文档内容
第二十五讲：直线方程、圆的方程
【考点梳理】
1、直线的方程
倾斜角、斜率，五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）
2、两直线关系
平行、垂直
3、圆的方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
4、直线与圆的位置关系
几何法、代数法（相离、相切、相交）
5、两圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【典型题型讲解】
考点一：直线的方程
【典例例题】
例1.若一次函数 所表示直线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的斜率为 即故选：D．
例2.下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点 的直线都可以用方程 表示；
②经过任意两点 的直线都可以用方程 表示；
③不经过原点的直线都可以用方程 表示；
④经过定点 的直线都可以用方程 表示．
【答案】1
【解析】①由于直线过定点 ，当直线斜率存在时，可用方程 表示，
当直线斜率不存在时，方程是 ，①不正确；
②当 时，经过任意两个不同的点 的直线方程是 ，满足方程
，
当 时，经过任意两个不同的点 的直线的斜率是 ，
则直线方程是 ，整理得 ，②正确；
③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是 ，不可以用方程 表示，
当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程 表示，③不正确；
④当直线斜率不存在时，经过点 的直线方程是 ，不可以用方程 表示，
当直线的斜率存在时，经过点 的直线可以用方程 表示，④不正确，
所以给定的4个命题中，真命题只有1个.
故答案为：1
例3.已知 ， ，则满足 的 的值是（ ）A． B．0 C． 或0 D． 或0
【答案】C
【解析】由 可得 ，得 或 ，
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
故满足 的 的值为0或 ．
故选：C．
例4.直线 和直线 垂直，则实数 __________．
【答案】0或1【解析】因直线 和直线 垂直，
则有 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ．
故答案为：0或1
【方法技巧与总结】
熟记直线方程的公式
【变式训练】
1.若图中的直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则（ ）
1 2 3 1 2 3
A．k ＜k ＜k B．k ＜k ＜k
1 2 3 3 1 2
C．k ＜k ＜k D．k ＜k ＜k
3 2 1 1 3 2
【答案】D
【解析】直线l 的倾斜角α 是钝角，故k ＜0.
1 1 1
直线l 与l 的倾斜角α 与α 均为锐角，且α ＞α ，所以0＜k ＜k ，
2 3 2 3 2 3 3 2因此k ＜k ＜k .
1 3 2
故选:D.
2.已知集合 ，集合 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 且
C． 且 D． 且 且
【答案】C
【解析】集合 表示直线 上去掉点 所构成的两条射线，
在方程 中，令 可得 ，
集合 表示过定点 且斜率存在的直线，
由 得两直线斜率不同，则 ，解得 ．
故选：C.
3.已知直线 恒过定点A，点A在直线 上，其中m、n均为正数，则 的
最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ．
∴直线 恒过定点 ，即 ，
∵点A在直线 上，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号．∴ 的最小值为：8．
故选:C．4.“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线 与直线 垂直，
则 ，解得： 或 ，
所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
5.已知直线 ： ．
（1）求 经过的定点坐标 ；
（2）若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
① 的面积为 ，求 的最小值和此时直线 的方程；
②当 取最小值时，求直线 的方程．
【解析】（1）由 可得： ，
由 可得 ，所以 经过的定点坐标 ；
（2）直线 ： ，
令 可得 ；令 ，可得 ，
所以 ，
由 可得： ，
① 的面积，
当且仅当 即 时等号成立， 的最小值为 ，
此时直线 的方程为： 即 ；
②设直线 的倾斜角为 ，则 ，可得 ， ，
所以 ，
令 ，
因为 ，可得 ， ，
，
将 两边平方可得： ，
所以 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，所以
，所以 ，此时 ，
可得 ，所以 ，
所以直线的方程为 .
考点二：圆的方程
【典例例题】例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“ ”是“点 在圆 外”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将 化为标准方程，得
当点 在圆 外时，有 ，解得
∴“ ”是“点 ”在圆 外”的必要不充分条件.
故选：B.
