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专题07 动量
1.（2024 全国甲卷考题）7. 蹦床运动中，体重为
的运动员在
时刚好落到蹦床上，对蹦床
作用力大小F 与时间t 的关系如图所示。假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时
蹦床水平。忽略空气阻力，重力加速度大小取
。下列说法正确的是（ ）
A.
时，运动员的重力势能最大
B.
时，运动员的速度大小为
C
时，运动员恰好运动到最大高度处
D. 运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为
【答案】BD
【解析】A．根据牛顿第三定律结合题图可知
时，蹦床对运动员的弹力最大，蹦床的形变量
最大，此时运动员处于最低点，运动员的重力势能最小，故A 错误；
BC．根据题图可知运动员从
离开蹦床到
再次落到蹦床上经历的时间为
，根据竖直
上抛运动的对称性可知，运动员上升时间为1s，则在
时，运动员恰好运动到最大高度处，
时运动员的速度大小
故B 正确，C 错误；
D．同理可知运动员落到蹦床时的速度大小为
，以竖直向上为正方向，根据动量定理
，其中
代入数据可得
根据牛顿第三定律可知运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为
，故D
正确。
故选BD。
2.(2024 年江苏卷考题)8. 在水平面上有一个U 形滑板A，A 的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻
弹簧连接在滑板A 的左侧，右侧用一根细绳连接在滑板B 的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光
滑，剪断细绳后，则（ ）
1
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A. 弹簧原长时物体动量最大 B. 压缩最短时物体动能最大
C. 系统动量变大 D. 系统机械能变大
【答案】A
【解析】对整个系统分析可知合外力为0，A 和B 组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为
，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧原长时得
联立得
故可知弹簧原长时物体速度最大，此时动量最大，动能最大。
故选A。
3.（2024 年安徽卷考题）8. 在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可
伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d 的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为
，可视为点
电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1 和球2 间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上
时，速度大小分别为
、
、
，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了
，k 为静
电力常量，不计空气阻力。则（ ）
A. 该过程中小球3 受到的合力大小始终不变
B. 该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C. 在图乙位置，
，
D. 在图乙位置，
【答案】D
【解析】AB．该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外
力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3
受到1 和2 的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3 受到的合力为0，球3 从静止状态开始运动，瞬
间受到的合力不为0，故该过程中小球3 受到的合力在改变，故AB 错误；
CD．对系统根据动量守恒
2
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根据球1 和2 运动的对称性可知
，解得
根据能量守恒
解得
故C 错误，D 正确。
故选D。
4.(2024 年湖北考题)10. 如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，质量为m
的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度大小
成正
比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则（ ）
A. 子弹的初速度大小为
B. 子弹在木块中运动的时间为
C. 木块和子弹损失的总动能为
D. 木块在加速过程中运动的距离为
【答案】AD
【解析】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分
别为
，则有
子弹和木块相互作用过程中合力都为
，因此子弹和物块的加速度分别为
由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为
联立上式可得
因此木块的速度最大即
取极值即可，该函数在
到无穷单调递
减，因此当
木块的速度最大，A 正确；
B．则子弹穿过木块时木块的速度为
3
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由运动学公式
，可得
，故B 错误；
C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即
故C 错误；
D．木块加速过程运动的距离为
，故D 正确。
故选AD。
5.（2024 年上海卷考题）7. 如图，小球a 通过轻质细线Ⅰ，Ⅱ悬挂，处于静止状态。线Ⅰ长
，Ⅱ上端固定于离地
的O 点，与竖直方向之间夹角
；线Ⅱ保持水平。O 点正下
方有一与a 质量相等的小球b，静置于离地高度
的支架上。（取
，
，
）
（1）在线Ⅰ，Ⅱ的张力大小
，
和小球a 所受重力大小G 中，最大的是______。
（2）烧断线Ⅱ，a 运动到最低点时与b 发生弹性碰撞。求：
①与b 球碰撞前瞬间a 球的速度大小
；（计算）______
②碰撞后瞬间b 球的速度大小
；（计算）______
③b 球的水平射程s。（计算）______
【答案】 ①.
②.
③.
④.
