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专题05 电场、磁场及复合场
一、单选题
1．（2024·吉林·二模）两个点电荷的电荷量分别为
、
，
、
为其连线的中垂
线上的两点，电子在
、
两点所受电场力的方向如图中箭头所示，则（ ）
A．
为正电荷
B．
为负电荷
C．
小于
D．
大于
【答案】C
【详解】根据电子在M 点的受力情况可知
为负电荷，
为正电荷，根据库仑定律
结合矢量的合成可知
小于
。故选C。
2．（2024·吉林·二模）如图所示，竖直平面内的半圆形金属圆环
固定在水平向右
的匀强磁场中，
边与磁感线平行，C 为圆弧最高点，将圆环中通入沿顺时针方向的
电流，则下列说法正确的是（ ）
A．半圆环有向上运动的趋势
B．半圆环有收缩趋势
C．俯视看，半圆环有绕
沿顺时针转动的趋势
D．整个圆弧
段受到的安培力不为零
【答案】C
【详解】根据左手定则可知，圆环右半边受到的安培力方向垂直纸面向外，左半边受
到的安培力方向垂直纸面向里，因此俯视看，圆环有绕CO 沿顺时针转动的趋势，圆
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环有运动趋势，由于两半边受到的安培力等大反向，则受到的合安培力为零。故选
C。
3．（2024·黑龙江·二模）如图所示，点电荷a、b、c 固定在
平面内，a、b 位于x
轴上2d 和3d 处，c 位于y 轴上3d 处。已知b、c 带等量异种电荷且原点O 处的电场强
度沿y 轴正方向。则（ ）
A．点电荷a、b 为同种电荷
B．点电荷c 一定带负电
C．a 的电荷量是c 的
倍
D．O 点电势高于P 点电势
【答案】B
【详解】AB．由于原点O 处的电场方向沿y 轴正方向，所以点电荷c 一定带负电，点
电荷a、b 为异种电荷，由于b、c 带等量异种电荷，b 带正电，a 带负电，且点电荷
a、b 在O 点的电场强度等大反向，故A 错误，B 正确；C．点电荷a 在O 点的电场强
度
点电荷b 在O 点的电场强度
由于点电荷a、b 在O 点的电场
强度等大反向，所以a 的电荷量是b 的
倍，b、c 带等量异种电荷，则a 的电荷量是c
的
倍，故C 错误；D．电势是标量，运算法则符合代数运算法则。O 点电势
由于
所以
O 点电势
由于
所以
所以O 点电势等于
P 点电势，故D 错误。故选B。
4．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，在原来不带电的枕形导体
附近M 处放置一
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个带正电的小球，稳定后，下列说法正确的是（ ）
A．A 端电势比B 端低
B．A 端电势不一定比D 点低
C．B 端电势比D 点低
D．枕形导体内C 点电场方向由A 指向B
【答案】C
【详解】ABC．达到静电平衡后，整个导体是一个等势体，导体上的电势处处相等，
所以可以得到
，由于电场线从正电荷出发到B 端终止，根据顺着电场线方向电
势降低，可知B 端和A 端的电势比D 点的低，故C 正确，AB 错误；D．由于杆处于静
电平衡状态，所以内部的场强处处为零，C 处的电场强度为0，故D 错误；故选C。
5．（2024·黑龙江·二模）如图所示，在正方形ABCD 的三个顶点A、B、C 处分别放置
一个点电荷，a、O、c 三点为对角线BD 的四等分点。已知a 点的电场强度等于零，O
点的电场强度大小为E、方向指向D 点，则c 点的电场强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据a 点的电场强度等于零，可知A、C 两点电荷在a 点产生的电场的合场强
与B 点电荷在a 点产生的电场的电场强度大小相等、方向相反，且A、C 两点的点电荷
为同种电荷，则A、C 两点电荷在O 点产生的电场的电场强度大小相等、方向相反，
故B 点电荷在O 点产生的电场的电场强度的大小为E、方向由B 指向D 点。设BD 的
距离为4L，根据点电荷场强公式有
则B 点电荷在a 点产生的电场的电
场强度方向由B 指向D，大小为
则A、C 两点电荷在a 点产生的电场的合
场强方向由B 指向D，大小也为4E，根据对称性可知，A、C 两点电荷在c 点产生的电
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场的合场强方向由B 指向D，大小为
B 点电荷在c 点产生的电场的电场强度方
向由B 指向D，大小为
根据电场的叠加原理可知，c 点的合场强方向由
B 指向D，大小为
故选A。
6．（2024·黑龙江·二模）如图所示，空间存在沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，
电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0 时刻，质子以初速度v0从坐标原点O
沿y 轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则（ ）
A．t＝
时刻，质子的速度沿z 轴的负方向
B．t＝
时刻，质子的坐标为
C．质子可多次经过x 轴，且依次经过x 轴的坐标值之比为1 4 9……
∶∶
D．质子运动轨迹在yOz 平面内的投影是以O 点为圆心的圆
【答案】C
【详解】D．沿x 轴方向，质子在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，垂直
x 轴方向，质子只受洛伦兹力作用，根据左手定则，质子做逆时针方向的匀速圆周运动
（沿x 轴正方向看），所以质子运动轨迹在yOz 平面内的投影是经过O 点的圆，D 错
误；
A．质子在垂直x 轴的平面内做圆周运动的周期为
时刻，在垂直x
轴的平面内质子分速度方向沿y 轴负方向，沿x 轴方向分速度沿x 轴正方向，所以质子
的合速度方向不沿z 轴的负方向，故A 错误；B．沿x 轴方向，由牛顿第二定律有Ee＝
ma 则
时刻，质子沿x 轴运动的位移x＝
at2联立解得x＝
在垂直于x
轴的平面内，
时刻正好经过半个周期，则y＝0，z＝-2r，其中圆周分运动
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半径r＝
则z＝-
所以
时刻，质子的坐标为（
，0，
）
故B 错误；C．质子每经过一个周期可经过一次x 轴，沿x 轴方向做初速度为零的匀加
速直线运动，根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知，质子依次经过x 轴
的坐标值之比为1 4 9……
∶∶
，故C 正确。故选C。
7．（2024·安徽合肥·二模）正方形MNPQ 的中心为O，其对角线MOP 长为2d．均通
有电流I0的两无限长直导线互成60°角，放置在该正方形平面内，两导线彼此绝缘且相
交于O，MOP 平分∠GOH，通入的电流方向如图所示。已知一根无限长直导线通入电
流I 时，垂直导线距离为r 处的磁感应强度大小
k 为常数。则M、N、P、Q 四
处的磁感应强度大小正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据几何关系可知M、N、P、Q 四点到两导线的距离分别为
、
、
、
，根据矢量的叠加可知M、P 两点的磁感应强度大小为
N、Q 两点的磁感应强度大小为0。故选A。
8．（2024·安徽合肥·二模）在带电粒子“碰撞”实验中，t=0 时，粒子P 以初速度
向静止的粒子Q 运动，两粒子在某段时间内运动的v-t 图像如图所示，S1、S2分别是
0~t1、t1∼t2时间内两速度图像所围面积的大小，且S1=S2。已知P、Q 的质量分别为
mP、mQ，仅考虑静电力的作用，且P、Q 始终未接触。则下列说法中正确的是
