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专题04 机械能守恒定律与动量守恒定律
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，质量均为m 的物块A、B 放在光滑的水平面上，
中间用轻弹簧相连，弹簧处于原长，一颗质量为
的子弹以水平速度
射入木
块A 并留在物块中（时间极短），则下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入物块A 的过程中，子弹的动量变化量为
B．子弹射入物块A 的过程中，物块A 的动能增加量为
C．在弹簧第一次被压缩到最短的过程中，物块B 的动量大小最大值为
D．弹簧第一次压缩到最短的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为
2．（2024·安徽安庆·二模）如图所示，竖直轨道MA 与四分之一圆弧轨道ABC 平滑对
接且在同一竖直面内，圆弧轨道圆心为O，OC 连线竖直，OB 连线与竖直方向夹角为
，紧靠MA 的一轻质弹簧下端固定在水平面上，弹簧上放有一质量为
的
小球，现用外力将小球向下缓慢压至P 点后无初速释放，小球恰能运动到C 点。已知
PA 高度差为0.8m，圆弧轨道半径为1.0m，不计轨道摩擦和空气阻力，小球的半径远
小于圆弧轨道的半径，弹簧与小球不拴接，重力加速度g 取
（
，
），则（ ）
A．小球离开弹簧时速度最大
B．刚释放小球时，弹簧弹性势能为36J
C．若小球质量改为5.5kg，仍从P 点释放小球后，小球能沿轨道返回P 点
1
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D．若小球质量改为2.3kg，仍从P 点释放小球后，小球将从B 点离开圆弧轨道
二、多选题
3．（23-24 高二上·上海杨浦·阶段练习）如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质
量为M 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面相切，一个质量为
的小球从弧形槽h 高处由静止开始下滑，不计空气阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．在下滑过程中弧形槽对小球的弹力始终不做功
B．在小球压缩弹簧的过程中，小球的机械能减小
C．小球离开弹簧后，小球和弧形槽组成的系统机械能守恒，但小球不能回到弧形
槽h 高处
D．在整个过程中，小球、弧形槽和弹簧组成的系统机械能守恒，水平方向动量守
恒
4．（2024·广西贵港·二模）图甲所示的无人机，某次从地面由静止开始竖直向上飞行，
该过程中加速度a 随上升高度h 的变化关系如图乙所示。已知无人机的质量为m，重
力加速度为g，取竖直向上为正方向，不计空气阻力，则从地面飞至
高处的过程中，
无人机（ ）
A．先做匀加速直线运动后做匀速直线运动
B．飞至
高处时速度大小为
C．飞至
高处时无人机所受的升力为2mg
D．机械能增加量为
5．（2024·贵州铜仁·二模）如图所示，一质量为m 的物块A 与质量为2m 的物块B 用
2
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轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，B 右边有一竖直固定的弹性挡板；现给A 向右
的初速度
，A 的速度第一次减为
时，B 与挡板发生碰撞，碰撞时间极短。碰撞后
瞬间取走挡板，此时弹簧的压缩量为x。运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，下列说
法正确的是（ ）
A．物块B 与挡板碰撞时的速度大小为
B．物块B 与挡板碰撞时，弹簧弹性势能为
C．物块B 与挡板碰撞后弹簧弹性势能的最大值为
D．弹簧第一次伸长量为x 时物块B 的速度大小为