【解析】（1）[1]以小球a 为对象，根据受力平衡可得
可知在线Ⅰ，Ⅱ的张力大小
，
和小球a 所受重力大小G 中，最大的是
。
（2）①[2]由动能定理可得
可得
②[3]由动量守恒定律和能量守恒可得
4
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联立解得
③[4]由平抛运动的规律有
，
联立解得
6.（2024 年广东卷考题）14. 汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置。
（1）安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示。在水平路面上刹车的
过程中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度a，同时顶起敏感臂，使之处于水平
状态，并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带。此时敏感臂对敏感球的压力大小为
，敏感球的质量为m，重力
加速度为g。忽略敏感球受到的摩擦力。求斜面倾角的正切值
。
（2）如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为H 处做自由落体
运动。与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力F 随时间t
的变化规律，可近似用图丙所示的图像描述。已知头锤质量
，重力加速度大小取
。求：
①碰撞过程中F 的冲量大小和方向；
②碰撞结束后头锤上升的最大高度。
【答案】（1）
；（2）①330N∙s，方向竖直向上；②0.2m
【解析】（1）敏感球受向下的重力mg 和敏感臂向下的压力FN以及斜面的支持力N，则由牛顿第二定
律可知
解得
（2）①由图像可知碰撞过程中F 的冲量大小
，方向竖直向上；
②头锤落到气囊上时的速度
与气囊作用过程由动量定理（向上为正方向）
5
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解得 v=2m/s
则上升的最大高度
7.(2024 年江苏卷考题)13. 嫦娥六号在轨速度为v0，着陆器对应的组合体A 与轨道器对应的组合体B
分离时间为Δt，分离后B 的速度为v，且与v0同向，A、B 的质量分别为m、M。求：
（1）分离后A 的速度v1；
（2）分离时A 对B 的推力大小。
【答案】（1）
，方向与v0相同；（2）
【解析】（1）组合体分离前后动量守恒，取v0的方向为正方向，有 (m＋M)v0 = Mv＋mv1
解得
，方向与v0相同；
（2）以B 为研究对象，对B 列动量定理有 FΔt = Mv－Mv0
解得
8.（2024 年安徽卷考题）14. 如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道
与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小
球用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块右侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放
小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着的轨道运动，已知细线长
。小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。圆弧轨道
半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
的
取值范围。
【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）
【解析】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理
解得
6
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在最低点，对小球由牛顿第二定律
解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
（2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
（3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守
恒
由能量守恒定律
解得
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高
位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值范围为
9.（2024 年山东卷考题）17. 如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上
表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物块
静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆
形部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2.
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小
物块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a 与F
对应关系如图乙所示。
