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专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平
面夹角为
，间距为
，在导轨之间接有阻值为
的定值电阻，质量为
，电阻为
的金属杆ab 由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为
的
重物P 相连，磁感应强度为
的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab 置
于导轨下端靠近电阻R 处，将重物P 和金属杆ab 由静止释放，当金属杆ab 运动到Q
点（图中未画出）时，通过R 的电量为
，此时重物P 已经开始匀速下降，运动
过程中金属杆ab 始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速
度g 取
，求：
（1）重物P 匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab 从释放到Q 点的过程中，定值电阻R 中产生的焦耳热
；
（3）若金属杆到达Q 点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以
的加速度向上加速运动。试写出磁感应强度B 随时间t 变化的关系式。
2．（2023·河北·校联考模拟预测）我国空间站上安装有一种圆柱形磁控装置，其横截
面如图所示。很窄的环柱形空间内有沿半径向外的磁场Ⅰ，其磁感应强度大小可近似
认为处处相等；垂直于圆环平面同时加有匀强磁场Ⅱ和匀强电场（图中没画出），磁
场Ⅰ与磁场Ⅱ的磁感应强度大小相等。若一质量为
、电荷量为
的小球在圆环内沿
顺时针方向做半径为
、速率为的匀速圆周运动。
1
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（1）判断匀强电场及磁场Ⅱ的方向；
（2）求匀强电场的电场强度的大小；
（3）以
为坐标原点，垂直纸面向里为轴正方向，建立
空间直角坐标系，当
小球运动到位置
时，撤去沿半径向外的磁场Ⅰ，同时开始计时，求小球经过z 轴的
时间以及经过轴时的坐标值。
3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）如图所示，真空中A 位置存在一带
电粒子发射器能够瞬间在平面内发射出大量初速度大小为
带电量相同的正电荷，电
荷以不同的入射角
（
为
与x 轴正方向的夹角且
）射入半径为R 的圆形
边界匀强磁场（图中未标出），圆形磁场刚好与x 轴相切于A 点，所有电荷均在该磁
场的作用下发生偏转，并全部沿x 轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存
在着方向沿y 轴正向的匀强电场，虚线刚好经过C 点（C 为实线圆最右端的点）且顶
点与O 点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从O 点射入第一象限，第一
象限内存在范围足够大的垂直于平面向里磁感应强度大小为
的匀强磁场，O 点上方
沿y 轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷
的质量为m，电荷量大小为q，OA 的距离为2R，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相
互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度
的大小及方向；
2
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（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）所有电荷在第一象限内运动轨迹所经过的区域的面积。（当
，
）
4．（2023·河北·模拟预测）如图所示，真空中竖直放置的圆柱体底面圆半径
，
高
，圆柱体上表面放有一个荧光屏，底面中心处有一点状放射源S，仅在底面
圆所在平面内向各个方向均匀发射α 粒子，所有α 粒子的速率均为
，已
知α 粒子的比荷为
，α 粒子重力忽略不计。
（1）现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强磁场B，使所有α 粒子恰好能束缚在圆柱体
区域内，求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强电场E，使所有α 粒子均能打到荧光屏上，
则所加匀强电场至少需要多大？
5．（2023·河北·模拟预测）如图所示，两根足够长光滑导轨竖直放置，导轨间距为
L，底端接阻值为R 的电阻。将质量为m 的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，弹
簧劲度系数为k，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直。现将金属棒从弹簧
原长位置由静止释放，第一次达到最大速度v 时，回路产生的焦耳热为Q。若金属棒
和导轨接触良好，电阻均可忽略，试求：
（1）金属棒第一次达到最大速度时，弹簧的伸长量为多少？弹簧的弹性势能为多少？
3
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（2）金属棒最后静止时，弹簧弹性势能等于重力势能减少量的一半，电阻R 上产生的
总热量为多少？
6．（2023·河北秦皇岛·校考模拟预测）如图所示，两根足够长且电阻不计的光滑金属
导轨固定在水平桌而上，间距
。在轨道上有两根质量分别为
、
，接入电路电阻分别为
、
的导体棒a 和b，在轨道区域内有
