专题16排列组合与二项式定理(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

16
专题 排列组合与二项式定理
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2026(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:3)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:16)(cid:17)(cid:40)(cid:13)(cid:41)(cid:42)(cid:43)
2025(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:44) (cid:45)(cid:46)(cid:24)(cid:47)(cid:45)(cid:46)(cid:24)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:24)
2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2024(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:54)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:40)(cid:62)(cid:63)(cid:64)
2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:5)(cid:6)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:39)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:18)
Ⅱ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:30)(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)
(cid:19)(cid:76)(cid:13)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(cid:40)(cid:85)(cid:5)
(cid:21)(cid:31)(cid:23)(cid:24)2023(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:86)(cid:76)(cid:13)(cid:24)(cid:87)(cid:18)(cid:76)(cid:13)(cid:40)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:32)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2022(cid:25)(cid:26)
(cid:94)(cid:95)(cid:39)(cid:67)(cid:96)(cid:75)
(cid:23)
2026(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:24)2026(cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:24)2026
(cid:25)(cid:26)(cid:23)
2025(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:24)2025(cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:24)2025
(cid:3)(cid:33)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:48)(cid:99)(cid:97)(cid:79)(cid:106)(cid:107)(cid:108)
(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:109)(cid:40)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:74)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:115)(cid:96)(cid:40)(cid:116)
2024(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:30)(cid:23)(cid:24)2024(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:24)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99) (cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:24)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:106)(cid:107)(cid:39)(cid:121)
2024(cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:24)2024(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:67) (cid:122)(cid:75)(cid:123)(cid:34)(cid:106)(cid:107)(cid:68)(cid:76)(cid:13)(cid:40)(cid:113)(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:126)
2023(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:24)2023(cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:24)2023
(cid:115)(cid:127)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:68)(cid:24)(cid:128)(cid:107)(cid:97)(cid:24)(cid:129)(cid:107)(cid:97)(cid:106)
(cid:25)(cid:26)(cid:23)
(cid:107)(cid:68)(cid:75)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:32)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2022(cid:100)(cid:101)
(cid:23)(cid:24)2022(cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:24)2022(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:24)
2022(cid:104)(cid:105)(cid:23)
考点 01 排列组合
1(cid:130)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:131)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:24)(cid:132)(cid:24)(cid:133)(cid:56)8(cid:54)(cid:134)(cid:135)(cid:5)(cid:136)A(cid:24)B(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:114)(cid:141)(cid:18)(cid:40)(cid:142)(cid:115)(cid:143)(cid:18)4(cid:144)(cid:40)
(cid:145)(cid:146)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:147)(cid:18)(cid:40)(cid:132)(cid:24)(cid:133)(cid:47)(cid:147)(cid:18)(cid:40)(cid:77)(cid:5)(cid:18)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:10) (cid:11)
A(cid:130)10(cid:151) B(cid:130)12(cid:151) C(cid:130)16(cid:151) D(cid:130)24(cid:151)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)C(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:90)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:137)(cid:144)(cid:156)(cid:157)A(cid:158)(cid:18)(cid:68)B(cid:158)(cid:18)(cid:159)(cid:160)(cid:5)(cid:6)(cid:40)(cid:84)(cid:19)(cid:108)(cid:107)(cid:161)(cid:67)(cid:115)(cid:96)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:9)(cid:165)1(cid:166)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:137)(cid:144)(cid:156)(cid:157)A(cid:158)(cid:18)(cid:40)
(cid:167)(cid:16)(cid:132)(cid:24)(cid:133)(cid:166)(cid:132)(cid:24)(cid:133)(cid:146)(cid:168)(cid:169)(cid:34)(cid:170)(cid:138)(cid:157)A(cid:18)(cid:40)(cid:171)(cid:170)(cid:138)(cid:157) B (cid:18).
(cid:172)(cid:132)(cid:157)A(cid:18)(cid:40)(cid:133)(cid:157)B(cid:18)(cid:166)(cid:173)(cid:174)A(cid:18)(cid:175)(cid:34) {(cid:30), (cid:31), (cid:132)}(cid:40)(cid:123)(cid:176)1(cid:144)(cid:177)
B(cid:18)(cid:175)(cid:34){(cid:133)}(cid:40)(cid:123)(cid:176)3(cid:144)(cid:40)
(cid:77)(cid:178)(cid:179)(cid:180)4(cid:144)(cid:146)(cid:87)1(cid:144)(cid:159)A(cid:18)(cid:40)(cid:148)(cid:149)(cid:107)(cid:136)C1 =4.
4
(cid:172)(cid:133)(cid:157)A(cid:18)(cid:40)(cid:132)(cid:157) B (cid:18)(cid:166)(cid:147)(cid:67)(cid:40)(cid:148)(cid:149)(cid:107)(cid:136)C1 =4.
4
(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:157)A(cid:18)(cid:174)(cid:40)(cid:148)(cid:149)(cid:107)(cid:136)4+4=8(cid:151).
(cid:9)(cid:165)2(cid:166)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:137)(cid:144)(cid:156)(cid:157) B (cid:158)(cid:18)(cid:40)
(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:157)B(cid:18)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:79)(cid:157)A(cid:18)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:184)(cid:20)(cid:170)(cid:185)(cid:40)
(cid:167)(cid:16)(cid:132)(cid:24)(cid:133)(cid:166)(cid:147)(cid:186)(cid:112)(cid:132)(cid:157)A(cid:18)(cid:187)(cid:133)(cid:157)A(cid:18)(cid:137)(cid:151)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:148)(cid:149)(cid:107)(cid:127)(cid:136) C1 =4(cid:40)
4
(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:157)B(cid:18)(cid:174)(cid:40)(cid:148)(cid:149)(cid:107)(cid:136) 4+4=8 (cid:151).
(cid:188)(cid:181)(cid:34)(cid:5)(cid:86)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)8+8=16(cid:151).
2(cid:130)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:189)(cid:34)5(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:195)(cid:196)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:40)(cid:157)(cid:200)(cid:170)(cid:201)(cid:202)(cid:39)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:24)(cid:201)(cid:202)(cid:204)(cid:137)(cid:102)(cid:40)
(cid:143)(cid:102)(cid:178)(cid:205)5(cid:144)(cid:146)(cid:167)(cid:16)2(cid:144)(cid:195)(cid:196)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:40)(cid:77)(cid:206)(cid:34)1(cid:144)(cid:157)(cid:205)(cid:137)(cid:102)(cid:156)(cid:195)(cid:196)(cid:39)(cid:47)(cid:147)(cid:167)(cid:16)(cid:148)(cid:98)(cid:150)(cid:34)(cid:10) (cid:11)
A(cid:130)120 B(cid:130)60 C(cid:130)30 D(cid:130)20
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)B
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:5)(cid:6)(cid:196)(cid:126)(cid:161)(cid:67)(cid:40)(cid:5)(cid:6)(cid:69)(cid:70)(cid:7)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:207)(cid:208)(cid:195)(cid:196)(cid:137)(cid:102)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:96).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:7)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:136)a,b,c,d,e(cid:40)
(cid:212)(cid:61)a(cid:207)(cid:208)(cid:195)(cid:196)(cid:213)(cid:137)(cid:102)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:40)(cid:214)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:39)4(cid:144)(cid:215)(cid:216)2(cid:144)(cid:127)(cid:195)(cid:196)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:79)(cid:201)(cid:202)(cid:102)(cid:39)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:40)(cid:150)(cid:34)A2 =12
4
(cid:151)(cid:148)(cid:126)(cid:40)
(cid:147)(cid:67)(cid:166)b,c,d,e(cid:207)(cid:208)(cid:195)(cid:196)(cid:213)(cid:137)(cid:102)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:40)(cid:217)(cid:127)(cid:34)12(cid:151)(cid:148)(cid:126)(cid:40)
(cid:181)(cid:182)(cid:206)(cid:34)1(cid:144)(cid:207)(cid:208)(cid:195)(cid:196)(cid:213)(cid:137)(cid:102)(cid:114)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:39)(cid:87)(cid:218)(cid:151)(cid:107)(cid:34)5´12=60(cid:151).