（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到P 点时撤去
F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
7
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【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（3）
【解析】（1）根据题意可知小物块在Q 点由合力提供向心力有
代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N 时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知
根据图乙有
当外力
时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有
结合题图乙有
可知
截距
联立以上各式可得
，
，
（ii）由图乙可知，当F=8N 时，轨道的加速度为6m/s2，小物块的加速度为
当小物块运动到P 点时，经过t0时间，则轨道有
小物块有
在这个过程中系统机械能守恒有
水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有
联立解得
根据运动学公式有
代入数据解得
10.(2024 河北卷考题)15.如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C（上表面均粗糙）并排静止
8
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在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A 木板左端。已知三块木板质量均为
A 木板长度为
，机器人质量为
，重力加速度g 取
，忽略空气阻力。
（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端时，求A、B 木板间的水平距离。
（2）机器人走到A 木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A 木板右端跳到B 木板左端，求起
跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。
（3）若机器人以做功最少的方式跳到B 木板左端后立刻与B 木板相对静止，随即相对B 木板连续不停
地3 次等间距跳到B 木板右端，此时B 木板恰好追上A 木板。求该时刻A、C 两木板间距与B 木板长度的关
系。
【答案】（1）
；（2）90J，2；（3）
【解析】（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端，机器人与A 木板组成的系统动量守恒，设机器人
质量为M，三个木板质量为m，根据人船模型得
同时有
解得A、B 木板间的水平距离
（2）设机器人起跳的速度大小为
，方向与水平方向的夹角为
，从A 木板右端跳到B 木板左端时间
为t，根据斜抛运动规律得
联立解得
机器人跳离A 的过程，系统水平方向动量守恒
根据能量守恒可得机器人做的功为
联立得
根据数学知识可得当
时，即
时，W 取最小值，代入数值得此时
（3）根据
可得
，根据
得
分析可知A 木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离A 木板到与B 木板相对静止的过程中，机器人与
9
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BC 木板组成的系统在水平方向动量守恒，得
解得
该过程A 木板向左运动的距离为
机器人连续3 次等间距跳到B 木板右端，整个过程机器人和B 木板组成的系统水平方向动量守恒，设
每次起跳机器人的水平速度大小为
，B 木板的速度大小为
，机器人每次跳跃的时间为
，取向右为正
方向，得
①
每次跳跃时机器人和B 木板的相对位移为
，可得
②
机器人到B 木板右端时，B 木板恰好追上A 木板，从机器人跳到B 左端到跳到B 右端的过程中，AB 木
板的位移差为
可得
③
联立①②③解得
故A、C 两木板间距为
解得
11.（2024 年湖南卷考题）15．如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小
球A 和B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球
与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大
小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质
量比
。
（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍
（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
10
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【答案】（1）
，
；（2）
或
；（3）
【解析】（1）有题意可知A、B 系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量
守恒有
可得
碰撞后根据牛顿第二定律有
可得
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有
联立解得
，
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