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。现给导体棒a 一个向右的、大小为
的初速度，两导体棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两导体棒未相碰，
。求：
（1）流经导体棒b 的最大电流；
（2）从开始运动到两棒相距最近的过程中，流经b 的电荷量；
（3）从开始运动到两棒相距最近的过程中，导体棒a 上产生的焦耳热；
（4）当导体棒a 的速度大小为
时，b 的加速度大小。
7．（2023·河北·统考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系处在竖直平面内。在
的区
域内有竖直向上的匀强电场，场强大小为
，在第二象限的某个矩形区域内
有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为
。一带电小
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球以初速度
沿与x 轴负方向成
角的方向从M 点进入第一象限，在第一象
限内做直线运动，而后从y 轴上的P 点进入第二象限。经历一段时间后，小球经x 轴
上的Q 点离开电场区域，速度方向与x 轴负方向成
角，重力加速度取
，
，
。求：
（1）带电小球的带电性质及比荷；
（2）矩形区域的最小面积。
8．（2023·河北保定·统考一模）如图，光滑水平面上静置一质量
、长
的长木板，在长木板右侧某位置固定一光滑绝缘的竖直半圆轨道，半径
，半圆轨道下端与长木板上表面齐平，竖直直径右侧区域存在竖直方向的匀
强电场，在半圆轨端静置一质量
、电荷量
的小物块
。质量
的小物块a 从长木板左端以
的水平速度冲上长木板，物块a 与长木板
的动摩擦因数
。长木板与半圆轨道相撞前已与物块a 共速，碰撞后长木板瞬间
停止。已知物块a、b 间发生弹性碰撞且物块b 电荷量不变，之后小物块b 在半圆轨道
内运动过程中对轨道各点的压力大小均相等。g 取
，求：
（1）匀强电场的场强大小和方向；
（2）物块b 在半圆轨道内运动的时间。
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9．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，
为边长为L 的正方形，在三角形
区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量
为
的带电粒子由Q 点沿
方向射入磁场，速度大小为v，经磁场偏转后由
边
离开正方形区域。粒子重力不计，求：
（1）粒子射入磁场的初速度的最大值；
（2）若在三角形
区域加一平行
边、由N 指向P 方向的匀强电场，电场强度大
小为
（E 的大小随v 的变化而变化），发现粒子仍由
边离开正方形区域，求
粒子射入磁场的初速度的范围。
10．（2023·河北·统考二模）如图所示，在倾角为
的绝缘长方形斜面
上，边
长为
的正方形
区域存在着磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直斜面向上。
一个质量为m、电阻为R，边长为L 的正方形导线框
，在沿斜面向下的恒力
（g 为重力加速度大小）的作用下由静止开始下滑，线框刚进入磁场区域时恰
好做匀速直线运动，线框刚完全进入磁场区域时撤去恒力F，线框最后完全离开磁场
区域。已知正方形线框与斜面间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，
离
足够远，求：
（1）线框开始运动时
边距
的距离x；
（2）线框离开磁场区域后的速度大小。
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11．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考三模）如图所示，竖直平面内竖直边界
M、N 和荧光屏P 相互平行，分界面N 将M、P 之间分为Ⅰ、Ⅱ两个宽度均为L 的区域，
在荧光屏P 所在的平面内取水平向外为x 轴正方向、竖直向上为y 轴正方向建立直角
坐标系，在区域Ⅰ内存在着沿x 轴正方向的匀强电场，带电粒子以初速度v0垂直于荧
光屏P 且正对原点O 从边界M 射入场区，粒子经过区域Ⅰ、Ⅱ打在荧光屏P 上的位置
坐标为
。已知粒子的质量为m，电荷量为+q，不计粒子重力及粒子间的相互
作用。
（1）求匀强电场的电场强度大小；
（2）若区域Ⅱ内添加磁感应强度大小
、沿x 轴正方向的匀强磁场，求粒子打
在荧光屏P 上的位置坐标。
12．（2023·河北·模拟预测）如图所示，将装有
的铅制容器放在匀强磁场中的P
点，磁场的磁感应强度B=4T，方向垂直纸面向里，在距P 点x=1cm 的位置放置荧光屏，
屏的下沿与P 点等高，铀发生衰变后从铅制容器中竖直向上释放出两束射线，射线M
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打在屏上，在屏上距下沿y=3cm 处形成Δy=2cm 宽的光带，N 射线竖直向上。已知铀
核质量mU=3.85×10-25kg，钍核质量mTh=3.79×10-25kg，α 粒子的质量mα=6.65×10-27kg，β
粒子的质量mβ=0.91×10-30kg，普朗克常量h=6.63×10-34J·s，不计速度对质量的影响，求：
（结果保留一位有效数字）
（1）射线M 和射线N 的成分；
（2）M 射线的速度范围；
（3）若认为衰变后的原子核不稳定，将动能一次性全部转为光子释放，则光子的频率
范围。
13．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）在芯片制作过程中，对离子注入的位
