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第九讲：导数与函数的单调性
【考点梳理】
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
2、由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 , 有解.
②已知 在区间 上存在单调减区间 , 有解.
（3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （ 为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
① 为一次型（或可化为一次型）② 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论 的单调性【典型题型讲解】
考点一：求函数的单调区间（不含参）
【典例例题】
例1.函数 的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解： ，
则 ，
由 得 ，
故选：D.
例2.函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题得函数的定义域为 .
，
令 .
所以函数的单调递减区间为 .
故选：A
【方法技巧与总结】
函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法
【变式训练】
1.函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【详解】解：由题意可得 ，且函数 的定义域为
（0，+∞）．
由 ，得 ，即 的单调递减区间是 ．
故选：B
2.函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于函数 ，有 ，可得 ，
所以，函数 的定义域为 ， ，
由 ，因为 ，解得 .
因此，函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
3.已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【详解】
由题设 ，则 ，可得 ，
而 ，则 ，
所以 ，即 ，则 且 递增，
当 时 ，即 递减，故 递减区间为(-,0).
故选：A
390<417
4．函数 的单调增区间是( )
A． B． C． D．【答案】D
【详解】
390<417
∵ ，∴ ，
当x＞2时， ，∴f(x)的单调递增区间是 ．
故选：D．
5．函数 的单调递减区间为__________．
【答案】
【详解】
当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
综上， 的单调递减区间为 ，
故答案为：
【典型题型讲解】
考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【典例例题】
例1.如果函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数 ，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，所以 .
故选:D
例2.若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是
a
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可得： .
因为函数 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在 上有解，即 在 上有解.
设 ，由 在 上恒成立，所以 在 单调递增，所以
.
所以 .
故选：D
例3.函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 ，
所以 ，
令 ，因为函数 在 上不单调，
即 在 上有实数根，
当 时，显然不成立，
当 时，只需 ，解得 或 ，
即 ，它的充分不必要条件即为一个子集.
结合四个选项可知A为其一个子集，
故选：A.
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分
析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的
抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范
围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
【变式训练】
1．若函数 在区间 内单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 得 ，
由于函数 在区间 内单调递减，
即 在 上恒成立，即 ，
即得 在 恒成立，所以 ，
故选：D.
2.已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，因为 在 上为单调递增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，
要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，
综上：实数m的取值范围是 .
故选：D
2．已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 在区间 上不是单调函数，
所以 在区间 上有解，即 在区间 上有解．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
故 在 上单调递减，在 上单调递增．又因为 ，
且当 时，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，解得 .故选：A
3.已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵函数 在区间 上存在单调增区间，
∴函数 在区间 上存在子区间使得不等式 成立，
，
设 ，
则 或 ，
即 或 ，
得 或 ，
则 ；
故选：A．
4.已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由 ，①当 时函数 单调递增，不合题意；②当 时，函数 的极值点为
，若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 .
故选：C.
5．函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【详解】，
如果函数 在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或 ，即 ，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数 在区间[-1，2]上不单调时， .
故选：B
考点三：含参问题讨论单调性
【典例例题】
例1.已知函数 ，其中 .求函数 的单调区间；
【答案】(1)当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；当 时，函数 的增区间
为 ，减区间为
函数 的定义域为
①当 时，令 ，可得 ，此时函数 的增区间为 ，减区间为
②当 时，令 ，可得 ，此时函数 的增区间为 ，减区间为
综上所述：当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；当 时，函数 的增区间
为 ，减区间为
例题2．设函数 ，求 的单调区间．
【答案】
【详解】 的定义域为 ， ．
若 ，则 ，所以 在 上单调递增．
若 ，则当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
例3.已知函数 .
讨论 的单调性；
【解析】
由题意得 的定义域为 .
，由 ，得 ，
①若 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
②若 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
例4.已知函数 ，函数 的导函数为 ．
讨论函数 的单调性；
【解析】
由 得，函数的定义域为 ，
且 ，令 ，即 ，
①当 ，即 时， 恒成立， 在 单调递增；
②当 ，即 时，令 ，当 时， ， 的解 或 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，同理 在 上单调递减，在 上单调递增．
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨
论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点
处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
【变式训练】
1.已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
【解析】
(1)由题设， 且 ，则 ，
所以 ， ，故 在 处的切线方程为 .
(2)由 且 ，
当 时 ，即 在定义域上递减；
当 时，在 上 ， 递减，在 上 ， 递增，
综上， 时 递减； 时 在 上递减， 上递增.
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在 上的函数 ．
(1)求 的单调递增区间；(2)对于 ，若不等式 恒成立，求a的取值范围．
【答案】
(1)
解： ，
①当 时， ，所以， 在 上单调递减，即 无单调递增区间；
②当 时，令 ，则 ，所以， 在 上单调递增，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， 的单调递增区间为 ，
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 无单调递增区间.
(2)
解：由（1）可知，当 时， 有最小值，且最小值为 ，
构造函数 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，故 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
易知不等式 等价于 ，
当 时，须有 成立，令 ，则 ，所以， 在 上单调递增，
又 ，所以， 等价于 ，
下证当 时， ，有不等式 恒成立.
一方面， ， ，
所以， ， ，即 ，
所以， ， ，
所以， ， ，
所以，只需证当 时， ，有不等式 恒成立即可，
另一方面，由 ， ，可得 ，所以， ，
又当 时， ，显然有 ，
所以，当 时， ，显然有不等式 恒成立，
所以，当 时， ，显然不等式 恒成立，
综上所述，实数 的取值范围为 .
