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专题09 磁场
1．（多选）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁
场的部分边界，其中
段是半径为R 的四分之一圆弧，
、
的延长线通过圆弧的
圆心，
长为R．一束质量为m、电荷量大小为q 的粒子流，在纸面内以不同的速率
从O 点垂直
射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆弧边界上
的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
C．从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
D．在磁场中运动时间最短的粒子用时为
【答案】BD
【详解】ABC．由题意，画出从M、N 两点射出的粒子轨迹图，如图所示，由此可知，
粒子带正电；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。可得
解得
由图可知，从M 点射出粒子的轨迹半径小于从N 点射出粒子轨迹半径，则有从M 点射
出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率；由图可知，从M 点射出粒子的轨迹所
对圆心角大于从N 点射出粒子轨迹所对圆心角，由
可知，从M 点射出粒子在
磁场中运动时间一定大于从N 点射出粒子所用时间，AC 错误，B 正确；D．由几何知
识可知，当粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心恰好在b 点时，粒子在磁场中运动的
圆弧所对的圆心角最小，此时粒子的运动半径r=R，由几何关系可求得此时圆弧所对
1
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圆心角θ=120°，所以粒子在磁场中运动的最短时间是
D
正确。故选BD。
2．（多选）如图所示，一根长为L、质量为m 且分布均匀的导体ab，在其中点弯成
角，将此导体放入磁感应强度大小B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，导体两端
点悬挂于两相同的弹簧下端，弹簧均处于竖直状态，当导体中通以电流大小为I 的电
流时，两根弹簧都伸长了，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体中电流的方向为a 到b
B．导体中电流的方向为b 到a
C．每根弹簧的弹力大小为
D．每根弹簧的弹力大小为
【答案】AD
【详解】AB．折弯的导体可等效为一根直接从a 到b，长为
的直线导体，当导体中
通以电流大小为I 的电流时，两根弹簧都伸长了，说明导体受到的安培力方向向下，
由左手定则可知，电流方向由a 到b，A 正确，B 错误；CD．由平衡条件可得
解得每根弹簧的弹力大小为
C 错误，D 正确。故选
AD。
3．质谱仪在物理研究中起着非常重要的作用。如图是质谱仪的工作原理示意图。粒子
源（在加速电场上方，未画出）产生的带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。
速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的电场强度分别为B 和
E。平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片
。平板S 下方有磁感
应强度为
的匀强磁场。不计带电粒子的重力和粒子间的作用力，下列表述正确的是
（ ）
2
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A．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
B．能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于
C．粒子打在胶片上的位置离狭缝P 越远，粒子的比荷
越大
D．某种元素同位素的原子核，打在胶片上的位置离狭缝P 越远，表明其质量数越
大
【答案】D
【详解】A．根据带电粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则知，该粒子带正电，
则在速度选择器中电场力水平向右，则洛伦兹力水平向左，根据左手定则知，磁场方
向垂直纸面向外，A 错误；B．在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有
求得
能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于
，B 错误；CD．粒子进入磁场后，
由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子打在胶片上的位置
越靠近狭缝P，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷越大；粒子所带电荷量相同时，打
在胶片上的位置越远离狭缝P，粒子的轨迹半径越大，表明其质量越大，C 错误，D 正
确。故选D。
4．（多选）如图，真空中有区域I 和II，区域I 中存在匀强电场和匀强磁场，电场方
向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，腰长为L 的等腰直角三角形
CGF 区域（区域II）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在