(cid:188)(cid:87)(cid:166)B.
3(cid:130)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:54)(cid:147)(cid:219)(cid:178)6(cid:151)(cid:28)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:146)(cid:127)(cid:223)(cid:87)(cid:221)2(cid:151)(cid:40)(cid:77)(cid:205)(cid:137)(cid:144)(cid:87)(cid:221)(cid:39)(cid:28)(cid:220)(cid:221)(cid:222)
(cid:146)(cid:206)(cid:34)1(cid:151)(cid:45)(cid:147)(cid:39)(cid:87)(cid:126)(cid:150)(cid:34)(cid:10) (cid:11)
A(cid:130)30(cid:151) B(cid:130)60(cid:151) C(cid:130)120(cid:151) D(cid:130)240(cid:151)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)C(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:45)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:34)6(cid:151)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:179)(cid:180)(cid:137)(cid:151)(cid:221)(cid:222)(cid:39)(cid:87)(cid:218)(cid:214)(cid:159)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:40)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:5)(cid:228)(cid:229)(cid:126)(cid:114)(cid:98)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:230)(cid:153)(cid:149).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:231)(cid:53)(cid:232)(cid:99)(cid:45)(cid:147)(cid:209)(cid:221)(cid:222)(cid:40)(cid:150)(cid:34)C1(cid:151)(cid:9)(cid:165)(cid:40)
6
(cid:233)(cid:225)(cid:137)(cid:144)(cid:127)(cid:223)(cid:39)(cid:171)(cid:220)(cid:170)(cid:151)(cid:221)(cid:222)(cid:45)(cid:183)(cid:234)(cid:157)(cid:179)(cid:180)(cid:39)5(cid:151)(cid:221)(cid:222)(cid:235)(cid:40)(cid:87)(cid:236)(cid:137)(cid:151)(cid:159)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:40)(cid:150)(cid:34)A2(cid:151)(cid:40)
5
(cid:226)(cid:227)(cid:5)(cid:228)(cid:229)(cid:126)(cid:114)(cid:98)(cid:77)(cid:150)(cid:34)C1×A2 =120(cid:151)(cid:40)
6 5
(cid:188)(cid:87)(cid:166)C.
4(cid:130)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:200)(cid:219)(cid:237)(cid:136)(cid:213)(cid:96)(cid:219)(cid:238)(cid:195)(cid:196)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:199)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:74)(cid:242)(cid:243)(cid:5)(cid:86)(cid:39)(cid:5)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:215)(cid:186)(cid:148)(cid:126)
(cid:247)(cid:215)(cid:186)(cid:89)(cid:33)(cid:40)(cid:248)(cid:178)(cid:249)(cid:146)(cid:250)(cid:68)(cid:32)(cid:146)(cid:250)(cid:137)(cid:244)(cid:150)(cid:215)(cid:216)60(cid:190)(cid:219)(cid:238)(cid:40)(cid:175)(cid:251)(cid:252)(cid:237)(cid:249)(cid:146)(cid:250)(cid:68)(cid:32)(cid:146)(cid:250)(cid:5)(cid:122)(cid:34)400(cid:190)(cid:68)200(cid:190)
(cid:219)(cid:238)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:215)(cid:186)(cid:84)(cid:253)(cid:150)(cid:34)(cid:10) (cid:11)(cid:130)
A(cid:130)C45 ×C15 (cid:151) B(cid:130)C20 ×C40 (cid:151)
400 200 400 200
C(cid:130)C30 ×C30 (cid:151) D(cid:130)C40 ×C20 (cid:151)
400 200 400 200
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)D
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:5)(cid:244)(cid:215)(cid:186)(cid:39)(cid:161)(cid:67)(cid:68)(cid:18)(cid:19)(cid:114)(cid:98)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:230)(cid:153)(cid:149).
400 200
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:5)(cid:244)(cid:215)(cid:186)(cid:39)(cid:99)(cid:254)(cid:251)(cid:249)(cid:146)(cid:250)(cid:150)(cid:215)(cid:216)60´ =40(cid:144)(cid:40)(cid:32)(cid:146)(cid:250)(cid:150)(cid:215)(cid:216)60´ =20(cid:40)
600 600
(cid:226)(cid:227)(cid:18)(cid:19)(cid:114)(cid:98)(cid:68)(cid:5)(cid:228)(cid:108)(cid:107)(cid:161)(cid:67)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:215)(cid:186)(cid:84)(cid:253)(cid:150)(cid:34)C40 ×C20 (cid:151).
400 200
(cid:188)(cid:87)(cid:166)D.
5(cid:130)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:34)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:24)(cid:132)(cid:24)(cid:133)(cid:24)(cid:255)5(cid:190)(cid:147)(cid:219)(cid:256)(cid:257)(cid:170)(cid:16)(cid:195)(cid:196)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:40)(cid:172)(cid:30)(cid:47)(cid:256)(cid:157)
(cid:137)(cid:262)(cid:40)(cid:132)(cid:68)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:16)(cid:17)(cid:148)(cid:98)(cid:150)(cid:34)(cid:10) (cid:11)
A(cid:130)12(cid:151) B(cid:130)24(cid:151) C(cid:130)36(cid:151) D(cid:130)48(cid:151)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)B
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:263)(cid:264)(cid:126)(cid:265)(cid:67)(cid:132)(cid:133)(cid:40)(cid:74)(cid:266)(cid:267)(cid:126)(cid:167)(cid:16)(cid:30)(cid:40)(cid:113)(cid:74)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:79)(cid:108)(cid:107)(cid:161)(cid:67)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:96)
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:268)(cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:142)(cid:157)(cid:170)(cid:269)(cid:40)(cid:53)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:263)(cid:264)(cid:40)(cid:270)(cid:271)(cid:170)(cid:138)(cid:50)(cid:51)(cid:40)(cid:207)(cid:147)(cid:31)(cid:40)(cid:255)(cid:270)(cid:257)(cid:272)(cid:138)(cid:50)(cid:51)(cid:16)(cid:17),(cid:34)3!(cid:151)(cid:16)(cid:17)(cid:148)
(cid:98)(cid:177)(cid:136)(cid:273)(cid:30)(cid:47)(cid:157)(cid:137)(cid:262)(cid:40)(cid:168)(cid:169)(cid:274)(cid:275)(cid:116)(cid:30)(cid:157)(cid:173)(cid:272)(cid:138)(cid:50)(cid:51)(cid:39)(cid:146)(cid:276)(cid:137)(cid:138)(cid:54)(cid:55)(cid:277)(cid:87)(cid:170)(cid:138)(cid:54)(cid:55)(cid:266)(cid:278)(cid:40)(cid:34)2(cid:151)(cid:266)(cid:267)(cid:148)(cid:98)(cid:177)
(cid:117)(cid:118)(cid:230)(cid:132)(cid:133)(cid:137)(cid:144)(cid:39)(cid:279)(cid:92)(cid:163)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:34)2(cid:151)(cid:16)(cid:17)(cid:148)(cid:98)(cid:40)(cid:188)(cid:167)(cid:16)(cid:205)5(cid:190)(cid:147)(cid:219)(cid:150)(cid:34)(cid:166)3!´2´2=24(cid:151)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:16)(cid:17)(cid:148)(cid:98)(cid:40)
(cid:188)(cid:87)(cid:166)B
6(cid:130)（2026·上海·高考真题）(cid:157)5(cid:138)(cid:144)(cid:146)(cid:87)3(cid:138)(cid:144)(cid:282)(cid:261)(cid:283)(cid:40)(cid:172)(cid:30)(cid:170)(cid:99)(cid:282)(cid:40)(cid:77)(cid:170)(cid:150)(cid:34)____________(cid:151)(cid:87)(cid:126).