置精度要求极高，通过如图所示的装置可实现离子的高精度注入。立方体区域
的边长为L，以O 点为原点，
、
和
分别为x 轴、y 轴和z
轴的正方向建立空间坐标系
。在
平面的左侧有一对平行金属板M、N，板
M、N 与
面平行，板间距离为d，M、N 两板间加有电压，板间同时存在沿x 轴负
方向、磁感应强度大小为
的匀强磁场。在板中间的P 点有一离子发射源，能沿平行
y 轴正方向发射质量为m、电荷量为
、速率不同的离子，立方体的
面
为一薄挡板，仅在其中心D 处开有一小孔供离子（可视为单个离子）进入，D 点与P
点等高，P、D 连线垂直挡板。立方体的
面为水平放置的薄硅片，E、F 分别为
和
的中点。当板M、N 间的电压大小为
且立方体内匀强磁场的方向沿
方
向时，由D 点进入的离子恰好注入到硅片
边上，且速度与
边垂直。不计离子间
的相互作用力、离子的重力和离子碰撞后的反弹。
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（1）比较M、N 两板的电势高低和由D 点进入的离子的速度大小
；
（2）求立方体内匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）通过调整板M、N 间电压，可以控制离子在y 轴方向上的注入；通过改变立方体
内磁场的方向，可以控制离子在x 轴方向上的注入。假设板M、N 间的电压大小为
，立方体内的磁场磁感应强度大小不变、方向始终垂直于y 轴，为保证进入立方
体的离子均能注入硅片且硅片的全部区域都有离子注入，求
的取值范围。
14．（2023·河北张家口·统考三模）如图所示，PQ、MN 两挡板竖直正对放置，两板
长度l 均为1m，间距也为1m，两挡板间有垂直纸面向里、磁感应强度大小可调节的匀
强磁场。挡板的上边缘P、M 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直
向上的匀强电场，电场强度大小E=10V/m；一带负电粒子自电场中A 点以一定速度水
平向右发射，恰好从P 点处与水平方向成45°射入磁场，从两挡板下边缘Q、N 之间射
出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知：该带负电的粒子比荷大小为
1.0×105C/kg，粒子发射位置A 到水平线PM 的距离h=2m，不计粒子的重力。整个装置
处于真空中且不考虑地磁场的影响。求：
（1）粒子从A 点发射的初速度v0；
（2）求磁感应强度大小的取值范围。
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15．（2023·河北·模拟预测）如图，光滑绝缘水平面内有边长
、电阻
、质量
的正方形线框
，开始线框静止在水平面上，线框右侧距
线框ab 边
处有宽
、方向竖直向下的匀强磁场区域。现对线框施加大小
为
、方向水平向右的恒定拉力，在线框
边到达磁场左边界时撤去拉力，当线
框完全进入磁场后再对其施加大小为
、方向水平向右的拉力。已知线框
边到达磁场右边界时的速度
，线框进入磁场的过程中，线框速度与线框
边到磁场左边界距离
之间满足关系式
（
为线框ab 边刚到达磁场左边
界时的速度，常量c 未知），重力加速度g 取
。
（1）求线框进入磁场过程中产生的焦耳热Q。
（2）求磁场磁感应强度B 的大小。
（3）若线框ab 边到达磁场右边界瞬间，立即改变拉力
的大小，使线框能以
的加速度匀减速离开磁场，取ab 边到达磁场右边界时为
时刻，求线框
离开磁场的过程中，拉力
与线框运动时间t 的关系式。
16．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图所示，有三根完全相同、原长均为
的绝
缘轻质橡皮筋，其中两根的一端固定在天花板上的
点，另一端分别连接质量均为
的带电小球
，它们所带的电荷量分别为
和
，
之间用第三根橡皮筋连
接起来。由于空间存在水平向右的匀强电场，平衡时三根橡皮筋的长度均为原长的
。
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现剪断
之间的橡皮筋，由于有空气阻力，
球最后会在新的位置平衡。已知
橡皮筋满足胡克定律并始终在弹性限度内，两小球所带电荷量始终不变，不计两小球
间的静电力，重力加速度大小为
。求：
（1）匀强电场的电场强度大小
；
（2）再次平衡时小球A 电势能的减少量
；
（3）再次平衡时小球B 重力势能的增加量
。
17．（2023·河北保定·统考三模）如图所示，在xOy 平面内存在匀强磁场，y>0 区域磁
感应强度大小为2B0，y<0 区域磁感应强度大小为B0，在O 点有一粒子源，可向yOM
区域发射速率为v0的同种粒子，OM 与x 轴正方向夹角30°，已知粒子的质量为m，电
荷量为q（q>0），不计粒子间相互作用力和重力，求：
（1）如果粒子的入射方向与y 轴夹角30°，求该粒子第一次到达y 轴时到O 点的距离；
（2）求所有入射方向中粒子第二次经过x 轴的最短时间。
18．（2023·河北·模拟预测）如图所示，一半径为R 的金属圆桶，外表面涂有绝缘物质，
桶上有一条平行于轴线的细缝M，桶的中心轴位置有一粒子发射器，能不断溢出带电
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量为q，质量为m 的粒子，发射器与圆桶之间加有可调节的加速电压U，粒子由中心
轴经过加速后可从狭缝M 射出。在圆桶外存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，粒子在磁场中运动与桶外壁发生碰撞后无机械能损失，且电荷量保持不变，
粒子所受重力及一切阻力均不计。求：
（1）当加速电压为