（ ）
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A．mP=2mQ
B．两粒子在t1时刻的电势能最大
C．P 在t2时刻的速度大小为
D．t2时刻后两图像仍会出现交点
【答案】BC
【详解】A．根据动量守恒
得mQ=2mP故A 错误；B．两粒子在t1
时刻速度相等，两粒子相距最近，则系统的电势能最大，故B 正确；C．由于S1=S2
则
时间内与
时间内两粒子间距离相等，电势能相等，由动量守恒定律得
根据能量关系
解得
即P 在t2时刻
的速度大小为
，故C 正确；D．两粒子带同种电荷，所受电场力方向相反，t2时刻
后速度不可能再相同，两图像不会出现交点，故D 错误。故选BC。
9．（2024·安徽池州·二模）如图所示，在真空中水平放置一高为2L 的长方体绝缘支架，
其上下两个面是边长为L 的正方形，在顶点A、C 处分别放置电荷量均为+Q 的点电荷，
在顶点F、H 处分别放置电荷量均为Q 的点电荷，O1、O2分别是线段AC 和线段FH
的中点。下列说法正确的是（ ）
A．该长方体的几何中心处场强方向竖直向上
B．B、D 两点场强和电势均相同
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C．沿竖直方向从O1到O2，场强大小先减小后增大
D．将一负试探电荷从D 点移到G 点，电场力做负功
【答案】D
【详解】A．由等量同种点电荷电场特点可知，A、C 处放置的正电荷在长方体的几何
中心处场强方向竖直向下，F、H 处放置的负电荷在长方体的几何中心处场强方向竖直
向下，则该长方体的几何中心处合场强竖直向下，A 错误；B．B、D 两点到两正电荷
的距离相同，到两负电荷的距离相同，由矢量合成可知，B、D 两点的场强大小相等，
方向不同，由对称性可知电势相同，B 错误；C．沿竖直方向从O1到O2，两正电荷在
O1点场强为0，两负电荷O2点场强为0，则O1点场强与O2点场强相同且较小，不可能
先减小后增大，C 错误；D．D 点离两正电荷更近，G 点离两负电荷更近，则D 点电势
高于G 点电势，将一电子从D 点移到E 点，电场力做负功，D 正确；故选D。
10．（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，真空中A、B 两点固定电量均为+q 两个点电荷，
A、B、C、D 位于正四面体的四个顶点上。其中M、N 点分别位于AB、CD 的中点，
已知静电力常数为k，A、B 间距为l。下列说法正确的是（ ）
A．C、D 两点电场强度相同，场强大小均为
B．CD 连线上各点电势相等
C．带正电的试探电荷由M 点沿MC 移动到C 点，其所受电场力逐渐增大
D．带负电的试探电荷由B 点沿BA 移动到M 点，试探电荷的电势能一直增大
【答案】D
【详解】A．C、D 两点场强大小相同，但是方向不同，故A 错误；B．C、D 上各点到
A、B 两点的距离不同，则CD 连线上各点电势不相等，故B 错误；C．由M 点沿MC
移动到C 点，令CM 之间的某点和AB 的连线的夹角为
，
，因此该点的场强
为
令
，对其求导可得
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当导函数为零时，可得
则场强最大时该点到
M 的距离为
其所受电场力先增大后减小，故C 错误；D．由B 点沿BA 移
动到M 点，电势一直降低，因为试探电荷是负电荷，试探电荷的电势能一直增大，故
D 正确。故选D。
11．（2024·安徽安庆·二模）如图所示，两个完全相同的平行板电容器水平放置，上极
板由导线经二极管相互连接，下极板由导线直接连接且接地，开始时两电容器上极板
带电荷量相等。带电小球A 静止在左边电容器的中间位置，另一个带电小球B 通过绝
缘细线悬挂在右边电容器的上极板上，且B 球静止时距下极板的距离为两板间距的四
分之一。两球均可视为点电荷。以下说法中正确的是（ ）
A．A 球电势能大于B 球电势能
B．将左边电容器下极板上移少许，A、B 两球开始所在位置处的电势均升高
C．将左边电容器下极板下移少许，稳定后左右两平行板电容器内电场强度大小相
等
D．在左边电容器靠近下极板插入一电介质板，稳定后右边电容器内电场强度大小
不变
【答案】D
【详解】
A．开始时左右两电容器内场强相等，由于不知道B 球的质量及所带电荷，因此无法
比较两者的电势能，故A 错误；B．将左边电容器下极板上移少许，由电容的决定式
可知电容C 增大，由于二极管的存在，右侧电容器内的电荷不能移向左边电
容器，因此左边电容器的带电荷量
不变，由
，
联立可得
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可知，左边电容器两极板间电压减小，但是场强大小不变，对两点电势大小的计算有
由于两边场强均不变，而左侧减小，右侧不变，因此左边A 球所在位置
电势减小，右边B 球所在位置电势不变，故B 错误；C．将左边电容器下极板下移少
许，根据
可知左边电容器电容减小，因此左边电容器需要放电，即左边电容
器内的电荷将移向右边电容器，根据
，
联立可得
可知，左边电
容器内场强减小，而右边电容器内场强增大，故C 错误；D．在左边电容器靠近下极
板插入一电介质板，根据
可知，左边电容器电容变大，而由于二极管的单向
导电性，可知右边电容器中的电荷不能左移，因此，稳定后右边电容器内电场强度大
小不变，故D 正确。故选D。
12．（2024·江西·二模）如图所示，在空间一条线段的两个顶点
处固定等量异种
电荷，
处为正电荷。
是以
的中点为中心的一个正方体，正方体的
边与
平行，取无穷远处为电势零点。下列说法正确的是（ ）
A．
两点电场强度相同
B．
两点电势相同
C．将一负试探电荷沿
边从
移到
过程中，试探电荷的电势能先增大后减小
D．将一正试探电荷沿线段
和沿线段
从
移动到
的过程中，前者静电力
做功更多
【答案】A
【详解】A．根据等量异种点电荷的电场分布特点可知，
两点关于两点电荷中心
对称，
两点电场强度大小方向均相同，A 正确；B．
两点中
离
处的正电
荷更近，电势更高，
两点电势不相同，B 错误；C．从
到
，电势减小，所以负
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试探电荷的电势能增大，C 错误；D．因为静电力做功与路径无关，两个过程初末位置
相同，故静电力做功相同，D 错误。故选A。
13．（2024·江西·二模）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心
处产生的电场。如图所示，在半球面AB 上均匀分布着总电荷量为q 的正电荷，球面半
径为R，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M、N 两点，
，已知M 点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N 点的电场强度
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】右边补齐半球面，电荷量为2q 的球型在N 点产生的电场强度大小为
由于对称性可得，N 点实际的电场强度大小
故选A。
14．（2024·江西·二模）如图所示，在以半径为R 和2R 的同心圆为边界的区域中，有
磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O 处有一粒子源（图中
未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为
的带负电的粒子，粒子的速率分布连
续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有