①若第二次碰撞发生在图中的b 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
，则有
联立解得
由于两质量均为正数，故k1=0，即
对第二次碰撞，设A、B 碰撞后的速度大小分别为
，
，则同样有
联立解得
，
，故第三次碰撞发生在b 点、第四次碰撞发生在c 点，以此类推，满足题
意。
②若第二次碰撞发生在图中的c 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
；所以
11
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联立可得
因为两质量均为正数，故k2=0，即
根据①的分析可证
，
，满足题意。
综上可知
或
。
（3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为
，第一次碰后与第二次相
碰前B 球比A 球多运动一圈，即B 球相对A 球运动一圈，有
第一次碰撞动量守恒有
且
联立解得
B 球运动的路程
第二次碰撞的相对速度大小为
第二次碰撞有
且
联立可得
所以B 球运动的路程
一共碰了2n 次，有
一、单选题
1．（2024·河北邢台·二模）某同学利用身边的常见器材在家完成了有趣的物理实验，如图所示。
当手持吹风机垂直向电子秤的托盘吹风时，电子秤示数为36.0 克。假设吹风机出风口为圆形，其半径为
5cm，空气密度为1.29kg/m3，实验前电子秤已校准，重力加速度10m/s2。则此时吹风机的风速约为
12
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（ ）
A．6m/s
B．8m/s
C．10m/s
D．12m/s
【答案】A
【解析】对于
时间内吹出的空气，根据动量定理
其中
代入数据解得
故选A。
2．（23-24 高三下·广东广州·阶段练习）如图，冰壶A 以
的速度与静止在冰面上的冰壶B 正
碰，碰后瞬间B 的速度大小为
，方向与A 碰前速度方向相同，碰撞时间极短。若已知两冰壶的质量
均为20kg，则下列说法中正确的是（ ）
A．碰后瞬间A 的速度大小为0.4m/s
B．碰撞过程中，B 对A 做功为21.6J
C．碰撞过程中，A 对B 的冲量大小为
D．A、B 碰撞过程是弹性碰撞
【答案】C
【解析】A．由于碰撞时间极短，内力远远大于外力，可知，A、B 相碰时，A 和B 组成的系统动量近似
守恒。根据动量守恒定律，以v0方向为正方向，有
mv0=mvA+mvB
解得
vA=0.3m/s
故A 错误；
B．根据动能定理，碰撞过程中，B 对A 做功为
解得
13
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故B 错误；
C．碰撞过程中，根据动量定理，A 对B 的冲量大小
I=mvB
解得
I=24N•s
故C 正确；
D．碰撞之前总能量为
碰撞后A、B 系统总动能为
由此可知
可知，A、B 碰撞过程是非弹性碰撞，故D 错误。
故选C。
3．（2024·辽宁丹东·一模）如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内，质量为M 的小球
A 从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点质量为m 的小球B 发生第一次碰撞
，若A、B 两球第一次碰撞和第二次碰撞发生在同一位置，且两球始终在圆形轨道水平直径的下方
运动，A、B 间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．第一次碰撞后瞬间，A 球的运动方向一定变为水平向左
B．第一次碰撞后瞬间，A 球对轨道的压力大小可能为
C．第二次碰撞结束后，A 球沿左侧轨道上升的最大高度不可能为R
D．第二次碰撞结束后，A 球沿左侧轨道运动速度为零时，对轨道的压力大小可能为mg
【答案】B
【解析】A．由弹性碰撞的规律知，当
时，碰撞后质量小的球A 被反弹回来，方向水平向左，
当
时，两球碰撞后交换了速度，碰撞后小球A 静止，A 错误；
B．小球A 碰前速度为
14
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若A、B 两球第一次碰撞和第二次碰撞发生在同一位置，且两小球始终在圆形轨道水平直径的下方运
动，则两球碰后速度大小相同，对碰撞过程由动量守恒知
由能量守恒知
解得
，
第一次碰撞后瞬间
代入得
则由牛顿第三定律知A 球对轨道的压力可能为
，B 正确；
CD．二次碰撞过程，根据动量守恒和机械能守恒或根据运动可逆性，以上两种情况碰后A 球速度均为
，B 球均静止，故第二次碰撞结束后，A 球沿左侧轨道上升的最大高度为R，此时A 球速度为0，A 球对轨
道的压力大小为0。CD 错误；
故选B。
4．（2024·北京海淀·三模）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的N 极正对
着乙的S 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相
互接近过程中的任一时刻（ ）
A．甲的速度大小比乙的大
B．甲的加速度大小比乙的加速度小
C．甲的动量大小比乙的大
D．甲合力冲量与乙合力冲量大小相等
【答案】B
【解析】AB．对甲、乙两条形磁铁分别做受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律有
、
由于
15
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所以
由于两物体运动时间相同，且同时由静止释放，可得
A 错误，B 正确；
C．对于整个系统而言，由于
