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专题09 导数及其应用
1． （全国甲卷数学（文））曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.
【详解】
，所以
，故切线方程为
，
故切线的横截距为
，纵截距为
，故切线与坐标轴围成的面积为
故选：A.
2．（全国甲卷数学（理））设函数
，则曲线
在
处的切线与两坐标轴围成
的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点
处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其
面积.
【详解】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
1
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令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
3．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】求出函数
的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
2
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4．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
3
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此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
4
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【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
5．（新课标全国Ⅰ卷）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点为
，
求出
，利用公切线斜率相等求出
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
6．（全国甲卷数学（文））曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值
范围为 ．
【答案】
5
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【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
7．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
6
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(3)
【分析】（1）求出
后根据
可求
的最小值；
（2）设
为
图象上任意一点，可证
关于
的对称点为
也在函数
的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断
即
，再根据
在
上恒成立可求得
.
【详解】（1）
时，
，其中
，
则
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，而
成立，故
即
，
所以
的最小值为
.，
（2）
的定义域为
，
设
为
图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在
图象上，故
，
而
，
，
所以
也在
图象上，
由
的任意性可得
图象为中心对称图形，且对称中心为
.
7
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（3）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，
所以
即
，
先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，
设
，则
在
上恒成立，
设
，
则
，
当
，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
时，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
，则当
时，
故在
上
为减函数，故
，不合题意，舍；
综上，
在
上恒成立时
.
而当
时，
而
时，由上述过程可得
在
递增，故
的解为
，
8
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即
的解为
.
综上，
.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范
围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
8．（新课标全国Ⅱ卷）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知
有零点，可得
，进而利用导数求
的
单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
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可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
10
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可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
9．（全国甲卷数学（文））已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
时，证明：当
时，
恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当
时，
即可.
【详解】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，且
时，
，
令
，下证
即可.
11
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，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在
上递增，
故
，即
在
上单调递增，
故
，问题得证
10．（全国甲卷数学（理））已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就
、
、
分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
12
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设
，
则
，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上
即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在
上恒成立，
同理可得在
上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
11．（新高考北京卷）已知
在
处切线为l．
(1)若
，求
单调区间；
(2)证明：切线l 不经过
；
(3)已知
，
，
，
，其中
，切线l 与y 轴交于点B 时．当
13
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，符合条件的A 的个数为？
（参考数据：
，
，
）
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）直接代入
，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程
，将
代入再设新函数
，利用导
数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入
得到
，再设新函数
研究其零点即可.
【详解】（1）
，
当
时，
；当
，
；
在
上单调递减，在
上单调递增.
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）
，切线的斜率为
，
则切线方程为
，
将
代入则
，
即
，则
，
，
令
，
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假设过
，则
在
存在零点.
，
在
上单调递增，
，
在
无零点，
与假设矛盾，故直线不过
.
（3）
时，
.
，设与
轴交点
为
，
时，若
，则此时与
必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知
.所以
，
则切线的方程为
，
令
，则
.
，则
，
，记
，
满足条件的
有几个即
有几个零点.
，
当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，此时
单调递增；
当
时，
，此时
单调递减；
因为
，
，
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所以由零点存在性定理及
的单调性，
在
上必有一个零点，在
上必有一个零点，
综上所述，
有两个零点，即满足
的
有两个.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
12．（新高考天津卷）设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求
的取值范围；
(3)若
，证明
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
（2）先由题设条件得到
，再证明
时条件满足；
（3）先确定
的单调性，再对
分类讨论.
【详解】（1）由于
，故
.
所以
，
，所以所求的切线经过
，且斜率为，故其方程为
.
（2）设
，则
，从而当
时
，当
时
.
16
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所以
在
上递减，在
上递增，这就说明
，即
，且等号成立当且仅当
.
设
，则
.
当
时，
的取值范围是
，所以命题等价于对任意
，都有
.
一方面，若对任意
，都有
，则对
有
，
取
，得
，故
.
再取
，得
，所以
.
