文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图所示，在空间直角坐标
系中，
平面左侧存在沿z 轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y 轴正方向的匀强磁
场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；
平面右侧还有沿y 轴负方向的匀强
电场。现从空间中坐标为
的M 点发射一质量为m，电荷量为
的粒子，粒
子的初速度大小为
、方向沿
平面，与x 轴正方向的夹角为
；经一段时间后粒
子恰好垂直于y 轴进入
平面右侧，轨迹上离
平面最远的点恰好落在
平面
上，不计粒子的重力。求：
（1）在
平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
（2）在
平面右侧匀强电场的电场强度E；
（3）粒子第2 次经过
平面时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（0，-3d，4d）
【详解】（1）粒子在
平面做圆周运动的半径
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
根据
可得左侧匀强磁场的磁感应强度
（2）粒子第一次经过y 轴后在y 方向向下做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆
周运动，因轨迹上离
平面最远的点恰好落在
平面上，可知粒子到达
平面
上时恰好做
个圆周运动，则用时间
竖直方向
解得
（3）粒子第2 次经过
平面时做半个圆周运动，则所用时间为
则沿y 轴负方向做匀加速运动，因在O 点上方和下方用时间相等，可知位置坐标
沿z 轴坐标
即粒子第2 次经过
平面时的位置坐标（0，-3d，4d）。
2．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，半径为r=1m 的光滑金属圆环固定在水平面内，
垂直于环面的匀强磁场的磁感应强度大小为B=4.0 T，一金属棒OA 在外力作用下绕O
轴以角速度ω=8rad/s 沿逆时针方向匀速转动，金属环和导线电阻均不计，金属棒OA
的电阻r0=2Ω，电阻R1=20Ω，R2=40Ω，R3=10Ω，R4=60Ω 电容器的电容C=4μF。闭合
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
开关S，电路稳定后，求：
（1）通过金属棒OA 的电流大小和方向；
（2）从断开开关S 到电路稳定这一过程中通过R3的电荷量。（结果保留两位有效数
字）
【答案】（1）0.5 A，方向由O 到A；（2）
【详解】（1）由右手定则判定通过金属棒OA 的电流方向是由O 到A，金属棒OA 中
产生的感应电动势大小为
解得
E＝16 V
S 闭合时的等效电路如图所示
由闭合电路欧姆定律，得
联立解得
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）S 断开前，电路路端电压为
电阻R1两端电压为
电容器的电荷量为
上极板带正电，下极板带负电，S 断开时的等效电路如图所示，电容器两端的电压为
电阻R2两端的电压U2，则
电容器的电荷量为
上极板带负电，下极板带正电通过电流表的电荷量为
联立解得
3．（2023·湖北·统考模拟预测）如图所示，在x>0 区域有方向平行于xOy 平面的匀强
电场，场强方向与y 轴负方向的夹角为
，在x<0 区域有方向垂直于xOy 平面向外的
匀强磁场。在
点处有一个粒子源，可以向y>0 区域发射速度大小均为v0、
质量均为m、电荷量均为q 的正粒子，在所有到达y 轴的粒子中，到达b（0，1.6L）点
的粒子与a 点距离最远。不计粒子重力和粒子间的相互作用，sin37°=0.6，
cos37°=0.8。
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求粒子进入电场前，在磁场中运动的最短时间；
（2）若第一次从b 点射出磁场的粒子，第2 次也从b 点射出磁场，求电场强度的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R0，根据题意可知
根据几何关系，有
分析可知，从O 点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间最短，设弦aO 所对的圆心角
为α，根据几何关系，有
设粒子在磁场中运动的周期为T，有
粒子在磁场中运动的最短时间为
联立解得
（2）粒子从粒子源中射出后在磁场中做匀速圆周运动，有
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
分析可知粒子第1 次在电场中运动，刚射入电场时，速度方向刚好与电场方向垂直，
设粒子加速度大小为a，经过时间t 离开电场时，粒子速度大小为v1，速度方向与y 轴
负方向的夹角为
，沿y 方向的位移大小为h，有
粒子第1 次进出电场，沿x 方向位移为0，该方向上根据匀变速运动的对称性有
粒子第1 次回到磁场中，设匀速圆周运动的半径为R1，有
根据几何关系，有
根据牛顿第二定律，有
联立解得
4．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘
水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R 的定值电阻；整个装
置处于两种磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分
界线。质量均为m 的两根金属棒MN、PQ 静止于导轨上，两金属棒接入电路的电阻均
为R，与导轨间的动摩擦因数均为
（设金属棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力），
两棒始终与导轨垂直且接触良好。某时刻，用水平向左的恒力F 拉MN 棒，使其由静
止开始运动，直到PQ 刚好要滑动的过程中，通过金属棒PQ 的电荷量为q，重力加速
度为g，试求：
（1）PQ 刚好要滑动时，金属棒MN 的速度大小；
（2）上述过程中金属棒MN 在导轨上运动的距离；
（3）上述过程中金属棒MN 产生的焦耳热为多少？
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）PQ 刚好要滑动时PQ 两端的电压为
PQ 的电流大小为
对PQ 受力分析有
解得
（2）由题意可知通过金属棒MN 的电量为2q
解得
（3）对金属棒MN 由动能定理可得
解得
所以金属棒MN 产生的焦耳热为
