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第二十三章 旋转（7 大压轴考法 50 题专练）
目录
题型一：旋转的性质........................................................................................................1
题型二：旋转对称图形...................................................................................................64
题型三：中心对称..........................................................................................................65
题型四：中心对称图形...................................................................................................67
题型五：关于原点对称的点的坐标.................................................................................68
题型六：坐标与图形变化-旋转.....................................................................................69
题型七：作图-旋转变换................................................................................................71
一．旋转的性质
1．（2023秋•睢阳区期中）在长方形 中， ， ， ， ，连接 ，将线
段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，则线段 的最小值为
A． B． C．4 D．
【分析】连接 ，过点 作 ，截取 ，连接 ， ，通过 证明 ，
得 ，再利用勾股定理求出 的长，在 中，利用三边关系即可得出答案．
【解答】解：连接 ，过点 作 ，截取 ，连接 ， ，
将线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
，
，在 和 中，
，
，
，
， ，
，
在 中，由勾股定理得：
，
， ，
，
在 中， ，
的最小值为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构
造出全等三角形是解题的关键．
2．（2023秋•阳新县期中）如图， 为等边三角形 内的一点，且 到三个顶点 ， ， 的距离分
别为3，4，5，则 的面积为
A． B． C． D．
【分析】将 绕点 逆时针旋转 得 ，根据旋转的性质得 ， ，
，则 为等边三角形，得到 ， ，在 中， ，延长 ，
作 于点 ， ，根据勾股定理的逆定理可得到 为直角三角形，且 ，
即可得到 的度数，在直角 中利用三角函数求得 和 的长，则在直角 中利用勾股定
理求得 的长，进而求得三角形 的面积．
【解答】解： 为等边三角形，
，
可将 绕点 逆时针旋转 得 ，连 ，且延长 ，作 于点 ．如图，， ， ，
为等边三角形，
， ，
在 中， ， ， ，
，
为直角三角形，且 ，
．
，
在直角 中， ， ．
在直角 中， ．
则 的面积是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形
全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
3．（2023秋•东莞市校级期中）如图，在△ 中， ， ，将 绕点 顺时针
旋转 得到 ，则线段 的长度的最小值是 ．
【分析】通过旋转△ 构造△ ，然后由已知条件推导出 ，再由勾股定理得出 关于
的表达式，最后根据配方法得出 的最小值．
【解答】解：如图，把 以点 为中心顺时针旋转 得到 ．连接 ， ，过点 作 的垂线，
为垂足．故相当于△ 是由△ 以点 为中心顺时针旋转 后得到的图形．
则 ， ， ． ，
， ，
，
，
．
设 ，则 ， ， ．
在 △ 中， ．
，此时 ，符合题意．
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，特殊角直角三角形的性质，勾股定理等，通过辅助
线构造 △ 再应用勾股定理求出 的表达式是解答本题的关键．
4．（2023秋•紫金县期中）如图，已知正方形 、正方形 的边长分别为 4，1，将正方形
绕点 旋转，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则线段 的最大值为 ．
【分析】延长 至点 ，使 ，连接 ， ，根据三角形中位线定理得 ，再利用三
角形三边关系可得答案．
【解答】解：延长 至点 ，使 ，连接 ， ，
点 是 的中点， ，
是 的中位线，
，
正方形 、正方形 的边长分别为4，1，， ，
，
的最大值为 ，
的最大值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系等知识，构造
中位线是解题的关键．
5．（2023秋•思明区校级期中）如图，在 中，直径 ，延长 至 ，使 ，点 在
上运动，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 的最大值为 ．
【分析】过点 作 的垂线，在垂线上截取 ，连接 ，从而可证 ，进而得到
，将求线段 的最大值转化为求线段 的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即
可．
【解答】解：如图，过点 作 的垂线，在垂线上截取 ，连接 ，
，
，
又 ，
，
，连接 ，并延长 交圆于点 ， 即为 最大值，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定，点与圆的位置关系，解题的关键是构造 的全等三角
形，将 转化为其他线段进而求最大值．
6．（2023秋•天门校级期中）如图，在 中， ， ，点 是在直角边 上一动
点，且 为等边三角形，则 的最小值是 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到 ，根据圆周角定理得到点 在以 为直径的圆上，
设 的中点为 ，连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，根据等边三角形的性质得到
， ，根据全等三角形的性质得到 ， ，求得
，于是得到 的最小值是 ．
【解答】解：在 中， ， ，
，
，
点 在以 为直径的圆上，设 的中点为 ，连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，连接 ，
， ，
，
点 为 的中点，
，
是等边三角形，
， ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
的最小值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023秋•江油市期中）如图，已知 ， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
与 交于点 ．下列结论：
① ；
② 与 互相平分；
③ ；
④ 平分 ，其中正确结论的是 ①③④ ．【分析】依据题意，设 交 于点 ，根据旋转的性质得出 ， ，
， ，由三角形内角和定理得到推出 ，由对顶角的性质待定
，判定 是等边三角形，因此 与 不能互相平分，在 上截取 ，
由 推出 ，推出 ，得到 是等边三角形，因此 ，
，于是得到 ，求出 ，即可证明 平分
．
【解答】解：设 交 于点 ，
由旋转的性质可得： ， ， ，
，
，
，
故①正确；
设 交 于点 ，连接 ，
， ，
是等边三角形，
若 与 互相平分，则 ，
，
， 的大小无法确定，
不一定等于 ，
故②错误；
在 上截取 ，
由旋转的性质得： ， ， ， ，
，
，
， ，
，
即 ，
是等边三角形，
， ，，
故③正确；
，
，