的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度的最大值为
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B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考
虑粒子再次进入磁场的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑
粒子再次进入磁场的情况）
【答案】C
【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力
可得粒子的运动半径为
可知
粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系有
联立解得
故AB 错误；CD．某粒
子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有
解得其在磁场中运动的时间为
故C 正确；D 错误。
故选C。
15．（2024·广西·二模）如图所示，一质量为m=0.1kg，长为L=0.2m 的导体棒水平放
置在倾角为θ=37°的光滑斜面上，整个装置处于垂直于斜面向上的匀强磁场中。当导体
棒中通有垂直纸面向里的恒定电流I=0.5A 时，磁场的方向由垂直于斜面向上沿逆时针
转至水平向左的过程中，导体棒始终静止，（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取
g=10m/s2），则磁感应强度B 的取值范围是（ ）
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A．6T≤B≤10T
B．6T≤B≤20T
C．3T≤B≤20T
D．3T≤B≤10T
【答案】A
【详解】经分析知，导体棒受到重力mg、斜面的弹力FN和安培力FA，且三力的合力
为零，如图所示，从图中可以看出，在磁场方向变化的过程中，安培力FA一直变大，
导体棒受到斜面的弹力FN一直变小，由于FA=BIL 其中电流Ⅰ和导体棒的长度L 均不变，
故磁感应强度渐渐变大，当磁场方向垂直斜面向上时，安培力FA沿斜面向上，此时安
培力最小，最小值FAmin=mgsinθ 则
=6T 当磁场方向水平向左时，安培力
方向竖直向上，此时对应的安培力最大，得磁感应强度的最大值
=10T
磁感应强度B 的取值范围是6T≤B≤10T。故选A。
16．（2024·广西贵港·二模）质谱仪在物理研究中起着非常重要的作用。如图是质谱仪
的工作原理示意图。粒子源（在加速电场上方，未画出）产生的带电粒子被加速电场
加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电
场的电场强度分别为B 和E。平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶
片
。平板S 下方有磁感应强度为
的匀强磁场。不计带电粒子的重力和粒子间的
作用力，下列表述正确的是（ ）
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A．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
B．能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于
C．粒子打在胶片上的位置离狭缝P 越远，粒子的比荷
越大
D．某种元素同位素的原子核，打在胶片上的位置离狭缝P 越远，表明其质量数越
大
【答案】D
【详解】A．根据带电粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则知，该粒子带正电，
则在速度选择器中电场力水平向右，则洛伦兹力水平向左，根据左手定则知，磁场方
向垂直纸面向外，A 错误；B．在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有
求得
能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于
，B 错误；CD．粒子进入磁场后，
由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子打在胶片上的位置
越靠近狭缝P，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷越大；粒子所带电荷量相同时，打
在胶片上的位置越远离狭缝P，粒子的轨迹半径越大，表明其质量越大，C 错误，D 正
确。
故选D。
二、多选题
17．（2024·安徽池州·二模）如图所示，足够长的竖直绝缘墙壁右侧存在垂直纸面向里
的匀强磁场，磁感应强度为
。质量为
、带电量为
（
）的绝缘物块与绝缘
墙壁之间的动摩擦因数为
，重力加速度g。现将小物块紧贴竖直墙壁由静止释放，
当小物块沿绝缘墙壁下滑h 时获得最大速度开始匀速下滑，墙壁足够长，下列说法正
确的是（ ）
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A．小物块运动过程中的最大加速度为
B．小物块获得最大速度
C．小物块沿绝缘墙壁下滑h 过程克服摩擦力做的功
D．小物块沿绝缘墙壁下滑h 过程经历的时间
【答案】ABD
【详解】A．小物块运动过程中的加速度
物块由静止释放时有最大加速
度
A 正确；B．物块速度最大时合力为零，根据平衡条件得
解得小物
块能达到的最大速度为
B 正确；C．小物块沿绝缘墙壁下滑h 过程根据动能定
理
解得
C 错误；D．小物块沿绝缘墙壁下滑h 过程，
根据动量定理
解得
D 正确；故选
ABD。
18．（2024·贵州黔南·二模）如图所示，半径为
的平圆形区域内存在垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为
，其中
点为圆心，
点为圆弧的中点。直径
处
有一接收屏，粒子打到接收屏上即被吸收。一粒子源可以向纸面内各个方向发射速度
为（v 未知）的带电粒子，粒子源可沿圆弧
移动。已知粒子的质量为
，电荷量
为
，忽略粒子重力及相互间的作用力，则下列说法正确的是（ ）
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A．若粒子源位于
点，粒子速度
，则粒子到达接收屏的最短时间为
B．若粒子源位于
点，粒子速度
，则粒子到达接收屏的最短时间为
C．若粒子速度
，则将粒子源沿圆弧从
移动到
过程中，接收屏上有粒
子到达区域的长度为
D．若粒子速度
，则将粒子源沿圆弧从
移动到
过程中，接收屏上有粒
子到达区域的长度为
【答案】BD
【详解】AB．粒子在磁场中做圆周运动，若粒子源位于
点，粒子速度
由
洛伦兹力提供向心力
可得
如图由几何关系可知，当粒子到达光屏的
时间最短时，弦长最短，最短弦长为R，则所对的圆心角为90°，时间为
选项A 错误，B 正确；
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CD．若粒子速度
则在磁场中的运动半径为
在PM 圆弧部分射出的粒子
打到荧光屏上离O 最近的位置在图中H 点，在荧光屏上HP 长度上有粒子打上，则
MQ 圆弧部分射出的粒子打到荧光屏上最靠近O 的粒子圆周半径为r，圆
心为O1，与PQ 相切于L 点，则荧光屏上QL 长度上有粒子打上，设OL 距离为x，由
几何关系可知
解得
则荧光屏能接收到粒子的总长度为
选项C 错误，D 正确。故选BD。
19．（2024·江西鹰潭·二模）如图正六边形是一个绝缘筒的截面，筒内无磁场，在每边
中点处开一小孔。现有质量为m，电荷量为q 的粒子（不计重力），从其中一个小孔
以垂直边长方向、大小恰当的初速度，进入外部磁感应强度大小为B 的无限大匀强磁