5．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在矩形区域
内有方向沿
的匀
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
强电场（未画出），
，沿
边建立y 轴，
边的中垂线建立x 轴，
一质量为m、电荷量为
的粒子从O 点以速率v 射入矩形区域，速度方向与x 轴
的夹角为
，且
。当
时，粒子恰好从C 点离开矩形区域。不
考虑粒子的重力。
（1）求A、C 两点间的电势差
；
（2）若
，要使粒子从
边射出矩形区域，求
的范围。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）匀强电场的电场强度大小
粒子在电场中的加速度
当
时，粒子做类平抛运动，沿x 轴方向
沿y 轴方向
解得
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）将粒子速度分解
若粒子恰好从D 点射出，有
联立得
解得
（或
。
舍去）
若粒子恰好从C 点射出，有
联立得
解得
（或
。
舍去）
故
6．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，两根平行且足够长的金属导轨倾斜固定在水平
地面上，导轨平面与水平地面的夹角θ=37°，间距为d=2m，且电阻不计。导轨的上端
接有阻值为R=6Ω 的定值电阻和理想电压表。空间中有垂直于导轨平面斜向上的、大
小为B=1T 的匀强磁场。质量为m=0.1kg、接入电路有效电阻r=4Ω 的导体棒垂直导轨
放置，无初速释放，导体棒与导轨间动摩擦因数μ=0.25，导体棒沿导轨下滑一段距离
后做匀速运动，取g=10m/s2，sin37°=0.6，求：
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）导体棒匀速下滑的速度大小和导体棒匀速运动时电压表的示数；
（2）导体棒下滑l=0.4m 过程中通过电阻R 的电荷量。
【答案】（1）1m/s，1.2V；（2）0.08C
【详解】（1）设导体棒匀速运动时速度为v，通过导体棒电流为I，由平衡条件有
导体棒切割磁感线产生的电动势为
由闭合电路欧姆定律得
联立解得
由欧姆定律得
联立解得
（2）由电流定义式得
由法拉第电磁感应定律得
，
由欧姆定律得
联立解得
7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
O，半径为
，内壁光滑，A、B 两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间
存在方向水平向右的场强为E 的匀强电场，一质量
、带负电荷的小球在轨道
内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经过C 点时速度最大，O、C 连线与竖直方向
的夹角
，重力加速度为g（g 取
）。
（1）求小球所受的电场力大小；
（2）求小球在A 点的速度
为多大时，小球经过D 点时对圆轨道的压力最小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球在C 点时速度最大，则电场力与重力的合力沿DC 方向，所以小球
受到的电场力的大小
（2）要使小球经过D 点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D 点时的速度最
小，即在D 点小球对圆轨道的压力恰好为零，有
解得
在小球从圆轨道上的D 点运动到A 点的过程中，根据动能定理有
解得
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示，ACD 是固定在水平面上的半径为2r、圆心为
O 的金属半圆弧导轨，EF 是半径为r、圆心也为O 的半圆弧，在半圆弧EF 与导轨
ACD 之间的半圆环区域内存在垂直导轨平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，B
随时间t 变化的图像如图乙所示。OA 间接有电阻P，金属杆OM 可绕O 点转动，M 端
与轨道接触良好，金属杆OM 与电阻P 的阻值均为R，其余电阻不计。
（1）0~t0时间内，OM 杆固定在与OA 夹角为
的位置不动，求这段时间内通过电
阻P 的感应电流大小和方向；
（2）t0~2t0时间内，OM 杆在外力作用下以恒定的角速度逆时针转动，2t0时转过角度
到OC 位置，求在这段时间内通过电阻P 的电荷量q；
（3）2t0~3t0时间内，OM 杆仍在外力作用下以恒定的角速度逆时针转动，3t0时转到
OD 位置，若2t0时匀强磁场开始变化，使得2t0~3t0时间内回路中始终无感应电流，求
B 随时间t 变化的关系式，并在图乙中补画出这段时间内的大致图像。
【答案】（1）
，感应电流方向为A 到O；（2）
；（3）
，
【详解】（1）0~t0时间内，由图乙可得
根据法拉第电磁感应定律有
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
根据楞次定律可得，通过电阻P 的感应电流方向为A→O；
（2）t0~2t0时间内，OM 转动的角度为
，所以
所以
（3）2t0~3t0时间内，回路中无感应电流，磁通量不变，即
解得
在该时间段内B 随时间t 图像如图所示
9．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，一质量为
，电荷量为
的小球，以初速度
沿两块正对带电平行金属板左侧某位置水平向右射入两极板之间，离开时恰好由A
点沿圆弧切线进入竖直光滑固定轨道ABC 中。A 点为圆弧轨道与极板端点DD' 连线的
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
交点，CB 为圆弧的竖直直径并与DD'平行，竖直线DD'的右边界空间存在竖直向下，
且大小可调节的匀强电场
。已知极板长为，极板间距为
，圆弧的半径为
，
∠AOB=53°，重力加速为
，sin53°=0.8，cos53°=0.6.不计空气阻力，板间电场为匀强
电场，小球可视为质点。
（1）求两极板间的电场强调
大小；
（2）当电场强度
时，求小球沿圆弧轨道运动过程中的最大动量；
（3）若要使小球始终沿圆弧轨道运动且恰好能够通过最高点C，求电场强度
的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在A 点，离开电场的竖直分速度为
带电小球在平行板中运动的时间为
又
，
联立解得
（2）在A 点速度为
