文档内容
第二十三讲：计数原理
【考点梳理】
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从 个不同元素中取出 （ 按照一定的顺序排成一列
组合 ）个元素 合成一组
2. 排列问题的解题策略
（1）特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略；
（2）正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；
（5）不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；
3.二项式定理
．
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是C n r ；
②字母 的次数和组合数的上标相同；③ 与 的次数之和为 ．
5. 二项式系数的性质
（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和
【典型题型讲解】
考点一：排列、组合
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末） 男 女六位同学站成一排，则 位女生中有且只有两位女生相邻的不
同排法种数是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其
中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课
表安排方法共有______种.
【方法技巧与总结】
排列、组合搞清楚区别
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺
炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．
2．（2022·广东惠州·一模）现有 名学生报名参加校园文化活动的 个项目，每人须报 项且只报 项，则
恰有 名学生报同一项目的报名方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期
一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．18种 B．12种 C．72种 D．36种
4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有 共6项成果要
汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数
为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教
授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每
个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习
人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
6．（2022·广东·二模）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进
行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数
为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．240
7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分
配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________考点二：二项式定理
【典例例题】
例1．（2022·广东汕尾·高三期末）已知 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则
的展开式中的常数项为（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．60
例2．（2022·广东深圳·高三期末） 的各项系数和为（ ）
A． B．27 C．16 D．
例3．（2022·广东揭阳·高三期末）（多选）已知二项式 的展开
式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
【方法技巧与总结】
1.在形如 的展开式中求 的系数，关键是利用通项求 ，则 ．
2.三项式 的展开式：
若令 ，便得到三项式 展开式通项公式：
，
其中 叫三项式系数．
3.二项展开式二项式系数和： ；奇数项与偶数项二项式系数和相等： ．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式： （ 是系
数），令 得系数和： ．
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末） 的展开式中常数项是_________．
2．（2022·广东·一模）二项式 展开式中的常数项为__________.
3．（2022·广东·珠海市第三中学二模） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东汕头·二模）二项式 展开式中，有理项共有（ ）项．
A．3 B．4 C．5 D．7
5．（2022·广东汕头·高三期末） 的展开式中 的系数为________ 用数字填写答案
6．（2022·广东东莞·高三期末） 的展开式中 项的系数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（2022·广东佛山·高三期末） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
8.（2022·广东惠州·一模）若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．（2022·广东广州·一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
10．（2022·广东深圳·二模）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
11．（2022·广东茂名·二模）已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
12.（2022·广东湛江·二模） 的展开式中常数项为___________.
13.（2022·广东·普宁市华侨中学二模）(2+ )(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）
14．（2022·广东潮州·二模）设 ，则 ______．
【巩固练习】
一、单选题
1．6名志愿者要到 ， ， 三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名
志愿者，若要2名志愿者去 社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种 B．144种 C．150种 D．210种
2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情
的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，
若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（
）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，
其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
4．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个
社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5
名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ）
A．50 B．80 C．140 D．180
6．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相
邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生
前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
8． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
9．在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A．-120 B．-40 C．-30 D．200
10． 的展开式中， 的系数等于（ ）
A． B． C．10 D．45
11．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数为（ ）
A．0 B． C．120 D．
二、多选题
13．已知 ，则（ ）
A．
B．C．
D．
14．在二项式 的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大
15．已知函数 的定义域为 ．（ ）
A．
B．
C．
D． 被8整除余数为7
16．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时，设 ，则
C．当 时， 中最大的是
D．当 时，
17．已知 的展开式中含 的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A． 的展开式的各项系数之和为1 B． 的展开式中系数最大的项为C． 的展开式中的常数项为 D． 的展开式中所有二项式的系数和为32
三、填空题
18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少
完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．
19．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难
户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们共有多少种不同的安排方法____
20．将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书
按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要
求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.
21.5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志
愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）.
22．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4
名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）
23.已知 ，则 的值为___________.
24．已知 的展开式中常数项为20，则 ___________.