，
平分 ，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是根据旋
转前、后的图形全等来解答．
8．（2023秋•内黄县校级期中）如图， 是等边三角形， ，点 在边 上，且 ，
是边 的中点，将线段 绕点 顺时针旋转，点 的对应点为 ，连接 ， ，当 为直角
三角形时， 或 ．
【分析】根据题意，判断出只能是 ，分两种情形，点 、 、 三点共线，且 在 、 之
间，或点 、 、 三点共线，且 在 、 之间，分别通过勾股定理求 的长即可．
【解答】解：由题意知，点 在以 为半径的圆上运动，
是等边三角形， 是边 的中点，
只能是 ，当点 在 内时， ，此时，点 、 、 三点共线，且 在 、 之间，
，
，
；
当点 在 外时， ，此时，点 、 、 三点共线，且 在 、 之间，
此时， ，
，
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理等知识，判断出 是
解题的关键．
9．（2024春•宝安区期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边 内有一点 ，若点 到顶点 、 、 的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，我们可以将 绕顶点 旋转到 处，此时 ，这样就可以利用旋转
变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②， 中， ， ， 、 为 上的点且 ，求证：
；
（3）能力提升如图③，在 中， ， ， ，点 为 内一点，连接 ， ，
，且 ，求 的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以
及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把 绕点 逆时针旋转 得到 ，根据旋转的性质可得 ， ，
， ， ，再求出 ，从而得到 ，然后利
用“边角边”证明 和△ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再利用勾股定理列
式即可得证．
（3）将 绕点 顺时针旋转 至△ 处，连接 ，根据直角三角形 角所对的直角边等于
斜边的一半求出 ，即 的长，再根据旋转的性质求出 是等边三角形，根据等边三角形
的三条边都相等可得 ，等边三角形三个角都是 求出 ，然后求出 、 、
、 四点共线，再利用勾股定理列式求出 ，从而得到 ．
【解答】解：（1） ，
、 、 ，
由题意知旋转角 ，
为等边三角形，
， ，
易证△ 为直角三角形，且 ，
；
故答案为： ；
（2）如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质得， ， ， ， ， ，
，
，
，
在 和△ 中，
△ ，
，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，即 ．
（3）如图3，将 绕点 顺时针旋转 至△ 处，连接 ，
在 中， ， ， ，
，
，
绕点 顺时针方向旋转 ，
△ 如图所示；
，
， ， ，
，
绕点 顺时针方向旋转 ，得到△ ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
、 、 、 四点共线，
在 △ 中， ，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
10．（2023秋•文昌期中）如图，点 、 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，把
顺时针旋转一定角度后得到 ．
（1）填空： 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求正方形 的边长．
【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可；
（2）先根据旋转的性质可得 ， ，再根据正方形的性质、角的和差可得
，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形 的边长为 ，从而可得 ， ，再根据旋转的性质可得
，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在 中，利
用勾股定理即可得．
【解答】（1）解：在正方形 中， ， ，
又 顺时针旋转一定角度后得到 ，
绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到 ，
故答案为： ，90；
（2）证明：由旋转的性质得： ， ，
四边形 是正方形，
，即 ，
，即 ，
，
，
在 和 中，
，
；
（3）解：设正方形 的边长为 ，则 ，， ，
， ，
由旋转的性质得： ，
，
由（2）已证： ，
，
又 四边形 是正方形，
，
则在 中， ，
即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
故正方形 的边长为6．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟
练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
11．（2023秋•集美区校级期中）在△ 中， ， 于点 ， 是线
段 上的动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，求证： 是 的中点；
（2）如图2，若在线段 上存在点 （不与点 ， 重合）满足 ，连接 ， ，直接写
出 的大小，并证明．
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出 ，
可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到 使 ，连接 ， ，可得 是△ 的中位线，然后求出 ，
设 ， ，求出 ，证明△ ，得到 ，再根据等腰
三角形三线合一证明 即可．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
，
，
，，
，即 是 的中点；
（2） ，
证明：如图，延长 到 使 ，连接 ， ，
，
是△ 的中位线，
， ，
由旋转的性质得： ， ，
，
，
，△ 是等腰三角形，
，
设 ， ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
，即 ，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及
全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
12．（2023秋•香坊区校级期中）已知：直线 平行直线 ，点 、点 在直线 上，点 、点在直线 上， ，直线 交直线 于点 ．
（1）如图，求证： ．
（2）如图，以点 为圆心顺时针旋转直线 交直线 于点 ，以点 为圆心顺时针旋转直线 交
直线 于点 ， ，当 时，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，如图，直线 交直线 于点 ，直线 交直线 于点 ， 的平分
线所在直线与 的平分线所在直线交于点 ，若 ，当点 在线段 上移动时，求
的度数．
【分析】（1）过点 作 ，得到 ，根据平行线的性质，结合 ，即
可得出结论；
（2） ，得到 ， ，推出 ，
， 得 到 ， 推 出 ， 设 ，
， 推 出 ，
，根据 ，求解即可；
（3）分点 在直线 的上方和下方，两种情况进行讨论求解．
【解答】（1）证明：过点 作 ，，
，
， ，
，
，
，
，
；
（2） ，
， ，
由（1）知： ，
又 ，
，
，
，
，
设： ， ，则： ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①当点 在 下方时，如图：
，
，
，， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
过点 作 ，则： ，
， ，
；
②当点 在 上方时，如图：
同理可得： ， ，
过点 作 ，则： ，
， ，
，
；