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)6
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:84)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:251)(cid:284)(cid:115)(cid:96)(cid:162)(cid:163).(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:118)(cid:40)(cid:30)(cid:170)(cid:99)(cid:282)(cid:40)(cid:77)(cid:178)(cid:179)(cid:286)(cid:39)4(cid:144)(cid:146)(cid:277)(cid:87)2(cid:144)(cid:162)(cid:163)(cid:40)
(cid:77)(cid:170)(cid:150)(cid:34)C2 =6(cid:151)(cid:87)(cid:126).
4
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)6.
7(cid:130)（2025·上海·高考真题）4(cid:138)(cid:287)(cid:288)(cid:68)2(cid:138)(cid:289)(cid:290)(cid:282)(cid:291)(cid:292)(cid:40)6(cid:138)(cid:144)(cid:116)(cid:142)(cid:16)(cid:257)(cid:170)(cid:37)(cid:293)(cid:17)(cid:40)(cid:142)(cid:115)(cid:293)(cid:17)(cid:39)(cid:294)(cid:68)(cid:295)(cid:296)(cid:112)
(cid:287)(cid:288)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:16)(cid:17)(cid:138)(cid:107)(cid:34)_________(cid:151)(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)288
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:53)(cid:87)(cid:287)(cid:288)(cid:247)(cid:293)(cid:295)(cid:68)(cid:293)(cid:231)(cid:40)(cid:214)(cid:16)(cid:146)(cid:276)(cid:297)(cid:144)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:53)(cid:87)(cid:137)(cid:54)(cid:287)(cid:288)(cid:16)(cid:157)(cid:231)(cid:295)(cid:34)P2 =12(cid:151)(cid:16)(cid:126)(cid:177)(cid:214)(cid:16)(cid:90)(cid:146)(cid:39)(cid:297)(cid:144)(cid:34)P4 =24(cid:151)(cid:16)(cid:126)(cid:40)
4 4
(cid:188)(cid:34)12´24=288(cid:151)(cid:16)(cid:126).
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)288
8(cid:130)（2024·上海·高考真题）(cid:61)(cid:298)(cid:19)A(cid:146)(cid:39)(cid:50)(cid:51)(cid:299)(cid:136)(cid:91)(cid:63)(cid:300)(cid:107)(cid:301)(cid:39)(cid:272)(cid:54)(cid:302)(cid:303)(cid:107)(cid:40)(cid:274)(cid:50)(cid:51)(cid:146)(cid:277)(cid:118)(cid:137)(cid:193)(cid:304)(cid:305)(cid:299)(cid:136)
(cid:129)(cid:107)(cid:40)(cid:115)(cid:298)(cid:19)(cid:146)(cid:50)(cid:51)(cid:138)(cid:107)(cid:39)(cid:224)(cid:306)(cid:125)(cid:136)__________(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)329
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:232)(cid:99)(cid:128)(cid:107)(cid:224)(cid:78)1(cid:138)(cid:40)(cid:214)(cid:5)(cid:138)(cid:54)(cid:107)(cid:136)0(cid:68)(cid:47)(cid:136)0(cid:40)(cid:84)(cid:19)(cid:16)(cid:17)(cid:24)(cid:18)(cid:19)(cid:115)(cid:96)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:118)(cid:163)(cid:251)(cid:40)(cid:298)(cid:19)A(cid:146)(cid:143)(cid:138)(cid:50)(cid:51)(cid:156)(cid:307)(cid:308)(cid:40)(cid:274)(cid:50)(cid:51)(cid:146)(cid:224)(cid:78)(cid:34)(cid:170)(cid:138)(cid:128)(cid:107)(cid:40)(cid:10)(cid:172)(cid:34)2(cid:138)(cid:182)(cid:25)(cid:128)(cid:107)(cid:40)(cid:77)(cid:47)
(cid:309)(cid:310)(cid:277)(cid:118)(cid:137)(cid:193)(cid:304)(cid:305)(cid:299)(cid:136)(cid:129)(cid:107)(cid:11)(cid:40)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:112)(cid:129)(cid:107).