另一方面，若
，则对任意
都有
，满足条件.
综合以上两个方面，知
的取值范围是
.
（3）先证明一个结论：对
，有
.
证明：前面已经证明不等式
，故
，
且
，
所以
，即
.
由
，可知当
时
，当
时
.
17
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所以
在
上递减，在
上递增.
不妨设
，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当
时，有
，结论
成立；
情况二：当
时，有
.
对任意的
，设
，则
.
由于
单调递增，且有
，
且当
，
时，由
可知
.
所以
在
上存在零点
，再结合
单调递增，即知
时
，
时
.
故
在
上递减，在
上递增.
①当
时，有
；
②当
时，由于
，故我们可以取
.
18
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从而当
时，由
，可得
.
再根据
在
上递减，即知对
都有
；
综合①②可知对任意
，都有
，即
.
根据
和
的任意性，取
，
，就得到
.
所以
.
情况三：当
时，根据情况一和情况二的讨论，可得
，
.
而根据
的单调性，知
或
.
故一定有
成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3 小问中，需要结合
的单调性进行分类讨论.
13．（新高考上海卷）对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
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在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入
，利用基本不等式即可；
（2）由题得
，利用导函数得到其最小值，则得到
，再证明直线
与切线垂直即可；
（3）根据题意得到
，对两等式化简得
，再利用“最近点”的定义得到不
等式组，即可证明
，最后得到函数单调性.
【详解】（1）当
时，
，
当且仅当
即
时取等号，
故对于点
，存在点
，使得该点是
在
的“最近点”．
（2）由题设可得
，
则
，因为
均为
上单调递增函数，
则
在
上为严格增函数，
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而
，故当
时，
，当
时，
，
故
，此时
，
而
，故
在点
处的切线方程为
.
而
，故
，故直线
与
在点
处的切线垂直．
（3）设
，
，
而
，
，
若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近点”，
设
，则
既是
的最小值点，也是
的最小值点，
因为两函数的定义域均为
，则
也是两函数的极小值点，
则存在
,使得
，
即
①
②
由①②相等得
，即
，
即
，又因为函数
在定义域R 上恒正，
则
恒成立，
接下来证明
，
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因为
既是
的最小值点，也是
的最小值点，
则
，
即
，③
，④
③
④得
即
，因为
则
，解得
，
则
恒成立，因为的任意性，则
严格单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到
，再利用最值
点定义得到
即可.
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为
（ ）
A．0 或2
B．
或2
C．
或0
D．0 或1
【答案】A
【分析】设直线的方程为
，先根据直线和圆相切算出
，再由导数的几何意义算出
.
【详解】依题意得，设直线的方程为
，即
，
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由直线和圆
相切可得，
，解得
，
当
时，
和
相切，
，设切点为
，根据导数的几何意义，
，
又切点同时在直线和曲线上，即
，解得
.
即
时，
；
当
时，
和
相切，
，设切点为
，根据导数的几何意义，
，
又切点同时在直线和曲线上，即
，解得
.
即
时，
.
综上所述，
或
.
故选：A.
2．（2024·海南海口·二模）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据函数对称性求出
时的
解析式，利用导数的几何意义求解.
【详解】因为
是偶函数，所以函数
的图象关于
对称，则
，
当
时，
，
23
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，
，则
，
，即曲线
在点
处切线的斜率为2.
故选：C.
3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线
，
都相切，则a 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数分别求得与
相切的切线方程，可得
，进而可得
有解，从而利用导数可求
的范围.
【详解】设直线与
相切与点
，因为
，
所以切线方程
，即
，
设直线与
相切与点
，
因为
，所以切线方程
，即
，
，
所以
有解，
令
，
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
24
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因为
，
，所以
，所以
，
的范围为
.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，
利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.
4．（2024·河北保定·三模）曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】由
，得
，则
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
令
，得
，令
，得
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
.
故选：C
5．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线
，其在点
处的曲率
，其中
是
的导函数，
是
的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A．
B．p
C．
D．
【答案】C
25
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【分析】先求出函数的导函数
及导函数的导函数
，再根据公式求出各点处的曲率
，并解出
最大值即可.