场。磁场方向垂直截面，若粒子可以不与筒相碰，以相同速度回到起点，那么该过程
粒子经历的时间可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】A．粒子的轨迹可能如下图所示
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由
可得
由几何关系
解得
故在六边形内运动的时间至少为
联立可得
粒子在磁场中
的运动周期为
故粒子在磁场中的运动时间至少为
该过程粒子经历的时间可能是
（n=1，2，3…）当
时
A 正确；D．粒子的轨迹可能如下图所示
由几何关系
解得
故在六边形内运动的时间至少为
联立可得
粒子在磁场中的运动周期为
故粒子在磁场中的运动
时间至少为
该过程粒子经历的时间可能是
（n=1，2，3…）当
时
17
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D 正确；BC．由上述分析可知，BC 错误。故选AD。
20．（2024·江西·二模）如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为
，质量为
、电荷量为
的带电粒子从
点沿平行于直径
的方
向射入磁场，粒子经过圆心
，最后离开磁场。已知圆形区域半径为
与
间的
夹角为
，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子运动速率为
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子在磁场中运动的路程为
D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于
【答案】AC
【详解】A．根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于圆形区域半径为
，则
点到
的距离为
，设
粒子做圆周运动的半径为，根据几何关系有
粒子做匀速圆周运动，由洛伦
兹力提供向心力，则有
解得
A 正确；BD．根据上述分析可知，
18
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粒子在磁场中运动轨迹为半个圆周，粒子圆周运动的周期
则粒子在磁
场中运动的时间为
粒子出磁场时速度方向平行于
，BD 错误；C．粒子
在磁场中运动的路程为
C 正确。故选AC。
21．（2024·甘肃·二模）如图所示，绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段COD 光滑，对应
圆心角为120°，C、D 两端等高，O 为最低点，圆弧圆心为O'，半径为R（R 远大于轨
道内径），直线段轨道AC、HD 粗糙，与圆弧段分别在C、D 端相切，整个装置处于
方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，在竖直虚线 MC
左侧和ND 右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场。现有
一质量为 m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，与直
线段轨道间的动摩擦因数为μ，从轨道内距C 点足够远的P 点由静止释放，若PC=l，
小球所受电场力等于其重力的
倍。重力加速度为g。则（ ）
A．小球在轨道AC 上下滑的最大速度
B．小球第一次沿轨道AC 下滑的过程中做加速度减小的加速运动
C．经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功
D．经足够长时间，小球经过O 点时，对轨道的弹力一定为
【答案】ACD
【详解】AB．小球沿轨道AC 下滑的过程中，根据题意，小球所受电场力等于其重力
的
倍，即
电场力在垂直轨道方向的分力
19
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重力垂直轨道方向的分力
可知在垂直轨道方向上重力分力与电场力分力大小相等方向相反，因此可知电场力与
重力的合力沿着轨道向下，大小为
小球从静止释放
后随着小球速度增加，小球所受洛伦兹力由0 逐渐增加，且洛伦兹力垂直轨道向上，
即小球对轨道产生压力，压力大小即为洛伦兹力的大小，且随着速度增加逐渐增大，
因此轨道对小球将产生滑动摩擦力且随着洛伦兹力的增大而增大，根据牛顿第二定律
有
可知，随着小球速度的增加，小球合外力不断减小，则其加速度不断
减小，即小球做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小为0 时小球速度达到最大
值，此后小球将做匀速直线运动，即当
时速度达到最大值，有
解得
故A 正确，B 错误；C．由于小球要在AC、HD 段克服摩擦力做功，
因此最终小球将在C、D 间做往复运动，在C 点和D 点速度为0，从P 点到C 点，根
据动能定理有
则可得经足够长时间，小球克服摩擦力做的总
功为
D．小球在圆弧段COD 做往复运动时，设小球经过O 点时的速度为
，根据动能定理有
而小球经过O 点时由牛顿第二定律有
联立解得
根据牛顿第三定律可得，小球经过O 点时
对轨道的弹力大小为
故D 正确。故选ACD。
三、解答题
22．（2024·吉林·二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第二象限内存在垂直坐标
20
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平面向外的有界圆形匀强磁场，圆心C 点位置
，半径为l，第一象限和第四
象限存在垂直于坐标平面向外的相同匀强磁场，第三象限内存在水平向右的匀强电场。
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从x 轴上A 点
以初速度
沿y 轴正方向射
入圆形磁场，然后从y 轴上的M 点（0，2l）射入第一象限，经磁场偏转后从y 轴上的
N 点（0，-2l）射入第三象限，经过第三象限的匀强电场作用后垂直打到x 轴上的某点
P（图中未画出），不计粒子重力，求：
（1）有界圆形匀强磁场磁感应强度大小
；
（2）匀强电场的电场强度大小E 和P 点位置坐标；
（3）求粒子从A 点运动到P 点的总时间
。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）作出轨迹如图所示
根据几何分析可知，在第二象限轨迹圆心在坐标原点，且
根据
21
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解得
（2）根据几何关系可知，粒子射入第一象限的速度与y 轴正方向夹角
可知
根据对称性可知，粒子射出第四象限的速度与y 轴正方向夹角也为
。由于经过第三象
限的匀强电场作用后垂直打到x 轴上的某点P，则有
，
，
解得
，
即P 点位置坐标为
。
（3）粒子在第三象限圆周运动的圆心角为
运动的时间
粒子在第一、四象限圆周运动的圆心角为
运动的时间
则粒子从A 点运动到P 点的总时间
解得
22
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23．（2024·吉林白城·二模）如图所示，水平放置的两块带电金属极板a、b 平行正对，
极板长度和极板间距都为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E 的匀强电场和垂
直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为
的粒子，以水平速度
从两极