(cid:53)(cid:311)(cid:312)(cid:298)(cid:19)(cid:146)(cid:91)(cid:63)(cid:300)(cid:107)(cid:301)(cid:39)(cid:272)(cid:54)(cid:129)(cid:107)(cid:177)
(cid:10)1(cid:11)(cid:172)(cid:138)(cid:54)(cid:136)0(cid:40)(cid:205)(cid:186)(cid:39)(cid:129)(cid:107)(cid:34)A2 =72(cid:138)(cid:177)
9
(cid:10)2(cid:11)(cid:172)(cid:138)(cid:54)(cid:47)(cid:136)0(cid:40)(cid:205)(cid:186)(cid:39)(cid:129)(cid:107)(cid:34)C1×C1×C1 =256(cid:138)(cid:177)
4 8 8
(cid:181)(cid:182)(cid:298)(cid:19)(cid:50)(cid:51)(cid:138)(cid:107)(cid:224)(cid:306)(cid:125)(cid:136)256+72+1=329(cid:138)(cid:130)
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)329
9(cid:130)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:157)(cid:85)(cid:313)(cid:39)4×4(cid:39)(cid:148)(cid:314)(cid:315)(cid:146)(cid:87)4(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:40)(cid:142)(cid:115)(cid:143)(cid:160)(cid:68)(cid:143)(cid:17)(cid:296)(cid:206)(cid:34)(cid:170)(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:316)
(cid:87)(cid:146)(cid:40)(cid:77)(cid:150)(cid:34)________(cid:151)(cid:87)(cid:126)(cid:40)(cid:157)(cid:181)(cid:34)(cid:119)(cid:19)(cid:25)(cid:317)(cid:142)(cid:115)(cid:39)(cid:87)(cid:126)(cid:146)(cid:40)(cid:87)(cid:146)(cid:148)(cid:314)(cid:146)(cid:39)4(cid:138)(cid:107)(cid:304)(cid:68)(cid:39)(cid:224)(cid:306)(cid:125)(cid:112)________(cid:130)(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154) 24 112
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:118)(cid:163)(cid:251)(cid:318)(cid:170)(cid:24)(cid:22)(cid:24)(cid:272)(cid:24)(cid:297)(cid:17)(cid:5)(cid:122)(cid:34)4(cid:24)3(cid:24)2(cid:24)1(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:163)(cid:87)(cid:177)(cid:113)(cid:74)(cid:17)(cid:319)(cid:126)(cid:320)(cid:236)(cid:181)(cid:34)(cid:39)(cid:163)(cid:321)(cid:84)(cid:253)(cid:40)
(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:96).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:118)(cid:251)(cid:40)(cid:87)4(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:40)(cid:143)(cid:160)(cid:68)(cid:143)(cid:17)(cid:296)(cid:206)(cid:34)(cid:170)(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:316)(cid:87)(cid:146)(cid:40)
(cid:77)(cid:318)(cid:170)(cid:17)(cid:34)4(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:163)(cid:87)(cid:40)(cid:318)(cid:22)(cid:17)(cid:34)3(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:163)(cid:87)(cid:40)
(cid:318)(cid:272)(cid:17)(cid:34)2(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:163)(cid:87)(cid:40)(cid:318)(cid:297)(cid:17)(cid:34)1(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:163)(cid:87)(cid:40)
(cid:181)(cid:182)(cid:150)(cid:34)4´3´2´1=24(cid:151)(cid:87)(cid:126)(cid:177)
(cid:143)(cid:151)(cid:87)(cid:126)(cid:163)(cid:29)(cid:211)(cid:136)(a,b,c,d)(cid:40)a,b,c,d (cid:5)(cid:122)(cid:315)(cid:322)(cid:318)(cid:170)(cid:24)(cid:22)(cid:24)(cid:272)(cid:24)(cid:297)(cid:17)(cid:39)(cid:107)(cid:301)(cid:40)
(cid:77)(cid:181)(cid:34)(cid:39)(cid:163)(cid:321)(cid:84)(cid:253)(cid:136)(cid:166)
(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)(cid:40)
(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)(cid:40)
(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)(cid:40)
(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)(cid:40)
(cid:181)(cid:182)(cid:87)(cid:146)(cid:39)(cid:148)(cid:314)(cid:146)(cid:40)(15,21,33,43)(cid:39)4(cid:138)(cid:107)(cid:304)(cid:68)(cid:224)(cid:306)(cid:40)(cid:136)15+21+33+43=112.
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)24(cid:177)112
(cid:152)(cid:4)(cid:323)(cid:154)(cid:141)(cid:324)(cid:4)(cid:4)(cid:323)(cid:166)(cid:96)(cid:325)(cid:94)(cid:13)(cid:39)(cid:141)(cid:324)(cid:112)(cid:232)(cid:99)(cid:318)(cid:170)(cid:24)(cid:22)(cid:24)(cid:272)(cid:24)(cid:297)(cid:17)(cid:5)(cid:122)(cid:34)4(cid:24)3(cid:24)2(cid:24)1(cid:138)(cid:148)(cid:314)(cid:163)(cid:87)(cid:40)(cid:113)(cid:74)(cid:17)
(cid:319)(cid:126)(cid:320)(cid:236)(cid:181)(cid:34)(cid:39)(cid:163)(cid:321)(cid:84)(cid:253).
10(cid:130)（2023·上海·高考真题）(cid:267)(cid:276)(cid:326)(cid:327)(cid:157)(cid:272)(cid:4)A(cid:24)B(cid:24)C(cid:40)(cid:309)(cid:310)AB= AC =BC =1(cid:40)(cid:157)(cid:267)(cid:276)(cid:326)(cid:216)(cid:47)(cid:147)(cid:137)(cid:4)(cid:10)(cid:47)
(cid:108)(cid:279)(cid:92)(cid:11)(cid:40)(cid:273)(cid:209)(cid:205)(cid:137)(cid:4)(cid:79)A(cid:24)B(cid:24)C(cid:163)(cid:182)(cid:18)(cid:257)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:40)(cid:115)(cid:148)(cid:149)(cid:107)(cid:136)______(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)9
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:13)(cid:118)(cid:40)(cid:53)(cid:3)(cid:330)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:146)(cid:272)(cid:138)(cid:4)(cid:331)(cid:257)(cid:56)(cid:332)(cid:272)(cid:333)(cid:334)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:5)(cid:6)(cid:69)(cid:70)VABC(cid:136)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:39)(cid:62)(cid:335)(cid:187)
(cid:90)(cid:333)(cid:335)(cid:137)(cid:151)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:214)(cid:84)(cid:19)VABC(cid:272)(cid:332)(cid:39)(cid:336)(cid:281)(cid:90)(cid:337)(cid:93)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:96).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:268)(cid:136)(cid:267)(cid:276)(cid:146)(cid:34)(cid:272)(cid:138)(cid:4)A(cid:24)B(cid:24)C(cid:40)(cid:274)AB=BC =CA=1(cid:40)
(cid:47)(cid:210)(cid:53)(cid:3)(cid:330)(cid:157)(cid:170)(cid:138)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:146)(cid:40)(cid:338)(cid:272)(cid:138)(cid:4)(cid:163)(cid:182)(cid:331)(cid:257)(cid:56)(cid:332)(cid:272)(cid:333)(cid:334)(cid:40)(cid:147)(cid:174)(cid:3)(cid:330)VABC(cid:272)(cid:332)(cid:39)(cid:336)(cid:281)(cid:90)(cid:337)(cid:93)(cid:40)(cid:163)(cid:53)(cid:5)
(cid:136)(cid:137)(cid:151)(cid:306)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:162)(cid:182)(cid:286)(cid:137)(cid:151)(cid:166)
(cid:318)(cid:170)(cid:151)(cid:166)VABC(cid:136)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:39)(cid:62)(cid:335)(cid:40)(cid:85)(cid:313)1(cid:40)
(cid:173)(cid:174)AB,BC,AC(cid:5)(cid:122)(cid:339)(cid:183)(cid:136)(cid:340)(cid:335)(cid:302)(cid:148)(cid:334)(cid:39)(cid:170)(cid:332)(cid:174)(cid:40)(cid:90)(cid:73)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:107)(cid:341)(cid:233)(cid:112)(cid:45)(cid:147)(cid:39);
(cid:47)(cid:210)(cid:182)BC(cid:136)(cid:243)(cid:40)(cid:173)(cid:174)(cid:119)(cid:19)(cid:142)(cid:115)(cid:39)(cid:171)(cid:137)(cid:138)(cid:4)(cid:85)(cid:313)1(cid:181)(cid:322)(cid:40)(cid:341)(cid:233)(cid:34)(cid:137)(cid:151)(cid:9)(cid:165)(cid:40)
(cid:3)(cid:330)(cid:230)VABC(cid:272)(cid:332)(cid:39)(cid:336)(cid:281)(cid:90)(cid:337)(cid:93)(cid:40)(cid:188)(cid:342)(cid:343)(cid:9)(cid:165)(cid:34)6(cid:151)(cid:177)(cid:318)(cid:22)(cid:151)(cid:166)VABC(cid:136)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:39)(cid:90)(cid:333)(cid:335)(cid:40)(cid:85)(cid:313)2(cid:40)
(cid:173)(cid:174)AB,BC,AC(cid:5)(cid:122)(cid:339)(cid:183)(cid:340)(cid:335)(cid:302)(cid:148)(cid:334)(cid:39)(cid:170)(cid:90)(cid:333)(cid:344)(cid:174)(cid:40)(cid:90)(cid:73)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:107)(cid:341)(cid:233)(cid:217)(cid:112)(cid:45)(cid:147)(cid:39);
(cid:47)(cid:345)(cid:182)BC(cid:136)(cid:243)(cid:40)(cid:173)(cid:174)(cid:119)(cid:19)(cid:142)(cid:115)(cid:39)(cid:171)(cid:137)(cid:138)(cid:4)(cid:313)2(cid:181)(cid:322)(cid:40)(cid:341)(cid:233)(cid:275)(cid:34)(cid:170)(cid:151)(cid:9)(cid:165)(cid:40)
(cid:3)(cid:330)(cid:230)VABC(cid:272)(cid:332)(cid:39)(cid:336)(cid:281)(cid:90)(cid:337)(cid:93)(cid:40)(cid:188)(cid:342)(cid:343)(cid:9)(cid:165)(cid:34)3(cid:151)(cid:177)
(cid:346)(cid:25)(cid:181)(cid:317)(cid:166)(cid:343)(cid:150)(cid:34)9(cid:151)(cid:9)(cid:165).
