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专题09 导数及其应用
1． （全国甲卷数学（文））曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（全国甲卷数学（理））设函数
，则曲线
在
处的切线与两坐标轴围成
的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
4．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
5．（新课标全国Ⅰ卷）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
1
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6．（全国甲卷数学（文））曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值
范围为 ．
7．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
8．（新课标全国Ⅱ卷）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
9．（全国甲卷数学（文））已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
时，证明：当
时，
恒成立．
10．（全国甲卷数学（理））已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
11．（新高考北京卷）已知
在
处切线为l．
(1)若
，求
单调区间；
(2)证明：切线l 不经过
；
(3)已知
，
，
，
，其中
，切线l 与y 轴交于点B 时．当
2
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，符合条件的A 的个数为？
（参考数据：
，
，
）
12．（新高考天津卷）设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求
的取值范围；
(3)若
，证明
．
13．（新高考上海卷）对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为
（ ）
3
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A．0 或2
B．
或2
C．
或0
D．0 或1
2．（2024·海南海口·二模）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线
，
都相切，则a 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北保定·三模）曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线
，其在点
处的曲率
，其中
是
的导函数，
是
的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A．
B．p
C．
D．
6．（2024·浙江·模拟预测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·江西南昌·三模）已知函数
的定义域为
，且
，对任意
，
，
则不等式
的解集是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
8．（2024·湖南长沙·二模）已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0 是函数
的极大值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·江西萍乡·二模）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线
恒在曲线
的上方，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数
，
是函数
的一个极值点，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递减
C．过点
能作两条不同直线与
相切
D．函数
有5 个零点
13．（2024·湖北·二模）已知
，则下列不等式正确的有（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
14．（2024·重庆·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
，使
D．
，使
15．（2024·广东广州·二模）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的图像在
处的切线斜率为
C．
D．
有两个零点
，且
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
上的增函数
B．函数
有且仅有一个零点
C．函数
的最小值为
D．
存在唯一个极值点
17．（2024·河北·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为偶函数，
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称．
B．
的图象关于点
对称．
C．
D．
三、填空题
18．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知曲线
的一条切线与
轴、
轴分别交于
，
两点，则
的面积的最大值为 ．
19．（2024·四川遂宁·三模）曲线
在点
处切线的斜率为3，则实数
．
6
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20．（2024·重庆·模拟预测）已知
，若实数m，n 满足
，则
的
最小值为
21．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数
，若函数
的最小值恰好为0，则实数
的最小值是 .
22．（2024·山东临沂·二模）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为 .
23．（2024·河北·三模）已知
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是
．
四、解答题
24．（2024·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
25．（2024·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，求
的最大值．
26．（2024·江西赣州·二模）给出以下三个材料：
①若函数
的导数为
，
的导数叫做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数
的导数叫做
的三阶导数，记作
，三阶导数
的导数叫做
的四阶导数…，一般地，n
－1 阶导数的导数叫做
的n 阶导数，即
，
；
②若
，定义
；③若函数
在包含
的某个开区间
上具有n
7
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阶的导数，那么对于
有
，我们将
称为
函数
在点
处的n 阶泰勒展开式.例如，
在点
处的n 阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若
，
在点
处的3 阶泰勒展开式分别为
，
，求出
，
；
(2)比较（1）中
与
的大小；
(3)证明：
.
27．（2024·山东威海·二模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)证明：
．
28．（2024·江西·二模）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)设函数
有两个极值点
，且
，若
恒成立，求
最小值．
29．（2024·安徽·三模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求函数
在
上的最值.
30．（2024·四川眉山·三模）已知函数
.
8
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(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当时，证明：.
9