同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A 点处的粒子源持续将比
荷一定但速率不同的粒子射入区域I 中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区域II。
若区域I 中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域II 中磁感应强度大小为
B2，则粒子从CF 边靠近F 的三等分点D 射出，它们在区域II 中运动的时间为t0。若改
3
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变电场或磁场强弱，能进入区域II 中的粒子在区域II 中运动的时间为t，不计粒子的重
力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从D 点飞出的粒子速度大小为
B．粒子的比荷为
C．若仅将区域I 中电场强度大小变为2E，则
D．若仅将区域II 中磁感应强度大小变为
，则粒子从GF 边出射，出射点距
离O 点
【答案】BCD
【详解】A．根据题意可知区域Ⅰ中粒子电场力和洛伦兹力相等，由此可得
解得
粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，速度大小不变，故从D 点飞出的粒子速
度大小为
，故A 错误；B．粒子的运动轨迹如图所示
4
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在区域Ⅱ中，粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则有
根据几何关系可知，
粒子转过的圆心角为
，则有
联立可得粒子的比荷为
故B
正确；C．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，设进入区域Ⅱ中的速度大小为
，
则有
解得
在区域Ⅱ中，粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则
有
解得
则粒子将从GF 边离开区域Ⅱ，轨迹的圆心
角小于
，根据粒子在磁场中的周期公式
由于区域Ⅱ中的磁场不变，
粒子的比荷也不变，所以周期不变，根据
因为粒子在区域Ⅱ中做圆周运动的
圆心角减小，所以粒子运动时间减小，则有
故C 正确；D．若仅将区域Ⅱ中磁感
应强度大小变为
，设粒子在区域Ⅱ中运动的半径为
，根据
解
5
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得
则粒子从GF 边出射，粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图所示
由几何关系可得
根据勾股定理
则出射点距离
O 点
故D 正确。故选BCD。
5．（多选）如图所示，绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段
光滑，对应圆心角为
，C、D 两端等高，O 为最低点，圆弧圆心为
，半径为R（R 远大于轨道内径），
直线段
、
粗糙，与圆弧段分别在C、D 端相切，整个装置处于方向垂直于轨道
所在平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，在竖直虚线
左侧和
右侧
还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场。现有一质量为m、电
荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，从轨道内距C 点足够
远的P 点由静止释放，若
，小球所受电场力等于其重力的
倍，所受摩擦力
为小球与直线段轨道之间弹力的
倍，重力加速度为g，则（ ）
6
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A．小球在轨道
上下滑的最大速度为
B．小球第一次沿轨道
下滑的过程中速度一直在增大
C．经过足够长时间，小球克服摩擦力做的总功是
D．经过足够长时间，小球经过O 点时对轨道的弹力一定为
【答案】AC
【详解】A．当小球合力为零时，加速度为零，速度最大，有
又
解得最大速度
A 正确；B．小球第一次沿轨道
下滑过
程中，电场力在垂直轨道方向的分量为
重力在垂直轨道方向上的
分量为
因此，电场力与重力的合力方向恰好沿
方向，且
刚开始时小球与管壁无作用力。当小球开始运动后，由左手定则可知，洛伦兹力导致
小球对管壁有压力，从而导致滑动摩擦力增大，由牛顿第二定律
小球一开始做加速度逐渐减小的加速运动，直到加
速度为零，开始做匀速直线运动，B 错误；C．最终小球在
间做往复运动，由动能
定理
解得克服摩擦力做功
C 正确；D．小球
经过
点时满足
小球经过
点向右运动时
7
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小球经过
点向左运动时
解得小球对轨道的弹力为
或
D 错误。故选AC。
6．如图所示，在
和
之间有大量相同带电粒子以同一速度沿水平方向射入以
为圆心的圆形匀强磁场区域，该圆形磁场方向垂直纸面向外，
与圆心
在同一水
平直线上，
和
间距离为
，已知所有粒子均从
点正下方的
点射出圆形
磁场区域，立即进入下方垂直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，
挡板的左侧紧贴
点，已知下方磁场的磁感应强度是上方磁场的两倍，不计粒子重力
