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专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图所示，水平面上两根足够长的光滑金属导轨平行
固定放置，导轨间距离为
，一端通过导线与阻值为
的电阻连接；质
量
、长也为
、电阻
的金属杆静止放置在导轨上，导轨的电
阻忽略不计；导轨所在位置有磁感应强度为
的匀强磁场，磁场的方向垂直导轨
平面向上，现在给金属杆施加一水平向右的拉力
，使金属杆从静止开始做加速度为
的匀加速直线运动。求：
（1）从静止开始运动，经时间
时拉力
的大小；
（2）上述
内拉力
的冲量
。
【答案】（1）2.5N；（2）
【详解】（1）根据题意可知，
时，导体棒的速度为
感应电动势为
感应电流为
安培力为
以金属杆为研究对象，由牛顿运动定律得
解得
（2）根据题意可知，在
内由动量定理得
1
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由安培力计算式以及冲量计算式得
由电磁感应中中通过导体截面电量关系式得
由匀变速直线运动的位移时间关系公式得
代入数据后联立解得在
内拉力
的冲量
2．（2023·辽宁阜新·统考模拟预测）如图所示，两固定平行金属导轨由光滑倾斜导轨
和粗糙水平导轨组成，倾斜导轨的倾角为
，水平虚线MN 垂直于导轨，导轨间距为
d，上端接有阻值为R 的定值电阻，倾斜导轨区域存在磁感应强度大小为
、方向垂
直导轨平面向上的匀强磁场，水平导轨区域存在方向竖直向上的匀强磁场。质量为
m、长为d、电阻为r 的金属棒从倾斜导轨上某处由静止下滑，金属棒到达MN 时速度
恰好达到最大，进入水平导轨后滑行距离x 停下。金属棒在水平导轨上运动的过程中，
通过金属棒某一横截面的电荷量为q。金属棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速
度大小为g，不计导轨电阻，不计金属棒通过MN 时的能量损失。
求：
（1）金属棒在倾斜导轨上运动时的最大速度
；
（2）水平导轨间磁场的磁感应强度大小
。
【答案】（1）
；（2）
2
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【详解】（1）金属棒在倾斜导轨上受重力、支持力和沿斜面向上的安培力，金属棒在
倾斜导轨上运动达到最大速度时，匀速运动，根据平衡条件
其中
感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律，有
联立解得
（2）在水平导轨上产生的平均感应电动势为
通过的电荷量为
联立可得
3．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校联考三模）如图所示，在无限长的竖直边
界AC 和DE 间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC 向外的匀强磁场、上部分
区域的磁感应强度大小为
，OF 为上、下磁场的水平分界线，质量为
、带电荷量
为
的粒子从AC 边界上与O 点相距为
的P 点垂直于AC 边界射入上方磁场区域，
经OF 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 与O 点的距离为
，不考虑粒子重力。
（1）求粒子射入时的速度大小；
（2）要使粒子不从AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度
应满足的条件；
3
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（3）若下方区域的磁感应强度
，粒子最终垂直DE 边界飞出，求边界DE 与
AC 间距离的可能值。（结果用
表示）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（
，
，
）
【详解】（1）设粒子在OF 上方做圆周运动半径为
，如图所示
由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
（2）当粒子恰好不从AC 边界飞出时，设粒子在OF 下方做圆周运动的半径为
，如
图所示
4
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由几何关系得
又
联立解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
要使粒子不从AC 边界飞出，下方磁场区域的磁感应强度应满足
（3）当下方区域的磁感应强度
，粒子的运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力得
5
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所以粒子在OF 下方的运动半径为
设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P1，则P 与P1的连线
一定与OF 平行，根据几何关系知
所以若粒子最终垂直DE 边界飞出，边界DE 与AC 间的距离为
（
，
，
）
4．（2023·辽宁·校联考三模）如图所示，光滑的平行倾斜金属导轨与水平面间的夹角
为
，下端连接阻值恒为
Ω 的小灯泡。两导轨之间的一段长为
m 的矩
形区域内有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。
质量
kg、电阻
Ω 的金属棒MN 长度等于两平行导轨间距，
时刻金属
棒从两导轨上部由静止释放，在
s 时刻进入磁场区域，运动过程中始终与导轨垂
直并接触良好，已知从金属棒释放到它离开磁场区，通过小灯泡的电流不变（小灯泡
始终安全），导轨电阻不计，重力加速度取
m/s ，
。求：
（1）平行导轨的间距；
（2）若从开始释放至运动到某一时刻的过程中金属棒MN 产生的热量
J，则该
过程金属棒在磁场中运动的距离及通过金属棒的电荷量。
【答案】（1）0.6m；（2）1.5m，1C