6．（2024·江西·二模）如图，将质量均为m 的物块M、N，由劲度系数为k 的轻质弹
簧拴接后置于倾角为
的固定斜面上，M 底面光滑，N 与斜面之间的动摩擦因数
，用手托住M 使其保持静止且使弹簧处于原长。
时刻将M 由静止释放，
已知弹簧始终处于弹性限度之内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为
g。从
时刻至M、N 首次共速的过程，下列说法正确的是（ ）
A．
时刻N 的加速度大小为零
B．M 和N 组成的系统动量守恒
C．M 减少的机械能等于N 增大的机械能与系统因摩擦产生热量之和
D．当M、N 速度差最大时，弹簧的形变量为
7．（2024·安徽淮南·二模）如图所示，足够长的水平轨道
与竖直光滑半圆形轨道
在
点平滑连接，半圆形轨道的圆心为
，且
。重力
3
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可视为质点的小滑块静置于
上的
点，某时刻滑块在一水平向右的
恒力
作用下开始向右运动，滑块在
内运动时刚好不脱离半圆形轨道并能沿轨道返回
面，
。下列说法正确的是（ ）
A．滑块运动至
后开始返回
B．滑块运动至
点时其机械能最大
C．滑块运动到
点时对半圆形轨道的压力最大
D．滑块运动
点时的速度大于运动到
点时的速度
三、解答题
8．（2024·广西·二模）如图所示，一足够长倾斜角
的斜面顶端放置一长木板
A，木板A 上表面的某处放置一小滑块B（可看成质点），已知A 和B 的质量分别为
2m 和3m，木板A 顶端与滑块B 相距为
的地方固定一光滑小球C（可看成质
点），已知小球C 的质量为m，A 与B 之间的动摩擦因数
，A 与斜面间动摩擦
因数
，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
，将固定
的光滑小球C 由静止释放，C 与B 会发生弹性碰撞，求：
（1）小球C 与滑块B 碰后瞬间各自的速度分别多大；
（2）要使小球C 再次碰到滑块B 之前B 未能滑出A 下端，则木板A 至少多长；
（3）A 和B 共速时，滑块B 与小球C 距多远。
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，质量
、半径
的四分之
一光滑圆孤abc 静止在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质
4
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量为
的小物块B，B 的左侧固定一水平轻弹簧，将质量为
的小物块A 从圆
弧顶端由静止释放，在小物块B 的右侧有一竖直挡板（图中未画出，挡板和B 的间距
可调），当小物块B 与挡板发生一次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且小物块A 与弹簧
接触后即与弹簧固定连接，已知重力加速度
，不计空气阻力，A、B 均可视
为质点。求：
（1）若圆弧固定，小物块A 到达圆弧底端时的速度的大小；
（2）若圆弧不固定，小物块A 到达圆弧底端的速度的大小以及圆弧体的位移大小；
（3）若圆弧不固定，小物块B 与挡板发生碰撞后的运动过程中，当弹簧最短时弹簧弹
性势能的范围。
10．（2024·黑龙江·二模）如图所示，两根轻绳连接质量为m 的小球P，右侧绳一端固
定于A 点，左侧绳通过光滑定滑轮B 连接一物块Q，质量相等的物块Q、N 通过一轻
弹簧连接，整个系统处于静止状态时，小球P 位于图示位置，PA、PB 两绳与水平方向
的夹角分别为53°和37°，此时物块N 与地面的压力恰好为零。现将小球P 托至与A、
B 两点等高的水平线上，两绳均拉直且恰好无弹力，由静止释放小球P。已知PA 绳长
为L，
，
，重力加速度为g，求：
（1）物块Q 的质量M；
（2）小球P 运动到图示位置时，物块Q 的速度大小v；
（3）小球P 从释放到图示位置过程中，轻绳对物体Q 做的功W。
11．（2024·吉林·二模）如图所示，倾斜传送带与水平方向的夹角
，并以大小
为