板的左端正中央射入极板间，恰好做匀速直线运动。不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求匀强磁场磁感应强度B 的大小；
（2）若撤去电场，调整磁感应强度B 大小使粒子刚好能从极板a 右端射出，求粒子运
动半径；
（3）若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子穿越电场过程中的动能增量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由粒子受力平衡可知
解得
因此，匀强磁场磁感应强度B 的大小为
。
（2）撤去电场，粒子刚好从极板a 右端间射出，如图所示
23
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由几何关系得
解得
因此，粒子运动半径为
。
（3）撤去磁场，粒子做类平抛运动，则有
又由牛顿第二定律得
解得
由动能定理得
因此，粒子穿越电场过程中的动能增量为
。
24．（2024·吉林·二模）2023 年11 月，首台国产质子治疗装置在上海正式走向临床治
疗（如图甲），该装置的原理是质子加速后汇聚到圆柱形管道中轴线形成质子束，然
后经高能运输线运送至各治疗室。现有质子加速后，沿圆柱形管道中轴线
以
匀速运动，如图乙，现由于某些客观原因，管道需要“拐弯”到另一对
接圆柱形管道，对接管道与原管道夹角
，现在“拐弯”处矩形ABCD 区域内加上
电场或磁场，使得管道中质子从该区域出射时刚好沿对接管道的中轴线运动（从ED
的中点并与水平方向成
射出）。已知：
，质子电荷量
24
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，质子质量
，质子重力不计，下面有两种设计方案：
（1）方案一：在矩形ABCD 区域，区域内设计一沿AC 方向的匀强电场，使质子最终
从ED 的中点并与水平方向成
射出，求电场强度的大小，以及AB 与CD 间需施加
多大电压才能形成该电场；
（2）方案二：在矩形ABCD 区域内设计一垂直ABCD 所在平面的匀强磁场，使质子最
终从ED 的中点并与水平方向成
射出，求所需的磁场强度B 的大小和方向；
（3）你认为上述两种方案中哪种方案更符合实际情况，便于实施，简要说明理由。
【答案】（1）
，
；（2）
，方向垂直于纸面向外；（3）方
案二，理由见解析
【详解】（1）方案一：设计一沿AC 方向的匀强电场，则质子在该区域内做类平抛运
动，如图
有
，
，
得
（2）方案二：加入垂直ABCD 平面向外的磁场，质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨
道半径为r，如图
25
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由洛仑兹力提供向心力得
如图已知两点速度方向，分别做垂线，交点即为圆心
由几何关系得
得
方向垂直于纸面向外
（3）方案一施加电压明显过高，从安全和技术角度已经无法实现，且电场会改变粒子
的能量，因此无法使用；方案二所需磁感应强度，从安全和技术上看完全可以实现，
同时也不会改变粒子的动能。因此，方案二更符合实际情况，便于实现。
25．（2024·黑龙江·二模）如图所示，空间坐标系
中，在
区域内存在沿
z 轴正方向的匀强电场E（大小未知），
区域内存在沿z 轴负方向的匀强磁
场B（大小未知），在
处垂直x 轴的平面内
区域有一荧光屏。一质量
为m、电荷量为q 的正电粒子从坐标为
的M 点在
平面内进入电场区域，
从N 点沿x 轴正方向以速度
进入磁场区域。已知N 点的坐标为
，粒子重力不
计。
（1）求电场强度E 的大小；
（2）为使粒子在磁场中直接打到荧光屏上，求磁感应强度B 的大小范围。
26
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【答案】（1）
；（2）
≤B≤
【详解】（1）由题可知，带电粒子在电场中做类抛体运动，可将运动沿x 轴和z 轴进
行分解：
沿x 轴方向
沿z 轴方向
由牛顿第二定律可知
解得
（2）在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有
若粒子打到荧光屏下边缘，设圆周运动半径r1 ，根据几何知识有
若粒子打到荧光屏上边缘。设做周运动半径为r2，根据几何知识有
解得粒开正磁场中直接打到荧光屏上半径范围为
≤r≤
解得磁感应强度B 的大小范围为
27
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≤B≤
26．（2024·黑龙江·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy 中存在一与x 轴相切的圆形
匀强磁场区域，圆心坐标为
，匀强磁场的磁感应强度大小为
、方向垂
直纸面向外。
区域，存在电场强度大小为
、方向沿y 轴正方向的
匀强电场。第四象限内的P 点有一质量
、带电量
的带正电粒
子，以大小为
的初速度沿x 轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O 以与
x 轴负方向成
角进入匀强磁场。粒子重力不计，求：
（1）P 点的坐标；
（2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。
【答案】（1）(0.25，-0.125)；（2）
【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系有
根据牛顿第二定律有
则粒子在匀强电场中运动的时间为
28
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水平方向有
竖直方向有
故
点的坐标为
。
（2）粒子进入匀强磁场的速度大小为
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为
粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角为
，故粒子在匀强磁场中的
运动时间为
27．（2024·安徽滁州·二模）某科研小组研究带正电粒子在磁场中的运动规律。图示的
空间坐标系中存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向沿z 轴负方向。带正电粒子
的质量为m、电荷量为q，不计粒子重力。
（1）若该粒子在
平面第一象限沿与x 轴正方向成60°角的方向以速率v 从原点O
射出，求粒子在
平面第一象限内运动的轨迹长度；
29
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（2）若该粒子在
平面第一象限沿与z 轴正方向成37°角的方向以速率v 从原点O
射出，求粒子第一次通过z 轴时的位置到原点O 的距离；（
，
）
（3）在上述（2）的情形中，求粒子在t 时刻的坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（
，
，
）
【详解】（1）若该粒子在
平面第一象限沿与x 轴正方向成60°角的方向以速率v
从原点O 射出，则粒子在xOy 平面内做匀速圆周运动，则
解得
粒子在
平面第一象限内运动的轨迹长度
（2）若该粒子在
平面第一象限沿与z 轴正方向成37°角的方向以速率v 从原点O
30
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射出，则粒子沿z 轴正向的速度分量
沿y 轴正向的速度分量
粒子沿z 轴正向做匀速直线运动，同时在xOy 平面内做匀速圆周运动，半径
周期为
粒子第一次通过z 轴时的位置到原点O 的距离