【详解】（1）导体棒MN 在0~0.5s 内做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二
定律可得
6
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解得
m/s
导体棒MN 刚进入磁场时的速度大小为
m/s
导体棒MN 进入磁场做匀速直线运动，磁感应强度保持
T 不变，根据受力平衡可
得
又
联立解得导体棒MN 的长度为
（2）在0~0.5 s 内，回路产生的感生电动势为
V
回路中的电流为
A
导体棒进入磁场前导体棒内产生的热量
J
则导体棒产生的热量为
J 时在磁场内运动，设时间为
，则
解得
s
导体棒在磁场中运动的距离
m
导体棒下滑的距离为s 时导体棒通过的电荷量
7
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C
5．（2023·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测）如图所示，两平行金属板A、B 长
，两板间距离
，A 板比B 板电势高400V，一带正电的粒子电荷量
，质量
，沿两板中心线RO 以初速度
飞入平行金属
板，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS 间的无电场区域后，进入固定在O 点的
点电荷Q 形成的电场区域，（设界面PS 右边点电荷的电场分布不受界面的影响），已
知两界面MN、PS 相距为
，D 是中心线RO 与界面PS 的交点，粒子穿过界面
PS 后的运动过程中速率保持不变，最后打在放置于中心线上的荧光屏bc 上E 点。（E
点未画出，静电力常数
，粒子重力忽略不计）
（1）求粒子到达PS 界面时离D 点多远？
（2）确定点电荷Q 的电性并求其电荷量的大小。（结果保留三位有效数字）
（3）求出粒子从进入平行板电场到E 点运动的总时间。
【答案】（1）
；（2）负电，
；（3）
【详解】（1）粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离
水平方向有
联立代入数据得
带电粒子在进入无电场区后做匀速直线运动，其轨迹与PS 线交于a，设a 到D 的距离
8
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为Y。由相似三角形得
解得
（2）由题意可知，该带电粒子在穿过界面PS 后将绕点电荷Q 做匀速圆周运动。所以
Q 带负电。带电粒子到达a 处时，带电粒子的水平速度
竖直速度
合速度为
该带电粒子在穿过界面PS 时速度与水平夹角为
，则
由几何关系可得粒子圆周运动的半径
根据圆周运动
代入数据解得
（3）粒子在电场区运动时间
无电场区运动时间
在点电荷电场内运动时间
9
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总时间
6．（2023·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测）如图所示，两根竖直放置的平行光
滑金属导轨，上端接阻值
的定值电阻。水平虚线
、
间有与导轨平面垂直的
匀强磁场，磁场区域的高度为
。导体棒a 的质量
，电阻
；
导体棒b 的质量
，电阻
。它们分别从图中P、Q 处同时由静止开始
在导轨上向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当b 刚穿出磁场时a 正好进入磁场。
设重力加速度为
，不计a、b 之间的作用，整个过程中a、b 棒始终与金属
导轨接触良好，导轨电阻忽略不计。求：
（1）在整个过程中，a、b 两棒克服安培力做的功分别是多少；
（2）a、b 棒刚进入磁场时的速度大小分别为多少。
【答案】（1）
，
；（2）
，
【详解】（1）导体棒只有通过磁场时才受到安培力，因两棒均匀速通过磁场，由功能
关系知，克服安培力做的功与重力功相等，则有
，
（2）设b 棒在磁场中匀速运动的速度为
，此时b 棒相当于电源，a 棒与电阻R 并联，
此时整个电路的总电阻为
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b 棒中的电流为
根据平衡条件有
设a 棒在磁场中匀速运动时速度为
，此时a 棒相当于电源，b 棒与电阻R 并联，此时
整个电路的总电阻为
。
a 棒中的电流为
根据平衡条件有
解得
设b 棒在磁场中运动的时间为t，则有
因b 刚穿出磁场时a 正好进入磁场，则
解得
，
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动
在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。图1 为电子枪的结构示意图，电子从金
属丝中发射出来（设电子刚刚离开金属丝时的速度为零），经电压
加速后，从金属
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板的小孔穿出。已知电子的质量为
，电荷量为，不计电子重力及电子间的相互作
用力。
（1）求电子从金属板小孔穿出时的速度
的大小
（2）示波器中的示波管如图2 所示，两板
和
间距为
，长度均为
，极板右侧边
缘与屏相距
为两极板间的中线并与屏垂直。从小孔穿出的电子束沿
射入电
场中，若两板间不加电场，电子打在屏上的
点。为了使电子打在屏上的
点，
与
相距，则需要在两极板间加多大的电压
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）电子在电场中运动，根据动能定理有
解得电子穿出小孔时的速度为
（2）电子进入偏转电场做类平抛运动，在垂直于极板方向做匀加速直线运动。设电子
刚离开电场时垂直于极板方向偏移的距离为
，根据匀变速直线运动规律有
根据牛顿第二定有
电子在水平方向做匀速直线运动，有
联立解得
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由图可知
解得
8．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）图甲是磁悬浮实验车与轨道示意图，
