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第十讲：导数与函数的极值、最值
【考点梳理】
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ，而且在
点 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 的极小值点， 叫做函数
的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ，而且在
点 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 的极大值点， 叫做函数
的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1） ， 不一定是极值点
（2）只有 且 两侧单调性不同 ， 才是极值点.
(3)求极值点，可以先求 的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程 的根
（3）用方程 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由 在方程 的根左右的符号，来判断 在这个根处取极值的情况
若 左正右负，则 为极大值；
若 左负右正，则 为极小值；
若 左右同号，则 无极值。
3.最大值:
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有 ;
（2）存在 ，使得
那么，称 是函数 的最大值
4.最小值:
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ;
（2）存在 ，使得
那么，称 是函数 的最小值
【典型题型讲解】
考点一：求函数的极值与极值点
【典例例题】
例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数 ， 的图象都相切.例2.已知函数 ……自然对数底数）.
(1)当 时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当 时，
（i）证明： 存在唯一的极值点：
（ii）证明：
【方法技巧与总结】
1．在求函数极值问题中，一定要检验方程 根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值
是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否
则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式训练】
1．（2022·广东汕头·一模）已知函数 （ 且 为常数）.
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.2.函数 ．
(1)求函数 在 上的极值；
(2)证明： 有两个零点．
【典型题型讲解】
考点二：根据极值、极值点求参数
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）已知函数 ， ．
（1）若函数 在 处取得极大值，求实数 的值；
（2）当 时，若对 ，不等式 恒成立，求实数 的值．【方法技巧与总结】
极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。
【变式训练】
1.已知函数 在 上无极值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.函数 在 上无极值，则m＝______．
4.已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 存在两个极小值点 ，求实数 的取值范围.
【典型题型讲解】
考点三：不等式恒成立与存在性问题
【典例例题】
例1．已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最
值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【变式训练】
1.已知函数 ， .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
2．（2021·广东佛山·一模）已知函数 的两个极值点为 ，2，且在 处的切线
方程为 ．
(1)求函数 的表达式；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．3．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对 、 ，使 恒成立，求a的取值范围.
4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数 ，其中 且 .
(1)设 ，过点 作曲线 的切线（斜率存在），求切线的斜率；
(2)证明：当 或 时， .
【巩固练习】
一、单选题
1．已知 是函数 的一个极值点，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知 ，函数 的极小值为 ，则 （ ）A． B．1 C． D．
3．设 ，若 为函数 的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数 ，若 在 上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，a为实数， ，则 在 上的最大值是
（ ）
A． B．1 C． D．
6．若函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知 ．则下列说法正确的有（ ）
A．函数 有唯一零点 B．函数 的单调递减区间为
C．函数 有极大值
D．若关于x的方程 有三个不同的根．则实数a的取值范围是
8．设函数 的定义域为 ， 是 的极大值点，以下结论一定正确的是
（ ）A． ， B． 是 的极大值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极小值点
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 为 的极小值点 D． 仅有两个零点
三、解答题
10．已知函数 在 上有两个极值点， ，且 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当 时， ．
11．设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)若 在 处取得极大值，求 的取值范围.12．已知函数 ．（注： 是自然对数的底数）
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值．
13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数 ， .
（1）若 的最大值是0，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若对于定义域内任意 ， 恒成立，求 的取值范围.14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数 ，在定义域上有两个极值点
．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证:
15．（2022·广东东莞·高三期末）已知 且 ，函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.16．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在 上的函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)对于 ，若不等式 恒成立，求a的取值范围．
17．（2022·广东清远·高三期末）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．18．（2022·广东汕尾·高三期末）已知函数 ，a是常数且 ．
(1)求曲线 在点P 处的切线l的方程；并证明：函数 的图象在直线l
的下方；
(2)已知函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