及粒子间的相互作用。则挡板下表面有粒子打到的区域长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，由于所有粒子均从
点正下方的
点射出圆形磁场区域，画出粒
子的运动轨迹，如图所示
则有
解得
粒子进入下方磁场，则有
由几何关系可得，挡板下表面有粒
子打到的区域长度为
故选C。
8
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7．如图所示，绝缘水平面上，虚线
左侧有垂直于水平面向上的匀强磁场、右侧有
垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为
，
、
、
为绝缘水平面上
的三个固定点，
点在虚线上，
、
两点在左右两磁场中，两根直的硬导线连接
和
间，软导线连接在
间，
连线与
垂直，
、
到
的距离均为
，
，
、
、
三段导线电阻相等，
，
。通
过
、
两点给线框通入大小为
的恒定电流，待
、
间软导线形状稳定后线框受
到的安培力大小为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知，线框三边电阻相等，通入大小为
的电流后，由分流原理可知
通过
的电流大小为
，通过
的电流大小为
。待
间导线稳定后线框的
受力情况如图所示
由受力分析可知
由几何关系可知
与
的
夹角
，则有
故选B。
8．如图，纸面内有一水平虚线，垂直于纸面放置的足够长平面感光板
与虚线平行。
9
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与虚线间的距离为，且存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大
小为B。虚线上有一点状放射源S，可在纸面内向各个方向发射质量为m、电荷量为
的同种带电粒子。某一粒子以速率v 沿与虚线成
角的方向射入磁场。并恰能
垂直打到感光板
上。不计粒子的重力，
。
（1）求粒子射入磁场时的速率v；
（2）若粒子均以
的速率在纸面内沿不同方向射入磁场，仅考虑能打到感光板
上
的粒子，求：
①粒子在磁场中运动的最短时间；
②感光板
被粒子打中的长度。
【答案】（1）
；（2）①
；②l
【详解】（1）粒子恰能垂直打到感光板ab 上，所以速度偏转角为53°，由几何关系有
洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）①粒子以的
速率沿纸面不同方向射入磁场，则做圆周运动半径为
=
如图所示，当粒子经过
时弦长最短，对应时间最短
10
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根据几何关系有
则最短时间为
②如图所示：
轨迹恰好与感光板ab 相切时，打到最左侧的P 点，由几何关系可知
当粒子初速度平行感光板ab 时，打到最右侧的Q 点，由几何关系可知
感光板ab 被粒子打中的长度
9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，x 轴上方区域有垂直于纸面向里的磁场，磁
感应强度为B，x 轴下方区域有水平向左的匀强电场，P 点是y 轴上的一点。一质量为
m、电荷量为q 的带电粒子以初速度v 从坐标原点O 平行于纸面射入磁场，方向与x 轴
负向的夹角为30°，从A 点射出磁场。粒子在电场中的运动轨迹与y 轴相切于P 点。不
计粒子的重力。求：
（1）A、O 两点的距离；
（2）粒子从O 点到A 点所用的时间；
（3）粒子从A 点到P 点电场力做的功。
11
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，则带电粒子带负电，如图所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为
根据洛伦兹力提供向心力，可得
A、O 两点的距离为
（2）根据
可得粒子从O 点到A 点所用的时间为
（3）粒子在电场中的运动轨迹与y 轴相切于P 点，则
根据动能定理可得
12
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解得
10．如图所示，竖直挡板左边有电场强度为E 的匀强电场，方向水平向左。挡板右边
有磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一带负电的粒子从S 点由静止开
始仅在电场力的作用下加速运动，垂直于挡板经过小孔A 射入磁场中，一段时间后垂
直打在挡板上A'点。粒子的电荷量为q、质量为m，S、A 两点的距离为d。不计粒子的
重力，求：
（1）粒子从S 点到A 点的时间；
（2）A、A'两点间的距离以及粒子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）粒子在电场中运动，根据牛顿第二定律
根据运动学
解得
（2）由题意可知，
为粒子在磁场中圆周运动的直径，粒子进入磁场时的速度为
粒子在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
13
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解得
则
之间的距离为
粒子在磁场中运动的周期为
粒子在磁场中运动的时间为
11．如图所示，矩形区域abcd 平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，ab 边长为4L，bc 边长为L。在矩形中心O 处有一粒子源，在平面内向各方向均
匀发射出速度大小相等的带电粒子，粒子带电量均为+q，质量均为m。若初速度平行
于ab 边的粒子离开磁场时速度方向偏转了60°角，不计粒子之间的相互作用及粒子重