图乙是固定在车底部金属框abcd（车厢与金属框绝缘）与轨道上运动磁场的示意图。
水平地面上有两根很长的平行直导轨PQ 和MN，导轨间有竖直（垂直纸面）方向等间
距的匀强磁场
和
，二者方向相反。车底部金属框的ad 边宽度与磁场间隔相等，
当匀强磁场
和
同时以恒定速度
沿导轨方向向右运动时，金属框会受到磁场力，
带动实验车沿导轨运动。设金属框垂直导轨的ab 边长
、总电阻
，
实验车与线框的总质量
，磁感应强度
，磁场运动速度
。已知悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力
，求：
（1）设
时刻，实验车的速度为零，求金属框受到的磁场力的大小和方向；
（2）求实验车的最大速率
；
（3）实验车以最大速度做匀速运动时，为维持实验车运动，外界需提供的总功率是多
少？
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【答案】（1）水平向右；4N；（2）5m/s；（3）20W
【详解】（1）当实验车速度为0 时，根据楞次定律“来拒去留”可知，金属框受到水
平向右的磁场力，两个磁场以恒定速度
沿导轨方向向右运动，相当于两根导体棒向
左切割磁感线，根据动生电动势的计算，有
回路中的电流为
金属框受到的磁场力的大小为
（2）试验车的速度最大时满足
解得实验车的最大速率
（3）线圈以最大速度行驶时，克服阻力的功率为
P1＝fvm＝10W
当实验车以最大速度vm匀速运动时金属框中感应电流
金属框中的热功率为
P2＝I2R＝10W
外界需提供的总功率是
P＝P1+P2＝20W
9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）某同学设计了如图所示的
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电磁碰撞。匝数N=500 匝、截面积S=4×10²m、总电阻r=1
的线圈内有方向垂直于线
圈平面向上的随时间均匀变化的匀强磁场B1。线圈通过电子开关s 连接两根相互平行
固定在水平面上的导轨
、
导轨间距L=1m，其左端长为L1的金属导轨区间有
竖直向下的匀强磁场B2=1.0 T，中间长为L，由绝缘物质构成的导轨将左右隔开，且区
间没有磁场分布。右侧长为L 的粗糙金属导轨之间存在竖直向上的匀强磁场B3=1.0T，
导轨右端PQ 之间连接一个R3=0.1
的电阻。一根质量m1=lkg，电阻R1=1
的金属棒
ab 放置在导轨左侧，闭合开关s 后，在安培力的作用下，从静止开始向右作加速运动，
最终以速度v0=10m/s 向右作匀速直线运动，此后金属棒ab 与质量m₂=9kg，电阻
R2=1Ω 的静止在L2区域的金属棒cd 在绝缘物质构成的导轨处发生完全非弹性碰撞，碰
后粘住一起向右运动进入右侧匀强磁场B3，区域且运动t=3s 后停止运动。金属棒与导
轨接触良好，其他电阻忽略不计，已知L1、L2、L3，长度足够，两金属棒与L3部分动
摩擦系数μ=0.02，不计其他摩擦。求：
（1）试判定磁场B，增加还是减小并求出变化率k；
（2）金属棒ab 向右运动的过程中，加速度的最大值；
（3）碰撞后，两根金属棒向右运动的过程中，通过R3的电荷量和R3上产生的焦耳热。
【答案】（1）
,磁场B1减小；（2）
；（3）
，
【详解】（1）闭合开关s 后，金属棒ab 在安培力的作用下，从静止开始向右作加速
运动，所以安培力开始瞬间向右，根据左手定则可知感应电流的方向从a 到b，根据安
培定则可知感应磁场方向向上，再据楞次定律可知，磁场B1减小，最终金属棒ab 以速
度v0=10m/s 向右作匀速直线运动，由此可得
解得
15
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（2）当金属棒ab 速度为零时，加速度最大，根据
解得
由牛顿第二定律得
解得
（3）金属棒ab 与金属棒cd 发生完全非弹性碰撞，有
得
碰后由动量定理有
解得通过R3的电荷量为
电源的内阻为
又
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根据系统能量守恒，有
因为
根据分配原则，可得
解得
10．（2023·辽宁·校联考模拟预测）细线拉着一质量为m，电荷量为q 的带正电小球在
竖直平面内做半径为R 的圆周运动，该区域内存在水平向右的匀强电场（图中未画
出），电场强度
，圆周上A 点在圆心的正上方，小球过A 点时的速度大小为
，方向水平向左，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球过A 点时对细线的作用力；
（2）小球做圆周运动过程中的最小速率；
（3）若小球过A 点时断开细线，之后的运动中小球电势能最大时速率为多少？
【答案】（1）
；方向竖直向上；（2）
；（3）
【详解】（1）在A 点
解得
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报据牛顿第三定律，小球对细线的作用力大小
方向竖直向上；
（2）如图所示
设合力与竖直方向夹角为
可知
如图，当小球到达C 点时速度最小，从A 到C 由动能定理
解得
（3）若小球过A 点时细线断开，之后小球电势能最大时水平速度减为零，则此时的时
间
竖直方向做自由落体，则此时的速率为
11．（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图所示，两根等高光滑的
圆弧轨道竖直平行放置，
圆弧轨道的底端与水平轨道相切，轨道半径为r，间距为L，轨道顶端连接有一阻值为
18
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R 的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。将一根质量为m
的金属棒从轨道的顶端ab 处由静止释放，金属棒到达轨道底端cd 时受到轨道的支持
力为2mg。整个过程中金属棒与导轨接触良好，不计导轨和金属棒电阻，重力加速度
为g。
（1）求棒到达最低点时电阻R 的电功率；
（2）若棒在拉力F 作用下，从cd 开始以速率v0沿圆弧轨道做匀速圆周运动到达ab，
