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第二十三讲：计数原理
【考点梳理】
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从 个不同元素中取出 （ 按照一定的顺序排成一列
组合 ）个元素 合成一组
2. 排列问题的解题策略
（1）特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略；
（2）正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；
（5）不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；
3.二项式定理
．
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是C n r ；
②字母 的次数和组合数的上标相同；③ 与 的次数之和为 ．
5. 二项式系数的性质
（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和
【典型题型讲解】
考点一：排列、组合
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末） 男 女六位同学站成一排，则 位女生中有且只有两位女生相邻的不
同排法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【解析】先选 个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.
【详解】由题意，先选 个女生捆绑看做一个整体： ，然后将男生全排列再将女生插空：
，
所以不同的排法有 种.
故选：B.例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其
中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课
表安排方法共有______种.
【答案】．9
【详解】第一类：语文安排在第二节,
若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节;
若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节;
若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节;
第二类：语文安排在第三节，
若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节;
若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节;
若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节;
第三类：语文安排在第四节，
若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节;
若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节;
若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节;
所以共有9种方案.
故答案为：9.
【方法技巧与总结】
排列、组合搞清楚区别
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺
炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学
生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．
【答案】540
【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有 种不同的分法；第二步，
将三个小组分配到3所学校，有 种不同的分法．故不同的分配方法共有 种．
故答案为：5402．（2022·广东惠州·一模）现有 名学生报名参加校园文化活动的 个项目，每人须报 项且只报 项，则
恰有 名学生报同一项目的报名方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】B
【详解】根据题意首先从 名学生中选 名选报同一项目作为一个整体，
然后从 个项目中选择 个项目排列即可，故不同的报名方法种数为 .
故选：B.
3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期
一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．18种 B．12种 C．72种 D．36种
【答案】．D
【详解】解：4名教师分为3组，有 种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，
共有 种方案，所以共有36种选派方案.
故选：D.
4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有 共6项成果要汇
报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（
）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】．A
【详解】不考虑限制条件共有 种， 最先汇报共有 种，
如果 不能最先汇报，而 ､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有 .
故选：A.
5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授
拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个
方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人
脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
【答案】B
6．（2022·广东·二模）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行
社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为
（ ）
A．24 B．36 C．60 D．240
【答案】．C
【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一
个班，
如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是 种，
如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是 种，
故高一（1）班被安排到A基地的排法总数为 种，
故选：C
7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方式；为使
甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙
丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分
配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【详解】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四
个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种
不同的分配方案，
故选：C.
9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________
【答案】17
【详解】
千位为 和 时，组成的四位数都比2134大，有 个，
千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有 个，
千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个，
则组成的四位数比2134大的一共有17个.
故答案为：17.
考点二：二项式定理
【典例例题】例1．（2022·广东汕尾·高三期末）已知 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则
的展开式中的常数项为（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．60
【答案】D
【详解】由题意得 ，所以 ，
则 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以常数项为 ，
故选：D．
例2．（2022·广东深圳·高三期末） 的各项系数和为（ ）
A． B．27 C．16 D．
【答案】A
【详解】 ，各项系数和为 .
故选：A.
例3．（2022·广东揭阳·高三期末）（多选）已知二项式 的展开式
中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
【答案】．BCD
【详解】令 代入二项式可得各项的系数和为 ，即可得 正确；对于 ，设展开式的通项为 ，
当 为常数项时，则有 ，则可得 .
代入二项式，可得展开式的常数项为 ，故 错误；
对于 ，因为 ，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故 正确；
对于 ，该展开式的通项为 ，可得展开式中 的指数均为偶数.故D成立.
故选：BCD.
【方法技巧与总结】
1.在形如 的展开式中求 的系数，关键是利用通项求 ，则 ．
2.三项式 的展开式：
若令 ，便得到三项式 展开式通项公式：
，
其中 叫三项式系数．
3.二项展开式二项式系数和： ；奇数项与偶数项二项式系数和相等： ．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式： （ 是系
数），令 得系数和： ．
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末） 的展开式中常数项是_________．
【答案】15【详解】 的展开式的通项公式为
，
令 ，解得 ，
所以展开式中常数项是 .