【详解】由题可知抛物线方程为：
，则
，
，
则该抛物线在各点处的曲率
，
当
时，
取最大值
.
故选：C.
6．（2024·浙江·模拟预测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二次导数研究
的单调性，并通过观察得其零点，进而判断
的单调性，然后可得极
小值.
【详解】
，
记
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减.
所以，当
时，
，
因为
，且当
时，
，
所以，当
时，
，即
，
在
上单调递减；
当
时，
，即
，
在
上单调递增.
26
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所以，当
时，
取得极小值
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导
函数零点，进而可知
的单调性，然后可解.
7．（2024·江西南昌·三模）已知函数
的定义域为
，且
，对任意
，
，
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，由
恒成立，
在
上单调递减，由
可得
，由单调性解不等式即可.
【详解】设
，则
，
对任意
，
，
恒成立，即
在
上单调递减，
由
可得
，
，解得
，即解集为
.
故选：A
8．（2024·湖南长沙·二模）已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出切点横坐标，从而得到
。利用基本不等式即可求解.
【详解】由于直线
与曲线
相切，
27
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设切点为
，且
，所以
，
则切点横坐标
，则
，即
.
所以
，即
，
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为1.
故选：D
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0 是函数
的极大值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论
、
与
三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，可得
或
，
当
，即
时，
令
，得
或
；令
，得
；
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是函数
的极大值点，满足题意；
当
，即
时，
恒成立，
则
在
上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当
，即
时，
28
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令
，得
或
；令
，得
；
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是函数
的极小值点，不满足题意；
综上，
，即
的取值范围为
.
故选：A.
10．（2023·江西萍乡·二模）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，利用导数可知
在
上单调递增，在
上单调递减，结合
，
可得答案.
【详解】令
，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
且
，
则
，即
.
故选：C.
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线
恒在曲线
的上方，则
的取值范围是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设直线
与曲线切于点
，根据题意由
在直线
上方，由
求解.
【详解】解：设直线
与曲线切于点
，
则
，
所以切线方程为
，
所以
，
，
所以
，
设
，
，
当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
.
故选：A.
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数
，
是函数
的一个极值点，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递减
C．过点
能作两条不同直线与
相切
D．函数
有5 个零点
30
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【答案】AD
【分析】求得
，根据
，可判定A 正确；由
，利用导数的符号求
得函数
的单调区间，可判定B 错误；设过点
且与函数
相切的切点为
，求得切线
方程，列出方程求得
的值，可判定C 错误；令
，作出函数的图象，得到
，进而
的函数零点的个数，可判定以D 正确．
【详解】对于A 中，由函数
，可得
，
因为
是函数
的一个极值点，可得
，
解得
，经检验适合题意，所以A 正确；
对于B 中，由
，令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
故
在区间
上递增，在区间
上递减，在区间
上递增，所以B 错误；
对于C 中，设过点
且与函数
相切的切点为
，
则该切线方程为
，
由于切点
满足直线方程，则
，
整理得
，解得
，所以只能作一条切线，所以C 错误；
对于D 中，令
，则
的根有三个，如图所示，
，
所以方程
有3 个不同根，方程
和
均有1 个根，
故
有5 个零点，所以D 正确．
故选：AD．
31
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13．（2024·湖北·二模）已知
，则下列不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数
，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即
可；对于C，构造函数
，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数
，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设
，则
，
在
单调递增，
所以
，即
，即
，A 正确；
令
，
，则
，而
，所以
，B 不正确；
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
则
在
时取得最小值
，即
，C 正确；
32
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设
，则
，所以
在
上是增函数，
所以由
得
，即
，D 正确.
故选：ACD
14．（2024·重庆·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
，使
D．
，使
【答案】AC
【分析】求解函数
的定义域判断B，代入求值判断A，求导研究函数
的单调性，求出函数
的
极值并画出图象即可判断CD.