合力方向向左，合冲量方向向左，所以合动量方向向左，显然甲的动量大小比乙的小，C 错误；
D．因为甲的动量大小比乙的小，故甲合力冲量小于乙合力冲量，D 错误。
故选B。
5．（2024·湖北武汉·二模）中国汽车拉力锦标赛是我国级别最高，规模最大的汽车赛事之一，其
赛道有很多弯道。某辆赛车在一段赛道内速度大小由2v 变为4v，随后一段赛道内速度大小由5v 变为7v，
前后两段赛道内，合外力对赛车做的功分别为W1和W2，赛车的动量变化的大小分别为
和
，下列关
系式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据动能定理有
可得
由于速度和动量是矢量，具有方向，当初、末速度方向相同时，动量变化量最小，方向相反时，动量
变化量最大，可知动量变化的大小范围是
可得
故选B。
6．（2024·山东烟台·二模）质量为
和
的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x 随时间
t 变化的图像如图所示，若令
，则p 的取值范围为（ ）
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
图像的斜率表示物体的速度，两物体正碰后，
碰后的速度为
碰后的速度大小为
两小球碰撞过程中满足动量守恒定律，即
且
整理解得
即
故选C。
7．（2024·山东菏泽·模拟预测）如图甲所示，在光滑水平面上，小球A 以初动量
沿直线运动，
与静止的带轻质弹簧的小球B 发生正碰，此过程中，小球A 的动量p 随时间t 变化的部分图像如图乙所
示，
时刻图线的切线斜率最大，此时纵坐标为
，
时刻纵坐标为零。已知小球A、B 的直径相同，则（
）
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A．小球A、B 的质量之比为
B．
时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~
时间内，小球B 的动量变化量为
【答案】C
【解析】B．
时刻图线的切线斜率最大，则小球A 的动量变化率最大，根据
可知小球A 的速度变化率最大，即加速度最大，根据牛顿第二定律
可知此时弹簧弹力最大，由胡克定律可知，此时弹簧形变量最大，则此时弹簧的弹性势能最大，故B
错误；
A．
时刻两小球共速，设速度大小均为v，则小球A 的质量
根据动量守恒有
则小球B 的质量
由此可知两小球的质量之比为
故A 错误；
C．根据机械能守恒有
小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比
故C 正确；
D．
时间内，小球B 的动量变化量
故D 错误。
故选C。
18
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8．（2024·广西桂林·三模）两物体A、B 放在光滑的水平面上，现给两物体沿水平方向的初速度，
如图所示为两物体正碰前后的位移随时间的变化规律。已知物体A 的质量为
。则（ ）
A．图线1 为碰后物体B 的图像
B．碰撞前物体A 的速度大小为
C．物体B 的质量为
D．碰撞过程A、B 组成的系统损失的机械能为
【答案】D
【解析】AB．若规定以碰撞前B 速度方向为正方向，由题图像可知碰前物体A、B 的速度分别为
，
那么碰撞之后，不再发生碰撞，碰后速度分别为
，
才满足这种情况，故图线1 为碰后物体A 的图像，故AB 错误；
C．设物体的B 的质量为
，碰撞过程动量守恒，则由动量守恒定律得
解得
故C 错误；
D．碰撞过程损失的机械能为
代入数据解得
故D 正确。
故选D。
9．（2024·湖北·一模）如图甲所示，物体a、b 间拴接一个压缩后被锁定的轻质弹簧，整个系统静
止放在光滑水平地面上，其中a 物体最初与左侧的固定挡板相接触，b 物体质量为4kg。现解除对弹簧的锁
定，在a 物体离开挡板后的某时刻开始，b 物体的
图象如图乙所示，则可知（ ）
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A．a 物体的质量为1kg
B．a 物体的最大速度为2m/s
C．在a 物体离开挡板后，弹簧的最大弹性势能为6J
D．在a 物体离开挡板后，物体a、b 组成的系统动量和机械能都守恒
【答案】C
【解析】AB．解除对弹簧的锁定，a 离开挡板后，系统动量守恒、机械能守恒。由题意可知b 的速度
最大时，a 的速度最小为零，且此时弹簧处于原长；b 的速度最小时，a 的速度最大，且此时也处于原长。
设a 的质量为
，a 的最大速度为
根据动量守恒有
由机械能守恒可得
由图像可知
，
解得
，
AB 错误；
C．当a、b 速度相等时，a、b 动能之和最小，根据能量守恒定律，此时弹簧势能最大。根据动量守恒
定律有
根据能量守恒
解得
C 正确；
D．在a 物体离开挡板后，物体a、b 以及弹簧组成的系统动量和机械能都守恒，D 错误。
故选C。
10．（2024·全国·一模）一种平抛运动的实验游戏如图所示，AB 是内壁光滑的细圆管，被固定在竖
直面内，B 点的切线水平，让质量为m 的小球（直径略小于细管的直径）从A 点由静止释放，沿着管壁向
下运动，达到B 点时的速度方向水平向右，大小为v0，接着小球从B 运动到C，已知AB 的形状与抛物线BC
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的形状完全对称相同，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．A、C 两点间的高度差为
B．A 点的切线与水平方向的夹角为45°
C．小球从B 到C 重力的平均功率为
D．若小球从A 到B 的运动时间为t，则管壁对小球支持力的冲量大小为
【答案】B
【解析】A．小球从A 运动到B 过程，根据动能定理有