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)9.
(cid:152)(cid:4)(cid:323)(cid:154)(cid:141)(cid:324)(cid:4)(cid:323)(cid:166)(cid:94)(cid:13)(cid:96)(cid:325)(cid:39)(cid:141)(cid:324)(cid:112)(cid:117)(cid:118)(cid:230)VABC(cid:136)(cid:302)(cid:272)(cid:333)(cid:334)(cid:40)(cid:178)(cid:342)(cid:3)(cid:330)(cid:302)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:146)(cid:272)(cid:138)(cid:4)(cid:331)(cid:257)(cid:56)(cid:332)(cid:272)(cid:333)
(cid:334)(cid:39)(cid:9)(cid:165)(cid:40)(cid:84)(cid:19)VABC(cid:272)(cid:332)(cid:39)(cid:336)(cid:281)(cid:90)(cid:337)(cid:93)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:96).
11(cid:130)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:200)(cid:219)(cid:237)(cid:347)(cid:61)(cid:213)4(cid:348)(cid:239)(cid:240)(cid:6)(cid:87)(cid:349)(cid:28)(cid:68)4(cid:348)(cid:259)(cid:140)(cid:6)(cid:87)(cid:349)(cid:28)(cid:40)(cid:219)(cid:238)(cid:116)(cid:178)(cid:205)8(cid:348)
(cid:28)(cid:146)(cid:87)(cid:349)2(cid:348)(cid:187)3(cid:348)(cid:28)(cid:40)(cid:350)(cid:274)(cid:143)(cid:6)(cid:87)(cid:349)(cid:28)(cid:351)(cid:352)(cid:87)(cid:349)1(cid:348)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:87)(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)________(cid:151)(cid:10)(cid:74)(cid:107)(cid:301)(cid:247)
(cid:153)(cid:11)(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)64
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:5)(cid:6)(cid:69)(cid:70)(cid:87)(cid:349)2(cid:348)(cid:187)3(cid:348)(cid:28)(cid:40)(cid:90)(cid:87)(cid:349)3(cid:348)(cid:40)(cid:214)(cid:69)(cid:70)(cid:353)(cid:239)(cid:87)(cid:349)(cid:28)(cid:39)(cid:5)(cid:86)(cid:40)(cid:84)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:107)(cid:241)(cid:109)(cid:115)(cid:96).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:10)1(cid:11)(cid:183)(cid:178)8(cid:348)(cid:28)(cid:146)(cid:87)(cid:349)2(cid:348)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:87)(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)C1C1 =16(cid:151)(cid:177)
4 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:183)(cid:178)8(cid:348)(cid:28)(cid:146)(cid:87)(cid:349)3(cid:348)(cid:40)
(cid:172)(cid:239)(cid:240)(cid:6)(cid:87)(cid:349)(cid:28)1(cid:348)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:87)(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)C1C2 =24(cid:151)(cid:177)
4 4
①
(cid:172)(cid:239)(cid:240)(cid:6)(cid:87)(cid:349)(cid:28)2(cid:348)(cid:40)(cid:77)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:87)(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)C2C1 =24(cid:151)(cid:177)
4 4
②(cid:346)(cid:25)(cid:181)(cid:317)(cid:166)(cid:47)(cid:147)(cid:39)(cid:87)(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)16+24+24=64(cid:151).
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)64.
12(cid:130)（2022·上海·高考真题）(cid:175)(cid:251)(cid:34)1(cid:24)2(cid:24)3(cid:24)4(cid:297)(cid:138)(cid:107)(cid:301)(cid:18)(cid:257)(cid:91)(cid:63)(cid:300)(cid:107)(cid:301)(cid:40)(cid:77)(cid:242)2134(cid:306)(cid:39)(cid:297)(cid:54)(cid:107)(cid:39)(cid:138)(cid:107)(cid:136)
________
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)17
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:53)(cid:5)(cid:6)(cid:214)(cid:5)(cid:228)(cid:40)(cid:354)(cid:355)(cid:54)(cid:136)3,4,2(cid:5)(cid:136)(cid:272)(cid:6)(cid:40)(cid:214)(cid:356)(cid:357)(cid:167)(cid:16)(cid:358)(cid:54)(cid:68)(cid:359)(cid:54)(cid:40)(cid:162)(cid:163)(cid:108)(cid:109)(cid:236)(cid:309)(cid:310)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:297)(cid:54)(cid:107)(cid:138)(cid:107).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:355)(cid:54)(cid:136)3(cid:68)4(cid:174)(cid:40)(cid:18)(cid:257)(cid:39)(cid:297)(cid:54)(cid:107)(cid:156)(cid:242)2134(cid:306)(cid:40)(cid:34)2A3 =12(cid:138)(cid:40)
3
(cid:355)(cid:54)(cid:136)2(cid:174)(cid:40)(cid:358)(cid:54)(cid:136)3(cid:187)4(cid:39)(cid:297)(cid:54)(cid:107)(cid:156)(cid:242)2134(cid:306)(cid:40)(cid:34)2A2 =4(cid:138)(cid:40)
2
(cid:355)(cid:54)(cid:136)2(cid:174)(cid:40)(cid:358)(cid:54)(cid:136)1(cid:40)(cid:275)(cid:34)2143(cid:242)2134(cid:306)(cid:40)(cid:34)1(cid:138)(cid:40)
(cid:77)(cid:18)(cid:257)(cid:39)(cid:297)(cid:54)(cid:107)(cid:242)2134(cid:306)(cid:39)(cid:170)(cid:150)(cid:34)17(cid:138).
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)17.
