
5 1 2
a =________．
3
【答案】(1)．80 (2)．122
【解析】 ： 的通项为 ，令 ，则 ，
；
5．(2022新高考全国I卷·) 展开式中 的系数为________________(用数字作答)．
的
2【答案】-28
【解析】：因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28故答案为：-28
6．(2021高考天津)在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【解析】： 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ， 所以 的系数是 ．故答案 为：160．
7．(2021高考北京)在 的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【解析】： 的展开式的通项
令 ，解得 ， 故常数项为 ．
8．(2020天津高考)在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令
，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ．
9．(2019·浙江·)在二项式 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是
．
【答案】 ，
【解析】 展开式的通项为 ，当 时，可得二项式
展开式的常数项是 ．若系数为有理数，则 为偶数即可，故 可取
1,3,4,5,7,9，即 共5项．
10．(2019·天津·理·) 的展开式中的常数项为 ．
3【答案】28
【解析】： 的展开式中的常数项为 ．
考点 02 事件概率
1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量 的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中
黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概
率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】①． ②． ##
【解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，
所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，
所以， ．故答案为： ； ．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率
为________．
【答案】 ．
【解析】从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有
个，故所求概率 ．故答案为： ．
3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都
入选的概率为____________．
【答案】
【解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为
4甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
4．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜
对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动
中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】①． ②．
【解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．故答案为： ； ．
5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，
则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子 概率为 ，
的
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．故答案为： ； ．
6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概
率是_____．
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为 个．
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个．
5∴出现向上的点数和为5的概率为 ．故答案为： ．
7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是
_______.
【答案】
【解析】法一： (分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字)
法二： (分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同)
8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学
中至少有1名女同学的概率是 .
【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为
．
考点03 随机事件分布列
1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，
拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ，则 _______； ______．
【答案】(1)． (2)．
【解析】：因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
随机变量 ，
，
，所以 ．
2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 __________， _________．
6【答案】 ①． ， ②． ##
【解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字
的最小值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，，
所以 ,故答案为： ， ．
3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的
概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4：1获胜的概率是
．
【答案】
【解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，
若第1场或第2场输1场，则 ，
若第3场或第4场输1场，则 ，
所以甲以4：1获胜的概率是 ．
4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，
若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ___________，
___________．
【答案】 (1)． 1 (2)．
【解析】: ，所以 ，
, 所以 , 则 ．
由于
．故答案为1； ．
5．(2022新高考全国II卷)．已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
____________．
7【答案】
【解析】
因 为 ， 所 以 ， 因 此
． 故答案为： ．
8