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
从A 到B，由动能定理得
又
，
联立解得最大动量为
（3）从A 到C，由能量守恒得
在C 点，由牛顿第二定律得
联立解得
10．（2023·湖北·模拟预测）现代科学研究中常要用到高速电子，电子感应加速器就是
利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图甲所示，上、下为电磁体的两个
磁极，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室中做圆周运动。电磁体线圈中电流
的大小、方向可以变化，产生的感生电场使电子加速。已知环形真空室的内径为r，其
内有匀强磁场
，方向如乙图所示。电子轨道所处的环形区域内有匀强磁场
，可使
质量为m，电荷量为e 的电子在环形区域内做半径为R 的圆周运动，圆心为磁场区域
的圆心。现令
和
均随时间均匀地变化：
，
（
、
均大
于0），已知均匀变化的磁场所在的区域会产生感生电场且距离磁场中心相等的距离
上，感生电场的电场强度的大小相等。
（1）求
时刻电子轨道内部的磁通量；
（2）结合电动势的定义：回路中的电动势等于将单位正电荷沿回路移动一周的过程中
非静电力所做的功，求电子所在轨道处感生电场的电场强度的大小；
（3）为了使电子始终保持在同一圆周上运动，确定
与
之间的关系。
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）如图所示
时刻，由磁通量计算公式
其中
解得
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由法拉第电磁感应定律计算感生电动势
由电动势等于沿回路移动单位正电荷一周的过程中非静电力所做的功计算感生电动势
联立可得
（3）电子在同一轨道运动时，洛伦兹力提供向心力
解得
则
电子沿固定轨道运动时，电场力提供电子沿切线方向的合外力，即
变形得
解得
11．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，直角坐标平面xOy，x 轴水平，y 轴竖直，在
第一象限内的某圆形区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场B，第二象限内存在平
行于坐标平面的匀强电场E（大小、方向均未知）。一带正电粒子由x 轴上点P（-l，
0）以初速度v0竖直向上进入电场，当其经过y 轴上的A 点时速度水平，且A 点到O 点
的距离为
，再经过一段时间粒子由x 轴上点Q（l，0）飞出磁场，此时粒子速度方
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
向与x 轴负方向的夹角为60°。已知粒子的比荷为
，不计粒子的重力及一切阻力。求：
（1）粒子到达A 点时的速度大小；
（2）磁场的磁感应强度B；
（3）粒子由P 点到达Q 点的时间。
【答案】（1）
；（2）
，方向垂直于坐标平面向外；（3）
【详解】（1）粒子从P 点到A 点水平和竖直方向均为匀变速直线运动，水平方向
竖直方向
解得
（2）由题意知粒子在第一象限中的磁场中做匀速圆周运动，如图
由几何关系
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
洛伦兹力提供向心力
联立解得
，方向垂直于坐标平面向外
（3）粒子由P 点至A 点时间记为
，从A 匀速到进入磁场时间记为
，在磁场中匀速
圆周运动时间记为
，有
小球由A 运动到磁场中满足
解得
小球在磁场中运动时间
小球从P 到Q 运动总时间
12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）整个空间中存在匀强电场，虚线右方
区域同时存在着宽度为L、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。
在P 点将质量为m、电荷量为+q 的小球以初速度
竖直向上抛出，小球运动中经过A
点和C 点，在A 点速度大小为
、方向水平向右。P、C 两点在同一水平线上，小球
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
从C 点进入虚线右侧区域。不计空气阻力，已知
，重力加速度为g，
，
。求：
（1）从P 到C 的过程中小球动能的最小值；
（2）电场强度E 的方向与重力方向的夹角
；
（3）小球从P 到C 过程中，当电势能最高时，小球的速度；
（4）已知小球离开磁场区域时，速度方向水平向右，求小球从P 点出发到离开磁场区
域的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向与水平向右成
指向右上方；（4）
【详解】（1）设小球合力方向与竖直方向夹角为
，则速度变化量的方向与合力方向
相同，有
得
对小球，从
到
的过程中，将小球运动分解为垂直于合力方向速率为
的匀速直线
运动和沿合力反方向的匀减速直线运动，当沿合力反方向速度减为零时，小球动能最
小。有
，
解得
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）在小球重力、电场力和合力组成的力学三角形中
（或者为：
）
代入数据解得
得
（3）建立以沿电场方向为
轴，垂直于电场方向为
轴的直角坐标系
，，
，
，
用时
沿电场反方向速度减为零，此时小球电势能最高
，
解得
方向与水平向右成
指向右上方
（4）对小球，从P 点到离开磁场区域，由竖直方向动量定理
，
解得
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，不计电阻的光滑平行金属轨道水平放置，轨道
间距
，轨道所在空间存在垂直纸面向下，大小为1T 的匀强磁场。ab 两杆质量
均为
，长度均为1m，电阻均为
，相距
静止在轨道适当位置上。轨道右
侧边缘为
，距
水平距离为1m，竖直距离为
处有一方光滑管道竖直放置，
截面cdef 中
，
。现给a 杆一个初始速度
，ab 杆共速后，b 先
脱离轨道，恰好从管道左边沿进入管道，随后a 杆也进入管道。两杆在管道内与管壁
碰撞后速度大小不变，竖直分量方向不变，水平分量反向，且两杆始终水平，已知b
杆恰好与管壁碰撞4 次，且最后一次碰撞发生在管壁边沿。
，求
（1）求整个过程中安培力对b 杆所做的功；
（2）b 杆第4 次碰撞前瞬间速度方向与水平方向夹角的正切值；
（3）a 杆刚运动到管道上边沿时，b 在管道中距离上端管口的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）a 杆以初始速度
开始运动到ab 两杆在水平轨道上共速的过程中，a，b