由于AB 的形状与抛物线BC 的形状完全对称相同，则A、C 两点间的高度差为
故A 错误；
B．小球从B 到C 过程，根据平抛运动规律有
，
结合上述解得
由于AB 的形状与抛物线BC 的形状完全对称相同，则A 点的切线与水平方向的夹角为45°，故B 正
确；
C．小球从B 到C 重力的平均功率为
结合上述解得
故C 错误；
D．小球从A 到B 的运动过程，将管壁对小球支持力的冲量沿竖直方向与水平方向进行分解，根据动量
定理有
，
则管壁对小球支持力的冲量大小为
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解得
故D 错误。
故选B。
11．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示为某弹跳玩具，底部是一个质量为m 的底座，通过弹
簧与顶部一质量
的小球相连，同时用轻质无弹性的细绳将底座和小球连接，稳定时绳子伸直而无
张力。用手将小球按下一段距离后释放，小球运动到初始位置处时，瞬间绷紧细绳，带动底座离开地面，
一起向上运动，底座离开地面后能上升的最大高度为h，已知重力加速度为g，则（ ）
A．玩具离开地面上升到最高点的过程中，重力做功为
B．绳子绷紧前的瞬间，小球的动能为
C．绳子绷紧瞬间，系统损失的机械能为
D．用手将小球按下一段距离后，弹簧的弹性势能为
【答案】C
【解析】A．玩具离开地面上升到最高点的过程中，重力做功为
WG=-（M+m）gh=-3mgh
选项A 错误；
BC．设细绳绷紧后瞬间，小球和底座一起向上运动的速度大小为v，底座离开地面后能上升h 高，则
有
v2=2gh
得
设细绳绷紧前瞬间，小球的速度为v0。细绳绷紧过程，外力远小于内力，系统动量守恒，取竖直向上
方向为正方向，根据动量守恒定律得
Mv0=（M+m）v
可得
则绳子绷紧前的瞬间，小球的动能为
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则绳子绷紧瞬间，系统损失的机械能为
故B 错误，C 正确；
D．用手将小球按下一段距离后，在绳子绷紧前的瞬间，减小的弹性势能转化成小球的动能和重力势
能，故弹簧的弹性势能满足
故D 错误；
故选C。
12．（2024·安徽黄山·二模）某小球质量为M，现让它在空气中由静止开始竖直下落，下落过程中
所受空气阻力与速率的关系满足
（k 为定值），当下落时间为t 时，小球开始匀速下落，已知重力加
速度为g，则小球在t 时间内下降的高度h 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可得，当小球匀速下落时，有
下落过程中，根据动量定理可得
联立可得
故选A。
二、多选题
13．（2024·山东济南·三模）质量为
的物块从距离地面高度为
处自由下落，在下落
到距离地面高度为
时，质量为
的子弹以
的水平速度瞬间击中物块并留在其中。
重力加速度取
，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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A．子弹击中物块后瞬间，物块水平方向的速度大小变为
B．子弹击中物块后瞬间，物块竖直方向的速度大小变为
C．物块下落的总时间为
D．物块下落的总时间为
【答案】AC
【解析】A．子弹击中物块后瞬间，水平方向动量守恒，则
解得物块水平方向的速度大小变为
选项A 正确；
B．子弹击中木块之前物块的竖直速度
子弹击中物块后瞬间，由竖直方向动量守恒可知
解得物块竖直方向的速度大小变为
选项B 错误；
CD．子弹击中木块之前物块下落的时间
被子弹击中后物块下落
时，根据
解得
t2=1s
（另一值舍掉），则总时间为
选项C 正确，D 错误。
24
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故选AC。
14．（2024·福建厦门·三模）如图甲所示，倾角为
的足够长的斜面固定在水平面上，物块A、B 中
间用轻弹簧相连，当弹簧处于原长L 时，A、B 恰好静止在斜面上。物块C 以速度
沿斜面匀速下滑并与B
发生弹性碰撞，从碰后瞬间开始计时，A 和B 的位置随时间变化的图像如图乙中的曲线a、b 所示，
时刻
a、b 的纵坐标分别为
、
，此时两条曲线的纵坐标差值最小。已知A、B 和C 可视为质点，质量均为
m，且与斜面之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（ ）
A．C 与B 碰后瞬间，B 的速度为
B．C 与B 碰后瞬间，A 的加速度为
C．从开始计时到弹簧第一次恢复原长的过程中，因摩擦产生的热量为
D．从开始计时到弹簧第一次恢复原长的过程中，因摩擦产生的热量为
【答案】AC
【解析】A．由题知B 和C 可视为质点，质量均为m，物块B、C 碰撞过程中动量守恒，两球碰撞后交换
了速度，故C 与B 碰后瞬间，B 的速度为
，A 正确；
B．当C 与B 碰后瞬间，弹簧仍处于原长L，A 物体处于静止状态，A 的加速度为0，B 错误；
CD．由题知物块C 以速度
沿斜面匀速下滑并与B 发生弹性碰撞，且A、B 和C 质量均为m，则
说明物块A、B 运动过程中相当所受外力合力为零，在物块B 获得速度
后开始压缩弹簧，由于弹簧弹
力作用，物块B 的速度减小，物块A 的速度增加，当弹簧压缩到最短时物块A、B 拥有共同速度，后物块A
的速度继续增加，物块B 的速度继续减小，弹簧逐渐伸长，当物块A 的速度达到
，物块B 的速度减为0
时，弹簧处于原长，在整个过程中摩擦力做功等于重力势能减小量，由对称性知，物块B 沿斜面位移等于
物块A 沿斜面位移为
，故从开始计时到弹簧第一次恢复原长的过程中，因摩擦产生的热量为
C 正确，D 错误。
故选AC。