【详解】要使函数
有意义，则有
，
且
，
即
定义域
，B 错误；
，
，
，A 正确；
，
记
，
，则
，
时，
，
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
，
又
时，
，
令
，则
单调递增，又
，
存在唯一
，使得
，此时
，
33
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时，
，
时，
，
时，
，
时，
，故
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
.
作出函数
的图象，如图：
所以C 正确，D 错误.
故选：AC
15．（2024·广东广州·二模）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的图像在
处的切线斜率为
C．
D．
有两个零点
，且
【答案】BCD
【分析】根据题意直接求出
的范围即可判断
；求出导函数，进而求得
即可判断B；求得
即
可判断C；易知
的单调性，结合零点存在定理及C 即可判断D．
【详解】由题意，
，
对于选项A，易知
且
，故选项A 错误，
34
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对于选项B，因为
，则
，故选项B 正确，
对于选项C，因为
，所以
，故选项C 正确，
对于选项D，由选项
可知
，易知
在
和
上单调递增，
因为
，
，
所以
，使得
，
又因为
，则
，结合选项C，得
，
即
也是
的零点，则
，
，故
，故选项D 正确，
故选：BCD.
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
上的增函数
B．函数
有且仅有一个零点
C．函数
的最小值为
D．
存在唯一个极值点
【答案】BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分
、
和
三种情况，结合函数值的符号
分析判断零点；对于C：分
、
和
三种情况，可得
，即可判断；对于D：根据
的单调性，结合零点存在性定理分析可知
，使
，进而判断
的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为
，则
，
35
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当
时，则
， 可得
，
即
，所以
不是
上的增函数，故A 错误；
对于选项B：因为
，
当
时，
，可知
是
的零点；
当
时，
，可知
在
内无零点；
当
时，
，则
，
可得
，可知
在
内无零点；
综上所述：函数
有且仅有一个零点，故B 正确；
对于选项C：当
时，
；
当
时，
；
当
时，则
，
，可得
，
综上所述：
，所以
不是函数
的最小值，故C 错误；
对于选项D：因为
，
，
所以
的符号决定于
，
显然
是
上的增函数，
又因为当
时，
；
36
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当
时，
，
所以
，使
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数.
所以
有唯一极小值点. 故D 正确.
故选 ：BD.
17．（2024·河北·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为偶函数，
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称．
B．
的图象关于点
对称．
C．
D．
【答案】BD
【分析】对于A，直接得到
即可判断；对于B，由
为偶函数，所以
，求导可得
即可判断；对于D，求出
的周期为
，再根
据
即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰.
【详解】对于A，因为
为奇函数，所以
，即
，
所以
的图象关于
中心对称，故A 错误；
对于B，由
为偶函数，所以
，
所以
，即
，
即
，则
，
37
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所以
的图象关于
中心对称，故B 正确；
对于D，由
，
，知
，
又
，
，所以
，
所以
，即
，
所以
为周期是
的函数，即
，故D 正确.
对于C，由题意及上述分析知
是以
为周期的函数，且
，
不妨设
，所以
，周期均为
且
，
所以
，所以C 错误；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设
，所以
，所以周期为
，且
，所以
.
三、填空题
18．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知曲线
的一条切线与
轴、
轴分别交于
，
两点，则
的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】设切点
，求导
，切线方程
，求出
,
,得到
38
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,构造函数求解最值.
【详解】设切点
，
，求导得
，则切线方程
，
由切线与
轴、
轴分别交于
两点，
则
,
,
得到
,
构造函数
,
，
求导
，
令
，
，
所以
，
单调递增，
，
单调递减，
所以
.
故答案为：
.
19．（2024·四川遂宁·三模）曲线
在点
处切线的斜率为3，则实数
．
【答案】1
【分析】根据导数几何意义，求出在
处的导数即可得解.
【详解】
的导数为
，
可得曲线
在点
处切线的斜率为
，
解得
.
故答案为：1.