综上： 或 ．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构
造平行线是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题．
13．（2023秋•东莞市校级期中）将线段 绕点 逆时针旋转角度 得到线段 ，连接
得 ，又将线段 绕点 逆时针旋转 得线段 （如图① ．
（1）求 的大小（结果用含 的式子表示）；
（2）又将线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，连接 （如图② 求 ；
（3）连接 、 ，试探究当 为何值时， ．【分析】（1）由于线段 绕点 逆时针旋转角度 得到线段 ，根据旋转的性质得
， ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 ，
再由线段 绕点 逆时针旋转 得线段 ，根据旋转的性质得 ，然后利用
进行计算；
（2）由线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，根据旋转的性质得 ， ，则
， ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到 ，
然后利用 计算得到 ；
（3）由线段 绕点 逆时针旋转 得线段 ，根据旋转的性质得 ， ，则可判断
为等腰直角三角形，则 ， ，
所以 ，加上 ，于是 为等腰直角三角形，则 ，所
以 ，然后利用“ ”证明 ，得到 ，所以 ．
【解答】解：（1） 线段 绕点 逆时针旋转角度 得到线段 ，
， ，
，
，
线段 绕点 逆时针旋转 得线段 ，
，
；
（2） 线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，
， ，
， ，
，；
（3）如图②，
线段 绕点 逆时针旋转 得线段 ，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
即 ，
当 为 时， ．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．
14．（2023秋•天河区校级期中）已知正方形 ， 为平面内任意一点，连接 ，将线段 绕点
顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
（1）如图，当点 在正方形 内部时，补全图形，判断 与 的关系，并写出证明过程；
（2）当点 ， ， 在一条直线上时，若 ， ，求 的长．【分析】（1）根据题意补全图形，先判断出 ，进而得出△ △ ，即可得出
，最后判断出 即可得出结论；
（2）分两种情况，当点 在线段 的延长线上时和当点 在线段 上时，构造直角三角形利用勾股定
理即可得出结论．
【解答】（1）解： ， ，理由如下：
依题意补全图形，如图①，
延长 分别交 ， 于点 ， ，
在正方形 中， ， ，
绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
，
又 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
，
．（2）解：当点 在线段 的延长线上时，如图②所示，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
是正方形 的对角线，
，
， ，
，
，
在 △ 中，由勾股定理，得 ，
由（1），同理可得△ △ ，
，
当点 在线段 上时，如图③所示，
过点 作 于点 ，
是正方形 的对角线，
，
， ，
，
，
在 △ 中，由勾股定理，得 ，
由（1）同理可得△ △ ，
，的长为 或 ．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，关键是判断出△
△ 和构造直角三角形．
15．（2023秋•番禺区校级期中）如图，在△ 中， ， ，点 为△ 内
一点， ，连接 ．
（1）将△ 绕点 逆时针方向旋转 ，画出旋转之后的△ ．
（2）连接 交 于点 ．
①若点 、 、 三点共线，求 的度数．
②若 ，求 的长．
【分析】（1）过点 作 的垂线，在垂线上截取 ，连接 ，则得到所求△ ；
（2）①由旋转得到可得 ，由 得到 ，从而根据等量代换可
得 ，即 ．
②过点 作 于点 ，易证△ 是等腰直角三角形，可得 ，因此
，在 △ 中，根据勾股定理可求得 ．在 △ 中，由于 ，因此
，根据勾股定理即可求得 ，故 ．
【解答】解：（1）如图，△ 为所求．
（2）① △ 是由△ 旋转得到，
，
，
，
，
．②过点 作 于点 ，
由旋转可得 ， ，
△ 是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 △ 中， ，即 ，
，
， ， ，
，
在 △ 中， ，
又
，
，
．
【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质， 正确进行计算是解题关键．
16．（2023秋•集美区校级期中）如图1，正方形 与正方形 的边 、 在一条直
线上，正方形 以点 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 ．在旋转过程中，两个正方形只有点
重合，其它顶点均不重合，连接 、 ．（1）当正方形 旋转至如图2所示的位置时，求证： ；
（2）如图3，．如果 ， ， ，求点 到 的距离
【分析】（1）由旋转的性质得到 ，由正方形的性质得到 ， ，然后依据
可证明 ，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接 、 ，延长 交 与 ．当 时，可证明 为等腰直角三角形，然后可求得
和 的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到 ，最后在 中，利用面积法可
求得点 到 的距离．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可知： ，由正方形的性质可知： ， ．
在 和 中，
，
．
．
（2）解：连接 、 ，延长 交 与 ．
当 时，则 ．
．
．
又 ，．
又 ， ，
为等腰直角三角形．
．
．
．
设点 到 的距离为 ．
，
即 ，
解得 ．
点 到 的距离为 ．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、矩形的性质，面积
法的应用是解题的关键．
17．（2023秋•芜湖期中）点 、 分别是等边三角形 的边 和 上的点，且 ，连接
．
（1）如图1，若 ，将 绕着 点顺时针旋转 ，得到 ，连接 和 ．求证：①
为等边三角形；② ．
（2）如图2，若 ，设 为 的中点，连接 ， ，求 ．
【分析】（1）①根据旋转的性质，得到 ， ，进而得证；
②过 作 ，证明 为等边三角形，推出 ，证明 ，得到
，进而得到 ，即可得出结论；（2）延长 至 ，使得 ，连接 ， 和 ，证明 ，推出
为等边三角形，得到 ，求解即可．
【解答】（1）证明：① 绕着 点顺时针旋转 ，
， ，
为等边三角形；
② 为等边三角形，
， ，
如图1，过 作 ，
则 ，
为等边三角形，
，
．
为等边三角形，
， ，
，
又 ，
，
，
，即 ，
；
（2）解：延长 至 ，使得 ，连接 ， 和 ，如图2，是 的中点，
，
又 ，
，
， ，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
过点 作 ，则： ，
，
．
【点评】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是
掌握等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形．
18．（2023春•宁明县期中）（1）操作发现：
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上．现将 绕
点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，连接 ，如图所示则
；
（2）解决问题：
如图2，在等边 内有一点 ，且 ，如果将 绕点 逆时针旋转 得出
，求 的度数和 的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到 ， ，则可判断 为等边三角形，从而得到