时，粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）若粒子在桶外运动一段时间后能从狭缝返回桶内，求在桶外磁场中运动的最短时
间。
（3）求能使粒子在磁场中运动后由狭缝返回桶内所有可能电压值。
19．（2023·河北·模拟预测）如图所示，水平绝缘长直轨道与光滑圆弧轨道在C 处相
切且平滑连接，水平轨道处于方向水平向左、场强大小为E 的匀强电场中，圆弧轨道
的半径为R，O 点为轨道圆心，整个装置固定在同一竖直平面内。两个小滑块A、B
（都可视为质点）的质量分别为3m 和m。已知滑块B 不带电，其与水平轨道间的动摩
擦因数为
，滑块A 带电，但与轨道间无摩擦力。开始时滑块A、B 都静止于水平轨
道上，与C 点的距离分别为2R 和R。现将滑块A 由静止释放，之后A、B 之间发生的
碰撞皆为完全非弹性碰撞，且碰后两者一起沿水平轨道做匀速直线运动，进入圆弧轨
道后仍能从C 点返回水平轨道，碰撞后两者之间并不粘连，整个过程中A 的电荷量始
终保持不变，重力加速度为g，求：
（1）滑块A 所带电荷量的大小及两滑块进入圆弧轨道运动过程中对圆弧轨道压力的最
大值；
（2）滑块AB 再次返回水平轨道后两者之间的最远距离；
（3）整个过程中滑块B 在水平轨道上运动的总路程。
20．（2023·河北石家庄·统考三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，x 轴上方区
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域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。原点O 处有一粒子源，可在xOy 平面内的x 轴上
方沿各个方向均匀发射比荷为
、速度大小为
的带正电的粒子。
一足够长的粒子收集板PQ 垂直于x 轴放置，底端P 位于
处，当粒子打到收
集板时立即被吸收。当粒子沿与x 轴正方向夹角为
方向发射时，粒子恰好打在收集
板上的P 点。不计粒子重力和粒子间相互作用，粒子被吸收的过程中收集板始终不带
电，已知
，
。
（1）求磁感应强度B 的大小；
（2）在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板PQ 上的数目占粒子总数的百
分比；
（3）粒子源发射的粒子中会有两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ 上的同一位置，
求PQ 上这种位置分布的区域长度。
21．（2023·河北石家庄·统考一模）如图所示平面直角坐标系
内，第一象限在以A
点
和C 点
连线为对角线的矩形区域内存在平行y 轴竖直向下的匀强电场，
在第三、四象限存在着垂直纸面向外的匀强磁场。位于A 点的粒子源可以水平向右发
射电荷量均为
，质量均为m 的同种粒子，粒子发射速度在0 到
之间。已知速度为
的粒子恰好从C 点进入磁场，并从原点O 射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互
作用。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
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（2）粒子在磁场中运动的最低点的纵坐标范围。
22．（2023·河北唐山·统考二模）如图所示，有足够长的光滑水平导轨CDC′D′和
EFE′F′，各段导轨均平行，左侧部分间距为0.5m，右侧部分间距为1m，两部分导轨间
有磁感应强度大小为B=10T，方向相反的匀强磁场。有两根相同的金属棒a、b，质量
均为2kg 且分布均匀，电阻与棒长成正比。将金属棒a、b 分别垂直放在左右两部分导
轨上，开始时a 棒位于图中DD′位置，b 棒位于EE′位置。b 棒用足够长的绝缘细线绕
过光滑定滑轮和一物块c 相连。物块c 的质量为3kg，c 开始时距地面的高度为
h=8.55m。物块c 由静止开始下落，触地后不反弹。物块c 触地时a、b 两棒速率之比
1:3，物块c 下落过程中b 棒上产生的焦耳热为30J，设两棒始终在磁场中运动，整个过
程中导轨和金属棒接触良好，且导轨光滑电阻不计，g=10m/s2。求：
（1）物块c 触地时，b 棒的速度大小；
（2）从b 棒开始运动到c 落地的过程中通过棒的电荷量；
（3）从物块c 触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。
23．（2023·河北·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限内有竖
直方向的匀强电场
（方向未标出）与垂直纸面的匀强磁场
（未标出）；第二象限
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内有水平向右的匀强电场
与垂直纸面向里的匀强磁场
；现有质量为m、电荷量为
、可视为质点的带电小球从x 轴上P 点以初速度
射入复合场中，P 点坐标为
，初速度
与x 轴正向夹角
，小球恰好做匀速直线运动经过y 轴上S 点进
入第一象限，在第一、四象限做匀速圆周运动经Q 点进入第三象限。已知小球做圆周
运动的圆心
在x 轴上，重力加速度为
，
，求：
（1）电场强度
与磁感应强度
的大小；
（2）电场强度
与磁感应强度
；
（3）小球从P 点到Q 点的时间。
24．（2023·河北沧州·统考一模）2022 年12 月4 日中国科学院高能物理研究所王贻芳
院士表示，中国的粒子物理研究正在走向国际最前沿。在粒子物理学的研究中，经常
用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。现有一种较为简单的控制粒子的装置，其
内部结构可简化为如图所示模型：空间三维直角坐标系
中，在
，
的空
间中有沿
轴正方向、电场强度大小