（3）在t 时刻粒子沿z 轴方向的位移
在时间t 内粒子转过的圆心角为
则此时
则粒子t 时刻的坐标（
，
，
）
28．（2024·安徽合肥·二模）平面直角坐标系xOy 中，第Ⅱ象限存在沿y 轴负方向的匀
强电场，场强大小为E，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，如图所示。
一个氘核
和一个氦核
先后由点P（-2L，L），以相同的动量平行于x 轴沿x 轴
正方向射出，
由坐标原点O 射入磁场，
离开磁场时速度垂直于x 轴。已知
的比荷为k，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：
31
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（1）
和
由点P 射出的初速度大小；
（2）磁感应强度B 的大小；
（3）
和
离开磁场的位置坐标。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设
的初速度大小为
，
的初速度大小为
。
核做类平抛运动，
有
，
其中
解得
由于动量相同，则
解得
（2）
核做类平抛运动，有
32
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，
其中
可得
核从
点进入第三象限，速度方向与x 轴正方向夹角为
，由几何关系
可知
核从
点进入磁场，速度方向与y 轴负方向夹角为
，进入磁
场时的速度为
在磁场中的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得
（3）
核做类平抛运动，从O 点进入磁场时，速度方向与x 轴的夹角为
，大小为
核在磁场中运动
离开磁场时距O 点的距离为
所以，
核离开磁场时的坐标为
，
核在磁场中运动
33
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离开磁场时距O 点的距离为
所以，
核离开磁场时的坐标为
29．（2024·安徽·二模）离子诊断分离器原理图如图甲所示，A、B 为两平行金属极板，
板长为
，两板间距为
，A、B 两极板间加有大小可调节的电压
，所加电压
如图乙所示，已知
，周期为T，平行极板右侧空间有范围足够大的匀强
磁场，磁感应强度大小为
，宽度为
，均匀分布的中性粒子和带电离子混合
粒子束以相同的速度
通过平行极板，中性粒子射出两板间后继续沿原方向运动，被
中性粒子接收器接收，带电离子射出两板间后进入磁场中，经磁场偏转后打到离子接
收器上，离子接收器的宽度为
。已知离子质量均为m，离子带电荷量为
，
不考虑所有粒子的重力，不考虑粒子间的相互作用，带电离子在电场中运动时间极短，
可认为在通过过程中电压不变。求：
（1）当电压
时带电离子在电场中沿垂直于极板方向上偏转的最大距离
；
（2）当
时刻进入A、B 两极板间的带电离子进入磁场点与离开磁场点之间的距
离s；
（3）离子接收器上任一时刻均有离子打到的区域长度d。
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【答案】（1）
；（2）L0；（3）
【详解】（1）带电离子在电场中做类平抛运动，在平行于极板方向上做匀速直线运动
带电离子在电场中沿垂直于极板方向上做匀加速运动，偏转的最大距离
又
解得
（2）由图乙可知当
时刻两极板的电压
带电离子在电场中做类平抛运动，能进入磁场的离子在垂直于极板方向上的速度为
由
解得
带电离子进入磁场的速度
设带电离子进入磁场时速度方向偏转角为
，则
35
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则
带电离子进入磁场做匀速圆周运动，由
解得
进入磁场的带电离子进入磁场点与离开磁场点之间的距离为
（3）从（2）分析可得离子在磁场中入射点和出射点的距离为
。此值与离子射出
电场时速度的偏转角
无关，即与偏转电压无关，则从下板右边缘射出的离子打在离
子接收器的位置为离子接收器上能接收到离子长度的下边界，该位置距下板右边缘距
离为
，从上板右边缘射出的离子打在离子接收器的位置为离子接收器上能接收到离
子长度的上边界，该位置恰好在下板右边缘处，则离子接收器上能接收到离子的最大
长度
当电压
时带电离子在电场中沿垂直于板方向上偏转的最大距离
粒子上下均匀分布，则当电压
时进入磁场中能打到离子接收器上混合离子的宽
度为
36
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即从上板到与下板距离为
之间的宽度为
的混合离子能打到离子接收器上，从
上边缘进入电场的混合离子打到离子接收器上坐标为
距下板距离为
进入电场的混合离子打到离子接收器上坐标为
如图实线轨迹所示
同理，当电压
时进入磁场中能打到离子接收器上混合离子的宽度也为
，
即从与上板距离为
到下板之间的宽度为
的混合离子能打到离子接收器上，从
距上板距离为
进入电场的混合离子打到离子接收器上坐标为
从下边缘进入电场的混合离子打到离子接收器上坐标为
如图虚线轨迹所示，所以离子接收器上在一个周期内任一时刻均有离子打到的区域为
坐标
与坐标
之间的部分，最大长度
30．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，A、B 两平行板间存在相互垂直的电场和磁场，
方向如图所示，电场强度和磁感应强度分别为
和
。在A、B 板右边存在以
和
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为边界，宽度为d，方向竖着向下，大小也为
的匀强电场，电场右边空间存在
无限大的匀强磁场，磁感应强度为
，方向如图。现有两个不同的带电粒子a 和b，
其比荷分别为k 和
，先后从A、B 板的左侧沿中线垂直电场方向射入，两粒子都沿
A、B 中线运动后进入偏转电场，最后从
进入磁场
。（不计粒子的重力）则：
（1）求粒子进入偏转电场的速度大小；
（2）a 粒子从
边界进出右边磁场两点间的距离为
，
粒子从
边界进出右
边磁场两点间的距离为
，求
与
之比；
（3）若两粒子从边界
上同一点射出磁场，求磁感应强度
的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在A、B 板间能沿直线运动，则有
解得
（2）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射出电场时速度方向与水平方向的夹角为
，
则粒子进入磁场时的速度为
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
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解得
粒子从
边界进出右边磁场两点间的距离为
由于带电粒子a 和b，其比荷分别为k 和
，所以有
（3）在电场中做类平抛运动，有
解得
所以带电粒子a 和b 在电场中的偏转距离分别为
两粒子能从边界
上同一点射出磁场，根据几何关系可判断出两粒子带异种电荷，
且
如图
39
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解得
31．（2024·安徽安庆·二模）如图所示，在xOy 平面第二象限内，直线
上方有沿
y 轴正方向的匀强电场，x 轴下方有垂直于纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m，电
荷量为
的带电粒子以速度
从x 轴上P 点
沿与x 轴正向成
的方向射
入匀强磁场，经磁场偏转后从x 轴上Q 点射出，最后粒子恰垂直通过y 轴上的N 点
（图中未画出）。已知
，带电粒子在磁场中运动过程中离x 轴的最远距离为