力，取
。求
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间的比值；
（3）某时刻发射出的粒子中，当初速度方向平行于ab 边的粒子离开磁场时，这些粒
子中未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之比。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据左手定则，粒子运动轨迹如图
由几何关系
14
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粒子运动半径为
根据牛顿第二定律
粒子在磁场中运动的速度大小为
（2）如图
当粒子与ab 交于O 点正上方时，弦长最短，运动时间最短，由几何关系
说明圆心角为
，则最短时间为
当粒子运动轨迹与cd 边相切时，圆心角最大，运动时间最长。由几何关系，粒子垂直
ab 边射出磁场，圆心角为
，则最长时间为
故最短时间和最长时间的比值为
（3）同一时刻在磁场中的粒子与O 的距离相等，以O 为圆心，以O 到（1）问中射出
点的距离为半径作圆，如图
当初速度方向平行于ab 边的粒子离开磁场时，仍在磁场中的粒子在磁场内部的圆弧上，
圆弧所对应的圆心角总和为
，则未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之
15
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比
12．如图所示，以
点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，
、
是两个线状粒子
放射源，长度均为
，放出同种带正电的粒子，粒子电荷量为
，粒
子的质量为
，其中
发出的所有粒子初速度为零，
发出的所有粒
子初速度均为
，方向水平向右，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用
均可忽略。曲线
的方程为
，在曲线
与放射源
之间存在竖直向上、场强
大小为
的匀强电场；第一象限内、虚线
的上方有垂直纸面向里、磁
感应强度为
的匀强磁场I；第二象限内以
为圆心、
长为半径的四分之一圆形区域
内有垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场Ⅱ。图中的
、
、
、
、
的长度均为
。观察发现：
发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁场I，
发出的
所有粒子在匀强磁场Ⅱ的作用下也汇聚于同一点，即该点可接收到两个粒子源发出的
所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求：
（1）匀强磁场I、II 的磁感应强度
、
的大小；
（2）从
放射源中点
发出的粒子在磁场Ⅱ中的运动时间；
（3）从
放射源中点
发出的粒子到达汇聚点的时间。
16
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场
中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
粒子在电场
中做匀加速直线运动，根据动能定理可得
又
联立可得
接近于0，也接近于0，可知粒子均汇聚于点，可得
解得
在磁场
中运动的粒子也汇聚于点，则有
，
可得
（2）设
点射出的粒子在磁场Ⅱ中偏转
，则
可得
17
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则运动时间为
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
，
可得
由几何关系可知，
点射出的粒子在磁场Ⅰ中偏转半周，运动时间为
点发出的粒子在电场中加速，由
其中
可得
解得
13．质量为m、电荷量为+q 的粒子，以速度v 源源不断地从小孔S1射入如图所示的速
度选择器，速度选择器中存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，已知匀强磁场的磁感
18
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应强度为B1。粒子在速度选择器中沿直线运动，从小孔S2射出后，从O 点射入以直线
MN 为边界的匀强偏转磁场，最终从P 点射出磁场，已知该偏转磁场的磁感应强度为
B2。整个装置放置在真空中，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）求速度选择器中的匀强电场场强E 的大小；
（2）求OP 间的距离d 和粒子在偏转磁场中运动的时间t；
（3）粒子离开磁场时被收集。已知时间t 内收集到粒子的质量为M，求这段时间内粒
子束离开磁场时的等效电流I。
【答案】（1）E=vB1；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在速度选择器中做匀速直线运动，根据平衡条件
qE=qvB1
得
E=vB1
（2）洛仑兹力提供向心力
由圆周运动的对称性得，OP 间的距离
d=2R
得
粒子在偏转磁场中做圆周运动的周期
粒子在偏转磁场中运动的时间
得
19
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（3）设时间t 内收集到的粒子数为N，根据题意
M=Nm
根据电流定义
得等效电流
14．如图甲所示，在平面直角坐标系
的第一象限内、半径为
的圆形区域内有
垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，边界圆刚好与