求此过程中感应电流的有效值和拉力F 做的功。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）到达最低点时，设棒的速度为v，弹力与重力的合力充当向心力，则
此时产生的感应电动势为E，感应电流为I，则
解得
（2）金属棒切割磁感线产生正弦交变电流，电动势的有效值为
电流的有效值为
在四分之一周期内产生的热量为
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设拉力做的功为WF，由功能关系得
解得
12．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，水平面上固定一个顶角为74°的光滑金
属导轨MON，
，空间中存在一垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感
应强度随时间变化规律为
，规定垂直于导轨平面向里为磁场正方向，
从0 时刻起，一长为
、总电阻为
、粗细均匀的导体棒锁定于OM、ON
的中点位置。从
后磁感应强度保持不变，接下来将导体棒解除锁定，在水平外力
F 的作用下，导体棒以恒定速度
沿
的角平分线向右滑动，直至从导
轨末端MN 位置离开导轨。导轨电阻不计，求：
（1）前2s 内通过导体棒的电荷量；
（2）2s 后回路中的电流大小；
（3）从
时刻到导体棒离开导轨过程中产生的焦耳热。
【答案】（1）0.384C；（2）0.6A；（3）0.216J
【详解】（1）导体棒被锁定前，闭合回路的面积不变，有
由法拉第电磁感应定律知
由闭合电路欧姆定律知
20
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前2s 内通过导体棒的电荷量
解得
（2）2s 后磁感应强度为
负号表示磁场方向垂直导轨平面向外，导体棒的有效切割长度
L=2v0ttan37°
感应电动势
E′=BLv0
回路的总电阻
回路中的电流大小
解得
（3）安培力
随着
线性变化，则
随着
线性变化，则
又
联立解得
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图在第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，
在第二象限内存在垂直xOy 平面向外的匀强磁场。一带正电粒子从x 轴上的M 点以速
度v0沿与x 轴正方向成60 角射入第二象限；恰好垂直于y 轴从N 点进入匀强电场，从
21
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x 轴上的P 点离开匀强电场，且OP=2h，OM=
，粒子的质量为m，电量为q，不计
粒子重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）匀强电场的电场强度E 的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）带电粒子的运动轨迹如图所示，O1为圆周运动的圆心，圆的半径为r1，
洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得
（2）粒子从N 点运动到P 点，做类平抛运动，y 轴方向
x 轴方向
又
解得
22
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14．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）某种离子诊断测量简化装置如图所示。
竖直平面内存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场。a、b 两束宽度
不计带正电的离子从静止开始经匀强电场U0加速后，持续从边界EH 水平射入磁场。a
束离子在EH 的中点射入经磁场偏转后垂直于HG 向下射出。已知正方形边界的边长为
2R，两束离子间的距离为0.6R，离子的质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子
间的相互作用，U0已知。求：
（1）求磁场的磁感应强度B 的大小以及a 束离子在磁场运动的时间t；
（2）两束离子交汇点到HG 的距离是多少？
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）离子在电场中加速，由动能定理
解得
根据题意，a 束离子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
23
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根据几何关系可知，半径为
由牛顿第二定律
联立解得
根据公式可知
由图可知，运动时间为
（2）设b 束离子从边界HG 的P 点射出磁场，运动轨迹如上图，a、b 为两束宽度不计
带正电的离子，且离子的质量均为m、电荷量均为q，则b 束离子在磁场中运动的半径
为
根据几何关系有
解得
又有
解得
24
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15．（2023·辽宁营口·校联考模拟预测）如图所示，两平行固定的光滑导轨（导轨足够
长，电阻不计）倾角为
、宽度为L，下端连接一个阻值为R 的定值电阻，导轨范围内
存在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场（图中未画出）。一
质量为m、长度为L、电阻为r 的导体棒从导轨上端由静止释放，导体棒始终与导轨垂
直且接触良好，在导体棒从被释放到开始匀速下滑的过程中，通过导体棒某一横截面
的电荷量为q。重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒匀速下滑的速度大小v；
（2）在导体棒从被释放到开始匀速下滑的过程中，导体棒通过的距离x；
（3）在导体棒从被释放到开始匀速下滑的过程中，导体棒产生的焦耳热Q。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）导体棒匀速下滑时产生的感应电动势