的速度逆时针转动。物块A 从传送带上端由静止释放，同时物块B 以
的速度从传送带底部冲上传送带，当A 与传送带刚好共速时，A、B 相碰并粘
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在一起，已知两物块质量均为
，与传送带间的动摩擦因数均为
，重力加
速度
，
，
，不计物块大小，求：
（1）A、B 相碰前瞬间，物块B 的速度大小；
（2）碰撞前，两物块在传送带上运动过程中，因摩擦产生的总热量；
（3）碰撞后，两物块在传送带上运动过程中，传送带对两物块的摩擦力的冲量大小
（结果可保留根号）。
12．（2024·黑龙江·二模）如图所示为某游乐场中一滑道游乐设施的模型简化图，倾斜
轨道AB 与半径R=0.5m 的圆形轨道相切于B 点，圆形轨道在最低点C 处略有错开。一
质量为m=1kg 的物块（可视为质点）从倾斜轨道AB 的顶端A 点由静止开始滑下，从B
点进入圆形轨道，并恰好通过轨道的最高点，接着进入水平轨道CD，然后滑上与D
点等高的质量为M=2kg 的滑槽，物块最终未离开滑槽。滑槽开始时静止在光滑水平地
面上，EF 部分长为
，FG 部分为半径r=0.1m 的四分之一圆弧轨道。已知物
块与斜面轨道AB 和水平轨道CD 间的动摩擦因数均为
，物块与滑槽EF 之间的
动摩擦因数
，其他接触面均光滑，水平轨道CD 长为
，OB 与OC
的夹角
，
，
，重力加速度g 取10
，不计空气阻力
以及轨道连接处的机械能损失。求：
（1）物块通过圆形轨道最低点C 处时，对轨道的压力大小；
（2）倾斜轨道AB 的长度
；
（3）若物块始终不脱离滑槽，则物块与滑槽EF 段的动摩擦因数
的范围。
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13．（2024·贵州安顺·二模）如图所示，在光滑水平台面上，一质量
的物块
1（视为质点）压缩弹簧后被锁扣K 锁住。现打开锁扣K，物块1 与弹簧分离后与静止
在平台右侧质量
的物块2（视为质点）发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后
物块2 恰好从B 点沿切线方向入光滑竖直的圆弧轨道BC，圆弧轨道BC 所对应的圆心
角
，圆弧轨道BC 的半径
。已知A、B 两点的高度差
，圆弧轨
道BC 与水平光滑地面相切于C 点，物块2 在水平地面上运动一段距离后从D 点滑上
顺时针转动的倾斜传送带DE，假设滑上D 点前后瞬间速率不变。传送带两端DE 的长
度
，传送带的倾角为
，其速度大小
。已知物块2 与传送带间的动
摩擦因数
，不计空气阻力，不考虑碰撞后物块1 的运动，取重力加速度大小
，
，
，求：
（1）弹簧被锁定时的弹性势能；
（2）物块2 在传送带上运动的过程中因摩擦产生的热量。
14．（2024·江西·二模）质量为
的木板B 静止于光滑水平面上，质量为
的物块A 停在B 的左端，质量为
的小球用长为
的轻绳悬挂在
固定点O 上；将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与A 发生碰
撞，碰撞时间极短且无机械能损失，物块与小球可视为质点，不计空气阻力。已知
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A、B 间的动摩擦因数
，重力加速度
。求：
（1）小球与A 碰撞前的瞬间，绳子对小球的拉力F 的大小；
（2）小球与A 碰撞后的瞬间物块A 的速度
的大小及为使A 恰好不滑离木板时木板
的长度L。
15．（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，半径
竖直放置的光滑半圆轨道与光
滑水平轨道在A 点平滑连接，质量为
的小物体a（可视为质点）以初速度
从
C 点出发，经A 点恰好运动到B 点，物体通过最高点B 后作平抛运动，恰好落在C 点，
重力加速度g 取
，试求：
（1）物体的初速度
；
（2）若物体以初速度
从C 点出发，在运动过程中，始终受到竖直平面内且与水平方
向成