；
（2）根据旋转的性质得到 ， ， ， △ ，则 为等
边三角形，所以 ， ，再利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，
，然后计算出 ，从而得到 的度数．
【解答】解：（1） 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，
， ，
为等边三角形，
；
故答案为： ；
（2） 为等边三角形，
， ，
绕点 逆时针旋转 得出 ，
， ， ， △ ，
为等边三角形，
， ，
在 中， ， ， ，
，
为直角三角形， ，
，
△ ，
．
答： 的度数为 ， 的长为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和勾股定理及其
逆定理．
19．（2023秋•连城县期中）在正方形 中，点 在射线 上（不与点 、 重合），连接 ，
，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．（1）如图1，点 在 边上．若 ， ，求 的长；
（2）如图2，点 在 边的延长线上，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系．
【分析】（1）过点 作射线 的垂线交 于点 ，先证明 ，可得 、
，根据勾股定理即可解答．
（2）过点 作 ，交 于 ，先证明 ，可知 和 都是等腰直角
三角形，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）过点 作射线 的垂线交 于点 ，
绕点 逆时针旋转 得到 ，
、 ，
，
，
，
又 四边形 是正方形，
，
，
、 ，
，
；
（2） ．理由如下：
如图2，过点 作 ，交 于 ，四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质、三角形内角和定理、正方形的性质、勾股定理及旋转的性
质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
20．（2023秋•长葛市期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角
板 ， ， ， ， ，保持三角板 不动，将三角板
绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，旋转时间为 秒，当 与射线 重合时停止旋转．
（1）如图2，当 为 的角平分线时，求此时 的值；
（2）当 旋转至 的内部时，求 与 的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板 的其中一边平行于三角板 的某一边时，求此时 等于 或
或 或 （直接写出答案即可）．【分析】（1）先计算 的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得 的值；
（2）分别表示 与 的度数，相减可得数量关系；
（3）分四种情况讨论： 分别和 三边平行，还有 ，计算旋转角并根据速度列方程可得
结论．
【解答】解：（1）如图2， ， ，
，
平分 ，
，
，
答：此时 的值是 ；
（2）当 旋转至 的内部时，如图3， 与 的数量关系是： ；
理由是：由旋转得： ，
， ，
；（3）分四种情况：
①当 时，如图4， ，
；
②当 时，如图5，则 ，
，
；
③当 时，如图6，则 ，
，
；
④当 时，如图7，
，
，
；综上， 的值是 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或
【点评】本题是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度
数是多少和各角之间的关系，该类问题就简单多了．
21．（2023秋•临河区校级期中）如图①，在正方形 内作 ， 交 于点 ， 交
于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．如图②，将△ 绕点 顺时针旋转 得到
△ ．
（1）求证：△ △ ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）由旋转的性质得到 ， ，由正方形的性质和已知条件推出
，由此可根据 证明出结论；
（2）先证出 ， ，设正方形的边长为 ，再用 表示出 ， ，在 △ 中，
由勾股定理列方程，解出 即可解决问题．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可知： ， ，
四边形 为正方形，
，
又 ，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ；
（2）解： △ △ ， ， ，
，
， ，
，设正方形的边长为 ，
则 ， ，
在 △ 中，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ， （舍去），
，
．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的性
质是解题的关键．
22．（2023秋•武安市校级期中）如图，有一副直角三角板如图 1放置（其中 ， ， ，
与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
（1）在图1中， ；
（2）如图2，若三角板 保持不动，三角板 绕点 逆时针旋转，转速为 秒，转动一周三角板
就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有 成立；
（3）如图3，在图1基础上，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同
时三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，当 转到与 重合时，两三角
板都停止转动．在旋转过程中，当 时，求旋转的时间是多少？
【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论；如图2，
根据平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和得到 ，求得 ，
于是得到结论；
（ 3 ） 设 旋 转 的 时 间 为 秒 ， 由 题 知 ， ， ， 根 据 周 角 的 定 义 得 到
，列方程即
可得到结论．
【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为： ；
（2）如图1，此时， 成立，， ，
，
，
，
，
转速为 秒，
旋转时间为3秒；
如图2， ，
， ，
，
，
，
，
三角板 绕点 逆时针旋转的角度为 ，
转速为 秒，
旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时， 成立；
（3）设旋转的时间为 秒，由题知， ， ，
，
，
当 ，即 ，
解得： ，
当 ，旋转的时间是25秒．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
23．（2023秋•高要区期中）如图，四边形 是边长为1的正方形，点 ， 分别在边 和 上，
是由 逆时针旋转得到的图形．
（Ⅰ）旋转中心是点 ．
（Ⅱ）旋转角是 度， 度．
（Ⅲ）若 ，求证 ，并求此时 的周长．
【分析】（Ⅰ）根据旋转的定义可得旋转中心是点 ；
（Ⅱ）根据旋转的定义以及正方形的性质可得旋转角是90度， 度；
（Ⅲ）利用 证明 ，得出 ，进而求出 的周长．
【解答】解：（Ⅰ） 是由 逆时针旋转得到的图形，
旋转中心是点 ．
故答案为 ；
（Ⅱ） 是由 逆时针旋转得到的图形，
旋转角是90度， 度．
故答案为90，90；
（Ⅲ） ， ，
．
是由 逆时针旋转得到的图形，
，
， ．
在 与 中，，
，
，
的周长
．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识．
24．（2023春•济阳区期中）如图， 和 均为等边三角形，将 绕点 旋转 在直
线 的右侧）．
（1）求证： ；
（2）若点 ， ， 在同一条直线上，
①求 的度数；
