文档内容
绝密★启用前
滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中Ⅰ考试
数学
命题人：大连市第二十三中学 马晓晶 校对人：大连市第二十三中学 刘金秋
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. 设命题p:∃x₀ ∈(0,+∞),lnx₀>x₀-1,则￢p为( )
A. ∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1 B. ∃x₀∈(0, + ∞),lnx₀≤x₀﹣1
C. ∀x∈(-∞,0],lnx≤x-1 D. ∃x₀ ∈(-∞,0],lnx₀≤x₀ -1
2. 已知集合 𝐴={𝑥|log 𝑥<1},𝐵= 𝑥|𝑦= 2𝑥−4 , 则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
2
A. (-∞,2) B. (-∞,2] C. (0,2) D. [0,2]
3．若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知幂函数 𝑓(𝑥)=(𝑚2−2𝑚−2)𝑥𝑚2+𝑚−2在(0,﹢∞)上是减函数, 则 f(m)的值为 ( )
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
9 1
5. 函数 𝑦=𝑙𝑜𝑔ₐ𝑥+𝑎ˣ⁻¹+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k且m>0, n> 0, 则 + 的最小值为
𝑚 𝑛
( )
9 5
A. 9 B. 8 C. D.
2 2
6. 已知△ABC 中,∠BAC = 120°, AC = 3AB=3,DC=2AD,在线段 BD上取点E，使得 𝐵𝐸=3𝐸𝐷,则 cos<𝐴𝐸,𝐵𝐷>=
( )
𝐴.− 14 𝐵. 14 𝐶.− 21 𝐷. 21
7 7 7 7
𝑒(𝑥+1)2, 𝑥≤0
7. 已知函数 𝑓(𝑥)= 4 , 函数 y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x₁, x₂, x₃, x₄, 则x刂x₁x₂
𝑥+ −3, 𝑥>0
𝑥
+x₃+x₄的取值范围为( )
A. (5,3+e] B. (4,4+e) C. [4, + ∞) D. (-∞,4]
𝜋
8.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且| |𝜑|< )满足以下条件：
2
①∀x∈R, 满足 𝑓(𝑥)≥𝑓 7𝜋 ;②∃x₀,使得 𝑓 𝜋 =𝑓(𝑥 )=0; 且 |𝑥 − 𝜋 | > 𝜋 , 则关于 x 的不等式 𝑓(𝑥)−𝑓 − 31𝜋
12 3 0 0 3 min 6 4
𝑓(𝑥)−𝑓 31𝜋 >0的最小正整数解为( )
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 下列结论正确的是( )
A. 若a, b为正实数, a>b, 则a³﹢b³>a²b+ab² ,
𝑎 𝑚 𝑎
B. 若a, b, m为正实数, ab>0”是 “ < ”的充分不必要条件
𝑎 𝑏
D. 不等式|x﹣m|<1成立的充分不必要条件是 1 <𝑥< 1 ,则m的取值范围是 − 14
3 2 23
10. 已知向量a,b满足|𝑎+2𝑏|=|𝑎|,|3𝑎+𝑏|=|𝑎−𝑏|, 且 |𝑎|=2 , 则（ ）
𝐴.|𝑏|=2 𝐵.𝑎+𝑏, =0 𝐶.|𝑎−2𝑏|=6 𝐷.𝑎⋅𝑏=4
11. 已知f(x)为R上的奇函数, 且当x>0时, f(x)=lgx,记g(x)=sinx+f(x)·cosx,下列结 论正确的是 ( )
A. g(x)为奇函数
B. 若g(x)的一个零点为x₀,且x₀<0,则] lg(−𝑥 )−tan𝑥 =0
0 0
C. g(x)在区间 − 𝜋 𝜋 的零点个数为3个
2
D. 若g(x)大于1的零点从小到大依次为x₁,x₂,…, 则70时,f(x)<1,③f(1)=-2,则以下说法中正确的是
( )
A. f(x)的图象关于(0, 1)对称
B. f(4x) = 4f(x)﹣4
C. f(x)在[-3,3]上的最大值是 10
高三数学试卷 第1页 共2页
学科网（北京）股份有限公司D. 不等式f(3x²) ﹣2f(x) >f(3x)+,4的解集为 {𝑥| 2 <𝑥<1}
3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
, ,
13. 已知 𝑓 𝑥 =𝑥−1, 则f(x)= .