3.已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
【解析】
(1)当 时，
，故切线方程为：
(2)
，
① 当 时， ， 仅有单调递增区间，其为：
② 当 时， ， 当 时， ；当 时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当 时， ， 当 时 ；当 时
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
综上所述：当 时， 仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
4．已知函数
讨论f（x）的单调性；
【解析】
(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当 时， ，∴ 在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 时，令 ，解得：
∴当 时， ；当 时，
∴f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当 时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减.
5.已知函数 ，记 的导函数为
讨论 的单调性；
【解析】
解：由已知可得 ，故可得 ．
当 时， ，故 在 单调递增；
当 时，由 ，解得 ，或 ，
记 ， ，则可知当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
极大 极小
值 值
所以，函数 在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间
单调递增．
6.（2022·广东深圳·一模）已知函数 （ ）．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ， ．（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： ．
【解析】
(1)
定义域为 ， ，
①当 时，有 恒成立， 是函数 的单调增区间，无递减区间；
②当 时，由 ，解得 ，由 ，解得 ，故函数 的增区间
，减区间是 ．
综上：当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间 ，
单调减区间是
(2)
（i）由（1）知：当 时， 在 上单调递增，
函数 不可能有两个零点；
当 时，因为 在 上递增，在 上递减，
因为 ，故 ，
设 ， ，
则 ，当 时， ，当 时， ，故 在 处取得极大值，也
是最大值， ，所以 ，故 ，即 取
，
则
因此，要使函数 且两个零点，只需 ，
即 ，化简，得 ，
令 ，因为 ，
所以函数 在 上是单调递增函数，
又 ，故不等式 的解为 ，
因此，使求实数a的取值范围是： .
（ii）因为 ，所以 ， ，
下面先证明 ，
根据（1）的结果，不妨设 ，则只需证明 ，
因为 在 时单调递增，且 ， ，
于是只需证明 ，
因为 ，所以即证 ，
记 ， ，，
所以 在 单调递增，则 ，
即证得 ，原命题得证.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【详解】
因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由 在 上单调递增知， ，
所以 ，
故选：C
2．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
的定义域为 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
3．“函数 在 上是增函数”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为函数 是增函数，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以
反之 ，函数的导数不一定大于0.
故“函数 在 上是增函数”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知函数 在区间 上存在单调减区间，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，因为 在区间 上存在单调递减区间，所以存在 ，使得 ，
即 ，令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
故选：A
二、多选题
5．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B． 的单调递减区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
【答案】BC
【详解】
对于A，由 （ ），得 ， ，则 ，所以 在 处的切线方
程为 ，所以A错误，
对于B，由 ，得 ， ，所以 的单调递减区间为 ，所以B正确，
对于C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，所以当 时，
取得极大值 ，所以C正确，
对于D，由C选项可知 的最大值为 ，且当 时， ，当 时， ， 所
以函数 与 的交点个数为1，所以 有1个解，所以D错误，
故选：BC
6．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，对于任意 ，都有 ，则使不等式 成立的 的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【详解】
令 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，可得 的解集为 .
故选：CD.
三、填空题
7．写出一个具有性质①②③的函数 ____________.
① 的定义域为 ；
② ；
③当 时， .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知， 在定义城上是增函数，故 符合题
意，
故答案为： （答案不唯一）.
四、解答题
8．已知函数
(1)讨论函数 在区间 内的单调性；(2)若函数 在区间 内无零点，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
(1)
，
（Ⅰ）当 ，即 时，
， 在 单调递减
（Ⅱ）当 ，即 时，
， 在 单调递增
（Ⅲ）当 ，即 时，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减
综上所述，（Ⅰ）当 时， 在 单调递减
（Ⅱ）当 时， 在 单调递增
（Ⅲ）当 时， 在 单调递增，在 单调递减
(2)
由（1）知：当 时，
即 ， 在 无零点
当 时，
即 ， 在 无零点
当 时， 在 单调递增，在 单调递减
，只需 即可
即 ，
综上所述，
9.已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恰有一个零点，求a的值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】
(1)
，
令 ，得 ．
因为 ，则 ，即原方程有两根设为
，所以 （舍去）， ．
则当 时， ，当 时，
在 上是减函数，在 上是增函数．
(2)
由（1）可知 ．①若 ，则 ，即 ，可得 ，
设 ， 在 上单调递减
所以 至多有一解且 ，则 ，
代入解得 ．
②若 ，则 ，即 ，可得 ，
结合①可得 ，
因为 ， ，
所以 在 存在一个零点．
当 时， ，
所以 在 存在一个零点．因此 存在两个零点，不合题意
综上所述： ．
10．已知函数 ，其中k∈R.当 时，求函数 的单调区间；
【答案】答案见解析
【详解】
由题设， ，
当 时， ，令 得 ，令 得 ，故 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 .
当 时，令 得 或 ，当 ，即 时，当 时 或 ；当 时 ，故 的单调递增
区间为 、 ，减区间为 .
当 ，即 时，在R上 恒成立，故 的单调递增区间为 ；
11．已知函数 .讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】
函数 的定义域为 ，且 .
①当 时， ，函数 在 上单调递减；
②当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ，
此时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
12．已知函数 .当 时，判断 的单调性；
【答案】函数 在 上单调递增，在 上单调递减
【详解】
解：当 时， ， ，
，
令 ，则 在 上为减函数，且 （1） ，
所以，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 递增区间为 ， 递减区间为 .