②点 是 的中点，求证： ．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出 ， ， ，再证出
，由 即可证明 ．
（2）①由等边三角形的性质得出 ，由全等三角形的性质得出
，再由平角定义即可得出结果；
②由等边三角形的性质证出 是 的垂直平分线，即可得出结论．
【解答】（1）证明： 和 是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，在 和 中， ，
；
（2）①解： 为等边三角形，
，
，
，
；
②证明： 点 是 的中点，
，
是等边三角形，
，
为等边三角形，
，
是 的垂直平分线，
．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形
的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．（2023秋•红旗区校级期中）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分别是斜边
， 的中点， ， ．
（1）将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
（2）将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ，求 的长．
【分析】（1）以 为圆心， 长为半径画圆，连接 交 于 ，延长 交圆于 ，由等腰直角
三角形的性质，推出 平分 ， ， 是 中点， ，即可求出 、 距离的最小值和最大值；
（2）连接 ， ，作 交 延长线于 ，由等腰直角三角形的性质推出 ，
， 由 旋 转 的 性 质 得 到 ， 由 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到
， ，由勾股定理即可求出 ．
【解答】解：（1）以 为圆心， 长为半径画圆，连接 交 于 ，延长 交圆于 ，
是等腰直角三角形， 是 中点，
平分 ， ，
是等腰直角三角形，
是 中点，
，
、 距 离 的 最 小 值 是 ， 、 距 离 的 最 大 值 是
．
（2）连接 ， ，作 交 延长线于 ，
是等腰直角三角形， 是 中点，
，
同理： ，
绕顶点 逆时针旋转 ，
，
，
，
，
，
．【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以 为圆心， 的长为半径作辅助
圆；通过作辅助线构造直角三角形．
26．（2023秋•召陵区期中）（1）如图1， 是等边 内一点，连接 、 、 ，且 ，
， ，将 绕点 顺时针旋转后得到 ，连接 ．
求：①旋转角的度数 ；
②线段 的长 ；
③求 的度数．
（2）如图2所示， 是等腰直角 内一点，连接 、 、 ，将 绕点 顺时
针旋转后得到 ，连接 ．当 、 、 满足什么条件时， ？请给出证明．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得 ， ，再根据旋转的性质得
，于是可确定旋转角的度数为 ；
②由旋转的性质得 ，加上 ，则可判断 为等边三角形，所以 ；
③由 为等边三角形得到 ，再利用旋转的性质得 ，然后根据勾股定理的逆定
理可证明 为直角三角形， ，所以 ；
（2）根据旋转的性质得 ， ， ，则可判断 为等腰直角三角形，
则 ，然后根据勾股定理的逆定理，当 时， 为直角三角形，
．
【解答】解：（1）① 为等边三角形，
， ，绕点 顺时针旋转后得到 ，
，
旋转角的度数为 ；
② 绕点 顺时针旋转后得到 ，
，
而 ，
为等边三角形；
；
③ 为等边三角形，
，
绕点 顺时针旋转后得到 ，
，
在 中， ， ， ，
，
，
为直角三角形， ，
；
（2） 时， ．理由如下：
绕点 顺时针旋转后得到 ，
， ， ，
为等腰直角三角形，
，
当 时， 为直角三角形， ，
，
当 、 、 满足 时， ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．27．（2023秋•西湖区校级期中）在△ 中， ， ，将△ 绕点 顺时针旋
转角 得△ ， 交 于点 ， 分别交 、 于 、 两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 与 有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当 时，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【分析】（1）由 得到 ，再根据旋转的性质得 ， ，
，则可证明△ △ ，于是得到 ；
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 ， 利 用 旋 转 的 性 质 得 ，
，则利用平行线的判定方法得到 ， ，于是可判断四边形
是平行四边形，然后加上 可判断四边形 是菱形．
【解答】解：（1） ．理由如下：
，
，
△ 绕点 顺时针旋转角 得△ ，
， ， ，
在△ 和△ 中
，
△ △ ，
（2）四边形 是菱形．理由如下：
， ，
，
，
，
， ，
， ，四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 是菱形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．
28．（2023秋•临河区校级期中）已知：如图，在 中， ，若将 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 、 ．
（1） 与 的关系是 平行且等于 ；
（2）若 的面积为 ， ；
（3）当 为多少度时，四边形 为矩形？说明理由．
【分析】（1）由 绕点 顺时针旋转 可知： ， ，四边形 为平行四边形，
， ；
（ 2 ） 由 于 是 的 边 上 中 线 ， ， 同 理 ，
；
（3）要判断四边形 为矩形，从对角线来看，要求 ，又 与 互相平分，只需要
，而 ，故 为等边三角形， ．
【解答】解：（1） 平行且等于 ；
（2）由（1）得四边形 为平行四边形，
， ，
根据等底同高得到 ，
；
（3）当 时，四边形 为矩形．
理由是： ， ，
是等边三角形，， ，
．
又 ， ，
，
，同理可证其余三个角也为直角．
四边形 为矩形．
【点评】本题考查旋转的性质 旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改
变．
29．（2023秋•东丽区校级期中）如图，正方形 的边长为6， ， 分别是 ， 边上的点，且
，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证： ．
（2）当 时，求 的长．
【分析】（1）由旋转可得 ， 为直角，可得出 ，由 ，
得到 为 ，可得出 ，再由 ，利用 可得出三角形 与三角形
全等，由全等三角形的对应边相等可得出 ；
（2）由第一问的全等得到 ，正方形的边长为6，用 求出 的长，再由 求
出 的长，设 ，可得出 ，在直角三角形 中，利用
勾股定理列出关于 的方程，求出方程的解得到 的值，即为 的长．
【解答】（1）证明： 逆时针旋转 得到 ，
，
、 、 三点共线，
， ，
，，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：设 ，
，且 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ，
则 ．
【点评】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及
方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
30．（2023 秋•滨海新区校级期中）如图，在正方形 中， 、 是对角线 上两点，且
，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连接 ，求证：
（1） 是 的平分线；
（2） ．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出 ，进而得出 ，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1） 将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，