的匀强电场，在
的空间中有
沿轴负方向、磁感应强度的大小
的匀强磁场，
平面内
区域有一足
够大的吸收屏，屏下方存在有沿
轴正方向、大小为
的匀强磁场。有一小型
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粒子源紧贴在
轴上点
的上侧，粒子源能沿
轴负方向持续发射速度为
的带正电的粒子，其比荷为
。忽略粒子重力及带电粒子
间的相互作用。求：
（1）带电粒子第1 次穿过
轴时的速度大小；
（2）带电粒子第2 次穿过
轴时的位置坐标；
（3）若电场强度的大小
可在
之间进行连续调节，带电粒
子打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度。
25．（2023·河北衡水·校联考二模）如图所示，光滑平行轨道
的水平部分（虚
线右侧）存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
段轨道宽度为
，
段轨道宽度为L，质量为m、长度为
的均质金属棒Q 静止在
段，将另一完全
相同的金属棒P 从
段距水平轨道高h 处无初速释放，由于回路中除两金属棒外的电
阻极小，
段和
段轨道均足够长，一段时间后两金属棒均匀速运动，重力加速度
大小为g，求：
（1）金属棒P 在磁场中运动的最小速度
；
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q 两端的电压U。
26．（2023·河北张家口·统考二模）在半导体集成电路制造过程中需要生产出纯度很高
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的，可精确控制的一价硼离子束。具体流程如图甲所示，离子源腔室可产生包含有
、
、
、
和
的等离子体，这些离子从一条狭缝进入吸极并把带正电的离子选
出来，正离子通过吸极后垂直于磁场方向进入分析磁体控制的空间，被分析磁体选出
的离子束引人到加速管调速，最终获得满足需要的离子束进入工艺腔内。吸极结构示
意图如图乙所示，吸极由两个带缝隙的平行金属板（即抑制电极和引出电极）构成，
引出电极接地，离子源腔体和引出电极之间的吸极电压为
，抑制电极和引出电极之
间的抑制电压为
。分析磁体提供截面半径为R 的圆柱型匀强磁场区域，磁感应强度
可调。已知等离子体中的多数离子动能很接近，设为
，电子的动能比较大，忽略离
子所受重力，元电荷为e。
（1）求从引出电极飞出的
离子的动能
，以及恰好不能通过抑制电极的电子在离
子源中的动能
（2）硼有两种同位素
和
，若
离子
质量为10m，在磁场中恰好偏转了90°
角，求分析磁体提供的磁感应强度B 的最小值。
（3）航天用集成电路要求生产芯片用的硼必须是
。离子束进入磁场时并不严格平
行而是有个很小的散开角θ，如图丙所示，如果θ 较大将导致离开磁场时两种B+离子
没有分离，请在（1），（2）问的基础上分析，为了使两种
离子分离求这个散开角
θ 的范围。（提示：请考虑使用散开角度很小，离子轨道半径接近时的近似条件（结
果可用根式表示）
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27．（2023·河北张家口·统考一模）如图所示的平面直角坐标系xOy 内，在第一象限
的区域内存在直向下的匀强电场
区域存在一左端开有小孔的圆弧形绝缘
挡板，挡板分别与直线
和x 轴相切，挡板区域内存在垂直纸面方向的匀强磁场
（图中未画出）。一质量为 电荷量为+q 的粒子从O 点以速度v 平行纸面射入电场，
入射方向与x 轴的夹角
，粒子经电场偏转后恰沿水平方向经过直线
，之后
匀速运动经过小孔进入挡板内，在磁场和挡板共同作用下经过一段时间又从小孔射出，
不计粒子重力，粒子和挡板碰撞时无能量损失，求
（1）
的区域内匀强电场电场强度的大小；
（2）挡板内磁场磁感应强度的最小值；
（3）在
区域加上水平向右的匀强电场，调整挡板区域内的磁场，粒子从小孔
射入挡板区域后仍能从小孔射出，求所加电场的电场强度
和调整后的磁感应强度
B'的关系。
28．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，在
区域存在沿y 轴正方向的匀强
电场（图中未画出），电场强度大小为E，在
区域存在平行于y 轴正方向的匀强
磁场（图中未画出）和沿z 轴正方向的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为
2E。质量为m、电荷量为
的小球从
处由静止释放，小球从原点进入
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区域，在
处有一垂直于y 轴的荧光屏（图中未画出），小球打在荧光屏上
点。已知重力加速度为g。
（1）求
区域匀强电场的电场强度E；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若磁感应强度取最小值，当小球离y 轴最远时，求小球到原点O 的距离。
29．（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，在平面直角坐标系的三、四象限内有一
宽度为d、方向水平向右的匀强电场；从
轴上的
点分别向左、右两侧水平射出比荷
为
的同种微粒，左侧微粒在第三象限离开电场时速度方向竖直向下，右侧微粒在第
四象限的电场中做直线运动。已知从
点射出时左侧微粒的初速度是右侧微粒的倍，
离开电场时右侧微粒的动能是左侧微粒的
倍，重力加速度为
，空气阻力不计。求：
（1）右侧微粒与左侧微粒在电场中运动的水平位移之比；
（2）电场强度的大小；
（3）
点的坐标。
30．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，半径为R 的半圆形绝缘轨道ACB 竖直