20．（2024·重庆·模拟预测）已知
，若实数m，n 满足
，则
的
最小值为
【答案】4
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【分析】利用导数求解函数单调性，由
得
，即可利用不等式求解最值.
【详解】由
可得
，故
在
单调递增，
而
，
故
得
，
，当且仅当
，即
时取等号，
故答案为：4
21．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数
，若函数
的最小值恰好为0，则实数
的最小值是 .
【答案】
【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得
的最值.
【详解】令
，则
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
故当
时，
取得最小值
，
故当
，即
时，函数
的最小值恰好为0，
令
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
40
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则
，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元
，将
转化
为
，并利用导数研究
的单调性与最值，得到
，再利用导数求解
的单调性，
即可求得
的最值.
22．（2024·山东临沂·二模）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得
，则
，构造
并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】函数
的导数为
，
设切点为
，所以
，则
，即
又因为
在
上，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
令
，
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
41
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所以
.
当
趋近正无穷时，
趋近正无穷.
所以
的取值范围为：
.
故答案为：
.
23．（2024·河北·三模）已知
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】将原不等式变形为
，设
，通过求导求
的最小值，然后解不等式
即可.
【详解】因为
，
，
所以
，即
，
设
，
，
令
，
，即
在
上单调递增，
令
，
，即
在
上单调递减，
则
，
所以
，
42
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解得
.
故答案为：
.
四、解答题
24．（2024·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示
，然后结合二次方程根的存在条件即可证
明.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）
，
令
，得
，令
，则
，
原方程可化为
①，则
是方程①的两个不同的根，
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所以
，解得
，
由韦达定理得
，则
，
所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
所以
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
25．（2024·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，求
的最大值．
【答案】(1)极小值
，无极大值；
44
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(2)
【分析】（1）先对
求导，根据单调性求出
的极值；
（2）由函数单调性和
得出关于
的不等关系式，再通过求导得出最大值.
【详解】（1）
时，
，
函数
的定义域
，
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
时，
取得极小值，极小值为
，无极大值.
（2）函数
的定义域
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
趋向于时，
趋向于
，与
矛盾.
当
时，则
时，
，
在
上单调递减，
则
时，
，
在
上单调递增，
时，
取得最小值，
最小值为
，
即
，
则
，
45
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令
，
，
时，
，
在
上单调递增，
时，
，
在
上单调递减，
时，
取得最大值，最大值为
，
即当
，
，
的最大值为
.
26．（2024·江西赣州·二模）给出以下三个材料：
①若函数
的导数为
，
的导数叫做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数
的导数叫做
的三阶导数，记作
，三阶导数
的导数叫做
的四阶导数…，一般地，n
－1 阶导数的导数叫做
的n 阶导数，即
，
；
②若
，定义
；③若函数
在包含
的某个开区间
上具有n
阶的导数，那么对于
有
，我们将
称为
函数
在点
处的n 阶泰勒展开式.例如，
在点
处的n 阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若
，
在点
处的3 阶泰勒展开式分别为
，
，求出
，
；
46
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(2)比较（1）中
与
的大小；
(3)证明：
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用n 阶泰勒展开式的定义，求解
，
；
（2）两函数作差，通过构造函数，利用导数求最值的方法比较大小；
（3）借助泰勒展开式，利用导数得到函数单调性，证明不等式.
【详解】（1）
，则有
，
，
∴
，
，
，
∴
同理可得：
.
（2）由（1）知：
，
，
令
，则
，
∴
，∴
在R 上单调递增，
又
，∴在
上
，
单调递减；在
上
，
单调递增，
∴
，即
，
故
（3）令
，则
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由（2）知，
，所以
在R 上单调递增，又
，
所以当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
，
∴
在点
处的4 阶泰勒展开式为：
，
∴
，当且仅当x＝0 时取等号，
①当
时，
，当且仅当x＝0 时取等号，
所以
②当
时，设
，
，
，
，
若
，由于
，所以，
，
，从而
若
，
，
所以，
时，
单调递减，从而
，即
.
综上：
.
