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2025二轮复习专项训练9
导数与不等式证明
[考情分析] 导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单
调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、单变量函数不等式的证明
用导数证明不等式一般有以下方法
(1)构造函数法．
(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．
(3)分成两个函数进行研究．
(4)利用图象的特点证明不等式．
(5)利用放缩法证明不等式．
二、双变量函数不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系
式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的
单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等
式中，即可证得结果．
一、单选题
1．（2023·福建·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知 ， 都是正整数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2025·广东·模拟预测）记函数 在区间 的极值点分别为 ，
，函数 的极值点分别为 ， ，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数 ， ，满足对
均有 ，则 的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．9
三、填空题
5．（2022·河南·模拟预测）已知 的定义域为R，若函数满足 ，则称 为
的一个不动点，有下列结论：① 的不动点是3；② 存在不动点；
③若函数 为奇函数，则其存在奇数个不动点；若 为偶函数，则其存在偶数个不动
点；④若 为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若 存在不动点，则 也
存在不动点，以上结论正确的序号是 .
6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，
则 的最小值为 .
四、解答题
7．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取
值范围．
【基础保分训练】
学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2021·全国·模拟预测）已知 且 且 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知 ， ，且 则以下
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的 ， ，且 ，都有
，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足 ，写出一个满足条件的
学科网（北京）股份有限公司函数解析式f(x)= ．
7．（20-21高二·全国·课后作业）已知 ， ，
， ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
8．（2024·北京石景山·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
(3)当 时，求证： ．
9．（2022·广东广州·一模）已知函数 ， 为 的导数.
(1)证明：当 时， ；
(2)设 ，证明： 有且仅有2个零点.
10．（2025·全国·模拟预测）设函数
(1)分析 的单调性和极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数m的取值范围；
(3)若 ，且满足 时，证明： .
11．（2023·河南郑州·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
【能力提升训练】
一、单选题
学科网（北京）股份有限公司1．（2022·江苏·二模）已知实数 ，且 ， 为自然对数
的底数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·模拟预测） ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数 ， ，若存在 ，
，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知a， ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北沧州·一模）已知函数 与函数 的图象相交于
两点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A．
学科网（北京）股份有限公司B．函数 有最大值
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
三、填空题
7．（2023·浙江温州·二模）已知函数 ，则 的最小值是
；若关于 的方程 有 个实数解，则实数 的取值范围是 .
8．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，下面命题正确的是 .
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数 ，若存在 ，使得
，则 的最小值为 .
四、解答题
10．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足
学科网（北京）股份有限公司.
(注： 是自然对数的底数)
11．（2023·山东潍坊·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
12．（2024·广东佛山·二模）已知 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
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