， ， ，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
是 的平分线；
（2）由（1）得 ，
，
由旋转的性质，得 ，
，
则 ，
在 中，
，
又 ，
．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出
是解题关键．
31．（2023秋•东莞市校级期中）如图，将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形 ，点 的对应点 恰好落在 的延长线上，边 交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 、 ，根据矩形的性质得到 ，即 ，根据旋转的性质即可得
到结论；
（2）根据矩形的性质得到 ， ，根据旋转的性质得到 ， ，
证得 ，根据全等三角形的性质得到 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程
即可得到结论．
【解答】解：（1）连接 、 ，
四边形 为矩形，
，即 ，
将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形 ，
，
；
（2） 四边形 为矩形，
， ，
，
，
将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形 ，
，
，
在△ 与△ 中，
，
△ △ ，
，
设 ，则 ，
在 △ 中， ，由勾股定理，得 ，
解得 ，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解
题的关键．
32．（2023秋•余干县期中）如图，菱形 ， ， 为菱形内一点，连接 、 ．再将
绕着点 逆时针旋转 到 ，连接 、 ，且 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的大小．
【分析】（1）先根据菱形的性质得出 ， ，再由图形旋转的性质得出 ，根据
定理得出 ，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先求出 的度数，再由等腰三角形的性质求出 的度数，再由 即可
得出结论．
【解答】解：（1） 四边形 是菱形， ，
， ．
又 绕着点 逆时针旋转 到 ，
，
，
，
在 与 中，
，，
；
（2） ， ，
．
又 ， ，
，
．
【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
33．（2023 秋•广阳区校级期中）如图，点 是等边 内一点， ， ，将
绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质可知 ， ，可判断： 是等边三角形；
（2）由（1）可知 ，当 时， ，可判断 为直角三角形．
【解答】（1）证明： 将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
， ，
是等边三角形；
（2）解： 为直角三角形．
理由： 是等边三角形．
，
将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
，
，
，于是 是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边
相等，对应角相等解题．
34．（2023秋•兰陵县期中）如图，将等腰 绕顶点 逆时针方向旋转 度到△ 的位置， 与
相交于点 ， 与 、 分别交于点 、 ．
（1）求证： △ ．
（2）当 度时，判定四边形 的形状并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ， ，由旋转的性质得到 ，
， ，根据全等三角形的判定定理得到 △ ；
（2）由旋转的性质得到 ，根据平角的定义得到 ，根据四边形的内角和得到
，证得四边形 是平行四边形，由于 ，即可得
到四边形 是菱形．
【解答】（1）证明： 是等腰三角形，
， ，
将等腰 绕顶点 逆时针方向旋转 度到△ 的位置，
， ， ，
在 与△ 中，
，
△ ；（2）解：四边形 是菱形，
将等腰 绕顶点 逆时针方向旋转 度到△ 的位置，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题
的关键．
35．（2023秋•惠州校级期中）如图， 是由 在平面内绕点 旋转 而得，且 ，
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ， ，然后根据垂直可得出
，继而可根据 证明 ；
（2）根据（1）以及旋转的性质可得， ，继而得出四条棱相等，证得四边形
为菱形．
【解答】（1）证明： 是由 在平面内绕点 旋转 而得，
， ， ，
，
，
，在 和 中，
，
；
（2）四边形 为菱形；
由（1）得 ，
是由 旋转而得，
，
， ，
又 ，
，
四边形 为菱形．
【点评】本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及
知识点较多，难度较大．
36．（2023秋•新罗区校级期中）如图， 是等边 内的一点，若将 绕点 旋转到 ，判
断 的形状？
【分析】 、 为旋转的对应点，旋转中心为 点，故 ，又旋转角为 ，可证 为等边三
角形．
【解答】解：等边三角形，理由如下：
连接 ，根据旋转的性质可知，
旋转角 ， ，
为等边三角形，
【点评】本题考查了旋转的性质，关键是根据等边三角形的判断方法解答．
37．（2023秋•椒江区期中）如图，点 是等边 内一点， ， ，将 绕点顺时针方向旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）当 时，求证： 为直角三角形；
（2）求 的度数；
（3）请你探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
【分析】（1）由旋转的性质可以证明 ，得出 ，由等边三角形的性质
得出 ，求出 即可；
（2）先根据周角的定义表示 的度数，由三角形全等表示 的度数，最后由三角形内角和可得
结论；
（3）分三种情况：① 时；② 时；③ 时；由等腰三角形的性质和三角形内角和
定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
即 是直角三角形；
（2）解： 是等边三角形，
，
， ，
，
由（1）知： ，
，
，
中， ；
（3）解：分三种情况：①当 时， ．
， ，
，
；
②当 时， ．
， ，
，
，
；
③当 时， ．
，
，
综上所述：当 的度数为 或 或 时， 是等腰三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，
等腰三角形的判定及性质的运用是解题的关键．
38．（2023秋•右玉县期中）教材中有这样一道题：如图1，四边形 是正方形， 是 上的任意一
点， 于点 ， ，且交 于点 ．求证： ．
小明通过证明 解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答．
（1）若图1中的点 为 延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时 ， ， 之间的
数量关系，并证明你的结论．
（2）将图1中的 绕点 逆时针旋转，使得 与 重合，记此时点 的对应点为点 ，如图3所
示，若正方形的边长为3，求 的长度．
【分析】由四边形 为正方形，可得出 为 ， ，进而得到 与 互 余，
又 垂直于 ，得到 与 互 余，根据同角的余角相等可得出 ，利用 可
得出三角形 与 三角形 全等，得出 ，由 ，等量代换可得证；
（1）利用 证明 ，推出 ，即可得到 ；（2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形 是矩形，根据矩形的性质即可求解．
【解答】证明：如图， 绕点 逆时针旋转，使得 与 重合，记此时点 的对应点为点 ，连
接 、 ，
正方形 ，
， ，
，
，
，
，
又 ，
在 和 中，
，
；
，
，
；
解：（1） ．证明如下：
正方形 ，
， ．
，
．