例2．（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将圆化为一般方程为 ，因此可知圆C的圆心为 ，半径为4，
因为直线l过定点 ，所以当圆心到直线l的距离为 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 ．
故选：D
例3．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）已知点 ，若过点 的直线 交圆 ：
于 ， 两点， 是圆 上一动点，则（ ）
A． 的最小值为 B． 到 的距离的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为【答案】ABD
【详解】如图，当直线 与 轴垂直时， 有最小值，且最小值为 ，所以A正确；
设 ，则 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，所以C错误；
当 ， ， 三点共线时， 最大，且最大值为 ，所以D正确；
当直线 与 垂直时， 到 的距离有最大值，且最大值为 ，所以B正确.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用圆
心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
【变式训练】1．（2022·广东广州·二模）已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于
A、B两点，与 交于M、N两点，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得， ，
设 ， ，∵ ，∴ ，
∵ 过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴ ，∴ ，∴ ，解得 ，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时 相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离 ，∴ ﹒
故选：B．
2．（2022·广东湛江·二模）已知直线 与圆 相交于A，B两点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：圆 的圆心为 ，半径 ，因为直线 与圆相交于
、 两点，且 ，所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 （舍去）或
；
故选：B
3．（2022·广东梅州·二模）已知直线 与圆 交于 、 两点，若 为等边三
角形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
由题意可知，圆心 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，解得 .
故选：D.
4．（2022·广东肇庆·二模）在 中， ， ， ，点D是线段AB上的动点﹐以D
为圆心、AD长为半径的圆与线段BC有公共点，则半径AD的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】如图，当圆 与BC相切时，半径AD最小，设此时半径 ，所以 ，
解得 ，
故选:A．5．（2022·广东·珠海市第三中学二模）已知圆 与抛物线 的准线相切，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，圆 是圆心为原点，半径为 的圆，抛物线 的准线方程为 ，
由于抛物线 的准线方程与圆 相切，则 ，解得 .
故选：B.
6．（2022·广东韶关·二模）已知直线 与圆 交于A、B两点，若
则a=（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题知 是等腰直角三角形，由 及勾股定理得点O到直线的距离是 ，故
，解得 ．
故选：B．
7．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知a>0，圆C： ，则（ ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分
【答案】ACD
【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当 ，即a＝e或 时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a
有3个，A正确；
对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在 上，又
圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有
一个，B错误；
对于C，若圆C过坐标原点，则 ，如下图可知，曲线y＝lnx与 有两个交点，所以
满足要求的a有2个，C正确；
对于D，若圆C的面积被直线 平分，则直线 经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝
e处的切线恰好为 ，即满足要求的a仅有一个，故D正确．
故选：ACD.
8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分必要条件B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．若圆 与圆 有且只有一个公共点，则
D．若直线 与曲线 有公共点，则实数b的取值范围是
【答案】AC
【详解】对于A,当 时， 与直线 互相平行，即“ ”不是“直线
与直线 互相垂直”的充分条件，故A错误；
对于B, 直线 的倾斜角 满足 ，
故 ，故B正确；
对于C，圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
两圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，
则 或 ，
解得 或 ，故C错误；
对于D, 曲线 可化为 ，表示以 为圆心，半径为 的半圆，
如图示：直线 与曲线 有公共点，则直线 与圆相切或过点(0,3),
当直线和圆相切时， ，解得 ，
当直线过点(0,3)时， ，则数b的取值范围是 ，故D正确，
故选：AC
9．（2022·广东深圳·二模）（多选）P是直线 上的一个动点，过点P作圆 的两条切线，
A，B为切点，则（ ）
A．弦长 的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线 经过一个定点 D．线段 的中点在一个定圆上
【答案】ACD
【详解】解：依题意 ，即 ，设 ，则 为 的中点，且
，
所以 ，所以 ， ，又 ，
所以 ， ，所以 ， ，故A正确，B不正确；
设 ，则 ，所以以 为直径的圆的方程为 ，
则 ，即 ，所以直线 的方程为 ，所以直线
过定点 ，故C正确；
又 ， ，所以 的中点 在以 为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD10.（2022·广东·二模）若直线 和直线 将圆 的周长四等分，则
__________．
【答案】2
【详解】设直线 和圆 相交与点 ，直线 与圆 相交