角斜向左上方恒力的作用，此时物体恰好对水平轨道无压力，求物体运动过程
中离出发点C 的最大水平距离（计算结果用分数表示）。
16．（2024·贵州毕节·二模）如图，倾角为
的足够长斜面，其中MN 段光滑，其
长度
，其余部分粗糙程度相同，长为
的轻绳连接两个材料相同、质量分
别为m、2m 的小滑块
（
均可视为质点），小滑块与粗糙部分的动摩擦因数
均为
。开始时
处于光滑部分的
点，轻绳恰好伸直。现由静止同时释放小
滑块a、b，经过一段时间后，
与
发生弹性碰撞。已知重力加速度
，
（以下计算结果可用分数表示）求：
（1）小滑块
到
点时的速度大小分别为多少？
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（2）小滑块
从释放经过多长时间会发生弹性碰撞？
（3）小滑块
发生弹性碰撞后的瞬间速度大小分别为多少？
17．（2024·贵州·二模）如图，在倾角为37°的斜面上，一劲度系数k=1000N/m 的轻弹
簧一端固定在A 点，自然状态时另一端位于B 点。斜面上方有一半径R=0.1m、圆心角
等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于C 处，圆弧轨道的最高点为D。将质量
为M=1.5kg 的物块乙轻放在弹簧上端（不栓接）。另一个质量为m=0.5kg 的物块甲以
初速度v0沿斜面向下运动，到达B 点后两物块相碰并粘连在一起，之后整体向下压缩
弹簧至P 点后弹回，恰好能通过圆轨道的最高点D，已知CB 间的距离为x1=0.5m，BP
间的距离为x2=0.2m。两物块均可视为质点，物块乙与斜面间的动摩擦因数为
，
弹簧弹性势能表达式为
，其中k 为弹簧的劲度系数，
为弹簧的形变量。重
力加速度
取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）物块甲与斜面间的动摩擦因数
；
（2）物块甲的初速度v0（结果可用根号形式表示）；
（3）若物块甲到达B 点后两物块相碰共速但不粘连，试求两物块被弹回时分离的位置
距P 点的距离。
18．（2024·安徽·二模）在快递分类时常用传送带运送快件，一倾角为37°的传送带在
电动机的带动下以恒定速率顺时针方向运行，传送带底端到顶端的距离为
，
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如图甲所示。传送带现将一质量
的快件静止放于传送带底端，以传送带最底
端为参考平面，快件在传送带上运动整个过程中速度的平方
随位移x 的变化如图乙
所示，取重力加速度大小
，
，
，快件可视为质点，
求：
（1）快件与传送带之间的动摩擦因数
；
（2）快件从传送带底端到顶端过程电动机多做的功W。
19．（2024·江西·二模）如图所示，质量均为
的
个小物块等间距地放置在倾角为
的足够长的斜面上，斜面与物块间的动摩擦因数均为
，相邻物块间距为
。
现给物块1 一个瞬时冲量
，使其向下运动与物块2 碰撞并粘在一起，之后向下运动再
与物块3 碰撞并粘在一起……碰撞时间极短，物块均可看成质点，不计空气阻力，重
力加速度为
，已知
，
。
求：
（1）物块1 和2 碰撞后瞬间的速度大小；
（2）从物块1 开始运动到物块
和
碰撞前瞬间，运动的物块克服摩擦力做的功；
（3）为使第
个物块能向下运动，求给物块1 的瞬时冲量
应满足的条件。
20．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，a、b、c 均为质量为m 的物块，其中b、c 通
过轻弹簧连接并静置在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，a 物块从距离b 高为h 处由
静止释放，与b 碰撞后黏在一起，碰撞时间极短。重力加速度为g，则：
（1）求a、b 碰撞后瞬间a、b 整体的速度和加速度大小；
（2）若a 物块从距离b 高为h0处由静止释放，弹簧恰好能恢复原长，求初始时弹簧的
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弹性势能（结果用含h0的式子表示）；