．
．
又 ，
．在 和 中，
， ， ．
．
．
，
．
（2）如图，
由题设得 ，
，
由旋转的性质知： ， ，
，
．
四边形 为平行四边形．
又 ，
四边形 是矩形．
．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟
练掌握判定与性质是解本题的关键．
39．（2023秋•集美区校级期中）在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段
， 与 延长线相交于点 ，过 作 交 于点 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）当 时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据 ，得到 ，由 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，得到
， ，由正方形性质得到 ，得到 ；
（2）按照题意补全图形即可，在 上取 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ，
，利用 、 、 证明 、 、 、 共圆，从而可得
， ，再证明 ，即可得到 ．
【解答】解：（1）证明： 边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
正方形 ，
，
，
，
，
，
，
正方形 ，
，
，
；
（2）补全图2如下：
线段 ， ， 之间的数量关系为： ，理由如下：
在 上取 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ， ，如图：正方形 ，
， ，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
由（1）知 ，
且 ，
，
，
而 ， ，
，
，
、 、 、 共圆，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为 ．
40．（2023秋•荔湾区校级期中）四边形 是正方形， 、 分别是 和 的延长线上的点，且
，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）填空： 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若 ， ，求 的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得 ， ，然后利用“ ”易证得
；
（2）由于 得 ，则 ，即 ，根据旋转的定义可
得到 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到；
（3）先利用勾股定理可计算出 ，再根据 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转
90度得到 ， ，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
而 是 的延长线上的点，
，
在 和 中
，
；
（2）解： ，
，
而 ，
，即 ，
可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到；
故答案为 、90；（3）解： ，
，
在 中， ， ，
，
可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到，
， ，
的面积 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
41．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转，若点 ，
在直线 的异侧， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ．
（1）延长 交 于点 （如图 ．
①求证： ；
②求证： ；
（2）若直线 绕点 旋转到图3的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 还
成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线 绕点 旋转到与 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 的形状及此
时 还成立吗？不必说明理由．
【分析】（1）①根据平行线的性质证得 再根据 ， 即可得到；
②由 ，得到 则 ，而在 中， ，即可得到 ；
（2）证明方法与②相同；
（3）四边形 是矩形，只要证明三个角是直角即可；【解答】（1）证明：①如图
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
，
又 为 边中点，
，
又 ，
，
② ，
，
在 中， ，
．
（2）解：成立，如图3．
证明：延长 与 的延长线相交于点 ，
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
又 为 中点，
，
又 ，
在 和 中，
，
，
，
，则 中，
．
（3）解：如图4，四边形 是矩形，
理由： ， ， ，
， ，
，
四边形 是矩形．
， ， ，
．
【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
42．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角 中， ，点 在 上，将 绕
顶点 沿顺时针方向旋转 后得到 ．
（1）求 的度数；
（2）当 ， 时，求 的大小；
（3）当点 在线段 上运动时 不与 重合），请写出一个反映 ， ， 之间关系的等式，
并加以证明．【分析】（1）由于 ，故有 ．
（2）由等腰直角三角形的性质知， ，根据已知条件，可求得 ， 的值，再由勾股定理求
得 的值．
（3）由于 也是等腰直角三角形，故有 ．
【解答】解：（1）由题意知， ，
， ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形， 是直角三角形．
（2）当 ， 时，有 ， ， ，
．
（3）存在 ，
由于 是等腰直角三角形，
，
，
，
故有 ．
【点评】本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．
二．旋转对称图形
43．（2023 秋•临颍县期中）如图，已知 和 中， ， ， ，
， ；
（1）请说明 的理由；（2） 可以经过图形的变换得到 ，请你描述这个变换；
（3）求 的度数．
【分析】（1）先利用已知条件 ， ， ，利用 可证 ，那么就
有 ， ，那么 ，即有 ；
（2）通过观察可知 绕点 顺时针旋转 ，可以得到 ；
（3）由（1）知 ， ，而 是 的外角，根据三角形外角的性
质可求 ．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
， ，
，
；
（2）通过观察可知 绕点 顺时针旋转 ，可以得到 ；
（3）由（1）知 ， ，
．
【点评】本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．
三．中心对称
44．（2023秋•西安校级期中）如图，在菱形 中， ， ，点 为 边上一点，且
，在 边上存在一点 ， 边上存在一点 ，线段 平分菱形 的面积，则 周长
的最小值为 ．
【分析】作 关于 的对称点 ，过 作 交 延长线于 ，交 延长线于 ，连接 交
于 ，过 作 于 ，由 ， ，得 ， ，而 ，有， 可 得 ， ， ， 在 中 ， ，
，故 ，根据线段 平分菱形 的面积和菱形的对称
性 知 ， 可 证 ， 即 可 得 ， 又
，知当 ， ， 共线时， ，即 周长的最小，从而
可得 周长的最小值为 ．
【解答】解：作 关于 的对称点 ，过 作 交 延长线于 ，交 延长线于 ，连接
交 于 ，过 作 于 ，如图：
， ，
， ，
，
，
， ，
， ， ，
，
在 中，
， ，
，
线段 平分菱形 的面积，
过对称中心，
由菱形的对称性知 ，
，
，
， ，
四边形 是矩形， ，
，四边形 是矩形，
，
，
，
当 ， ， 共线时， ，即 周长的最小，
此时 周长的最小值即为 ，