于点 ，圆心为 ，
因为直线 和直线 将圆 的周长四等分，
所以圆心位于两直线之间，且 ,
所以 为等腰直角三角形，所以圆心为 到直线 的距离为 ，
同理可得圆心为 到直线 的距离为 ，
故直线 和直线 间的距离为 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：2.【巩固练习】
一、单选题
1．已知P是半圆C： 上的点，Q是直线 上的一点，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时， 有最小值，
最小值为原点到直线 的距离，
即 ，
故选：D2．已知圆O： ，已知直线l： 与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆
O截得的弦长最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线l： ，即 ，所以直线过定点 ，
，圆 半径 ，
点 在圆 内，所以当直线与 垂直的时候， 最短，
此时 ．
故选：C．
3．已知圆 截直线 所得的弦长为 ，则圆C与圆
的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【解析】圆C的圆心为 ，半径为a，其圆心到直线 的距离为 ，
所截得的弦长为 ，解得 ．
所以 ，C的圆心为 ，半径为2；
又 的圆心为 ，半径为1，
，故可得 ，则两圆的位置关系是相交．
故选： ．
4．设 ，O为坐标原点，点P满足 ，若直线 上存在点Q使得
，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
，
，即 ．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线 上存在点Q使得 ，
则PQ为圆 的切线时 最大，如图，
，即 ．圆心到直线 的距离 ，
或 ．
故选：B．
5．点M为直线 上一点，过点M作圆O： 的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四
边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0 B．
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【答案】A
【解析】因为直线MP，MQ与圆O： 相切，切点为 ，
所以 ， ，
所以四边形MPOQ的面积 ，
又 ，
所以 ，所以当 取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，
又当且仅当 与直线 垂直时， 取最小值，
所以当 与直线 垂直时，四边形MPOQ的面积最小，
此时直线 的方程为 ，联立 可得 ，
所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以 四点共圆，圆的直径为 ,
该圆的圆心为 ，半径为 ，
所以该圆的方程为： ，又 在圆 上，所以 为两圆的公共弦，
所以 的方程为：
故选：A.
二、多选题
6．已知圆 的一般方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的圆心为 B．圆 的半径为5
C．圆 被 轴截得的弦长为6 D．圆 被 轴截得的弦长为6
【答案】BD
【解析】因为 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，故A错误，B正确．
对选项C，圆心 到 轴的距离为 ，
所以圆 被 轴截得的弦长为 ，故C错误；
对选项D，圆心 到 轴的距离为 ，所以圆 被 轴截得的弦长为 ，故D正确．
故选：BD
7.已知圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，且被 轴截得的弦长为4，当圆心 到直线 的
距离最小时，圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】设圆心为 ，半径为 ，
圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，
又圆被 轴截得的弦长为4，∴ ，
∴ ，变形为 ，即 在双曲线 上，
易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 有距离最小．
设切线方程为 ，
由 ，消法 得 ，
∴ ，解得 ，
时， ， 时， ，
即切点为 或 ，半径为 ，
∴圆的方程为 或 ．
故选：AB8．已知点 是圆 上的任意一点，直线 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．直线 与圆 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆 的圆心到直线 距离的最大值为
C．点 到直线 距离的最小值为
D．点 可能在圆 上
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为直线 的方程可化为 ．
令 解得 ，所以直线 过定点 ，
直线 是过点 的所有直线中除去直线 外的所有直线，
圆心 到直线 的距离为 ，即直线 与圆 相交，
又点 在圆 上，所以直线 与 至少有一个公共点，
所以直线 与圆 的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线 为圆 的切线时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 ，B错误；
对于C选项，因为圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点 到直线 距离的最小值为 ，C正确；
对于D选项，圆 的圆心为原点 ，半径为 ，
因为 ，所以，圆 与圆 内切，故点 可能在圆 上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．已知直线 与圆O： 相交于A，B两点（O为坐标原点），且 为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】如图：
因为 是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线 的距离为 ，
应用点到直线的距离公式得： ；
故答案为： .
10．设 与 相交于 两点，则 ________．
【答案】
【解析】将 和 两式相减：
得过 两点的直线方程： ，
则圆心 到 的距离为 ，
所以 ，
故答案为：
15．已知点 ， ，动点 满足 ，则点M到直线 的距离可以是
___________.（写出一个符合题意的整数值）【答案】1(答案不唯一)
【解析】由题设知 ，即 在以 为直径的圆上，且圆心为 ，半径为2，
所以 的轨迹为 ，
而 到 的距离为 ，即直线与圆相离，
所以M到直线 的距离范围 ，
由 ，故1满足.
故答案为：1(答案不唯一)
11．已知 点为圆 与圆 公共点，圆 +1，圆 +1 ，若
，则点 与直线 ： 上任意一点 之间的距离的最小值为_________．
【答案】2．
【解析】设 ，则 ，令 ，则
，同理可得 ，因此 为方程
两根，由韦达定理得 ，从而点 与直线 ： 上任意一点 之
间的距离的最小值为