（3）若a 物块从距离b 高为hx处由静止释放，c 恰好能离开地面，求hx为多少？
21．（2024·江西·二模）如图所示，倾角为θ 且足够长的固定斜面上放置4 个完全相同
的滑块，编号为1、2、3、4，相邻滑块间距均为L。现有一表面光滑、质量为m 的物
体从滑块1 上方某处由静止释放，之后所有碰撞均为弹性正碰且碰撞时间极短。已知
每个滑块的质量均为m0（m0>m），滑块与斜面间的动摩擦因数μ=tanθ，物体与1 号滑
块前4 次碰时的速度均相同，物体和滑块均可视为质点，重力加速度大小为g。
（1）求物体释放时到滑块1 的距离x；
（2）求物体与滑块1 第5 次碰撞前物体的速度大小v5；
（3）若物体释放时到滑块1 的距离为
，求物体从释放到与滑块1 发生第5 次碰撞
的时间t。
22．（2024·江西新余·二模）如图，固定在竖直平面上的半径
的光滑半圆轨道
AB 与光滑水平地面在A 点相切，在半圆轨道的最低点A 设置一压力传感器，压力传感
器上放置一质量
的小球乙，用外力将物块甲和物块丙间的轻弹簧压缩并保持
静止，某一时刻突然同时撤去外力，轻弹簧将物块丙、甲分别向左右两边水平弹出，
物块丙、甲被弹开后，立即拿走轻弹簧、经过一段时间后、物块甲与小球乙发生弹性
碰撞，碰撞后瞬间压力传感器的示数为
。已知物块甲与物块丙的质量均为
，重力加速度g 取
、甲、乙、丙均可视为质点，B 为半圆轨道的最高点，
空气阻力不计，轻弹簧始终在弹性限度内。
（1）求物体乙被碰撞后瞬间获得的速度大小；
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（2）求轻弹簧的弹性势能；
（3）小球乙运动能否到B 点，若能，求小球乙落地点到A 点的距离。
23．（2024·安徽淮南·二模）如图所示，水平面
的上方存在范围足够大的匀强电场，
质量为
的带电小球乙恰好静止在电场中的
点，
点到水平面
的距离为
，处于小球乙正上方的另一质量为
不带电的绝缘小球甲从
点由
静止释放，已知
之间的距离为
，设小球的碰撞均为弹性正碰，且碰撞时
间极短，碰撞时小球乙所带电荷量不变，空气阻力不计，重力加速度
取
，求：
（1）甲、乙两小球第一次碰撞后各自的速度大小；
（2）甲、乙两小球第三次碰撞时，小球乙通过的位移大小；
（3）小球乙到达
点时，两小球之间的距离。
24．（2024·江西鹰潭·二模）如图所示，在倾角
足够长的粗糙斜面上放一长
，质量为m、上下挡板厚度不计的U 形盒子P（盒子内底面与斜面平行），
盒子P 与斜面间的动摩擦因数
。在盒子的上端放一质量等于
的物块Q（可看
做质点），Q 与盒子内表面无摩擦，放开物块后即在盒内滑下与下面挡板碰撞，设碰
撞时间极短且碰撞中没有机械能损失，重力加速度g 取
，
，
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。求：
（1）物块Q 与盒子P 发生第一次碰撞后各自速度大小；
（2）物块Q 与盒子P 发生第一次碰撞后再经过多长时间与P 发生第二次碰撞。（结果
可用根式表示）
25．（2024·江西南昌·二模）如图所示，质量为2kg 的物块乙静止于A 点，质量为1kg
的物块甲在乙的左侧，物块丙静止在B 点。甲、乙中间夹有不计质量的火药，火药爆
炸时，将四分之一的化学能转化为甲、乙的动能，乙立即获得3m/s 的速度向右运动。
乙在AB 间运动的某段连续的距离中，受到一水平向右、大小为12N 的恒定拉力，使
得乙恰好未与丙发生碰撞。已知AB 间的距离为8.25m，乙与地面间的动摩擦因数为
0.2，碰撞与爆炸时间均极短，甲、乙、丙均可视为质点，g 取
。
（1）求火药爆炸时释放的化学能；
（2）求恒定拉力在AB 间持续作用的最短时间；
（3）若拉力从A 点开始持续作用，乙运动到B 点后与丙发生碰撞，碰后瞬间，乙、丙
的动量大小之比为1：6，求丙的质量范围。（不考虑再次碰撞）
26．（2024·江西·二模）第25 届哈尔滨冰雪大世界于2023 年12 月18 日开园迎宾，
2024 年2 月15 日闭园，它用冰雪展现了哈尔滨沉淀60 年的冰雪文化与魅力。一冰雕
