文档内容
第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用
【考点梳理】
1.法向量的求解
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量
是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
第三步：化解方程组令 其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ，即 ，则 ．
3.平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．
4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大
小，则 ．（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具
体情况判断相等或互补），其中 ．
5.点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为
CD的中点， .
(1)证明： ；(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且 ，求直线EF与平面PAE所成角的
正弦值.
【方法技巧与总结】
设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成角的大小，则
．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，
AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中， 平面ABC， ， ， .
(1)求证：平面 平面ACD；
(2)若 ， ，五面体ABCDE的体积为 ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ，
是底面的内接正三角形，且 ，P是线段 上一点.
(1)是否存在点P，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)当 为何值时，直线 与面 所成的角的正弦值最大.考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形 的边长为3，且 ，
， ，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点
P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明 底面 ；
(2)设点T为BC上的点，且二面角 的正弦值为 ，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【方法技巧与总结】
设 是二面角 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角 的余弦值为 ．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图， 为圆柱 的轴截面， 是圆柱上异于 ， 的母线.
(1)证明： 平面DEF；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值.
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ，
，四边形 是菱形， ， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中， ， ，E在以AB为直径
的半圆上（不包括端点），平面 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥 中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，
， ， ，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角 的大小为60°，求四棱锥 的体积．
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 为 中点，
.
(1)求证： ；
(2)点 为棱 上一点，若 ，求二面角 的余弦值.
6.如图，四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，且 底面ABCD，
，点E是线段BC（包括端点）上的动点．（1）探究点E位于何处时，平面 平面PED；
（2）设二面角 的平面角的大小为 ，直线AD与平面PED所成角为 ，求证：
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥 的底面半径为2，母线长为 ，点C为圆锥底面圆周上
的一点，O为圆心，D是 的中点，且 ．
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求A到平面 的距离．例2.在正方体 中，E为 的中点，过 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F
为棱 上的动点．
（1）点H在棱BC上，当 时， 平面 ，试确定动点F在棱 上的位置，并说明理由；
（2）若 ，求点D到平面AEF的最大距离．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，则点 到平面的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即 或
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形 中， ， ， ， ，
､ 分别是 ， 的中点，将四边形 沿 折起，如图②，连结 ， ， .
(1)求证： ；
(2)当翻折至 时，设 是 的中点， 是线段 上的动点，求线段 长的最小值.
2.如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形， 为 中
点，且 ．（1）求证： 平面 ；
（2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离．
3.如图，矩形 和梯形 ， ，平面 平面 ，且
，过 的平面交平面 于 ．
（1）求证： 与 相交；
（2）当 为 中点时，求点 到平面 的距离：4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长
方体和圆台组合，如图所示，长方体 中， ，圆台下底圆心 为 的
中点，直径为2，圆与直线 交于 ，圆台上底的圆心 在 上，直径为1．
（1）求 与平面 所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点 使得 ，若存在，求点 到直线 的距离，若不存在则说
明理由．【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面
BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，则下列说法正确的（ ）
个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．在空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．点 关于 平面对称的点的坐标为
B．若平面 的法向量 ，则直线 平面
C．若 ， 分别为平面 ， 的法向量，则平面 平面
D．点 到直线 的距离为
3．直三棱柱 ，中， ， ，点D是线段 上的动点（不含端点），
则（ ）
A． 平面 B． 与 不垂直
C． 的取值范围为 D． 的最小值为
三、填空题
4．如图，在棱长为 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为底面 内一点，给
出下列三个论断：① ；② ；③ ．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
5．如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，则 与平面 所成角的正
弦值为___________．
四、解答题
6．如图，在三棱柱 中， ， ．
（1）证明：平面 平面 ．
（2）设P是棱 的中点，求AC与平面 所成角的正弦值．7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知 ，且 并与对角线DB交于G，H，
现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面 平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
8.如图所示，在直四棱柱 中，底面ABCD是等腰梯形， ， ，
，四边形 是正方形．
（1）指出棱 与平面 的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面 截该四棱柱所得的截面
补充完整；
（2）求二面角 的余弦值．9.如图，圆锥PO的母线长为 ， 是⊙ 的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC． ，
．
（1）证明： ；
（2）设点Q满足 ，其中 ，且二面角 的大小为 ，求 的值．
10.如图，在三棱柱 中， 底面 ， 的中点为 ，四面体 的体积为 ，
四边形 的面积为 ．（1）求 到平面 的距离；
（2）设 与 交于点O， 是以 为直角的等腰直角三角形且 ．求直线 与平面
所成角的正弦值．