放置，C 点为轨道的最低点，AC 段光滑、BC 段粗糙，圆心O 处竖直固定一长度不计
的光滑挡板，直径AB 上方存在水平向左的电场E1，下方存在垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，OC 右侧、OB 下方还存在竖直向上的匀强电场E2。一质量为
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m，电荷量为+q 的带电小球从A 点由静止释放，沿轨道ACB 运动到B 点后在电场E1的
作用下运动到O 点并和挡板相碰，此时匀强电场E2的电场强度突变为原来的两倍，使
小球与O 处挡板相碰后做匀速圆周运动到B 点，运动到B 点时小球速度恰好竖直向上，
已知重力加速度为g，小球与挡板发生碰撞时，垂直于挡板的速度变为0；平行于挡板
的速度不变，小球损失的动能全部转化为二者的内能，不计空气阻力，小球可视为质
点，E1、E2大小未知，求：
（1）小球刚运动到C 点时对轨道的压力；
（2）E1与E2的比值；
（3）在比较长的一段时间t 内，挡板和小球组成的系统增加的内能。
31．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为
坐标原点，A 点的坐标为（3L，0），B 点坐标为（0，2L），三角形ABC 为直角三角
形，其中∠C 为直角，在直角三角形ABC 中有沿y 轴负方向的匀强电场，三角形OBD
为等腰直角三角形，P 点为OD 的中点，等腰直角三角形OBD 中存在沿x 轴正方向的
匀强电场，电场强度大小为E0，第三象限和第四象限存在范围足够大的匀强磁场，磁
场方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q（q > 0）的带电粒子，从P 点静止
释放，粒子从第二象限进入第一象限，经过直角三角形ABC 内的匀强电场后恰好从A
点进入匀强磁场，经匀强磁场偏转后直接打到坐标原点O，不计粒子重力，sin37° =
0.6，求：
（1）直角三角形ABC 中匀强电场的电场强度大小E1；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从P 点运动到O 点的总时间t 总。
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32．（2023·河北·统考模拟预测）科学工作者通过电场和磁场来控制带电粒子的运动。
如图所示，在xOy 平面内，有一个半径为R 的圆形区域和边长为2R 的正方形区域，在
这两个区域里加入匀强电场或匀强磁场就可以控制带电粒子的运动。圆形区域的圆心
A 的坐标是（R，0），MN 是圆的直径，正方形区域中心的坐标是（R，－2R），圆和
正方形相切于N 点。在
范围内有宽度为R 的粒子束平行于x 轴射入圆形区
域，粒子束的速度大小均为
。已知圆形区域内存在沿y 轴负方向的匀强电场，正方
形区域内加上垂直于纸面向里的匀强磁场，粒子的质量为m，电荷量为＋q，重力不计。
（1）若经过O 点的粒子刚好偏转经过N 点，求电场强度E 的大小。
（2）在满足（1）的条件下，若经过N 点的粒子刚好垂直于正方形边界离开，求正方
形区域内磁感应强度B 的大小。
（3）若把原来的圆形区域和正方形区域里的场都去掉，在圆形区域里加上垂直纸面向
外的匀强磁场，在正方形区域里加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为
，且所有粒子汇聚于N 点，最终从正方形区域右边界离开，求粒子从正方形区域右
边界离开时的位置对应的长度
。
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33．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图所示，一质量为
、电荷量为
的粒子从静止开始经加速电压为
的电场加速后，进入速度选择器，速度选
择器中的匀强磁场的磁感应强度大小为
，粒子射出速度选择器后进入静电分析器，
静电分析器两端中心位置
和
处各有一个小孔，通道中心轴线的半径为
，通道内
存在均匀辐向电场，粒子从
孔射出后沿半径方向进入环形匀强磁场且刚好未进入小
圆区域。已知环形磁场的外半径为
，内半径为
。可能用到的数据
。求：
（1）速度选择器和静电分析器中的电场强度大小
和
；
（2）环形磁场的磁感应强度的大小
；
（3）粒子在环形磁场中的运动时间。
34．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，一金属板固定在y 轴上，
其上P 点处有一粒子源，能释放出质量为m、电荷量为q 且初速度为0 的正、负点电
荷。另一金属板与y 轴平行，两板间电势差为U、距离为d，左板电势高于右板。两极
板间存在磁感应强度大小为
、方向沿z 轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；
区域存在电场强度大小为
、方向沿x 轴正方向的匀强电场；
，
区域存在电场强度大小为
、方向沿z 轴正方向的匀强电场（图中未画出）；
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，
区域有磁感应强度大小为
、方向沿y 轴负方向的匀强磁场（图中未
画出）。向右运动的点电荷能够经过一次磁场之后恰好通过图中
平面内与P 点等
高的Q 点，不计点电荷的重力及电荷间的相互作用。
（1）为保证负点电荷不碰到左侧金属板，磁感应强度大小
应满足什么条件？
（2）为保证正点电荷能够恰好通过右侧Q 点，P、Q 两点间的距离应为多少？
35．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，在足够大的光滑绝缘
