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专题02 平面向量
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（新课标全国Ⅱ卷）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（全国甲卷数学（理））已知向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
4．（新高考北京卷）已知向量
，
，则“
”是“
或
”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（新高考天津卷）在边长为1 的正方形
中，点
为线段
的三等分点，
，则
；若
为线段
上的动点，
为
中点，则
的
最小值为 ．
1
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6．（新高考上海卷）已知
，且
，则
的值为 ．
一、单选题
1．（2024 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若
，
，则实数
（ ）
A．6
B．
C．3
D．
2．（2024·山东德州·三模）已知向量
，
，
，若
，则实数
（ ）
A．-6
B．-5
C．5
D．6
3．（2024·河北衡水·三模）已知
是单位向量，
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高三上·安徽池州·期末）已知向量
，若
，则下列关系一定
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形
的边长为4，若动点
在以
为直径的半圆
上（正方形
内部，含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·河南·三模）已知向量
，向量
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
2
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7．（2024·湖南长沙·二模）已知向量
中，
是单位向量，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．-1
8．（2024·浙江绍兴·二模）已知
，
是单位向量，且它们的夹角是
，若
，
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·河北·三模）已知平面向量
，
，满足
，
，
与
的夹角为
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．与
有关
10．（2024·广东广州·三模）设向量
，
，当
，且
时，则记作
；当
，且
时，则记作
，有下面四个结论：
①若
，
，则
；
②若
且
，则
；
③若
，则对于任意向量
，都有
；
④若
，则对于任意向量
，都有
；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③
D．①④
11．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量
，且
，则
的值为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
12．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量
，则向量
在向量
方向上的投影是（ ）
A．
B．1
C．
D．
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量
的夹角为
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·河北承德·二模）在
中，
为
中点，连接
，设
为
中点，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024·广东广州·模拟预测）设
，向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·山东·二模）在
中，
交于点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量
，
，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
4
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A．若
，
，则
B．已知向量
，
，则
C．若
，则
和在
上的投影向量相等
D．已知
，
，
，则点A，B，D 一定共线
18．（2024·河南·三模）已知平面向量
，则下列说法正确的有（ ）
A．
一定可以作为一个基底
B．
一定有最小值
C．一定存在一个实数
使得
D．
的夹角的取值范围是
19．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端
是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟
的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P 是△DEF 内部（包括边界）的动
点，则（ ）
A．
B．
C．若P 为EF 的中点，则
在
上的投影向量为
5
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D．
的最大值为
20．（2024·甘肃张掖·一模）下列命题错误的是（ ）
A．对空间任意一点
与不共线的三点
，若
，其中
，
，
且
，则
四点共面
B．已知
，
，
与
的夹角为钝角，则
的取值范围是
C．若
，
共线，则
D．若
，
共线，则一定存在实数
使得
21．（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定
义：在平面内，已知两定点A，B 之间的距离为a（非零常数），动点M 到A，B 的距离之比为常数
（
，且
），则点M 的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系
中，已知
，
点M 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
面积的最大值为12
B．
的最大值为72
C．若
，则
的最小值为10D．当点M 不在x 轴上时，MO 始终平分
三、填空题
22．（2024·湖南长沙·三模）在
，已知
，
.则
.
23．（2024·江西·二模）在
中，已知
，
为线段
的中点，若
，则
．
24．（2024·四川遂宁·三模）已知向量
，
，若
，那么m 的值为 ．
25．（2024·河北·二模）已知
是半径为2 的圆上三个动点，①若
，则
的最大值为
6
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，②若
，则
的最小值为 .
26．（2024·河北保定·二模）已知向量
的夹角的余弦值为
，
，且
，则
．
27．（2024·全国·模拟预测）若向量
与
的夹角为
，
，
，则
．
28．（2024·北京顺义·二模）若非零向量
满足
，且
，则能使得
成
立的一组
可以是
，
29．（2024·福建宁德·三模）已知
是两个单位向量，若
在
上的投影向量为
，则
与
的
夹角为 .
30．（2024·天津红桥·二模）太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为
“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2 的大圆O 和两个对称的半圆弧组成的，线段MN 过点O 且
两端点M，N 分别在两个半圆上，点P 是大圆上一动点，令
，
，若
，则
；
的最小值为 ．
7