通过回路的感应电流
根据物体的平衡条件有
解得
（2）设导体棒从被释放到刚开始匀速运动的时间为t，该过程中导体棒产生的平均感
应电动势为
25
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通过回路的平均感应电流
又由于
解得
（3）设在导体棒从被释放到开始匀速运动的过程中，回路中产生的焦耳热为
，根
据功能关系有
又由于
解得
16．（2023·辽宁辽阳·统考二模）如图所示，在竖直面内有一直角坐标系
，
轴竖
直，长度
、倾角
的绝缘斜面下端固定在O 点；
区域存在正交的匀
强磁场与匀强电场（图中未画出），磁场的磁感应强度大小
，方向垂直坐标
平面向里。一质量
、电荷量
的带正电滑块（视为质点）从斜面的顶
端A 点由静止沿斜面下滑，离开斜面后恰好做匀速圆周运动，从y 轴上的C 点（图中
未画出）离开磁场。滑块与斜面间的动摩擦因数
，取重力加速度大小
，
，
。不计空气阻力，计算结果可用π 和分式表示。
（1）求滑块通过O 点时的速度大小v 以及电场的电场强度大小E；
（2）求滑块从A 点运动到C 点的时间
以及滑块从O 点运动到C 点的路程s；
（3）若在滑块离开斜面后运动半周通过D 点（图中未画出）时，立即将电场方向沿顺
26
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时针方向转过
，电场强度增大为
且匀强电场充满全部空间，其他情况不变，求
滑块从D 点起到第二次通过y 轴所用的时间t。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）滑块的运动轨迹如图所示
设滑块在斜面上滑动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
解得
滑块在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，有
解得
因为滑块在磁场中做匀速圆周运动，所以滑块所受的重力与电场力平衡，有
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解得，电场的电场强度大小为
（2）滑块在斜面上运动的时间
解得
滑块受到的洛伦兹力提供向心力，有
解得
根据几何关系可知，滑块在磁场中运动的轨迹对应的圆心角
滑块从O 点运动到C 点的路程
解得
滑块在磁场中运动的时间
解得
又
解得
28
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（3）电场方向从竖直向上转过
后，电场方向与速度方向的夹角为
滑块受到的电场力大小变为
计算可得
因此滑块从D 点开始做匀速直线运动，设滑块第一次过y 轴上的点为P，滑块从D 点
运动到P 点的时间
解得
滑块进入第二象限后做类平抛运动，之后从Q 点第二次通过y 轴，等效重力加速度大
小
经分析可知
解得
又
解得
17．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）如图所示，光滑平行轨道
的水平部分（虚
线右侧）存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
段轨道宽度为
，
段轨道宽度为L，质量为m、长度为
的均质金属棒Q 静止在
段，将另一完全
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相同的金属棒P 从
段距水平轨道高h 处无初速释放，由于回路中除两金属棒外的电
阻极小，
段和
段轨道均足够长，一段时间后两金属棒均匀速运动，重力加速度
大小为g，求：
（1）金属棒P 在磁场中运动的最小速度
；
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q 两端的电压U。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属棒P 下滑刚进入磁场时，速度最大，设最大速度为
，之后金属
棒P 在安培力作用下做减速运动，金属棒Q 做加速运动，直到两金属棒产生的电动势
等大、反向，回路的电流为零，设金属棒Q 匀速运动时的速度大小为
，整个过程中
通过回路中某截面的电荷量为q，时间为
，平均电流为
,则有
金属棒P 由动量定理
金属棒Q 由动量定理
解得
30
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（2）两金属棒在水平轨道做变速运动时，金属棒P 的加速度大小始终等于金属棒Q 的
加速度大小的两倍。运动过程中的
图像如图所示
显然图像的交点的纵坐标为
，而两金属棒速度大小相等时距离最近，设此时金属棒
P 产生的电动势为E，金属棒Q 在电路中产生的反电动势为
，回路中的感应电流为
I，设金属棒Q 接入电路的电阻为R，则金属棒P 接入电路的电阻为
，则有
又Q 棒未介入电路的部分也有切割电动势，则
解得
18．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，与水平方向成夹角
的两平行金属导轨
BC、
，左端连接水平金属轨道
，右端用绝缘圆弧连接水平金属导轨CD、
，并在轨道上放置静止的金属导体棒b。在水平轨道末端安装绝缘的无摩擦固定
31
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转轴开关，导体棒b 经过
两点（无能量损失），进入半径
与水平面垂直
的半圆形导轨。转轴开关会顺时针转动
以挡住后面的金属棒。
两点略高于
，
可无碰撞通过。半圆形导轨与足够长的水平金属导轨HG、
平滑连接，末端连接
的电容器。已知轨道间距为
，BC、
长度
，a、b 棒质量均为
1kg，a 电阻为
，b 电阻不计，BC、
平面，CD、C'D' 平面，HG、H'G' 平
面内均有垂直于该平面的磁场B=1T，不计一切摩擦，导轨电阻不计， g=10m/s2。现
将导体棒a 自BB'静止释放，求：
（1）若导体棒a 运动至CC'前已匀速，求下滑的时间及匀速下滑时速度；
（2）CD、C'D'水平金属导轨足够长，要求a、b 棒可在水平轨道上达到共速且不会发
