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专题11 排列组合与二项式定理
1．（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（新高考北京卷）
的二项展开式中
的系数为（ ）
A．15
B．6
C．
D．
3．（新课标全国Ⅱ卷）在如图的4×4 方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共
有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是 ．
4．（全国甲卷数学（理））
的展开式中，各项系数的最大值是 ．
5．（全国甲卷数学（理））有6 个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3
次，每次取1 个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则
与
差的绝对值不超过
的概率是 ．
6．（新高考上海卷）在
的二项展开式中，若各项系数和为32，则
项的系数为 ．
7．（新高考上海卷）设集合
中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，
求集合中元素个数的最大值 ．
1
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8．（新高考北京卷）在
的展开式中，常数项为 ．
一、单选题
1．（2024·陕西·三模）2024 年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同
的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方
式共有（ ）
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
2．（2024·河南·模拟预测）
的展开式中x 的系数为（ ）
A．30
B．40
C．70
D．80
3．（2024·北京·三模）在
展开式中，常数项的二项式系数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．（2024·福建厦门·三模）某校5 名同学到A、B、C 三家公司实习，每名同学只能去1 家公司，每家公司
至多接收2 名同学.若同学甲去A 公司，则不同的安排方法共有（ ）
A．18 种
B．30 种
C．42 种
D．60 种
5．（2024·湖南衡阳·三模）
展开式中系数为无理数的项共有（ ）
A．2 项
B．3 项
C．4 项
D．5 项
6．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，则数字3 在五位数中位于
1 和5 之间（可以不相邻）的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4 名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个
社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A．20 种
B．14 种
C．10 种
D．7 种
8．（2024·湖南衡阳·三模）对任意的实数
，若
，则
的值为
2
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（ ）
A．15
B．6
C．1
D．20
9．（2024·北京昌平·二模）在
的展开式中，常数项为（ ）
A．
B．15
C．30
D．360
10．（2024·广东广州·二模）某学校安排4 位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1 位教师，每位教
师至少值班1 天，至多值班2 天且这2 天相连，则不同的安排方法共有（ ）
A．24 种
B．48 种
C．60 种
D．96 种
11．（2024·河北邯郸·二模）某班联欢会原定5 个节目，已排成节目单，开演前又增加了2 个节目，现将
这2 个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（
）
A．12
B．18
C．20
D．60．
12．（2024·辽宁·二模）有甲、乙、丙、丁四名同学参加亚运会志愿者服务工作，现需将四人随机分成三
组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·辽宁·模拟预测）某同学笔袋里有10 支笔，其中8 支黑色，2 支红色.被甲同学借走2 支.已知甲
借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·湖北黄石·三模）已知
，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．5
15．（2024·辽宁丹东·一模）
的展开式中常数项为（ ）
A．24
B．25
C．48
D．49
16．（2024·四川德阳·三模）在
的展开式中
的系数是（ ）
A．30
B．35
C．55
D．60
二、多选题
3
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17．（2024·山西临汾·三模）在
的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5 项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
18．（2024·山西·三模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
展开式中，二项式系数的最大值为
C．
D．
的个位数字是1
19．（23-24 高三上·山西·期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的
两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ）
A．共有90 种安排方法
B．甲连续两天值班的安排方法有30 种
C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18 种
D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6 种
20．（2024·广东茂名·一模）从标有1，2，3，…，10 的10 张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字
，
，记点
，
，
，则（ ）
A．
是锐角的概率为
B．
是锐角的概率为
C．
是锐角三角形的概率为
D．
的面积不大于5 的概率为
21．（2024·重庆·一模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
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三、填空题
22．（2024·上海闵行·三模）3 名男生和2 名女生排成一排，则女生互不相邻的排法的概率为 .
23．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若
的展开式中
的系数为40，则实数
．
24．（2024·河北衡水·三模）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）
25．（2024·山东·模拟预测）已知
的展开式中常数项为
，则实数
的值为 .
26．（2024·吉林·一模）若
，则
．
27．（2024·重庆·模拟预测）
的展开式中，含
的项的系数为 ．
28．（2024·上海·三模）用1~9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇
数共有 个
29．（2024·江苏南通·模拟预测）把5 个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，
甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种．
30．（2024·辽宁大连·二模）第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、
小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两
项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派
方案共有 种.
31．（2024·江西景德镇·三模）若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则 ；其中项系数
的最大值为 .
5