【点睛】方法点睛：
“新定义运算”指的是使用新定义的运算方法求解数学问题，这些新定义的运算可以是像“阶乘”、
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“斐波那契数列”这样的经典运算，也可以是一些比较新奇的概念，要透彻理解新定义的本质，严格按照
新定义运算规则进行计算，与相关基础数学知识联系去解决问题.
27．（2024·山东威海·二模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；
（2）根据要证明的不等式的结构特点，设
，求出其导数，利用导数判断其单调
性，结合其最值，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得
的定义域为
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递增，无极值；
当
时，令
，则
，令
，则
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
为函数的极大值点，函数极大值为
，无极小值；
（2）证明：设
，
，令
，
则
，即
在
上单调递增，
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，
故
，使得
，即
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
故
即
，即
，则
.
28．（2024·江西·二模）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)设函数
有两个极值点
，且
，若
恒成立，求
最小值．
【答案】(1)极大值
；极小值
(2)
【分析】（1）将
代入函数解析式，对函数求导，利用导数即可判断函数的单调性，求得极值.
（2）对函数求导，结合已知条件得方程
有两个相异的正根
，利用为韦达定理求得
，再结合
，求出
范围，进而确定
的范围，由
，得
，构造函数
，利用导数判断函数单调性确定函
数最值，即可求解.
【详解】（1）当
时，有
，
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令
，即
，解得
或
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增；
所以
时，
取得极大值，极大值为
，
时，
取得极小值，极小值为
.
（2）因为
，
所以
由已知函数
有两个极值点
，
所以方程
有两个相异的正根
所以
，即
或
，
又
，所以
，
，所以
；
所以
对称轴为
，二次函数与
轴交点为
、
，
且
，所以
在对称轴的右侧，则有
，
因为
，即
，
所以
，其中
，
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令
，
则
，
令
，解得
均不在定义域内，
所以
时，
，
在
上单调递减，
，
所以
，即
最小值为
.
29．（2024·安徽·三模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求函数
在
上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为
，最小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出
和
的解集，即可求出函数的单调区间，再
求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.
【详解】（1）由函数
，可得
，
可得
，且
，所以切线的斜率为
，切点为
，
则所求切线方程为
.
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（2）由（1），当
时，可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
而
，
，
，
故所求最大值为
，最小值为
.
30．（2024·四川眉山·三模）已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当
时，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)①
；②证明见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数
，探讨函数
有两个零点的
的值范围.
（2）①由
有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线
与函数
图
象有两个公共点的
的值范围；②由方程根的意义可得
，分析所证不等式，换元并证明
即可.
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【详解】（1）依题意，
，
设过点
的直线与曲线
相切时的切点为
，斜率
，
切线方程为
，而点
在切线上，
则
，即有
，
由过点
可作曲线
两条切线，得方程
有两个不相等的实数根，
令
，则函数
有2 个零点，
求导得
，
①若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，
又
，
当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
②若
，
恒成立，函数
在
上单调递增，
因此函数
最多1 个零点，不合题意；
③若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，又
，
显然当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
④若
，显然
，当
时，
，当
时，
，
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函数在
上单调递增，在
上单调递减，当
时，
取得最大值
，
要函数
有2 个零点，必有
，得
，
当
时，
，
而函数
在
上的值域为
，因此
在
上的值域为
，
当
时，令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，
，
而函数
在
上单调递减，值域为
，
因此函数
在
上的值域为
，
于是当
时，函数
有两个零点，
所以过点
可作曲线
两条切线时，
的取值范围是
.
（2）①由（1）知，
，
由函数
有两个极值点
，得
，即
有两个实数根
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
上单调递减，
，
且
，当
时，函数
恒成立，因此当
时，
有两个实数根
所以函数
有两个极点时，
的取值范围是
.
②由
，即
，得
，
要证明
，只需证明
，
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而
，
令
，则
，欲证明
，
即证明
，只需证明
即可，
令
，
求导得
，
则
在
时单调递增，故
，
则
，令
在
时单调递增，则
，
因此
，即
，
所以
.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
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