考点 02 二项式定理
1(cid:130)（2026·北京·高考真题）(cid:175)(cid:251)(a- x)7(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:39)x2(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:112)280(cid:40)(cid:77)a=(cid:10) (cid:11)
A(cid:130)2 B(cid:130)-2 C(cid:130)1 D(cid:130)-1
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)A
k
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(a- x)7(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:136) T =Cka7-k(- x)k =Cka7-k(-1)kx2 (cid:40)(cid:145)(cid:146)kÎ{0,1,2,¼,7}.
k+1 7 7
k
(cid:361) =2(cid:40)(cid:96)(cid:209)k =4(cid:40)(cid:77)x2(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C4a7-4(-1)4.
2 7
C4 =35(cid:40)(-1)4 =1(cid:40)(cid:274)(cid:175)(cid:251)x2(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)280(cid:40)
7
∵ 35a3 =280(cid:40)(cid:162)a3 =8(cid:40)(cid:96)(cid:209)a=2.
∴ 2(cid:130)（2024·北京·高考真题）(cid:157)  x- x 4 (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)x3(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)(cid:10) (cid:11)
A(cid:130)6 B(cid:130)-6 C(cid:130)12 D(cid:130)-12
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)A
r
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:320)(cid:236)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:40)(cid:361)4- =3(cid:40)(cid:96)(cid:236)r(cid:233)(cid:225)(cid:362)(cid:363)(cid:278)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:106)(cid:107)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:96).
2
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)  x- x 4 (cid:39)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:136)T =Crx4-r  - x r =Cr-1r x 4- 2 r ,r=0,1,2,3,4(cid:40)
r+1 4 4
r
(cid:361)4- =3(cid:40)(cid:96)(cid:209)r=2(cid:40)
2
(cid:188)(cid:181)(cid:115)(cid:162)(cid:136)C2-12 =6.
4
(cid:188)(cid:87)(cid:166)A.
æ 1ö 5
3(cid:130)（2023·北京·高考真题） ç2x- ÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)(cid:10) (cid:11)
è xø
A(cid:130)-80 B(cid:130)-40 C(cid:130)40 D(cid:130)80(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)D
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:364)(cid:365)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:108)(cid:109)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:90)(cid:234) æ ç2x- 1ö ÷ 5 (cid:40)(cid:285)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:209)T =Cr2x5-ræ ç- 1ö ÷ r =-1r×25-r×Crx5-2r(cid:40)
è xø r+1 5 è xø 5
(cid:361)5-2r=1(cid:96)(cid:209)r=2(cid:40)
(cid:77)(cid:181)(cid:115)(cid:106)(cid:107)(cid:136)-12×25-2×C2 =80(cid:40)
5
(cid:188)(cid:87)(cid:166)D
4(cid:130)（2022·北京·高考真题）(cid:172)(2x-1)4 =a x4+a x3+a x2+a x+a (cid:40)(cid:77)a +a +a =(cid:10) (cid:11)
4 3 2 1 0 0 2 4
A(cid:130)40 B(cid:130)41 C(cid:130)-40 D(cid:130)-41
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)B
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:163)(cid:115)a +a +a (cid:39)(cid:125).
0 2 4
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:361)x=1(cid:40)(cid:77)a +a +a +a +a =1(cid:40)
4 3 2 1 0
(cid:361)x=-1(cid:40)(cid:77)a -a +a -a +a =-34 =81(cid:40)
4 3 2 1 0
1+81
(cid:188)a +a +a = =41(cid:40)
4 2 0 2
(cid:188)(cid:87)(cid:166)B.
5(cid:130)（2026·上海·高考真题）(cid:175)(cid:251)(x2+x)5(cid:40)(cid:77)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x7(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)__________(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)10
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:320)(cid:236)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:40)(cid:361)x(cid:39)(cid:357)(cid:107)(cid:136)7(cid:40)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:236)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x7(cid:39)(cid:106)(cid:107).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:118)(cid:40)
(cid:157) x2+x 5 (cid:146)(cid:40)(cid:43)(cid:97)Ck x25-k xk =Ckx10-kk =0,1,2,3,4,5(cid:40)
5 5
(cid:183)10-k =7(cid:162)k =3(cid:174)(cid:40)Ckx10-k =C3x7 =10x7(cid:40)
5 5
(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x7(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)10.
∴ 6(cid:130)（2026·天津·高考真题）(x+2y)4(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x3y(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)__________(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)
8
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:209)(cid:230)x+2y4(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:96).(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:40)x+2y4(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:136)T =Crx4-r2yr =Cr2rx4-ryr(cid:40)
r+1 4 4
(cid:183)r=1(cid:174)(cid:40)T =C1x4-12y1 =C121x3y(cid:40)(cid:268)(cid:173)x3y(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C121 =4´2=8.
2 4 4 4
æ1 ö 6 1
7(cid:130)（2026·上海·高考真题）
ç
+3x2
÷
(cid:39)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40) (cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)____________.
èx ø x3
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)18
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:320)(cid:236)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)T =Ck3kx3k-6(cid:40)(cid:361)3k-6=-3(cid:40)(cid:96)(cid:236)k(cid:40)(cid:363)(cid:278)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:230)(cid:153)(cid:149).
k+1 6
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:136)T =Ck æ
ç
1ö
÷
6-k  3x2k =Ck3kx3k-6(cid:40)
k+1 6 èxø 6
(cid:361)3k-6=-3(cid:40)(cid:96)(cid:209)k=1(cid:40)
1
(cid:181)(cid:182) (cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C1´3=18.
x3 6
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)18.
8(cid:130)（2025·北京·高考真题）(cid:175)(cid:251)(1-2x)4 =a -2ax+4a x2-8a x3+16a x4(cid:40)(cid:77)a =________(cid:177)
0 1 2 3 4 0
a +a +a +a =________(cid:130)
1 2 3 4
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154) 1 15
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:163)(cid:115)a (cid:40)(cid:113)(cid:74)(cid:281)(cid:50)(cid:126)(cid:84)(cid:19)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:163)(cid:115)a +a +a +a (cid:39)(cid:125).
0 1 2 3 4
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:361)x=0(cid:40)(cid:77)a =1(cid:40)
0
(cid:366)1-2x4 =a -2ax+4a x2-8a x3+16a x4(cid:40)
0 1 2 3 4
(cid:188)1-2x4 =a +a -2x+a -2x2+a -2x3+a -2x4(cid:40)
0 1 2 3 4
(cid:361)t =-2x(cid:40)(cid:77)1+t4 =a +at+a t2+at3+a t4(cid:40)
0 1 2 3 4
(cid:361)t=1(cid:40)(cid:77)a +a +a +a +a =24(cid:40)(cid:188)a +a +a +a =15
0 1 2 3 4 1 2 3 4
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)1,15.
9(cid:130)（2025·天津·高考真题）(cid:157)x-16(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)x3(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)________(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)-20
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:45)(cid:141)(cid:251)(cid:284)(cid:367)(cid:368)(cid:108)(cid:109)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)x-16(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:136)T =Crx6-r×-1r(cid:40)
r+1 6(cid:183)r=3(cid:174)(cid:40)T =C3x3×-13 =-20x3(cid:40)
4 6
(cid:162)x-16(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x3(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)-20.