两杆组成的系统所受合外力为零，由动量守恒定律知
得共速时的速度大小为
对b 杆，由动能定理知
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
b 杆从离开轨道到进入管道前
解得
与管壁碰撞过程中水平速度大小不变，每次碰撞时间间隔为
，故从开始离开轨道
到第4 次碰撞用时
故b 杆第4 次碰撞前瞬间速度方向与水平方向夹角的正切值
（3）设ab 两杆从开始运动到共速的过程中运动的位移分别为
、
对b 杆，由动量定理知
其中
，由于
对上式两边积分可解得
而两杆开始时的距离为
，故ab 两杆在水平轨道上共速时的距离
a 杆运动到管道上边沿时运动了
则b 杆离开轨道右端后也运动了
，由平抛运动规律知，b 杆在竖直方向的位移为
此时距上端管口距离
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
14．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）某学习小组设计了一个装置测量磁感
应强度B。如图甲所示，比荷为
，带正电的粒子以水平速度
从平行间距为
、长度为
金属板MN 间中线
连
续射入电场中，MN 板间接有如图乙所示的随时间t 变化的电压
，电压变化周期
，两板间电场均匀分布，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的
待测匀强磁场和足够大、可向右平移的荧光屏，粒子重力忽略不计。
（1）求当荧光屏紧邻金属板右侧时，荧光屏上发光的长度；
（2）现将荧光屏从紧邻金属板右侧向右缓慢平移，发现当荧光屏向右移动
时，荧光屏上发光的长度刚好减为零，求磁感应强度B 的大小；
（3）在（2）的条件下，在将荧光屏从紧邻金属板右侧向右缓慢平移，求此过程中荧
光屏上发光长度的最大值（结果保留2 位有效数字）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）因带电粒子通过电场的时间
则带电粒子通过电场过程中，可认为电场恒定不变，
时刻射入电场的带电粒子不
发生偏转，刚好打在荧光屏的中点。设两板间电压为
时，带电粒子能从N 板右边缘
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
飞出，则
解得
在电压低于或等于200V 时，带电粒子才能从两板间射出电场，所以当荧光屏紧邻金属
板右侧时，荧光屏上发光的长度
（2）设磁感应强度大小为B，
时刻进入电场中的粒子，进入磁场中时的圆轨迹半
径最小，根据牛顿第二定律得
解得
从N 板右边缘射出的粒子，进入磁场中时的圆轨迹半径最大，在电压低于或等于200V
时，带电粒子才能从两板间射出电场，则有
时，带电粒子射出电场的速度最
大，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
同理可得轨迹的最大半径为
当荧光屏向右移动
时，即图中位置2 时荧光屏上发光的长度刚好减
为零，所以有
联立解得
（3）由（2）可得
，
，从图中可以看出当荧光屏移到图中位置1
时荧光屏上发光的长度最长。根据几何知识可知最长长度为
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图所示，在以水平向右为x 轴正方向、竖直向
上为y 轴正方向的直角坐标系中，有Ⅰ、Ⅱ两个区域，Ⅰ区内有与x 轴正方向夹角为
37°的匀强电场，Ⅱ区内有方向垂直纸面向里的匀强磁场。将一质量为m、电荷量为＋
q 的小球从原点O 以初速度
竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图中曲线Oabc 所示，
小球经过a 点时的速度沿x 轴正方向，Oa 连线与x 轴正方向的夹角为53°，b 点是磁场
左边界与x 轴的交点。不计空气阻力，重力加速度大小为g，磁感应强度大小为
，
，
，求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球从O 运动到c 过程中的最小速度；
（3）小球从O 运动到c 过程中的最大速度。
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从
点运动到
点，用时为
，沿
、
方向加速度分量分别为
、
，有
，
又
设场强为
，根据牛顿第二定律可得
，
联立解得
（2）设小球受到重力和电场力的合力
与
轴负方向的夹角为
，有
小球在运动过程中的速度方向与合力
的方向垂直时，速度有最小值
，则
联立解得
最小速度方向与
轴正方向的夹角为
。
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）设小球从
经过时间
运动到
，在
点时水平分速度、竖直分速度分别为
，
，根据对称性可知
根据匀变速运动规律，有
解得
设小球从
点运动到最低点，下落高度为
。当小球运动到最低点时，速度方向水平
向右，速度有最大值
。在水平方向，根据动量定理，有
根据动能定理，有
根据已知条件
，联立解得
或
（舍去）
16．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考三模）如图甲所示，三维坐标系中存在平行
轴方向周期性变化的磁场
和沿
轴正方向竖直向下的匀强电场
。电场强度为
，磁场
随时间变化如图乙所示，其中
，规定轴正向
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
为磁场正方向。在
时刻，一个质量为
，电荷量为
的带负电
液滴从
点在
平面内以
的速度沿与
轴正向成
角斜向下入射，已知
重力加速度为
，求：
（1）液滴从
点出发后到第一次回到
轴过程所用时间
（2）
时刻，液滴在三维坐标系中的坐标；
（3）若在
时刻撤去电场
和磁场
，同时在整个空间区域加上竖直向上（与
轴正方向平行）的匀强磁场，磁感强度
，求液滴能继续上升的最大
高度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）液滴进入电磁场后，由于
故液滴仅在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动当磁感应强度大小为
时，有
解得
根据周期公式有
由几何关系可知，液滴从
点出发后到第一次回到
轴过程所用时间
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）轨迹示意图如下
时刻，液滴刚好运动了半个周期，由几何关系可知
在
时刻，液滴在三维坐标系中的坐标为
（3）
时间内，液滴一直在
平面内运动同理可得，磁感应强度为