15．（2024·河北·二模）2024 年2 月5 日，在斯诺克德国大师赛决赛，特鲁姆普以10-5 战胜斯佳辉
获得冠军，如图甲所示。简易图如图乙所示，特鲁姆普某次用白球击打静止的蓝球，两球碰后沿同一直线
运动。蓝球经
的时间向前运动
刚好（速度为0）落入袋中，而白球沿同一方向运动
停止运动，已知两球的质量相等，碰后以相同的加速度做匀变速直线运动，假设两球碰撞的时
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间极短且发生正碰（内力远大于外力），则下列说法正确的是（ ）
A．由于摩擦不能忽略，则碰撞过程动量不守恒
B．碰后蓝球与白球的速度之比为
C．碰撞前白球的速度大小为
D．该碰撞为弹性碰撞
【答案】BC
【解析】A．由题意两球碰撞的时间极短，碰撞过程中产生极大的内力，两球与桌面间的摩擦力远远
小于内力，所以该碰撞过程的动量守恒，A 错误；
B．碰后，蓝球做匀减速直线运动且刚好落入袋内，由匀变速直线运动的规律
得蓝球碰后瞬间
的速度为
又两球的加速度大小相等，则由公式
得
解得碰后瞬间白球的速度大小为
则碰后蓝球与白球的速度之比为
，B 正确；
C．碰撞过程中两球组成的系统动量守恒，则
代入数据解得
C 正确；
D．两球碰前的动能为
两球碰后的总动能为
由于
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所以该碰撞过程有机械能损失，即该碰撞为非弹性碰撞，D 错误。
故选BC。
16．（2024·河北保定·一模）如图所示，粗糙的水平面上放置一轻质弹簧，弹簧的右端固定，左端
与质量为m 的滑块甲（视为质点）连接，小球乙（视为质点）静止在C 点，让甲在A 点获得一个水平向左
的初速度
，且甲在A 点时弹簧处于压缩状态，此时弹簧所蕴含的弹性势能为
，当甲运动到B 点时
弹簧正好恢复到原长，甲继续运动到C 点时与乙发生弹性碰撞。已知甲与水平面之间的动摩擦因数为
，A、B 两点间距与B、C 两点间距均为L，下列说法正确的是（ ）
A．甲刚到达B 点时的速度大小为
B．甲刚到达C 点时，弹簧的弹性势能为
C．甲刚到达C 点时（与乙发生碰撞前）的动能为
D．若甲、乙碰撞刚结束时，乙的速度为
，则乙的质量为2m
【答案】BC
【解析】A．由题意可知，甲刚到达B 点时，弹簧的弹性势能是零，即弹簧对甲做功是
，由动能
定理可得
解得
A 错误；
B．由对称性可知，甲刚到达C 点时，弹簧的弹性势能为
，B 正确；
C．甲刚到达C 点时（与乙发生碰撞前），由动能定理可得
解得
C 正确；
D．甲、乙在C 点发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得
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由题意，碰撞后乙的速度为
，则有
解得
D 错误。
故选BC。
17．（2024·河南·二模）2030 年以后，我国航天领域将进一步向深空进行探索。在某一星球表面的
试验基地中，可以人员进行如下研究，光滑水平桌面上放一四分之一光滑圆弧轨道，半径
，质量
。一个质量为
的小球从圆弧轨道顶端沿轨道静止释放，测得小球离开圆弧轨道时的速度大
小为2m/s。已知地球的表面的重力加速度
，该星球的半径大小为地球半径的1.5 倍，忽略星球
的自转，则下列说法正确的是（ ）
A．该星球表面的重力加速度大小为
B．该星球的质量与地球质量
之比为4∶3
C．该星球与地球的第一宇宙速度之比为
D．该星球与地球的平均密度
之比为9∶2
【答案】AC
【解析】A．小球与圆弧轨道构成的系统机械能守恒和在水平方向上动量守恒，则从释放到最低点，
有
，
解得
故A 正确；
B．对于星球表面的物体，万有引力近似等于重力
则有星球质量
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故该星球与地球质量之比为
故B 错误；
C．由万有引力提供向心力
，解得第一宇宙速度
可得该星球与地球的第一宇宙速度之比为
故C 正确；
D．星球密度
则可得密度之比为2∶9，故D 错误。
故选AC。
18．（2024·河北保定·二模）如图所示，三个小孩分别坐在三辆碰碰车（可看成质点）上，任意一
个小孩加上自己的碰碰车后的总质量都相等，三辆碰碰车在一光滑水平面上排成一直线，且初始时彼此隔
开相等的距离。具有初动能
的碰碰车1 向右运动，依次与两辆静止的碰碰车2、3 发生碰撞，碰撞时间
很短且碰后连为一体，最后这三辆车粘成一个整体成为一辆“小火车”，下列说法正确的是（ ）
A．三辆碰碰车整体最后的动能等于
B．碰碰车1 运动到2 的时间与2 运动到3 的时间之比为2：3
C．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能和第二次碰撞时损失的机械能之比为3：1
D．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能和第二次碰撞时损失的机械能之比为3：2
【答案】AC
【解析】A．由系统动量守恒，可得
其中
则三辆碰碰车整体最后的动能等于
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故A 正确；
B．设相邻两车间的距离为x，碰碰车1 运动到2 的时间为
依题意，碰碰车1 与静止的碰碰车2 碰撞过程，动量守恒，有
则碰碰车2 运动到3 的时间为
可得
故B 错误；
CD．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能为
第二次碰撞时损失的机械能为
可得
故C 正确；D 错误。
故选AC。
19．（2024·湖北十堰·二模）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为
