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第二十讲：直线与平面、平面与平面垂直
【考点梳理】
1.直线与平面垂直判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
一条直线与一个平面内的
定理 两条相交直线都垂直，则 ⇒l⊥α
该直线与此平面垂直
性质
垂直于同一个平面的两条
定理 ⇒a∥b
直线平行
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
一个平面过另一个平面的垂
定理 ⇒α⊥β
线，则这两个平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
性质
两个平面垂直，则一个平
定理 面内垂直于交线的直线与 ⇒l⊥α
另一个平面垂直
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面垂直的判定定理及性质
【典例例题】
例1.（2022·广东珠海·高三期末）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，P在平面
的投影为边 的中点O， ， ， ， ．求证： 平面 .
【解析】在 中，由余弦定理可得： ，
，∴ ， ，
由题易知 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ ，∴C 平面 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ 平面 ．
例2．（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥 中，点 ， 分别是 ， 中点，点
是 上的一点.
证明： ；
【解析】如图，连接SO和OE，因为 是正四棱锥，所以 平面ABCD，
又因为 平面ABCD，所以
因为ABCD是正方形，所以 ，
又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以 ∥ ，
所以
又因为 ，OE、 平面SOE，
所以 平面SOE，
因为 平面SOE，所以 .
【方法技巧与总结】
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；
③菱形、正方形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
④平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
【变式训练】
1.如图，圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于 的点，且 ， 为上底面圆 的
一条直径， 是边长为 的等边三角形， ．证明： 平面 ；
【解析】∵ 为圆台下底面圆 的直径， 是圆 上异于 的点，
故
又∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，又∵ ， ， 平面
∴ 平面
2.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
平面 平面 ．证明： 平面
【解析】证明：由题设， ，又面 面 ，面 面 ， 面
，
所以 面 ，而 面 ，则 ，
由 得： ，
又 ，则 平面 ．
3.如图，在三棱锥 中，已知 平面ABC， ，D为PC上一点，且 ．（1）若E为AC的中点，求三棱锥 与三棱锥 的体积之比；
（2）若 ， ，证明： 平面ABD．
【解析】（1）由题意有 ．
∵ 为 的中点，∴ ．
又 ，∴点 到平面 的距离为 ．
∴ ．
∴ ．
∴三棱锥 与三棱锥 的体积之比为 ．
（2）证明：∵ 平面 ， 平面 ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又 平面 ，∴ ．
在 中，由 ， ，得 ．
又 ，得 ．∴ ．
∵ ，∴ ．又 ，∴ ．
∴ ，即 ．又 ， 平面ABD，∴ 平面 ．
4.如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， ， ， ，点 是棱
上靠近点 的三等分点，点 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）点 为线段 上一点，设 ，若 平面 ，试确定 的值．
【解析】（1）证明：取 的中点 ，记 ，连接 ， ， ，
在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
同理可得 ，
又因为 ， ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为底面 是菱形，所以 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
又因为 是 的中点，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，即
因为 ， ，所以 ，
则 ，
则 ，所以 ，即
又因为 ，
所以 平面 ，
若 平面 ，
则 与 重合．故 ．5．（2022·广东深圳·高三期末）如下图所示，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形，
， 为等边三角形．
(1)证明： ；
【解析】证明：如下图所示，取 的中点 ，连接 ，
，
为等边三角形， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， .
6.如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．证明：【解析】证明：过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形，
， ，由平面几何知识易知，
，则四边形 和四边形 是矩形，∴在Rt
和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而
，∴ 平面 ，而 平面
7.如图，已知直三棱柱 ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点， 为线段 上的
动点， ， ．若 ，试证 ；
【解析】在 中，
∵ 为 中点且 ，
∴ ．
∵平面 平面 交线为 ，
∴ 平面 ，∴ ．
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ．
∴ ．
在直角 和直角 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 平面 ， 平面 ，∴ ．
考点二：面面垂直的判定定理和性质
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·高三期末）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱） 内接于一个
等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在 上，且 ．若AC=BC，
求证：平面 平面 .
【解析】证明：在 中， ，
且 是圆柱底面圆 的直径，即 ， ，
又 底面 ， 平面 ， ，
且 ， 平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
例2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为
AD的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
【方法技巧与总结】
1.面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不
存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
2.面面垂直的性质关键找两个平面的交线并且和交线垂直的直线.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知正三棱柱 中， ，D，E，F分别为
的中点．
证明：平面 平面 ．
【解析】在正△ 中，D为 的中点，则 ．
因为 面 面 ，则 ．
而 ，所以 面 ，又 平面 ，
∴ ．在△ 中，连接 ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ 平面 ，再由 平面 ，
∴平面 平面 ．
2．（2022·广东汕尾·高三期末）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，
求证：平面ADE 平面ABCD；
【解析】证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
又∵ ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面
3.如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， ．在棱 上是
否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】当点 为 的中点，即 时，平面 平面 ．
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，
又 为 的中点，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 ，M为棱 的中点，故 ，
又因为 平面ABC， 平面ABC，
故 ，由 平面 ，所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
4.如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， ．在棱 上是
否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】当点 为 的中点，即 时，平面 平面 ．
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，
又 为 的中点，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 ，M为棱 的中点，故 ，
又因为 平面ABC， 平面ABC，
故 ，由 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
5.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ABD沿对角线
BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．
求证：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．
证明：(1)∵AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，
又∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°，
即BD⊥DC．
∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面PBD．
(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP．
又BP⊥PD，PD∩CD＝D，∴BP⊥平面PDC．
又BP⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDC．
6.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．
(1)证明：AE∥平面BDF；
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，
并加以证明；若不存在，请说明理由．【证明】 (1)
图1
连接AC交BD于O，连接OF，如图1.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中
点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.