时，有
解得
在
时刻，液滴运动到与速度与
方向夹角为
。此时澈去电场
和磁场
，
同时在整个空间区域加上竖直向上（与
轴正方向平行）的匀强磁场，液滴将螺旋上
升。
方向上，液滴做匀速圆周运动。
方向上，液滴以
的速度沿
轴正向做竖直上抛运动。因此液滴能继续上
升的最大高度
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图所示，两光滑平行金属导轨MN、
PQ 间距为L，与水平面成
，MP 间接有阻值为R 的电阻．完全相同的两金属棒
ab、cd 垂直导轨放置，与导轨接触良好．两棒质量均为m，电阻均为R。整个装置处
于磁感应强度为B 的匀强磁场中，方向垂直斜面向上，导轨电阻不计。开始时让ab、
cd 静止于卡槽EF 处，现用轻质绝缘细线一端连接ab，另一端绕过光滑定滑轮与重物
W 相连，用手托着重物W 使细绳伸直且恰好无张力。放手后，重物W 下降的高度为x
时，ab 棒的速度达到最大，此时cd 棒对卡槽EF 恰好无压力。已知重力加速度为g。
在ab 棒从开始运动到达到最大速度的过程中，求：
（1）重物W 的质量M；
（2）ab 棒的最大速度v；
（3）ab 棒运动的时间t。
【答案】（1）1.5m；（2）
；（3）
【详解】（1）达到最大速度后，三者均处于平衡态，根据平衡条件
对重物W 有
Mg＝T①
对棒ab 有
②
对棒cd 有
③
联立①②③解得
M＝1.5m
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据法拉第电磁感应定律
E＝BLv④
根据闭合电路欧姆定律
⑤
⑥
联立解得
（3）整个过程，对W 由动量定理得
⑦
对ab 由动量定理得
⑧
而
⑨
联立⑦⑧⑨解得
18．（2023 春·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，足够长、电阻不计的平行光滑
金属导轨
、
相距为
，导轨平面与水平面间的夹角为
。导轨上端与阻值为
的电阻和电容为
的电容器相接，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为
，方向
垂直于导轨平面向上，一质量为
、电阻为
、长度为
的金属棒
垂直于
、
放置在导轨上，金属棒
始终与导轨接触良好.现将开关
闭合，金属棒由静止开
始运动.已知重力加速度为
。
（1）求金属棒沿导轨匀速滑行时的速度大小
；
（2）金属棒沿导轨匀速运动后，将开关
断开并开始计时，求此后金属棒的速度大小
随时间变化的关系。
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属棒沿导轨匀速滑行时，设电流为
,根据平衡条件可得
又
联立解得
（2）设时间
内金属棒增大的感应电动势
电容器增加的电压
根据
求得电路中电流
对金属棒根据牛顿第二定律
解得
金属棒做匀加速直线运动，速度大小随时间变化的关系
19．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）在“质子疗法”中，质子先被加速到具
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，杀死细胞。如图所示，质量为m、电荷量为q
的质子从极板A 处由静止加速，通过极板
中间的小孔后进入速度选择器，并沿直线
运动。速度选择器中的匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
，极板
间的电场强度大小为
。坐标系
中
区域充满沿y 轴负方向的
匀强电场Ⅰ，
区域充满垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，OP 与x 轴夹角
。匀
强磁场Ⅱ的磁感应强度大小
，且
。质子从（0，d）点进入电场Ⅰ，并
垂直OP 进入磁场Ⅱ。取质子比荷为
，
。求：
（l）极板
间的加速电压U；
（2）匀强电场Ⅰ的电场强度
；
（3）质子能到达x 轴上的区间的长度L（结果用根号表示）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）质子进入速度选择器中的速度为
，由力的平衡得
由动能定理有
联立得
，
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）质子在电场中运动到达
上的
点时间为，竖直方向速度为
，水平位移为
，
竖直位移为
，加速度为
。由运动学公式有
，
，
由几何关系有
，
由牛顿第二定律有
联立可得
，
，
（3）质子进入磁场的速度为，则
质子在磁场中运动半径为
，由牛顿第二定律有
有
由几何关系有
，
当
，质子恰好从N 点飞出，当
，质子恰好与
轴相切。故质子能
到达
轴上的区间长度
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
20．（2023·湖北·校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限内
有竖直方向的匀强电场
（方向未标出）与垂直纸面的匀强磁场
（未标出）；第二
象限内有水平向右的匀强电场
与垂直纸面向里的匀强磁场
；现有质量为m、电荷
量为
、可视为质点的带电小球从x 轴上P 点以初速度
射入复合场中，P 点坐标为
，初速度
与x 轴正向夹角
，小球恰好做匀速直线运动经过y 轴上S 点进
入第一象限，在第一、四象限做匀速圆周运动经Q 点进入第三象限。已知小球做圆周
运动的圆心
在x 轴上，重力加速度为
，
，求：
（1）电场强度
与磁感应强度
的大小；
（2）电场强度
与磁感应强度
；
（3）小球从P 点到Q 点的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
，方向竖直向上，
，方向垂直
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
纸面向外；（3）
【详解】（1）带正电荷的小球在第二象限做匀速直线运动，其受力如图所示
根据受力平衡有
联立解得
（2）带正电荷的小球在第一、四象限做匀速圆周运动，故有
解得
，方向竖直向上
由题意知，小球做匀速圆周运动的圆心
在x 轴上，设小球做圆周运动的半径为R，
由几何关系可知
联立可得
由牛顿第二定律有
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
，方向垂直纸面向外
（3）小球在第二象限的运动时间
设做圆周运动的时间为
，则
联立解得
21．（2023·湖北·统考三模）如图所示，两平行足够长且电阻可忽略的光滑金属导轨安
装在倾角为
光滑绝缘斜面上，导轨间距