师把位于水平草垫上的正方体冰块沿如图所示虚线切割，切割后分为A、B 两部分，
切割面与水平面的夹角为37°。已知正方体冰块质量为m、边长为L，重力加速度大小
为g，
，A、B 的质量
、
，A、B 间动摩擦因数为
，不计草垫厚度，下滑过程中A 不会翻转。
（1）若将A 从图示位置由静止释放，在A 下滑的过程中B 一直保持静止，求释放A
的瞬间，草垫对B 的摩擦力大小；
（2）若将正方体冰块置于光滑水平面上，A 从图示位置由静止释放，沿着切割面滑下，
直至刚与水平面接触，求整个过程中B 移动的距离；
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（3）在第（2）问情境中，若不计冰与冰之间的摩擦，求该过程中A 对B 做的功W。
27．（2024·江西·二模）2023 年秋某高校军训，如图所示，轻绳一端固定，质量为
的同学（可视为质点）抓住绳的另一端，使绳水平拉直后由静止摆下过障碍
物。已知绳长为
，在轻绳到达竖直状态时放开绳索后水平飞出。绳子的固定
端到地面的距离为
。不计轻绳质量和空气阻力，重力加速度g 取值
，求：
（1）该同学做圆周运动的过程中合力冲量的大小；
（2）该同学摆到最低点（未飞出时）对绳的拉力大小；
（3）该同学的落地点离绳的固定端的水平距离和落地时重力的功率大小。
28．（2024·广西南宁·二模）如图所示，打弹珠是一种常见的游戏，该游戏的规则为：
将手中的弹珠以一定的初速度瞬间弹出，并与另一静止的弹珠发生碰撞，被碰弹珠若
能进入前方的坑并停在坑中即为胜出，被碰弹珠经过坑时的速度如果大于1m/s 则不会
停在坑中而从坑中滑出。现将此游戏进行简化，弹珠A 和弹珠B 与坑在同一直线上，
两弹珠间距x1=1m，弹珠B 与坑的间距为x2=0.6m。某同学将弹珠A 以
的初
速度水平向右瞬间弹出，与B 发生正碰，碰后A 的速度方向不变，大小为1m/s。已知
两弹珠的质量均为m=10g，A、B 在运动过程中与地面间的摩擦力均为f=0.02N，求：
（1）两弹珠碰撞过程中损失的机械能。
（2）通过计算判断该同学能否胜出？
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29．（2024·吉林白山·二模）智能机器人自动分拣快递包裹系统被赋予“惊艳世界的中
国黑科技”称号。分拣机器人工作效率高，落袋准确率达99.9%。在供包台工作人员
将包裹放在机器人的水平托盘上，智能扫码读取包裹目的地信息，经过大数据分析后
生成最优路线，包裹自动送至方形分拣口。如图甲，当机器人抵达分拣口时，速度恰
好减速为零，翻转托盘使托盘倾角缓慢增大，直至包裹滑下，将包裹投入分拣口中
（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g 大小取
）。如图乙，机器人
A 把质量
的包裹从供包台沿直线运至相距
的分拣口处，在运行过程中
包裹与水平托盘保持相对静止。已知机器人A 运行最大加速度
，运行最大速
度
，机器人运送包裹途中，看作质点。
（1）求机器人A 从供包台运行至分拣口所需的最短时间t；
（2）若包裹与水平托盘的动摩擦因数为
，则在机器人A 到达投递口处，要使
得包裹刚开始下滑，托盘的最小倾角
应该是多少；
（3）机器人A 投递完包裹后返回供包台途中发生故障，机器人A 立刻制动，制动时
速度为3m/s，由于惯性，机器人A 在地面滑行4.5m 后停下来，此时刚好有另一机器
人B，以最大速度碰撞3m/s 与机器人A 发生弹性正碰，碰撞后机器人A 滑行了2m 停
下来（其加速度与制动后滑行加速度相等，机器人A、B 均看作质点）。则机器人B
的总质量是机器人A 的多少倍？
30．（2024·广西贵港·二模）“离心轨道演示仪”是学习机械能守恒定律的经典演示装
置，如图甲所示，该实验装置可以简化为如图乙所示的物理模型：竖直平面内由倾斜
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斜面轨道AB、半径为
的圆周轨道BCD 和半径为
的部分圆周轨道CE