生碰撞，则b 初始位置至少应离CC'多远；
（3）b 过DD'后，转轴开关将a 挡住，求b 在轨道HG、H'G' 滑行的最终速度。
【答案】（1）
，12m/s；（2）12m；（3）6m/s；
【详解】（1）对a 匀速时
解得
又
E=Bdv
32
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可得
v1=12m/s
对a 有
又
解得
（2）a 上CD、C′D′后与b 动量守恒，则
解得
对b 有
又
可得
故至少离CC′12m。
（3）b 进入圆轨道时，因为
故沿轨道做圆周运动至GG′由
可得
v3=12m/s
对b 有
33
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又
且
U=Bdv
可得
可得
v=6m/s
19．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图甲所示，空间中有一直角坐标系Oxyz，在紧贴
坐标为
点的下侧有一粒子源P，能沿x 轴正方向以
的速度持
续发射比荷
的带正电的粒子。图乙为xOy 平面图，在
、
的
空间中有沿－y 方向的匀强电场，电场强度大小为
，在
的空间有
垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为
。若在xOz 平面内
区域放置一足够大的吸收屏（如图甲所示），屏上方施加有沿－y 方向，大小为
的匀强磁场（忽略粒子间的相互作用）。求：（结果保留一位有效数字）
（1）粒子第一次穿过y 轴的坐标；
（2）粒子第二次穿过y 轴的坐标；
（3）粒子打到吸收屏上的坐标。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从P 点射出后在xOy 平面内做平抛运动，沿y 轴负方向的加速度为
做平抛运动的时间为
粒子在竖直方向上的位移
所以粒子第一次穿过y 轴时的坐标为
。
（2）粒子第一次穿过y 轴时的速度为
由于
所以粒子沿着与y 轴负方向成
角的方向进入磁场
，然后做匀速圆周运动。由
可得圆周半径
由几何关系可知，圆心在x 轴正半轴的
处。所以粒子将从y 轴的正半轴某点
处离开磁场
，其坐标与粒子第一次穿过y 轴时的坐标关于原点对称，所以粒子第二
次穿过y 轴时的坐标为
。
（3）粒子第二次穿过y 轴后，沿着与y 轴负方向成
角的方向进入磁场
。在磁场
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中，粒子沿着y 轴负方向的分速度为
在这个方向上，洛伦兹力为零；粒子沿着x 轴负方向的分速度为
在这个方向上，粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动。所以粒子进入磁场
后，将沿
着螺旋线向吸收屏运动。根据
可得，粒子在磁场
中运动半周的时间为
粒子从y 轴上
处运动到xOz 平面上的时间为
由于
，所以在粒子离开磁场
之前，就已经打到了吸收屏上。粒子的圆周轨迹
对应的角度为
粒子做圆周运动的半径为
所以粒子打到吸收屏上的坐标为
20．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）我国自行设计研制的热核聚变全超导托卡马克实验
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装置再次创造了该类实验装置运行的世界新纪录。此装置在运行过程中，需要将加速
到较高速度的离子束转变成中性粒子束，而其中还未被中性化的高速带电离子则需通
过过滤装置过滤出来并剥离。所用到的过滤装置工作原理简图如图所示，混合粒子束
先通过加有一定电压的两极板之间区域后，再进入极板下方的偏转磁场中，此过程中
中性粒子仍会沿原方向运动并被接收器接收；而带电离子中的一部分则会先在两极板
间的电场作用下发生偏转，一部分直接打在下极板，另一部分则会在穿过板间电场后
进入其下方的匀强磁场
区域，进一步发生磁偏转并打在吞噬板上，从而剥离吸收。
已知这些带电离子电荷量为
（
），质量为m，两极板间距为d，所加电压为
U，极板长度为2d，粒子束中所有粒子所受重力均可忽略不计，不考虑粒子间的相互
作用。
（1）要使初速度为
的离子能沿平行于极板的直线经过电场区域，需在极板
间再施加一垂直于纸面的匀强磁场，求其磁感应强度
的大小和方向；
（2）若带电离子以初速度
沿直线通过极板区域后，进入下方垂直纸面向外的匀强偏
转磁场
区域。当磁感应强度
时，要使离子能全部被吞噬板吞噬，求吞
噬板所需的最小长度；
（3）若粒子束中带电粒子为初速度
，且撤去了两极板间的磁场
，则有部
分带电离子会通过两极板间的偏转电场进入偏转磁场，已知磁场的磁感应强度
大小
可调，且分布范围足够宽广，吞噬板
并紧靠左极板水平放置。若要保证进入偏
转磁场的带电粒子最终都能被吞噬板吞噬，求磁感应强度
大小的取值范围。
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【答案】（1）
，方向垂直纸面向里；（2）
；（3）
【详解】（1）离子能直线通过两极板，则洛伦兹力与电场力平衡，则有
将
代入上式解得
由左手定则判断可知：磁场
方向垂直纸面向里。
（2）当离子在偏转磁场中做匀速圆周运动时有
解得
又由图可知：离子在吞噬板上最靠右的落点到左极板距离
38
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离子在吞噬板上最靠左的落点到左极板距离
则此吞噬板的长度最短，联立解得
（3）当初速度为
时，对于沿右极板运动的离子，在两极板间做类平抛运动。
则
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联立解得
离子做类平抛运动的过程中，根据动能定理
得
离子进入偏转电场时的速度偏向角的余弦值为
此时沿上极板进入电场的带电离子射出偏转电场时，与吞噬板右端相距为
，当磁场
满足此离子打到吞噬板，则由几何关系分析可得
40
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又当入射点下移至带电粒子刚好擦着下极板右边缘射出电场进入偏转磁场，则磁场