，磁感应强度
的有界
匀强磁场宽度为
，磁场方向与导轨平面垂直；长度为2d 的绝缘杆将导体棒和
边长为d 的正方形单匝线框连接在一起组成如图所示装置，其总质量
，导体棒
中通以大小为
的恒定电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的总电
阻为
，其下边与磁场区域边界平行。现将线框下边置于距磁场上边界x 处由
静止释放，线框恰好可匀速穿过磁场区域，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直，
重力加速度取
。求：
（1）装置释放时线框下边与磁场上边界的距离x；
（2）若线框下边与磁场区域上边界重合时将线框由静止释放，导体棒恰好运动到磁场
区域下边界处返回，求装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
（3）在（2）情景中求线框第一次穿越磁场区域所需的时间t。
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）0.44s
【详解】（1）对装置，当线框在磁场中匀速时
可得
对装置在进入磁场前过程中，可知
可得
（2）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力
做功为W，知
且
解得
（3）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，对装置在接着向下运动2d 过程中
可得
对装置在磁场中运动时
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
在时间
内，有
则
有
而
解得
22．（2023·湖北·统考模拟预测）如图甲所示，水平直线MN 下方有竖直向上的匀强电
场，电场强度
，MN 上方有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
。现将一重力不计、比荷
的正电荷从电场中距离MN 为0.4m 的P
点由静止释放，在P 点右方
处有一垂直于MN 的足够大的挡板。
（1）求该电荷到达直线MN 时的速度大小；
（2）求电荷从P 点出发至打到挡板所需的时间；
（3）如果从电荷第一次通过MN 时开始计时，直线MN 上方磁场的磁感应强度按图乙
规律变化（垂直纸面向外为正方向），求电荷打到挡板所需的时间
和打到挡板的位
置。
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，距离MN 的垂直距离
为
【详解】（1）设该电荷到达直线MN 时的速度为
，根据动能定理有
，
解得
（2）设正电荷在电场中的加速度为
，正电荷从P 点到达直线MN 时经过的时间为
，
有
，
解得
正电荷在磁场中运动有
，
即
，
当磁感应强度
时，对应的轨迹半径和周期为
，
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由题意P 点到挡板的水平距离为
，即
可知电荷射入磁场后在电场和磁场中来回穿越，最后水平打到挡板上，运动轨迹如图
丙所示，故电荷从P 点出发至打到挡板所需的时间为
（3）当磁感应强度
时，对应的轨迹半径和周期为
，
结合图乙可知在每个磁场的变化周期内，电荷均在某一磁场方向上运动
周期，并逐
渐向挡板靠近，轨迹如图丁所示，因为有
可知最后电荷以轨迹半径
水平打到挡板上，所以电荷打到挡板所需的时间为
打到挡板时的位置距离MN 的垂直距离为
23．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内，
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
以O1（2a，0）为圆心，a 为半径的半圆内不存在磁场，除此之外第一象限的其它区域
都存在与纸面垂直、磁感应强度为B 的匀强磁场，从原点以不同速率同时沿y 轴正方
向发出比荷为k 的带正电粒子，这些粒子仅在洛伦兹力的作用下向右偏转，其中速率
为v（未知）的粒子最早离开磁场区域。
（1）说明磁场的方向并求带电粒子在磁场中运动的最短时间；
（2）求粒子的速度v 大小；
（3）求从x 轴上MO1之间的任一点C 垂直x 轴沿y 轴正方向以速度v 射入第一象限的
比荷为k 的带正电粒子离开磁场的位置的x 轴坐标范围（请写出必要的证明过程）。
【答案】（1）
；（2）kBa；（3）3a
【详解】（1）根据带电粒子的入射方向和偏转方向，应用左手定则，可知匀强磁场垂
直纸面向外；带电粒子在磁场中运动的时间最短，则对应的圆心角最小，过原点O 做
圆弧切线，如图所示
设带电粒子在磁场中圆周运动的圆心角为α，由几何关系可得
带电粒子在磁场中的周期为
粒子在磁场中运动的最短时间为
（2）因带电粒子恰好以最短时间通过磁场，由几何关系可得粒子做圆周运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力可得
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
代入数据，其速度大小为
（3）设带电粒子从MO1上任一点C 垂直x 轴沿y 轴正方向以速度v 射入第一象限，经
过虚线圆上的D 点进入磁场，过D 做速度的垂线DE，由于
任意四边形O1DEN 为菱形，所以从x 轴上MO1之间的任一点C 垂直x 轴沿y 轴正方向
射入第一象限的比荷为k 的带正电粒子都能通过N 点，离开磁场的位置
24．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考三模）某质谱仪部分结构的原理图如图所
示。在空间直角坐标系Oxyz 的y>0 区域有沿-z 方向的匀强电场，电场强度大小为E，
在y<0 区域有沿-z 方向的匀强磁场，在x=-2d 处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量
为m、电荷量为+q 的粒子从y 轴上P（0，-d，0）以初速度v0沿+y 方向射出，粒子经
过x 轴时速度方向与-x 方向的夹角θ=60°角．不计粒子的重力。
（1）求磁感应强度大小B；
（2）求粒子打到屏上位置的z 轴坐标z1；
（3）若在y<0 区域同时也存在沿-z 方向的场强大小为E 的匀强电场，求粒子打到屏上
时的速度大小v。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图
设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）设粒子经过x 轴时的坐标为-x1，则
