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第三讲：复数
【考点梳理】
1、复数的有关概念
（1）形如 ( )的数叫做复数，其中 分别是复数的实部和虚部．若 ，则
为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数．
(2)复数相等： ( )．
(3) 的共轭复数为 ( )．
(4)复数 ( )与复平面的点 一一对应．
(5)复数 ( )的模
注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
2、复平面及复数的几何意义
（1）.复平面
（2）复数的几何意义
①复数 ( ) 复平面内的点 .
②复数 ( ) 平面向量 .
（3）复数的模：①定义：向量 的模叫做复数 ( )的模或绝对值.
②记法：复数 i的模记为 或 ③公式：
（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于
0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示： 的共轭复数用 表示，即若 ( )，则
3、复数加法与减法的运算法则
（1）设 ， ( )是任意两个复数，则
① ；②
（2）对任意 ，有
① ；② .4、复数加减法的几何意义
如图，设复数 ， 对应向量分别为 ， ，四边形 为平行四边形，向量 与复数
对应，向量Z2Z1与复数 对应.
5、复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数的乘法法则
设 ， ( )是任意两个复数，则
.
2.复数乘法的运算律
对任意复数 ，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
6、复数除法的法则
设 ， ( ，且 )是任意两个复数，
则
7、方程的虚数根
对所有的实系数一元二次方程 ，若 ，则此方程没有实根，但有两
个虚根，且两根 ，故实系数方程的虚根成对出现．
8、常用结论
① ② ③
【典型题型讲解】
考点一：复数的相关概念
【典例例题】例1.已知 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 是虚数，则 都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
例2.已知 ，（ ， 为虚数单位），则实数 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【方法技巧与总结】
复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题
时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式训练】
1.已知复数 和 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知 ，若复数 是纯虚数，则 （ ）
A．0 B．2 C．0或 D．
3.若 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点二：复数的运算
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）下面是关于复数 （ 为虚数单位）的命题，其中
真命题为（ ）
A． B．
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
例2．（2022·广东东莞·高三期末）（多选）已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列结论正确的是
（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【方法技巧与总结】
设 ，则
（1） （2）
（3）
【变式训练】
1．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足 其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东汕头·高三期末）已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（ ）
A． B． C． D．
4.复数 （ ）
A． B． C． D．
5.已知复数 （ 为虚数单位）为实系数方程 的一根，则 （ ）
A．4 B．2 C．0 D．
6．若 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．7．若复数 的虚部小于0， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点三：复数的几何意义
【典例例题】
例1.复数满足 ，则复数 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧与总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究
复数几何意义的最重要的出发点．
【变式训练】
1．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
4．已知复数 ，则 的共轭复数 在复平面中对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四5．在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数z满足 ，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．5
4．复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．35．已知 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数z满足 ，则 （ ）．
A．5 B． C．22 D．2
7．已知复数 满足 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
8．复平面内表示复数 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
9．欧拉公式 （其中 ， 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式
建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据
欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A． 的实部为 B． 在复平面内对应的点在第一象限
C． D． 的共轭复数为
二、多选题
10．（2022·河北·高三阶段练习）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若 ，满足 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
11．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面内对应的点在第四象限 B．复数 的虚部为
C．复数 的共轭复数 D．复数 的模三、填空题
12．己知 ， 则 ___________．
13．若复数 为纯虚数，则 ___________.
14．如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，若 ，则复数 ___________.
15．设 为实数，复数 ，（其中i为虚数单位），若 为纯虚数，则 的值为
_______.