轴、
轴相切于
、
两点，长
为
、间距也为
的平行金属板M、N 固定在第二象限内，N 板在
轴上，在两板加上
如图乙所示的交变电压
，图中
未知、
已知，在两板中线左端有一粒子源
，
沿中线向右不断射出质量为
、电荷量为
的带正电的粒子，所有粒子穿过两板间电
场的时间均为
，在
轴下方有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中有一
足够长平行于
轴的挡板，挡板到
轴距离为
，从
射出的粒子刚好从N 板右端
边缘射出电场，从
时刻射出的粒子经磁场Ⅰ偏转后刚好从
点进入磁场Ⅱ，
打在板上时的速度与
轴负方向的夹角为
，所有粒子打到挡板上后均被挡板吸收，
不计粒子重力和相互间作用，
，
。求：
（1）
大小；
（2）匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小；
（3）挡板上打到粒子的区域的长度。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
20
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【详解】（1）所有粒子穿过两板间电场的时间均为
，从
射出的粒子刚好从N 板
右端边缘射出电场，根据对称性可知沿电场方向有
，
联立解得
（2）设粒子源
设粒子的速度为
，根据题意有
可得
时刻射出的粒子，由图乙可知粒子沿电场方向的分运动在
时间内向下先加速后减速，在
时间内向上先加速后减速，
根据对称性可知粒子刚好从A 点进入磁场Ⅰ，进入速度方向沿
轴方向，大小为
，
粒子在两个磁场中的运动轨迹如图所示
粒子在磁场Ⅰ中由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
联立可得
粒子在磁场Ⅱ中由洛伦兹力提供向心力可得
21
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由几何关系可得
联立可得
（3）所有粒子穿过两板间电场的时间均为
，由图乙结合对称性可知，所有粒子离开
电场时沿电场方向的速度均为0，即所有粒子离开电场时的速度方向均沿
轴方向，大
小均为
，射出电场粒子刚好分布于M、N 板之间，由于所有粒子进入磁场Ⅰ的运动
轨迹半径等于圆形磁场Ⅰ的半径，根据磁汇聚原理可知，所有粒子均从C 点进入磁场
Ⅱ，如图所示
根据几何关系可得挡板上打到粒子的区域的长度为
联立解得
15．有一种粒子分析器如图甲所示，粒子源G 不间断地向外释放某种带电粒子，粒子
质量为m，电量为
。单位时间内有n 个粒子无初速地飘入加速电场中，加速电压为
，之后进入长为L、间距也为L 的竖直偏转电场
中，两极板间电压与时间关系
如图乙所示，
，
为电场的水平中心线。偏转电场的右侧是两个有竖
22
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直的理想边界、方向相反、宽度均为
的匀强磁场，左侧磁感应强度
，
方向垂直纸面向外；右侧磁感应强度
，方向垂直纸面向里。磁场
的右
边界到竖直光屏
的水平距离为
（光屏
足够大，且粒子打到
上即被吸收，不
计粒子的重力及相互间的作用力，不计电场变化时产生的磁场及电磁场的边缘效应）。
（1）求粒子离开偏转电场时的速度；
（2）如果在
的右边界放置一上下长为L 的吸收屏
（能吸收一切打到屏上的粒
子），
过屏的中心，求打到光屏
的粒子占总粒子数的百分比；
（3）如果
可以从
到
中取任意值，求当
为何值时，粒子从进入
偏转磁场
到打到屏
的时间最短，并求出此最短时间及这种状态时粒子对PQ 屏的
作用力。
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
；（3）
；
，
【详解】（1）粒子在加速电场加速，根据动能定理可得
可得粒子进入偏转电场的速度为
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粒子通过偏转电场的时间为
所以粒子在偏转电场中沿电场方向运动时间为电压变化的一个周期，不同时刻进入粒
子运动图像如图所示
可见，经历一个周期时间，粒子沿电场方向速度都为零；所以出电场时，速度大小为
方向水平向右。
（2）一个周期内，从
时刻和
时刻射入偏转电场的粒子，可沿
射出，进入
、
，偏转轨迹圆为Ⅰ、Ⅱ，两轨迹相切与
点，过
做
左边界垂线交于；由洛伦
兹力提供向心力可得
可得
由题意可知
所以
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由几何关系，在
中轨迹圆Ⅱ刚好交
于
点，所以一个周期内，
和
入射的粒子可越过
到达屏
上，占一个周期内入射粒子的
。
（3）粒子在偏转磁场
中，有
在
中运动时，当
逐渐增大到等于
过程中，粒子的半径逐渐减小，如图所示
由于粒子的速度大小不变，当
时，粒子在
中运动的弧长最短，则在
中运
动时间最短。粒子垂直于
左边界射入，两磁场宽度相同，由对称性可知，当
时，粒子可垂直于
右边界射出，轨迹为圆Ⅲ。之后，粒子可垂直于
运动至
，
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粒子在
右边界到
间运动时间也最短。所以
时，粒子从进入偏转磁场
到打到屏
时间最短。此状态下，根据对称性可知粒子在
中运动时间为
在
右边界到
间运动时间为
则最短时间为
此状态下，粒子打到屏
上被屏吸收，粒子速度为零，设时间内有
个粒子打到屏
上，对
个粒子，由动量定理可得
解得
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