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)-20
10(cid:130)（2025·上海·高考真题）(cid:157)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(2x-1)5(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)x3(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)_________(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)80
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:115)(cid:96)(cid:163)(cid:209).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)T =Cr×25-r×x5-r×(-1)r =Cr×(-1)r×25-rx5-r(cid:40)
r+1 5 5
(cid:361)5-r=3(cid:40)(cid:209)r=2(cid:40)
(cid:163)(cid:209)x3(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C2×(-1)2×25-2 =80.
5
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)80.
æ mö 6
11(cid:130)（2025·上海·高考真题）(cid:175)(cid:251) çx+ ÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:136)20(cid:40)(cid:77)(cid:80)(cid:107)m(cid:39)(cid:125)(cid:136)______(cid:130)
è x ø
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)1
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:48)(cid:369)(cid:163)(cid:209)C3m3 =20(cid:40)(cid:159)(cid:342)(cid:163)(cid:115)(cid:96).
6
æmö r
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:136)C 6 rx6-r ç è x ÷ ø =C 6 rmrx6-2r(cid:40)(cid:361)6-2r=0(cid:96)(cid:209)r=3(cid:40) C3 6 m3 =20(cid:130)
∴
m=1(cid:130)
∴(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)1
12(cid:130)（2024·上海·高考真题）(cid:157)x+1n(cid:39)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)(cid:172)(cid:127)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:68)(cid:136)32(cid:40)(cid:77)x2(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)_________(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)10
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:370)(cid:99)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:115)(cid:236)(cid:371)(cid:372)(cid:107)n(cid:40)(cid:214)(cid:113)(cid:74)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:115)(cid:236)(cid:372)(cid:99)(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:77)(cid:22)(cid:97)(cid:98)x+1n(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:127)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:68)(cid:136)32(cid:40)(cid:209)2n =32(cid:40)(cid:96)(cid:209)n=5(cid:40)
(cid:181)(cid:182)(x+1)5(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)x2(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C3 =10.
5
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)10
13(cid:130)（2024·上海·高考真题） x-16 (cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x4(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)______.
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)15(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:370)(cid:99)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:113)(cid:74)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:367)(cid:368)(cid:115)(cid:236)(cid:84)(cid:253).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)x-16 (cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:361)x4(cid:39)(cid:97)(cid:136)C2x4(-1)2 =15x4(cid:40)
6
(cid:181)(cid:182)x-16 (cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x4(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)15.
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)15
æ1 ö 10
14(cid:130)（2024·全国甲卷·高考真题） ç +x÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)(cid:127)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:146)(cid:39)(cid:224)(cid:306)(cid:125)(cid:136)______(cid:130)
è3 ø
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)5
ì æ1ö 10-r æ1ö 9-r
ïCr
ç ÷
³Cr+1
ç ÷
ï 10 è3ø 10 è3ø
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:53)(cid:61)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:318)r+1(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:224)(cid:306)(cid:40)(cid:77)(cid:226)(cid:227)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:34)í (cid:40)(cid:159)(cid:342)(cid:115)(cid:236)r(cid:162)(cid:163)(cid:115)
ï æ1ö 10-r æ1ö 11-r
ï î C 1 r 0 ç è3 ÷ ø ³C 1 r 0 -1 ç è3 ÷ ø
(cid:96).
æ1ö 10-r
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:136)T =Cr
ç ÷
xr(cid:40)0£r£10(cid:274)rÎZ(cid:40)
r+1 10 è3ø
ì æ1ö 10-r æ1ö 9-r
ïCr
ç ÷
³Cr+1
ç ÷
ï 10 è3ø 10 è3ø
(cid:61)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:318)r+1(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:224)(cid:306)(cid:40)(cid:77)í (cid:40)
ï æ1ö 10-r æ1ö 11-r
ï î C 1 r 0 ç è3 ÷ ø ³C 1 r 0 -1 ç è3 ÷ ø
ì 29
r³
ï
ï 4 29 33
Þí (cid:40)(cid:162) £r£ (cid:40)(cid:366)rÎZ(cid:40)(cid:188)r=8(cid:40)
33 4 4
ïr£
ïî 4
æ1ö 2
(cid:181)(cid:182)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:106)(cid:107)(cid:224)(cid:306)(cid:39)(cid:97)(cid:112)(cid:318)9(cid:97)(cid:40)(cid:274)(cid:252)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C8
ç ÷
=5.
10 è3ø
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)5.
6
æx2 3 ö
15(cid:130)（2024·天津·高考真题）(cid:157)ç + ÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:136)______(cid:130)
è 3 x2 ø
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)20
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:13)(cid:118)(cid:84)(cid:19)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:5)(cid:155)(cid:115)(cid:96)(cid:162)(cid:163).
æx2 3 ö 6 æx2 ö 6-r æ 3 ö r
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:268)(cid:136)ç + ÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:136)T =Cr ç ÷ ç ÷ =32r-6Crx12-4r,r=0,1,×××,6(cid:40)
è 3 x2 ø r+1 6 è 3 ø èx2 ø 6
(cid:361)12-4r=0(cid:40)(cid:163)(cid:209)r=3(cid:40)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:136)30C3 =20.
6
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)20.
16(cid:130)（2023·上海·高考真题）(cid:175)(cid:251)1+2023x100+2023-x100 =a +ax+a x2+¼+a x100(cid:40)(cid:145)(cid:146)
0 1 2 100
a ,a ,a ,¼,a ÎR(cid:40)(cid:172)(cid:327)(cid:157)kÎ0,1,2,¼,100(cid:40)(cid:273)(cid:209)a <0(cid:257)(cid:373)(cid:40)(cid:77)k(cid:39)(cid:224)(cid:306)(cid:125)(cid:112)_____________(cid:130)
0 1 2 100 k
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)49
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:48)(cid:369)(cid:163)(cid:209)a =Ck ×[2023k +(-1)k×2023100-k](cid:40)(cid:162)(cid:163)(cid:226)(cid:227)k(cid:136)(cid:128)(cid:107)(cid:115)(cid:96).
k 100
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:61)(cid:40)(cid:374)(cid:332)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:136)
T =Cr ×(2023x)r +Cr ×2023100-r×(-x)r(cid:40)
r+1 100 100
=Cr ×[2023r +(-1)r×2023100-r]×xr,rÎ0,1,2,L,100(cid:177)
100
(cid:181)(cid:182)(cid:40)(cid:285)(cid:13)(cid:61)(cid:209)a =Ck ×[2023k +(-1)k×2023100-k](cid:40)kÎ0,1,2,L,100
k 100
(cid:268)(cid:136)Ck >0(cid:40)(cid:142)(cid:273)(cid:209)a <0(cid:257)(cid:373)(cid:40)(cid:77)k(cid:136)(cid:128)(cid:107)(cid:40)
100 k
(cid:162)k(cid:136)(cid:128)(cid:107)(cid:40)(cid:274)2023k -2023100-k <0(cid:375)(cid:257)(cid:373)(cid:40)
(cid:77)(cid:56)(cid:376)(cid:136)2023k <2023100-k Ûk <100-k Ûk <50(cid:40)(cid:366)k(cid:112)(cid:302)(cid:128)(cid:107)(cid:40)(cid:188)k(cid:39)(cid:224)(cid:306)(cid:125)(cid:136)49(cid:40)
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)49
æ 1ö 6
17(cid:130)（2023·天津·高考真题）(cid:157) ç2x3-
÷
(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)x2(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)_________(cid:130)
è xø
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)60
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:285)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:320)(cid:236)(cid:145)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)T =-1k´26-k´Ck´x18-4k(cid:40)(cid:361)18-4k =2(cid:232)(cid:99)k(cid:39)(cid:125)(cid:40)
k+1 6
(cid:233)(cid:225)(cid:108)(cid:109)x2(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)T =Ck 2x36-kæ ç- 1ö ÷ k =-1k´26-k´Ck´x18-4k(cid:40)
k+1 6 è xø 6
(cid:361)18-4k =2(cid:163)(cid:209)(cid:40)k =4(cid:40)
(cid:77)x2(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)-14´26-4´C4 =4´15=60.