满足该离子刚好能打在吞噬板的下端点为最大值，有
综合分析结果有
根据
则所需磁场
的取值范围
21．（2023·辽宁大连·校考模拟预测）如图所示，在第一、二象限存在一水平向右的匀
强电场，大小为
，在第三、四象限存在竖直向上的匀强电场，大小为
，且
，在第三、四象限还存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电微粒从A 点
41
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以初速度
竖直向上射入电场，刚好垂直于y 轴射入D 点，此后经过x 轴上的C 点，
经过D 点的速度
。已知微粒的质量为m，电荷量为
，重力加速度为g。
（1）求带电微粒从A 点到D 点过程中，电势能的变化量；
（2）求带电微粒经过x 轴上的C 点时的速度；
（3）带电微粒射入第三、四象限后，做匀速圆周运动且刚好回到A 点，求匀强磁场的
磁感应强度大小。
【答案】（1）
；（2）
，与水平方向的夹角
；（3）
【详解】（1）带电微粒从A 点到D 点，在竖直方向，有
①
由A 点到D 点，据动能定理有
②
解得
③
又因为
解得
④
42
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即电势能减少了
；
（2）设微粒由A 点到D 点所用时间为t
在水平方向
⑤
微粒由D 点到C 点所用时间同样为t，在C 点，微粒的水平速度
⑥
解得
⑦
在竖直方向，带电微粒做竖直上抛运动，回到x 轴时竖直速度大小仍为
，方向竖直
向下
微粒的合速度
⑧
且与水平方向的夹角
；
（3）带电微粒射入第三、四象限后，由做匀速圆周运动可知
⑨
⑩
则
⑪
代入③式计算可知，带电微粒在第二象限的水平位移为
⑫
即AC 两点间距
⑬
43
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由几何知识可知，圆周运动的半径为
⑭
联立⑧⑩⑭三式解得
⑮
22．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考二模）如图所示，一边长为
的
正方形区域ABCD 内，有一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
。
在AB 的上方有一竖直向下的匀强电场，场强
，AB 为电场、磁场的分
界线。在DA 的延长线上距离A 点间距为x 的O 点有一比荷为
的带正电的
粒子由静止开始运动，不考虑粒子的重力，已知
，则：
（1）要使粒子从C 点射出，求粒子源距A 点的距离x；
（2）若粒子源距A 点的距离为2.25m，求粒子从开始运动到最终从磁场射出时的运动
时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）带电粒子从O 点运动到A 点的速度为v，则有
进入磁场做匀速圆周运动的半径为r，则有
44
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解得
要使粒子从C 点射出，由几何关系可知
联立解得
解得
（2）带电粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律得
粒子打A 点时的速度为
，时间为
，由运动学公式可得
粒子进入磁场做匀速圆周运动，半径为
，由
解得
粒子从A 点进入磁场经半圆从AB 边界出磁场，在电场中先匀减速直线运动速度减为0
后反向匀加，再次从AB 边进入磁场后从BC 边离开磁场，在磁场中运动情况如图所示
粒子在磁场中运动周期为T，则
45
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代入数据解得
由几何关系可得
解得
粒子在磁场中的运动时间
，则
综上，粒子运动总时间为t，则
23．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考三模）如图，竖直平面内的直角坐标系
的
x 轴水平，在y 轴的左侧存在方向水平向右的匀强电场，在y 轴的右侧存在方向竖直向
上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电粒子以初速度
从坐标原点O 沿
x 轴正方向射入，在y 轴的右侧做匀速圆周运动后第1 次经过y 轴进入y 轴的左侧，第
2 次经过y 轴时恰好回到原点O。已知带电粒子质量m、电荷量
，y 轴的左右两侧匀
强电场的电场强度大小相等，g 为重力加速度，不计空气阻力。求：
（1）y 轴的右侧匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）粒子第4 次经过y 轴时的坐标位置；
（3）若将粒子先进入y 轴的右侧和后进入y 轴的左侧的一次运动看作1 次运动循环，
求经过n 次这样的运动循环后粒子在y 轴上的坐标。
46
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）如图1
带正电粒子从坐标原点O 沿x 轴正方向进入y 轴的右侧做匀速圆周运动，设圆周运动
的半径为
，根据
①
得
②
设进入匀强磁场后第一次经过y 轴位置
，向左进入匀强电场竖直方向自由落体运动
③
47
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由于
水平方向类上抛运动
④
由②③④得
⑤
（2）设第2 次从原点O 经过y 轴的速度为
，该速度与x 轴正方向的夹角为
，再次
进入匀强磁场，圆周运动的半径为
，如图2
从
到
⑥
由④⑥解得
⑦
即
⑧
⑨
故
48
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⑩
设粒子第3 次经过y 轴的位置为
，由几何关系可知
⑪
由⑤⑨⑩
得
⑪
故粒子第3 次经过y 轴时的坐标位置
与
重合，第3 次经过y 轴
（即
）到第4 次
经过y 轴
，粒子在匀强电场中以
为初速度、加速度为g，在竖直方向做匀加
速直线运动，水平方向仍为类上抛运动，时间为
即
⑫
由②④⑤
得粒子第
⑫
4 次经过y 轴时的坐标位置