粒子在y>0 区域电场中做类平抛运动，在xoy 平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒
子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，则
粒子运动的加速度
在z 轴负方向运动的距离
解得
，
所以打到屏上位置的z 轴坐标
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）设粒子在y<0 区域运动的时间为t2，研究在磁场中的分运动，有
在y>0 区域运动的时间仍为t1，设粒子打到屏上时z 轴坐标为z2，则
根据动能定理有
解得
25．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）新型电动汽车在刹车时，可以用发电机来回
收能量。假设此发电机原理可抽象为如图所示，两磁极之间的磁场可近似为均匀磁场，
磁感应强度大小为B。 绕有n 匝导线的线圈为长方形，长、宽分别为a 和b，整个线
圈都处于磁场中。线圈转轴为两条短边的三分点连线（如图所示），线圈外接有阻值
为R 的纯电阻负载。忽略线圈电阻，假设电动汽车刹车时受到的地面摩擦力等阻力与
发电机线圈转动导致的阻力相比可以忽略，即刹车时失去的动能全部用来发电，电动
汽车质量为M。
（1）初始时刻线圈平面与磁场垂直，若线圈转动角速度恒为ω，求电路开路时线圈两
端电压随时间的变化；
（2）线圈和电阻回路闭合后，电动汽车在水平面上以某初始速度开始刹车。假设在另
一种刹车模式下，刹车开始时线圈平面刚好与磁场垂直，且发电机线圈转动第一圈时
角速度为
，之后每转动一圈角速度的值为前一圈角速度的一半。若在发电机转完第
N 圈，且未转完第
圈时，电动汽车刹停。求电动汽车初速度的范围。
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设从初始时经过t 时间，线圈转过的夹角为θ，则有
线圈总切割磁力线的面积为
设此时电动势为U，则由电动机瞬时电动势公式得
联立得线圈两端电压随时间变化为
（2）设线圈转动第i 圈的总耗能为
，由正余弦交变电流的做功公式得
设初始时运动速度为
，由能量守恒公式得
考虑到等比数列求和公式
联立得
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
26．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示，由粗细均匀的金属丝绕制而成的单匝矩形线
圈abcd 固定在绝缘滑块上，线圈和滑块的总质量为
，水平面粗糙，线圈ab 边
长度为
，线圈ad 边长度为
，金属丝单位长度的电阻为
。滑
块的右侧有一以EH、EG 为界的匀强磁场，磁场足够大。滑块在外力F 的作用下以速
度
水平向右做匀速直线运动。从某时刻开始计时，得到F 随时间t 变化的图
像如图乙所示。已知ab 边到磁场下边界EH 的距离
，取
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）线圈进入磁场过程中通过线圈的电荷量的值；
（3）从开始计时到线圈ad 边刚好进入磁场过程中外力F 做的总功。
【答案】（1）
；（2）
；（3）17J
【详解】（1）如题图乙所示，设
，
，滑块与水平面间的动摩擦因数为
，在线圈进磁场之前，滑块做匀速运动，由平衡条件可知
解得
设匀强磁场的磁感应强度为
，在线圈刚进入磁场时，切割磁场线产生的感应电动势
为
回路中的感应电流方向为cbad，大小为
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
线圈水平方向所受安培力方向为水平向左，大小为
线圈竖直方向所受安培力方向为竖直向下，大小为
因滑块是匀速运动的，由平衡条件可知
刚进入磁场时，竖直方向安培力等于零，解得
（2）线圈进入磁场过程中的感应电流为
线圈进入磁场过程中通过线圈的电荷量
（3）在
时间内，外力F 做的功为
线圈进入磁场过程中，线圈中的电流大小不变，设线圈进入磁场长度为，则有
可知外力
随线圈进入磁场的长度呈线性变化，当线圈ad 边刚好进入磁场时，有
则线圈进入磁场过程，外力F 做的功为
从开始计时到线圈ad 边刚好进入磁场过程中外力F 做的总功为
27．（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平
面的夹角θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
导轨上的a、b 两根导体棒质量分别为ma＝0.3kg、mb＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现
将a、b 棒由静止释放，同时用大小为2N 的恒力F 沿平行导轨方向向上拉a 棒。导轨
光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度g
＝10m/s2.已知当a 棒中产生的焦耳热Qa＝0.12J 时，其速度va＝1.0m/s，求：
（1）此时b 棒的速度大小；
（2）此时b 棒的加速度大小；
（3）a 棒从静止释放到速度达到1.0m/s 所用的时间。
【答案】（1）3m/s；（2）
；（3）0.768s
【详解】（1）设a、b 棒受到的安培力大小为F 安，则对a、b 棒由牛顿第二定律分别，
有
联立可得
所以有
可解得
（2）设此电路产生的感应电动势为E，电流为I，则有
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立解得
（3）设此过程a、b 棒位移分别为
、
，由（1）的分析可得
根据能量守恒有
对a 棒根据动量定理有
其中安培力的冲量
可得
联立代入数据可解得
28．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）在如图所示的直角坐标系xOy 中，
在
空间存在沿y 轴负方向的匀强电场，在
的空间内同时存在垂直xOy 平面向
里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。一电荷量为+
、质量为m 的粒子从y
轴的A 点以初速度
进入电场，方向与y 轴正方向成
角，之后粒子从x 轴上的C
点沿x 轴正方向进入电场和磁场叠加区域，之后运动轨迹在x 轴上方。已知C、O 两点
间的距离为L，粒子所受重力忽略不计，求：
（1）A、O 两点间的距离和电场强度E 的大小；
（2）粒子在
的空间运动过程中，离x 轴最远的距离
；
（3）粒子在
的空间运动的最小速度。
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【详解】（1）设A、O 两点间的距离为y，粒子在电场中运动时，逆向看作类平抛运