水平台面内建立xOy 坐标系，在第一、二象限内有垂直于台面向上的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，在第三、四象限内分别有沿x 轴负方向和沿y 轴正方向的匀强电场，
电场强度大小均为E。现从台面上的A 点，将带电荷量为+q 的金属小球以初速度v0沿
台面弹出，到达原点O 时，小球的速度大小为
，方向沿y 轴正方向。已知在x 轴上
静止有5 个与入射球完全相同的不带电金属小球（图中未画出，原点O 处的小球记为
第1 个，原点右侧依次为2、3、4、5），所有金属小球的质量均为m，小球经过x 轴
时会依次与下一小球发生碰撞，小球间的碰撞均无机械能损失，碰撞时间极短。
（1）求台面上A 点的坐标。
（2）求第2 个小球的运动时间和路程。
（3）求第四次碰撞与第六次碰撞的时间间隔和距离。
（4）第5 个小球发生碰撞前，第1 个小球在磁场中运动的时间和路程。
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36．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，竖直平面内的xOy 坐
标系第二、三象限内存在平行于y 轴向上的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，
第三象限内磁场的磁感应强度大小为第二象限内磁感应强度大小的2 倍；第一、四象
限内存在平行于xOy 平面且与x 轴正方向成
角斜向上的匀强电场。一光滑的半圆形
绝缘轨道固定在第四象限平面内，其左端位于坐标原点O 处，右端位于坐标为
的N 点。
时刻，质量为m、电荷量为
的小球由坐标为
的M 点以大小为
的速度垂直于x 轴进入第二象限，小球在第二、三象限内均做圆周运动，且小球由
M 点射出之后第5 次穿过x 轴时恰好于O 点沿y 轴负方向进入半圆轨道。已知xOy 平
面内电场强度的大小均相同，小球可视为点电荷，重力加速度大小为g，规定M 点的
电势为0。
（1）求第二象限内磁场的磁感应强度大小；
（2）求小球从M 点运动至O 点所用的时间；
（3）求小球通过N 点之后的最小速度以及此时的电势能。
37．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，坐标系xOy 内直线
x=a 与y 轴之间有一匀强电场，电场强度平行y 轴向下，在直线x=a 右侧的某个区域有
一匀强磁场，一电荷量为+q、质量为m 的粒子从点A（a,0）以初速度v0进入第一象限，
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速度方向与直线x=a（a>0）成30°角，带电粒子在点
射出匀强磁场时速度
方向与直线x=a 成60°角，带电粒子最后垂直打在y 轴上的P 点（图中未画出），不计
带电粒子的重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的最小值；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）满足（1）条件下带电粒子从A 点运动P 点的总时间。
38．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy
内有一个半径为R 的圆形区域I，圆心坐标为
，圆形区域内存在垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为
，在y 轴上
的范围内有一个线状的粒
子源，能够沿x 轴正方向发射速度为
的某种正粒子，已知所有粒子均从圆形磁场边
缘的同一点射出，然后进入第四象限所在区域为
的足够大的匀强磁场区域II 中，
匀强磁场区域II 的磁感应强度大小为
。不计粒子重力和粒子间的相互作用力（
；
）。求：
（1）粒子的比荷；
（2）匀强磁场区域II 的上边界有粒子射出的区域长度；
（3）圆形磁场区域I 有粒子经过的面积。
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39．（2023·河北邯郸·统考三模）研究高能粒子的运动时，电磁场约束可以控制带电粒
子运动的轨迹。如图甲所示为相关研究装置的简化示意图。两块面积足够大的金属板
MN 水平放置，金属板与可调电源连接形成电场，在两板之间施加磁场。电场强度与
磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场的正方向为竖直向下，磁场的正方向
为垂直于纸面向外，E0与B0已知，电场和磁场交替存在的时间间隔为
（持续交替
存在，后续时间未画出）。t=0 时刻，带正电粒子（质量m，电荷量q，不计重力）在
极板M 的上边缘向右水平射入，初速度大小为
。
（1）若经时间
后，粒子未与极板N 相撞，求此时粒子速度大小。
（2）若N 板的位置可调，为保证粒子在
时间内不撞到N 板，求MN 板间
的最小距离。
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40．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限内，有半径为R 的圆形有界磁场，磁场的方向垂直于坐标平面向外，
磁场边界分别与x 轴、y 轴相切于Q、P 点，在第二象限内有沿x 轴正方向的匀强电场，
在第四象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，两电场的电场强度大小均为E，在第四象限
内有水平放置的荧光屏，荧光屏到x 轴的距离为
。在第二象限的A 点由静止释放质
量为m、电荷量为q 的带正电的甲粒子，甲粒子经电场加速后从P 点进入磁场，最终
垂直打在荧光屏上，A 点到y 轴的距离为