周长的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了轴对称 最短路线问题，矩形的性质，中心对称的性质，勾股定理的应用，确定
周长取值最小时， ， ， 共线是解题的关键．
四．中心对称图形
45．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在 中若 ，
，求 边上的中线 的取值范围．
解决方法：延长 到 ．使得 ．再连接 （或将 绕点 逆时针旋转 得到 ．
把 ， ， 集中在 中，利用三角形的三边关系可得 ，则 ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在 中， 是 边上的中点， ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，探索线段 ， ， 之间的等量关系，并加以证明．
【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把 和 转移到一个三角形中求解；
（2）由（1）中的全等得到 ． ， ，可得三边之间存在勾股
定理关系．
【解答】（1）证明：如图，延长 到 ，使得 ，连接 、 ．
（或把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，，
．
在 中， ，即 ．
（2）解： ．证明如下：
，
，
由（1）知 ， ，
，即 ，
在 中， ，
．
【点评】本题主要考查了条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对
称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三
角形，难度适中．
五．关于原点对称的点的坐标
46．（2022秋•盐池县校级期中）对于平面直角坐标系中任一点 ，规定三种变换如下：
① ， ， ．如： ， ， ；
② ， ， ．如： ， ， ；
③ ， ， ．如： ， ， ；例如： ， ， ，
规定坐标的部分规则与运算如下：
①若 ，且 ，则 ， ， ；反之若 ， ， ，则 ，且 ．
② ， ， ， ；
， ， ， ．
例如： ， ， ， ， ， ， ， ．
请回答下列问题：
（1）化简： （填写坐标）；
（2）化简： ， ， （填写坐标）；（3）若 ， ， ， ， ，且 为整数，点 在第
四象限，求满足条件的 的所有可能取值．
【分析】根据新定义进行化简即可．
【解答】解：（1） ， ， ， ；
故答案为： ；
（2） ， ，
， ，
， ，
；
故答案为： ；
（3） ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ，
， ， 时， 且 ，
， ，
， ，
坐标 在第四象限，
， ，
， ，
，
是整数，
， ，0，1．
【点评】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力．也考查了阅读理解能力．
六．坐标与图形变化-旋转
47．（2023秋•中山市校级期中）如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正方
形 组成的图形绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点 的坐标是
， ．【分析】先利用周期性确定所求坐标就是第 1次旋转结束时，点 的坐标，即图中的 ，过 作 轴的
垂线，求 ， 即可，转移这两条线段，构造 的角即可解决问题．
【解答】解： 每次旋转 ，
周期为 ，
，
第2023次旋转结束时，点 的坐标就是第1次旋转结束时，点 的坐标，即图中的 ．作射线 使
其与 轴的夹角为 ，交 于 ，过 作 ，垂足为 ，过 作 轴，垂足为 ，则
， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
或 （舍去），
， ，
， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了带周期性的点的坐标，把 旋转 后，不好直接求，关键是构造 角，通过建立方程解决．
七．作图-旋转变换
48．（2023秋•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系 中，我们给出如下定义：将点 绕直线
上某一点 顺时针旋转 ，再关于直线 对称，得到点 ，我们称点 为点 关于点 的二次关联
点．已知点 ．
（1）若点 的坐标是 ，直接写出点 关于点 的二次关联点的坐标 ；
（2）若点 关于点 的二次关联点与点 重合，求点 的坐标（画出图形、写出结果即可）；
（3）若点 关于点 的二次关联点在直线 上，求此时点 的二次关联点的坐标及 点坐标．
【分析】（1）根据题意画出图形，过点 作 轴于点 ，可得 ，可求出点 的坐标，
进而可得点 的坐标；
（2）分析可知，当点 在 轴上方时，不存在，则点 在 轴下方，根据题意作出图形，设出点 的纵
坐标为 ，表达点 的坐标，可得出结论；
（3）设 ，由（2）可知 ，根据题意推出 的纵坐标是 代入直线解析式得到
的横坐标，依据关于 对称距离相等列出关于 的方程解答出 的值就可计算点 和 坐标．
【解答】解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到 和 ，过点 作 轴于点 ，
，由旋转可知， ， ，
，
，
，
， ，
，
；
故答案为： ；
（2）分析可知，点 在 轴的下方，设点 的纵坐标为 ，
如图2，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴交 于点 ，
由（1）知 ，
， ，
，
由题意可知，点 与点 关于直线 对称，
， ，
解得 ，
；
（3）如图3，设点 的坐标为 ，的坐标为
和 关于 对称，
令 ，代入直线 得，
，
的坐标为 ，
和 关于直线 对称，
，
，点 的二次关联点的坐标 ， ．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，关键是理解给出
新定义，画出对应的图形．
49．（2023秋•鲅鱼圈区校级期中）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，将
△ 绕点 逆时针旋转 得到△ ，点 、 的对应点分别是点 、 ．
（1）请在图中画出△ ．
（2）请在 轴上找一个点 ，使 的值最小，并直接写出 点的坐标为 ， ．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点 和 的对应点 、 ，从而得到△ ；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点，如图，则 ，于是可得到
，根据两点之间线段最短可判断此时 最小，然后利用 可写出 点坐
标．
【解答】解：（1）如图，△ 为所作；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点，如图，
因为 ，
所以 ，
所以此时 的值最小，
因为 ，
所以 点坐标为 ， ．
故答案为 ， ．
【点评】本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．也考查了最短路径问题．
50．（2023秋•海州区校级期中）如图， 的斜边 在直线 上，将 绕点 顺时针旋转一个角 ，使得点 的对应点 落在直线 上．
（1）画出点 的对应点 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知 ， ，点 运动到点 的位置时，点 经过的路线长为 ．（结果保
留
【分析】（1）以点 为圆心， 为半径画圆，交直线 于点 ，过点 作 ，再以点 为圆心，
为半径画圆，交直线 于点 ，连接 ，则△ 即为所求；
（2）求出 的度数，再根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，点 即为所求点；
（2） ，
，
，
点 经过的路线长 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是作图 旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