𝑥 1
14. 已知 𝑎=(sin𝛼cos𝛼),𝛼∈ 𝜋 𝜋 ,𝑏=(21),若𝑎⊥𝑏,则: sin 𝛼− 𝜋 =
2 4 ¯
15. 函数 𝑓(𝑥)=(𝑥+1)𝑒ˣ−𝑎(𝑎∈𝑅), 若函数f(x)恰有两个零点， 则a的取值范围是 .
16.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法， 具
,
体步骤如下： 设r是函数y=f(x)的一个零点， 任意选取x₀作为r的初始近似值，以点(x₀,f(x₀))为切点作曲线y=f(x)
的切线l₁,设l₁与x轴交点的横坐标为x₁,并称x₁为r的1次近似值；以点(x₁,f(x₁))为切点作曲线y=f(x)的切线l₂，设l₂
与x轴交点的横坐标为x₂，称x₂为r的2次近似值，以点( 𝑥 𝑓(𝑥 ) (𝑛∈𝑁∗))为切点作曲线y=f(x)的切线ln₊₁,记ln₊₁
𝑛 𝑛
3𝑥3 2𝑥
与x轴交点的横坐标为xn+1，设、f(x)=x³+2x-2(x≥0)的零点为r，取x₀=0,则r的2次近似值为 ： 设 𝑎 = 𝑛 𝑛
𝑛 2𝑥3 2
𝑛
(𝑛∈𝑁∗),数列{an}的前n项积为Tn. 若任意的；n∈N*, Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共10分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
1 1 1 1 1
17.(10分)设Sₙ是公差不为0的等差数列{aₙ}的前 n项和，已知 𝑆 与 𝑆 的等比中项为 𝑆 ,且 𝑆 与 𝑆 的等差中项
3 3 4 4 5 5 3 3 4 4
5
为 − .
4
(1)求数列{aₙ}的通项公式;
1
(2)设 𝑏 = , 求数列{bₙ}的前 n项和Tₙ.
𝑛 𝑎 ⋅𝑎
𝑛 𝑛+1
18. (12分)在△ ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知 sin𝐴+ 3cos𝐴=0.
(1)求角 A 的大小;
(2)给出以下三个条件：①a=4 3, 𝑏=4;②𝑏2−𝑎2+𝑐2+10𝑏=0;③𝑆 =15 3.若这三个条件中仅有两
△𝐴𝐵𝐶
个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：
(i)求sinB的值;
（ii）∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D，求AD 的长.
19. (12分) 已知数列{aₙ}中, a₂ = 1, 设Sn为{aₙ}前n项和, 2𝑆ₙ=𝑛𝑎ₙ.
(1) 求{aₙ}的通项公式;
(2)求数列 𝑎 𝑛 1 的前n项和Tₙ.
2𝑛
20. (12分) 已知函数 𝑓(𝑥)=2 3−4 3cos2 𝜔𝑥+ 𝜋 −4sin𝜔𝑥cos𝜔𝑥（x∈R且𝜔>0）的两个相邻的对称中心的距离
6
𝜋
为 . ,
2
(1)求f(x)在 R上的单调递增区间;
(2)将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数 g(x)，若 𝑔(𝛼)= 1 ,𝛼∈[0𝜋],求 cos 2𝛼− 𝜋 的值
2 6
21.(12分) 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥+ 2𝑎 −(𝑎−2)ln𝑥(𝑎∈𝑅),𝑔(𝑥)=(𝑏−1)𝑥− 2 −𝑥𝑒𝑥.
𝑥 𝑥
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=1时,关于 x的不等式f(x)+g(x)≤-1恒成立,求实数b的取值范围.
22. (12分)已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥− 1 𝑚𝑥2−𝑥(𝑚∈𝑅).
2
(1)若直线y=x+b与f(x)的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点x₁,x₂,且:x₁ 2.
高三数学试卷 第2页 共2页
学科网（北京）股份有限公司