的滑块，
滑块右侧面的
光滑圆弧形槽的半径为R，末端切线水平，圆弧形槽末端离地面的距离为
。质量为m 的
小球（可视为质点）从圆弧形槽顶端由静止释放，与滑块分离后做平抛运动，重力加速度大小为g，下列
说法正确的是（ ）
A．滑块的最大动能为
B．小球离开滑块时的动能为
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C．小球落地时的动能为
D．小球落地时与圆弧形槽末端抛出点的距离为
【答案】AD
【解析】A．滑块、小球组成的系统水平方向动量守恒，则当小球运动至圆弧形槽末端时，滑块的动
能最大，根据动量守恒以及机械能守恒可得
解得
，
滑块的最大动能为
故A 正确；
B．小球离开滑块时的动能为
故B 错误；
C．根据动能定理
小球落地时的动能为
故C 错误；
D．小球与滑块分离后做平抛运动，竖直方向有
小球落地时与圆弧形槽末端抛出点的水平距离为
小球落地时与圆弧形槽末端抛出点的距离为
故D 正确。
故选AD。
三、解答题
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20．（2024·江苏苏州·二模）如图所示，半径为
的光滑圆弧曲面与倾角为37°足够长的固定
粗糙斜面
在
点平滑相接，质量为
的小物块B 恰好静止在斜面上，此时物块B 与
点的距离为
。另一质量为
的小物块A 从与圆心等高处由静止释放，通过
点滑上斜面，与物块B 发生弹性
碰撞。已知物块A 与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度
取
，两物块均可视为质点，碰撞时
间极短
。求：
（1）物块A 运动到
点时对曲面的压力；
（2）物块A 与B 碰撞前的速度；
（3）从物块A 与B 第一次碰撞到两物块再次碰撞经历的时间。
【答案】（1）
，与竖直方向夹角
斜向下；（2）
；（3）
【解析】（1）物块A 从静止开始下滑到底端的过程中，由机械能守恒得
设物块A 运动到N 点时受到曲面的支持力为
，由牛顿第二定律得
联立解得
由牛顿第三定律得曲面受到的压力
与竖直方向夹角
斜向下；
（2）滑上斜面后，对物块A，设加速度为a，与物块B 碰撞前速度为v，由牛顿第二定律可得
由运动运动学公式可得
联立解得
（3）物块A 与物块B 发生弹性碰撞，碰撞后物块A 速度为
，物块B 速度为
，满足动量守恒、动能
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守恒，即
联立解得
因为物块B 恰好静止在斜面上，碰撞后物块B 匀速运动，物块A 与物块B 碰后，物块A 以加速度a 匀加
速运动，设经时间t 第二次碰撞，由运动学公式可得
解得
21．（2024·四川成都·二模）图（a）为某“弹弹棋”的实物图，棋盘水平放置，黑、白棋区域关
于中央挡板对称分布。某次游戏过程中，一枚白棋和一枚黑棋同时从各自起点线中央处获得沿轴线方向的
初速度，并沿轴线做匀减速直线运动，俯视图如图（b）所示。已知白棋、黑棋质量相等且可视为质点，
两起点线之间的距离为
，棋子与棋盘动摩擦因数均为
，白棋初速度大小为
，经
时间
与运动中的黑棋正碰，碰撞过程时间极短且无能量损失，重力加速度大小取
，求：
（1）碰撞的位置到白棋起点的距离
及黑棋的初速度大小
；
（2）通过计算后判断黑棋能否停在白棋区域。
【答案】（1）
，
；（2）黑棋能停在白棋区域，原因见解析
【解析】（1）根据匀变速直线运动规律可知碰撞的位置到白棋起点的距离
设黑白棋质量为
，根据牛顿第二定律可知白棋在运动过程中的加速度大小
解得
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通过题意可知，黑棋与碰撞位置之间的距离为
则有
解得黑棋的初速度大小
（2）根据匀变速直线运动规律可知，黑白棋碰撞前各自的速度大小为
，
设白棋运动方向为正方向，碰撞过程时间极短且无能量损失，则有
解得碰后两球速度大小
，
即发生速度交换，碰后两球速度均反向，碰撞位置与小孔距离
碰撞后到黑棋停下来，黑棋的位移
故黑棋能停在白棋区域。
22．（22-23 高三下·广东肇庆·阶段练习）如图，L 形滑板A 静止在粗糙水平面上，在A 上距离其左
端为3l 处静置小木块B，A、B 之间光滑；水平面上距离A 右端处静止着一滑块C，A 和C 与水平面之间的
动摩擦因数均为µ，A、B、C 的质量均为m，AB、AC 之间的碰撞都属于完全非弹性碰撞且不粘连，现对A 施
加水平向右的恒定推力，当AC 相碰瞬间撤去，碰撞后瞬间AC 的速度
，由于A 板足够长，所以
不考虑BC 的相碰，已知重力加速度为g，求：
（1）AC 碰前瞬间A 的速度大小；
（2）水平推力F 的大小；
（3）当AC 都停下时C 离A 板右端的距离d。
【答案】（1）
；（2）34µmg；（3）5.5l
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【解析】（1）由题意，
发生完全非弹性碰撞，碰后共速，由动量守恒定律可得：
得：
（2）对A，从开始到与C 相碰前，由动能定理：
得
（3）
相碰后，
分离，对C 有
得
对A 有
然后
相碰，有
此后，对A 有
得
之间的距离
得
24．（24 高三重庆期中）如图所示，质量为
的小船，长为
，浮在静水中．开始时质
量为
的人站在船头，人和船均处于静止状态，不计水的阻力，若此人从船头向船尾行走：
（1）当人的速度大小为
时，船的速度大小为多少；
（2）当人恰走到船尾时，船前进的距离。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据动量守恒定律可得
解得
（2）由图可知
解得
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