，所有粒子的重力不计，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小：
（2）在A 点，再由静止释放电量为q 的带正电的乙粒子，乙粒子经磁场偏转的偏向角
为60°，则乙粒子打在荧光屏上的位置与甲粒子打在荧光屏上的位置距离为多少。
41．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系中，在
0≤y≤6a 的区域中存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出），y≥6a 区域存在垂直纸
面向外的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、电荷量为+q 的带电粒子从坐标原点
O 以速度v0沿y 轴正方向射入电场，经P（4a，6a）点射入磁场，出磁场后返回电场区
域，后经过点Q（22a，0），不计粒子的重力。
（1）求匀强电场的电场强度大小E 及磁感应强度大小B；
（2）若磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，求粒子再次到达x 轴时的位置；
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（3）若粒子从坐标原点O 以速度
沿y 轴正方向射入电场，求粒子再次到达x 轴时的
位置。
42．（2023·河北·校联考三模）如图甲所示，平面直角坐标系
的第二、三象限内有
沿y 轴正方向的匀强电场，在第一、四象限内虚线
（平行于y 轴）左侧有垂直坐标
平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，图中所标物理量均为已
知量，垂直坐标平面向里为磁场正方向，现在x 轴上坐标为
的P 点，沿与x 轴
正方向成
斜向右上射出一个带电粒子，粒子射出的速度大小为
，经电场偏转
后在
内的某个时刻，垂直
轴射入磁场，结果粒子在
时间内的运动轨迹与
y 轴相切，在
时间内的运动轨迹与
相切。已知粒子在磁场中做圆周运动的
周期为T，不计粒子的重力，
。求：
（1）匀强电场的电场强度的大小；
（2）粒子第一次从电场进入磁场的时刻
；
（3）
与y 轴间的距离。
43．（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系的第一象限，
一等腰三角形OAC，底角为53°，底边长为14L，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
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应强度大小为B，在OC 边界的左侧有与y 轴平行的匀强电场，D 是底边OA 的中点。
质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子以一定的初速度，从OA 边上的D 点沿y 轴正方
向垂直射入磁场，恰好从OC 边上某点沿着与x 轴平行的方向射入匀强电场（不计粒子
的重力），求：
（1）粒子的速度大小；
（2）粒子离开磁场后，经过x 轴上N 点（图中没有标出），已知NO=5L，求匀强电场
的电场强度；
（3）求粒子从D 点到达N 点所经历的时间。
44．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考三模）如图，“凹”形区域
，各
边长已在图中标示，L 为已知量。在该区域内有正交的匀强电场和匀强磁场，与ab 平
行的虚线为电场的等势线；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。容器A 中
质量为m、带电量为e 的电子经小孔S1不断默飘入加速电场，其初速度几乎为0，电子
经加速电场加速后由小孔S2离开，接着从O 点进入场区，沿Oc 做直线运动经c 点离
开场区。若仅撤去磁场，电子从b 点离开场区。
（1）求加速电场的电压和“凹”形区域的电场强度；
（2）若仅撤去“凹”形区域中电场，求电子离开“凹”形区域时的位置与O 点的距离；
（3）若撤去“凹”形区域中电场，改变加速电场的电压，使得电子在“凹”形区域内
的运动时间均相等，求加速电场电压的取值范围。
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45．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图所示，在直角坐标系
中，第一、四
象限内存在三个有界匀强磁场，即垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ、垂直纸面向里的匀强
磁场Ⅱ、半径为
的圆形匀强磁场Ⅲ，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等，宽均
为
，长均为
。在第二、三象限存在平行y 轴方向的匀强电场Ⅰ、Ⅱ，其电场强
度大小相等，方向相反，在第四象限存在匀强电场Ⅲ，其上边界和匀强磁场Ⅲ在M 点
相切，下边界放置光屏，M 点到光屏的垂直距离为
．现有两个质量均为m、带电
荷量均为
的带电粒子1、2 分别从匀强电场Ⅰ、Ⅱ中坐标为
、
的两点以速度
沿x 轴正方向射出，都恰好经过原点O 处分别射人匀强
磁场Ⅱ、Ⅰ，又平行于x 轴正方向射出匀强磁场Ⅱ、Ⅰ，射入匀强磁场Ⅲ且都从M 点
射出，最后进入匀强电场Ⅲ打在光屏上。不计粒子的重力及粒子间相互作用，电磁场
均具有理想边界。求：
（1）匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度
大小；
（2）带电粒子1、2 在匀强磁场Ⅲ中的运动时间之差
；
（3）带电粒子1、2 最后打在光屏上的距离
。
30