b，不计带电粒子的重力。求：
（1）匀强磁场磁感应强度的大小；
（2）N 点的y 轴坐标。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示
40
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设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中运动的轨道半径为r，由几何关系可知
解得
又在磁场中有
联立解得
（2）由对称性可知：粒子从Q 点射出时与x 轴正方向夹角仍为
，由于粒子重力不计，
粒子在图中无电磁场的QM 段做匀速直线运动，在M 点以速度
沿与x 轴正方向夹角
方向进入电场后在电场力作用下做曲线运动至N 点。设粒子从M 点运动到N 点的时
间为t，在x 轴和y 轴方向上的位移大小分别为x、y。由几何关系可知
粒子从M 点到N 点的曲线运动可分解为x 轴方向的匀速直线运动和y 轴方向的匀减速
直线运动，故x 轴方向上
y 轴方向上
联立以上解得
41
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所以N 点的y 轴坐标为
32．（2024·贵州铜仁·二模）如图所示，在平面直角坐标系的第二、三象限存在方向沿
x 轴负方向的匀强电场（图中未画出），在第一、四象限存在沿y 轴负方向的匀强电场
（图中未画出），且各象限匀强电场的电场强度大小相同，在第一象限存在垂直于纸
面向里的匀强磁场。一个质量为m、带电量为q 的带负电小球，从x 轴负半轴上的A 点
以初速度
沿y 轴正方向进入第二象限，随后从y 轴上的C 点以速度
进入第一象
限，过C 点时速度方向与y 轴正方向的夹角为45°，接着又垂直穿过x 轴进入第四象限，
重力加速度为g。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小及C 点的坐标；
（2）求第一象限内磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若第四象限内，一边长为a 的正方形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面
向里，使小球进入第四象限后能够垂直于y 轴进入第三象限，求正方形区域内磁场磁
感应强度的最小值
。
【答案】（1）
，C 点的坐标
；（2）
；（3）
【详解】（1）将小球在C 点速度
速度分解为
方向与
方向，可得
42
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小球在第二象限中，竖直方向上匀减速直线运动
在水平方向上
又由
求得
在
方向运动的距离为
求得
C 点的坐标是
；
（2）在第一象限，第四象限中，电场力竖直向上，大小为
电场力与重力等大反向，所以小球在第一象限中做匀速圆周运动
又由几何关系可知
求得
（3）小球在进入正方形磁场前与离开磁场后做匀速直线运动，小球在磁场中做匀速圆
周运动，最大的半径为
此时对应最小的磁感应强度
又由
43
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求得
33．（2024·贵州安顺·二模）如图所示，在xOy 平面的第一象限内有半径为R 的圆形区
域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为
，
其边界与x 轴、y 轴分别相切于P、Q 点。位于P 处的质子源均匀地向纸面内以大小为
v 的相同速率发射质量为m、电荷量为e 的质子，且质子初速度的方向被限定在
两
侧与
的夹角均为
的范围内。第二象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强
度大小为E，在x 轴（
）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿
方向
射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y 轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的
相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y 轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN 接收，求接收装置MN 的最短长
度x。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）沿
方向射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y 轴射入匀强电场，则该质
子运动半径为
，有
解得
（2）如图所示，设在
左右两侧
角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边
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界上的A、B 两点射出，对应圆周运动的圆心分别为
、
，则四边形
和
均为 ，则粒子由A、B 两点水平飞出，且
与B 点重合。
根据几何关系可知
B 点到
轴的距离为
，所以y 轴正方向上有质子射出的区域范围为
（3）若质子由
处飞入电场时打在M 点，由
处飞入电场时打在N 点，根
据类平抛运动的规律，有
解得
MN 的最短长度为
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34．（2024·江西·二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第三象限内存在沿y 轴正
方向，电场强度大小为E 的匀强电场，图中有一半径为R 的绝缘刚性圆环，圆环经过
坐标原点O（O 点开有小孔），圆环圆心在直线y=x 上，环内存在垂直坐标平面向里
的匀强磁场。电场中的粒子发射源P 能沿x 轴正方向发射质量为m、带电荷量为q、速
度为v0的带正电粒子，粒子恰好从O 点以速度
v0进入磁场，粒子与圆环碰撞时无能
量损失且电荷量不变，不计粒子受到的重力。
（1）求发射源P 的坐标；
（2）调整圆环内匀强磁场的磁感应强度大小可以控制粒子与绝缘圆环的碰撞次数，求
粒子在磁场中运动的最短时间tmin及此时的磁感应强度大小B。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）设P 点的坐标为（x，y），带电粒子做类平抛运动的时间为t，则有
解得
，
所以P 点的坐标为
。
（2）设粒子进入磁场后做半径为r 的圆周运动，粒子与绝缘圆环相碰
次后恰好从
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O 点射出，设粒子做匀速圆周运动的周期为T，结合图中几何关系有
解得
，
由数学知识知（严密论证过程如下），当n=3 时，t 有最小值，此时
，
。
证明：令
令
则有
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可知
所以
在定义域内先单调递增，后单调递减，故
，即
，故
在定
义域内为增函数，当x=3 时，
有最小值。
35．（2024·江西·二模）如图所示，在x 轴上方存在水平向左的匀强电场，在x 轴下方
存在竖直向上的匀强电场及垂直纸面向里的匀强磁场。现将一质量为m、电荷量为q
的带正电小球从y 轴上的M 点水平向右抛出，小球运动到x 轴时速度方向恰好竖直向
下，进入x 轴下方的复合场时恰好做匀速圆周运动，恰好从坐标原点O 第二次进入x
轴下方的复合场。已知x 轴上方及下方电场的电场强度大小相等，M 点的纵坐标为d，