构成的装置固定于水平地面，B、C 两处轨道平滑连接，轨道正前方放置一个竖直挡板，
板面正对着轨道。圆心
、
与C 点在同一竖直线上，
与竖直方向的夹角为
，E 点与竖直挡板的距离
。现将质量为
的小球从斜面的某高度
h 处由静止释放。斜面轨道AB 足够长，忽略小球尺寸和所受阻力，已知重力加速度取
，
，
。
（1）若小球的初始高度
，求小球第一次到达最低点C 时，对轨道BCD 压力
的大小；
（2）若小球能沿轨道到达E 点，求h 的最小值
；
（3）若小球释放后，第二次到达最低点时与静止在C 点的质量为
的另一个小球发
生弹性正碰，碰撞后被碰小球通过E 点之后恰好能垂直碰到竖直挡板，求小球释放时
的高度
。
31．（2024·安徽合肥·二模）如图所示，小物块A 和B 通过轻质弹簧相连接，竖直静
置于水平地面上。若给小物块A 一竖直方向的瞬时冲量，其大小为
，随后B 恰好
不能离开地面。已知A、B 质量分别为
、
，弹簧的劲度系数
，弹簧
始终处于弹性限度内，重力加速度g 取
。
（1）从开始至B 恰好不离开地面的过程，求弹簧弹性势能的变化量；
（2）若用大小为
的竖直向上恒力作用于A，使之由静止开始运动，直至B 刚离
开地面时，求A 的速度大小。
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32．（2024·安徽安庆·二模）如图1 所示，质量M = 4kg 的长木板放在水平地面上，
其右端挡板上固定一劲度系数为k = 200N/m 的轻质弹簧，弹簧左端连接物块B，开始
弹簧处于原长，物块A 位于长木板的左端，A 与B 的距离L = 0.8m，A、B 均可视为
质点且与长木板的动摩擦因数均为μ1 = 0.25，给A 初速度v0 = 4m/s，A 运动一段时
间后与B 发生碰撞，碰后A 的速度为0。已知A 的质量m1 = 1kg，B 的质量m2 =
2kg，长木板在整个过程中始终保持静止，可认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，
已知弹簧的弹性势能表达式
，其中x 为弹簧的形变量，重力加速度g 取
10m/s2。求：
（1）A 与B 碰撞前瞬间A 的速率v1和碰后瞬间B 的速率v2；
（2）长木板与地面间动摩擦因数μ2的最小值；
（3）如图2 所示，把长木板换成相同质量的斜面体，斜面体上表面光滑，斜面倾角θ
= 30°，其余条件不变，开始时物块B 静止，现让A 以v3 = 3m/s 的初速度与B 发生弹
性正碰，斜面体足够长，要使斜面体保持静止，求斜面体与地面间的动摩擦因数μ3至
少为多少。
33．（2024·江西上饶·二模）如图甲所示，在光滑水平面上放有一左端固定在墙壁上的
轻质弹簧，弹簧处于原长时右端恰好位于A 点，弹簧所在的光滑水平面与水平传送带
在A 点平滑连接。传送带长
，且以
的速率沿顺时针方向匀速转动，
传送带右下方有一固定在光滑地面上半径为
、圆心角
的圆弧轨道，圆弧
轨道右侧紧挨着一个与轨道等高，质量
的长木板（木板厚度不计）。现将一
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质量
的滑块Q（Q 视为质点且与弹簧未拴接）向左压缩弹簧至图中
点后由静
止释放，滑块Q 从A 点滑上传送带，并从传送带右端
点离开，恰好沿
点的切线方
向进入与传送带在同一竖直面的圆弧轨道CD，然后无动能损失滑上长木板。已知弹簧
弹力与滑块Q 在GA 段的位移关系如图乙所示，滑块Q 与传送带、长木板间的动摩擦
因数均为
，重力加速度大小
。
（1）求滑块Q 刚滑上传送带时的速度大小
；
（2）若滑块Q 运动至圆弧轨道最低点
时，轨道对其的支持力为
，且滑块
恰好未滑离长木板，求长木板的长度
；
（3）若去掉圆弧轨道和长木板，滑块Q 从传送带上滑落地面并与地面发生碰撞，每次
碰撞前后水平方向速度大小不变，且每次反弹的高度是上一次的三分之二，不计空气
阻力。求滑块Q 与地面发生
次碰撞后前
次损失的机械能
与
的函数关系式。
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