故答案为：15.
2．（2022·广东·一模）二项式 展开式中的常数项为__________.
【答案】60
【详解】由题意可得： ，
令 ，
故常数项为 ，
故答案为：60
3．（2022·广东·珠海市第三中学二模） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东汕头·二模）二项式 展开式中，有理项共有（ ）项．
A．3 B．4 C．5 D．7
5．（2022·广东汕头·高三期末） 的展开式中 的系数为________ 用数字填写答案
【答案】20
【详解】二项式 中， ，
当 中取x时，这一项为 ，所以 ， ，
当 中取y时，这一项为 ，所以 ， ，所以展开式中 的系数为故答案为：
6．（2022·广东东莞·高三期末） 的展开式中 项的系数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【详解】当 且 ， 的展开式通项为 ，
所以， 的展开式中含 的系数为 ，
的展开式中，含 项的系数是 .
故选：B.
7．（2022·广东佛山·高三期末） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
【答案】D
【详解】 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中， 的系数为 ，
故选：D
8.（2022·广东惠州·一模）若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】．B
【详解】令 ，代入得 ，令 ，得 ，所以 .
故选：B.
9．（2022·广东广州·一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
【答案】B【详解】由 的展开式通项为 ，
所以 的展开式 项为 ，
故系数为 .
故选：B
10．（2022·广东深圳·二模）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】解：因为 ，
令 ，则 ，故A正确；
令 ，则 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ，故C错误；
对 两边对 取导得
，再令 得 ，故D正确；
故选：AD
11．（2022·广东茂名·二模）已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
【答案】BD
【详解】因为 ，所以 ，所有奇数项的二项式系数和为 ，故A错误，令 ，得所有项的系数和为 ，故B正确，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，
因为 展开式通项为 ，
当 为整数时， ，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故选：BD．
12.（2022·广东湛江·二模） 的展开式中常数项为___________.
【答案】
【详解】 展开式的通项公式为 ，
当81乘以 时，令 ，解得 ，常数项为 ；
当 乘以 时，令 ，解得 ，常数项为 ；
所以 的展开式中的常数项为
故答案为：
13.（2022·广东·普宁市华侨中学二模）(2+ )(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）
【答案】200
【详解】(2+ )(2＋x)5展开式中，含x2的项为2 + =(2 + ) ＝
200x2，所以系数为200,
故答案为200.
14．（2022·广东潮州·二模）设 ，则 ______．【答案】9
【详解】在 中，
令 得， ， ，
所以， ．
故答案为： .
【巩固练习】
一、单选题
1．6名志愿者要到 ， ， 三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名
志愿者，若要2名志愿者去 社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种 B．144种 C．150种 D．210种
【答案】D
【解析】先选出2名志愿者安排到A社区，有 种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有 种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有 种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有 种.
故选：D
2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情
的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，
若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（
）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】先分配其他3名中学生有 种方法，再分配小王和小张有 种方法，由分步计数原理可得，不同的分配方案种数有 .
故选：C.
3．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，
其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
【答案】D
【解析】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有 种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，
有 种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有 种参观方式，
综上：共有 种参观方式.
故选：D
4．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个
社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有
种方法；
甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有 种方法；
其中甲乙分配到同一社区的方法有 种，
则乙与甲分配到不同社区的方法有 种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是
故选：B
5．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名
医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1
人参加，则不同的安排方式有（ ）
A．50 B．80 C．140 D．180
【答案】B
【解析】不同的安排方式有两类办法，
有3人参加接种工作的安排方式有 种，
有2人参加接种工作的安排方式有 种，
由分类加法计数原理得不同的安排方式有： 种.
故选：B.
6．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相
邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
【答案】B
【解析】丙在正中间（4号位）；
甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲､乙的顺序有 种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有 种情况；
故不同的坐法的种数为 .
故选：B.
7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生
前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
【答案】C【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
8． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二项式定理：
观察可知 的系数为 .