(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE.
证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，
∵P为AE的中点，H为BE的中点，
图2
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．
∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC.
∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又
CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.
【巩固练习】
一、单选题
1．棱长为2的正方体 中，E，F分别是棱BC， 的中点，下列命题中错误的是
（ ）
A． B．EF∥平面
C．EF⊥平面 D．四面体 的体积等于
【答案】C
【解析】 ，A正确；如图，取 的中点 ，连接 ， ，易知 ，所以四边形
是平行四边形，所以 // ，又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
B正确；
若 平面 ，因为 平面 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平
面 ，得 ，显然不成立，C不正确；
因为E为BC中点，所以 ，D正确．
故选：C．
2． 为正方体 对角线 上的一点，且 ，下面结论不正确的是
（ ）
A． B．若 平面PAC，则
C．若 为钝角三角形，则 D．若 ，则 为锐角三角形
【答案】C
【解析】如图（1）所示：
对于A中，正方体 中，连接 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又由 且 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，正方体 中，连接 ，可得 ，且 ，所以 平面 ，
若 平面 ，可得点 在平面 中，可得 ，
又由 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，设正方体 的棱长为 ，
当 为 的中点时，即 时，可得 ， ，
由余弦定理可得 ，可得 ，
所以若 为钝角三角形，则 是不正确的，故C不正确；
对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图（2）所示不妨设正方体的棱长为1，
则 ，
可得 ，
，
由 ，
令 ，解得 或 （舍去），
又由 ，所以 ，
即当 时， ，即 为锐角，
又因为 中， ，所以 为锐角三角形，所以D正确．
故选：C．二、多选题
3．如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形
ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）
A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
【答案】ACD
【解析】当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时，因为CD⊥AC， ，此时CD⊥平面
ABC，而 平面ABC，则CD⊥AB，CD⊥BC，AD正确；
此时AB⊥平面BCD， 平面BCD，所以AB⊥DB，C正确；
若 ，而AB⊥BC， ，故必有BC⊥平面ABD，由图形可知，D点在B点正上方，
而 ，所以显然 不可能；
故选：ACD
4．如图所示，在四棱锥中 中， 为正方形， ，E为线段 的中点，F为
与 的交点， ．则下列结论正确的是（ ）A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．线段 长度等于线段 长度
【答案】ABC
【解析】因为 是正方形，所以 ．又因 所以 平面 平面
， ，所以 平面 ，因此A正确；
而 平面 ，所以平面 平面 ，因此C正确；
因为F是 的中点，而E为线段 的中点，所以 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，因此B正确；
对于D，因为 是边长为1的正三角形， 是正方形，所以 ．又由 平面
，有 ，所以 ．在 中， ， ，又 分别是等腰三角形
的底边 和腰 上的中线，所以线段 与 的长度不相等（否则， 是正三角形），因此
D不正确；
故选：ABC．三、填空题
5．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，写出以 之间的部分位置关系为条件
（ 除外）， 为结论的一个真命题：_____________．
【答案】若 ，则 ．（答案不唯一）
【解析】若 ，则 ．
故答案为：若 ，则 ．
6．如图，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， ，
， 是 的中点，点 在线段 上，当 _______时， 平面 ．
【答案】 或
【解析】由已知得 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ．
若 平面 ，则 ．
设 ，则 ，
，∴ ，
解得 或 ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三
棱锥D-ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】过 作 于点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 是 中点， ，
，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．四、解答题
8．在四棱锥 中，四边形 为菱形， ，且平面
平面 ．证明： 平面 ；
【解析】连接BD交AC于O，如图，
四边形 为菱形，所以 ，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
，故 ，
又 平面 ，所以 平面 ．9．如图所示，在四棱锥 中，平面 底面 ， ， ，
， ， ， ．设平面 与平面 的交线为 ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，当四棱锥 的体积最大时，求 的值．
【解析】（1）在 中，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ．
在 中，因为 ， ，所以 为等边三角形，
所以 ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
如图，延长 和 交于点 ，连接 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ．
所以 所在直线即为直线 ．
因为 ，所以 为 的中点，
所以在 中， ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）过 向 作垂线，垂足为 ，
因为平面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 底面 ，
因为梯形 的面积和 的长为定值，所以当点 与 重合，即 底面 时，四棱锥的体积最大．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 经过 的中点，
所以 ，所以 ，
故 ．
10．如图，四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， ，
， 为等边三角形，平面 平面ABCD．
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积．
【解析】（1）取 中点 ，连 ，
因为 ， ， ， ，
所以四边形 为正方形， 为等腰直角三角形，
则 ， ，因为面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（2）取 中点 ，连 ，则 ，且 ，
因为平面 平面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 面积为 ，
三棱锥 的体积为 ．
11．如图1，在直角梯形ABCD中， ，∠BAD=90°， ，E是AD的中点，
O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中 的位置，使平面 平面BCDE，得到四
棱锥 ．当四棱锥 的体积为 ，求a的值．
【解析】如图，在直角梯形 中，连接 ，因E是AD的中点， ，有
，则四边形 是平行四边形，又 ，于是得 是正方形， ，
在四棱锥 中， ，因平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，因此 平面 ，即 是四棱锥 的高，
显然 ，平行四边形 的面积 ，
因此，四棱锥 的体积为 ，解得 ，
所以a的值是6．
12．如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中
点．
（1）求证：CD⊥平面SAD；
（2）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明
你的结论．
【解析】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．
又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面SAD．
（2）存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．
连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO．因为PD∥CM，且PD＝CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，
所以PO＝CO．又因为N为SC的中点，
所以NO∥SP．易知SP⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD，
所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD．
又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．