6
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)60.
18(cid:130)（2023·上海·高考真题）(cid:61)(1-2x)4 =a +ax+a x2+a x3+a x4(cid:40)(cid:77)a +a =________________(cid:130)
0 1 2 3 4 0 4
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)17(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:115)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:68)x4(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:22)(cid:97)(cid:98) (1-2x)4(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:136)T =Cr1r(-2x)4-r =(-2)4-rCrx4-r(cid:40)
r+1 4 4
(cid:183)4-r=0(cid:40)(cid:162)r=4(cid:174)(cid:40)a =(-2)4-4C4 =1(cid:40)
0 4
(cid:183)4-r=4(cid:40)(cid:162)r=0(cid:174)(cid:40)a =(-2)4-0C0 =16(cid:40)
4 4
(cid:181)(cid:182)a +a =17(cid:40)
0 4
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)17
æ 3 ö 5
19(cid:130)（2022·天津·高考真题）(cid:157) ç x+ ÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:112)______.
è x2 ø
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)15
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:113)(cid:74)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:48)(cid:369)(cid:40)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:96).
æ 3 ö 5  5-r æ 3 ö r 5-5r
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:118) ç x+ ÷ (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:136)T =Cr× x ×ç ÷ =Cr×3r×x 2 ,r=0,1,2,3,4,5(cid:40)
è x2 ø r+1 5 èx2 ø 5
5-5r æ 3 ö 5
(cid:361) 2 =0(cid:162)r=1(cid:40)(cid:77)C 5 r×3r =C1 5 ×3=15(cid:40)(cid:181)(cid:182) ç è x+ x2 ÷ ø (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:39)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:136)15.
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)15.
20(cid:130)（2022·上海·高考真题）(cid:22)(cid:97)(cid:98)3+xn(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)x2(cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:112)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:39)5(cid:377)(cid:40)(cid:77)n=___________(cid:177)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)10
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:53)(cid:320)(cid:236)(cid:22)(cid:97)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:40)(cid:361)r=2 (cid:209)x2(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:40)(cid:361)r=0(cid:209)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:40)(cid:214)(cid:285)(cid:175)(cid:251)(cid:17)(cid:236)(cid:56)(cid:98)(cid:40)(cid:96)
(cid:236)n(cid:162)(cid:163).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:285)(cid:13)(cid:251)T =Cr3n-rxr (cid:40)(cid:183)r=2 (cid:174)(cid:40)x2(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C23n-2 (cid:177)(cid:183)r=0 (cid:174)(cid:40)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:136)C03n (cid:177)
r+1 n n n
(cid:366)x2(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:112)(cid:42)(cid:107)(cid:97)(cid:39)5(cid:377)(cid:40)(cid:181)(cid:182)C23n-2 =5C03n(cid:40)(cid:96)(cid:209)n=10 .
n n
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)10
21(cid:130)（2022·浙江·高考真题）(cid:175)(cid:251)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(x+2)(x-1)4 =a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5(cid:40)(cid:77)a =
0 1 2 3 4 5 2
__________(cid:40)a +a +a +a +a =___________(cid:130)
1 2 3 4 5
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154) 8 -2
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:318)(cid:170)(cid:267)(cid:113)(cid:74)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:367)(cid:368)(cid:115)(cid:96)(cid:162)(cid:163)(cid:40)(cid:318)(cid:22)(cid:267)(cid:124)(cid:125)(cid:282)(cid:115)(cid:40)(cid:361)x=0(cid:115)(cid:236)a (cid:40)(cid:214)(cid:361)x=1(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:236)(cid:153)(cid:149)(cid:130)
0(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:378)x2(cid:39)(cid:97)(cid:136)(cid:166)x×C3×x×-13+2×C2×x2×-12 =-4x2+12x2 =8x2(cid:40)(cid:188)a =8(cid:177)
4 4 2
(cid:361)x=0(cid:40)(cid:162)2=a (cid:40)
0
(cid:361)x=1(cid:40)(cid:162)0=a +a +a +a +a +a (cid:40)
0 1 2 3 4 5
a +a +a +a +a =-2(cid:40)
1 2 3 4 5
∴(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)8(cid:177)-2(cid:130)
æ yö
22(cid:130)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）ç1- ÷(x+ y)8(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x2y6(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)________________(cid:10)(cid:74)(cid:107)(cid:301)
è xø
(cid:247)(cid:153)(cid:11)(cid:130)
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)-28
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154) æ ç1- yö ÷ x+y8 (cid:163)(cid:379)(cid:136)x+y8 - y x+y8 (cid:40)(cid:84)(cid:19)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:114)(cid:98)(cid:115)(cid:96).
è xø x
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154)(cid:268)(cid:136) æ ç1- yö ÷ x+y8=x+y8 - y x+y8 (cid:40)
è xø x
(cid:181)(cid:182) æ ç1- yö ÷ x+y8 (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:378)x2y6(cid:39)(cid:97)(cid:136)C6x2y6- y C5x3y5 =-28x2y6(cid:40)
è xø 8 x 8
æ ç1- yö ÷ x+y8 (cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)x2y6(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)-28
è xø
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)-28
æ 1ö 12 1
23(cid:130)（2022·上海·高考真题）(cid:157) çx3+
÷
(cid:39)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:40)(cid:378) (cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)________
è xø x4
(cid:152)(cid:153)(cid:149)(cid:154)66
(cid:152)(cid:5)(cid:155)(cid:154)(cid:320)(cid:236)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:40)(cid:361)x(cid:39)(cid:372)(cid:107)(cid:136)-4(cid:40)(cid:115)(cid:236)(cid:195)(cid:107)(cid:39)(cid:125)(cid:40)(cid:363)(cid:278)(cid:43)(cid:97)(cid:225)(cid:162)(cid:163)(cid:209)(cid:96).
(cid:152)(cid:164)(cid:96)(cid:154) æ çx3+ 1ö ÷ 12 (cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:136)T =Cr ×  x312-r × æ ç 1ö ÷ r =Cr ×x36-4r(cid:40)
è xø r+1 12 èxø 12
1
(cid:361)36-4r=-4(cid:40)(cid:163)(cid:209)r=10(cid:40)(cid:268)(cid:173)(cid:40)(cid:360)(cid:347)(cid:98)(cid:146)(cid:378) (cid:97)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:136)C10 =66.
x4 12
(cid:188)(cid:153)(cid:149)(cid:136)(cid:166)66.