故选：B.
9．在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A．-120 B．-40 C．-30 D．200
【答案】C
【解析】 ，其展开式为：
根据题意可得：
当 时，则 ， 展开式为：
∴ ，则 的项的系数为当 时，则 ， 展开式为：
∴ ，则 的项的系数为
当 时，则 ， 展开式为：
∴ ，则 的项的系数为
综上所述：含 的项的系数为
故选：C．
10． 的展开式中， 的系数等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【答案】D
【解析】 的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 项的系数为： .
故选：D
11．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
故展开式中 的系数 .
故选：B.
12．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数为（ ）
A．0 B． C．120 D．【答案】A
【解析】因为 的展开式中各项系数的和为 ，
所以令 ，得 ，解得 ，
∵ 的展开式为
则展开式中含 的项为 ，故 的系数为0.
故选：A．
二、多选题
13．已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】对于A，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为 ，所以 ，所以B错误，
对于C，令 ，则 ，因为 ，所以
， ，因为 ，所以 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为 ，所以 ， ，
， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以D正确，
故选：CD
14．在二项式 的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大
【答案】BCD
【解析】二项式 的展开式通项为 ，
对于A选项，令 ，可得 ，故常数项是第 项，A错；
对于B选项，各项的系数和是 ，B对；
对于C选项，偶数项二项式系数和为 ，C对
对于D选项，展开式共 项，第 项二项式系数最大，D对；
故选：BCD
15．已知函数 的定义域为 ．（ ）
A．
B．
C．D． 被8整除余数为7
【答案】BC
【解析】A.当 时， ，①故A错误；
B.当 时， ，②，
① ② ，解得： ，故B正确；
C. ，令 得 ，故
C正确；
D. ，所以 被8整除余数为1，故D错误.
故选：BC
16．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时，设 ，则
C．当 时， 中最大的是
D．当 时，
【答案】AD
【解析】在已知式中令 得 ，A正确；
时， ，
，
， ，B错；
时， ，，C错；
在 中，令 得 ，
令 ，则 ，
所以 ，D正确．
故选：AD．
17．已知 的展开式中含 的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A． 的展开式的各项系数之和为1 B． 的展开式中系数最大的项为
C． 的展开式中的常数项为 D． 的展开式中所有二项式的系数和为32
【答案】BC
【解析】 的展开通项为： ，
当 时， ，所以 ，解得 ，
所以 ，令 ，所以各项系数和为： ，故A错误；
当 时， 的展开式中所有二项式的系数和为： ，故D错误；
当 时， 的展开通项为： ，
令 ，所以 ，常数项为 ，故C正确；
设展开式中第 项系数最大，所以 ，所以 ，且 ， ，解得 ，所以 ，
故系数最大的项为 ，故B正确.
故选：BC.
三、填空题
18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少
完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．
【答案】50
【解析】由题意可分为两类
（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有 种安
排方式
（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有
种安排方式
综上共有 种安排方式
故答案为：50
19．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难
户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们共有多少种不同的安排方法____
【答案】14
【解析】根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：
①丁扶贫点最先去，有 种安排方法；
②丁扶贫点安排在中间位置去，有 种安排方法，
综合①②知共有 种安排方法．
故答案为：14．
20．将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按
照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求
横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.【答案】691200
【解析】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大
名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有 种方法，还剩5本书横放，有 种方
法，
故不同的摆放方法种数为 .
故答案为：691200
21.5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志
愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）.
【答案】114
【解析】由题意可知5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，，
共有 种.
甲、乙分配到同一个志愿点，有 种
所以不同的分配方案有 种
故答案为：114.
22．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名
学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）
【答案】10
【解析】①丙选择一名男生和一名女生： .
②丙选择两名男子： .
所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.
23.已知 ，则 的值为___________.
【答案】
【解析】令 ，
由 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
24．已知 的展开式中常数项为20，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意可得 的展开式的通项公式为 ，
故当 时，即 时， ，
当 时，即 时， ，
故 的常数项为 ，解得 ，
故答案为：