动，有
解得
由牛顿第二定律有
联立解得
（2）粒子进入电磁复合场做摆轮线运动，用运动分解法求解该问题。将速度分解，
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设某一分速度v 使粒子受到的洛伦兹力与电场力平衡，即
由左手定则知速度v 方向水平向右，则
所以带电粒子的运动可以分解为速度为v 的匀速直线运动与速度为
的逆时针方向的
匀速圆周运动的合运动，轨迹如图所示
粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
M 点为粒子距x 轴的最远点，它到x 轴的距离为
联立解得
（3）当粒子运动到离x 轴最远处时，速度v 与v'方向相反，其合速度最小，有
联立解得
或
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
29．（2023·湖北·高三专题练习）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于
xOy 平面向里的匀强磁场。t = 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向
射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的
速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两
个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正
碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力
的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子
乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒
子甲的半径
r = a
根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
T 甲 = 2T 乙
根据
，有
则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
解得
v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有
v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第
二次碰撞过程中乙粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv 甲1＋m 乙v 乙1= mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得
v 甲2= v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第
55
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
三次碰撞过程中乙粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S2= 10πa
且在第三次碰撞时有
mv 甲2＋m 乙v 乙2= mv 甲3＋m 乙v 乙3
解得
v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次
碰撞过程中乙粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S8= 10πa
且在第九次碰撞时有
mv 甲8＋m 乙v 乙8= mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得
v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为
r 甲1 = 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标
原点，且此过程中乙粒子走过的路程为
S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为
S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
30．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如图所示，在第二象限内有一抛物线的
边界
，其方程为
，在抛物线的上方存在一竖直向下的匀强电场．
56
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在抛物线
每个位置上连续发射质量为m，电荷量为
的粒子，粒子均以大小为
的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O，第四象限内有一边长为l，其
中两条边分别与x 轴，y 轴重合的正方形边界，边界内存在垂直于纸面向外，磁感应强
度大小为
的匀强磁场，
为与x 轴平行的可上下移动的荧光屏，初始位置与磁
场的下边界重合，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，粒子打到荧光屏上即被吸收。
（1）求电场强度的大小E；
（2）求从
处进入的粒子在磁场中运动的时间；
（3）若将荧光屏缓慢向上移动，求在向上移动的过程中屏上的最大发光长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在电场中，根据牛顿第二定律有
粒子在电场中做类平抛运动，则在水平方向有
竖直方向有
其中
解得
57
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）设粒子进入磁场的速度为v，与y 轴的夹角为
，根据牛顿第二定律有
根据几何关系可知粒子从y 轴离开磁场时与O 点的距离为
又
解得
即到达O 点的粒子经过磁场偏转后都从
点离开磁场，则有
则粒子在磁场中运动的时间为
（3）因为从O 点发射进入磁场的粒子速度最小，为
，运动半径为
从
处发射的粒子进入磁场的速度最大，其在沿y 轴方向的速度大小为
则
将荧光屏缓慢向上移动的过程中，荧光屏发光的最大长度如图所示
58
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由几何知识可知发光的最大长度为
59