重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
（1）小球抛出时的初速度大小
；
（2）x 轴下方磁场的磁感应强度大小B；
（3）小球从抛出到第二次进入x 轴下方的复合场的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设电场强度为E，小球进入x 轴下方的复合场时做匀速圆周运动，小球
受到的电场力与重力大小相等，则有
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则小球在第一象限运动时水平方向和竖直方向的加速度为
设小球在第一象限运动时间为t，在水平方向上做匀减速直线运动，在竖直方向上做匀
加速直线运动，则有
，
解得
（2）小球从P 点第一次进入磁场，从Q 点第一次离开磁场，轨迹如图所示，设小球做
圆周运动的半径为R，从Q 点运动到O 点的时间为
，则有
，
，
，
解得
（3）设小球做圆周运动的时间为
，有
，
解得
36．（2024·江西·二模）如图所示，xOy 平面内，x 轴下方充满垂直于纸面向外的匀强
磁场，x 轴上方充满竖直向下的匀强电场（图中未画出），其他部分无电场。从P 点水
平向右向电场内发射一个比荷为
的带电粒子，粒子的速度大小为
，仅在电场中运
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动时间t，从x 轴上的N 点与x 轴正方向成α 角（未知）斜向下进入磁场，之后从原点
O 第一次回到电场。已知P、N 两点间的电势差
，忽略边界效应，不计粒
子受到的重力。求：
（1）粒子第一次通过N 点的速度大小v 及角度α；
（2）匀强电场的电场强度大小E 及匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从P 点发射到第2024 次从x 轴上方进入磁场的时间
。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【分析】本题考查带电粒子在电场、磁场中的运动，目的是考查学生的模型建构能力。
【详解】（1）对粒子从P 点到N 点的运动过程，根据动能定理有
解得
粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示，在电场中
粒子沿水平方向做匀速直线运动，在N 点有
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解得
（2）粒子沿水平方向的分位移大小
粒子在N 点沿竖直方向的分速度大小
在电场中，粒子在竖直方向上做匀加速直线运动，对应的分位移大小
电场强度大小
解得
粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有
由几何关系有
解得
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（3）粒子在磁场中运动的周期
粒子每次在磁场中运动的时间
可得
解得
。
37．（2024·贵州·二模）如图，平面直角坐标系xOy 中，第一象限内存在沿x 轴负方向、
大小为E0的匀强电场，第二、三象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，第四象
限内以O 为圆心、半径分别为d 和2d 的两圆弧间区域内存在方向均指向O 点的电场，
其中M、N 是两圆弧与y 轴的交点。现从第一象限内坐标为（d，d）的P 点由静止释
放一带正电粒子，其质量为m、电荷量为q，不计粒子重力。
（1）求从P 点释放的带电粒子初次进入匀强磁场时速度的大小；
（2）若要使该粒子能从MN 两点间（不包括M、N 两点）进入第四象限，求磁感应强
度大小的取值范围；
（3）若圆弧区域内各点的电场强度大小E 与其到O 点距离的关系为
，且该粒子
进入第四象限后恰好能做匀速圆周运动，求k0的值；
（4）在（2）（3）的条件下，当磁感应强度取某一值时，该粒子只经过一次磁场后恰
好再次返回P 点，求粒子从P 点释放到返回P 点的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）带电粒子在第一象限进入第二象限磁场的过程中，由动能定理有
解得
（2）粒子进入磁场后做圆周运动，若要从MN 之间进入第四象限中的辐向电场，
则根据几何关系可知，其在磁场中运动的轨迹直径需满足
则可知轨迹半径需满足
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
可得
根据轨迹半径的取值范围可得磁感应强度的取值范围为
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（3）粒子进入第四象限后恰好做匀速圆周运动，则电场力提供向心力，则有
（
）
解得
（4）设粒子在第四象限中做圆周运动的半径为，从第四象限进入第一象限到达P 点
的时间为
，该过程粒子做类平抛运动，竖直方向有
水平方向有
解得
，
粒子从第一象限进入磁场的时间
粒子在磁场中运动时的轨迹半径
则其在磁场中运动的时间
粒子在第四象限内运动的时间
由此可得粒子从P 点释放到返回P 点的时间
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38．（2024·吉林·二模）如图所示，在三维坐标系
中，
平面左侧区域有沿y
轴正方向的匀强电场；
平面右侧与垂直于y 轴足够大的荧光屏之间的区域有沿y 轴
正方向的匀强磁场，荧光屏与y 轴交点位置的坐标为
。一质量为m、电荷量为
的粒子从坐标为
的P 点以大小为
的初速度沿z 轴负方向射出，经电场
偏转后从O 点进入磁场，再经过磁场偏转后击中荧光屏，粒子再次经过y 轴的位置离
O 点距离为
，不计粒子的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子打在荧光屏上的位置坐标及匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若在
平面与荧光屏之间的区域加上一平行于y 轴的匀强电场，要使粒子仍打
在荧光屏上（2）问中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。
【答案】（1）
；（2）（
，
，0），
；（3）见解析
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动,根据题意
根据牛顿第二定律
解得
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（2）设粒子经过
点时速度大小为，根据动能定理
解得
设与轴负方向的夹角为
，则
解得
粒了从
点进入磁场后，沿平行y 轴方向做匀速直线运动，速度大小
在平行
平面内做匀速圆周运动，速度大小为
设做匀速圆周运动的周期为T，根据题意
设圆周运动的半径为r，则
解得
粒子在磁场中运动的时间为
则粒子打在荧光屏上的位置坐标为（
，
，0），由牛顿第二定律
解得
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（3）若所加电场方向沿y 轴正方向，则粒子在电场和磁场的叠加场中运动的时间为
，
则
解得
若所加电场方向沿y 轴负方向，如果粒子做匀减速运动到荧光屏速度刚好为零时，由
解得
由此可知，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问中所求位置，则粒子在电场和磁场的叠加
场中运动的时间为
，则
解得
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