⑬
（3）设每次进入磁场的速度为v，该速度与x 轴正方向的夹角为
，进入匀强磁场圆
周运动的半径为r，如图3
49
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每1 次运动循环中：进入磁场做圆周运动后在竖直方向都要向上移动
⑭
在y 轴左侧做匀变速曲线时间均为
⑮
由于第一次进入电场时速度水平，故n 次在电场中运动的竖直位移合可视为初速度为
零的匀变速直线运动
⑯
方向向下，粒子每次在磁场中向上的移动的位移均相同且等于粒子在电场中第一次下
降的位移，则在磁场运动n 次的竖直位移可表示为
⑰
方向向上，解得
⑱
24．（2023·辽宁·校联考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，第Ⅰ、Ⅳ象限内分别
存在垂直纸面向里和向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小分别为
，第Ⅱ
象限内存在平行于x 轴的匀强电场（未画出）。现有一个质量为m、电荷量为
50
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的带电粒子从
点垂直于x 轴以
的速度射入第Ⅱ象限，并从
点进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小和方向；
（2）为使带电粒子能够进入第Ⅳ象限，
应满足什么条件？
（3）如果
，且粒子垂直通过平行于y 轴的直线
，则n 应
滿足什么条件。
【答案】（1）
，沿x 轴负方向；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意，带电粒子射入第Ⅱ象限后，做类平抛运动，故所受电场力水平
向右，电场强度水平向左（沿x 轴负方向）。由运动规律
，
联立解得匀强电场的电场强度
（2）为使带电粒子能够进入第Ⅳ象限，带电粒子在第Ⅰ象限内的运动轨迹刚好与x 轴
相切，如图
51
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由平抛运动规律
，
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得
为使带电粒子能够进入第Ⅳ象限，
。
（3）因为
由（2）可知，带电粒子能够进入第Ⅳ象限，带电粒子在第Ⅰ、Ⅳ象限内的运动半径分
别为
，
运动轨迹如图
52
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粒子垂直通过平行于y 轴的直线，则根据几何关系
即
其中
因为
所以
25．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）如图所示，固定光滑平行轨道abcd 的水平
部分处于磁感应强度大小为B 方向竖直向上的匀强磁场中，bc 段轨道宽度为2L，cd 段
轨道宽度为L，bc 段轨道和cd 段轨道均足够长。质量为2m 的导体棒P 和质量为m 的
导体棒Q，有效电阻分别为2R 和R，分别置于轨道上的ab 段和cd 段，且均与轨道垂
直，金属棒Q 原来处于静止状态。现让金属棒P 从距水平轨道高为h 处无初速度释放，
两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其它电阻及阻力，重力
加速度大小为g，求：
（1）两金属棒稳定运动的速度以及通过金属棒
的电荷量；
（2）当两棒相距最近时，电路的热功率。
53
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【答案】（1）
，
，
；（2）
【详解】（1）导体棒P 从h 高处下落，根据动能定理可知
解得导体棒进入电场前的速度为
当导体棒P 进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流，P 棒受到安培力作用而减速，
Q 棒受到安培力而加速，Q 棒运动后也将产生感应电动势，与P 棒感应电动势反向，
因此回路中的电流将减小，最终达到匀速运动时，故
设P 棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为
，取向后为正方向，对P、Q
分别应用动量定理得
P 棒
Q 棒
联立解得
故通过金属棒
的电荷量为
（2）当二者的速度相等时相距最近，设经过的时间为
，取向右为正方向，对P、Q
分别应用动量定理得
54
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P 棒
Q 棒
解得
回路中的感应电动势为
故此时电路的热功率为
26．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，以O 点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，
Oa、cd 是两个线状粒子放射源，长度均为L=1m，放出同种带正电的粒子，粒子电荷
量为
，粒子的质量为
，其中Oa 发出的所有粒子初速度为
零，cd 发出的所有粒子初速度均为
，方向水平向右，带电粒子的重力以及
粒子之间的相互作用均可忽略。曲线ob 的方程为
，在曲线Ob 与放射源Oa 之间
存在竖直向上、场强E 大小为
的匀强电场；第一象限内、虚线eb 的上方有
垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场I；第二象限内以O 为圆心、L 长为半径的
四分之一圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场II。图中的Oe、
ab、Oc、eb、ed 的长度均为L。观察发现：Oa 发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁
场I，cd 发出的所有粒子在匀强磁场II 的作用下也汇聚于同一点，即该点可接收到两
个粒子源发出的所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求：
（1）粒子放射源Oa 发出粒子进入匀强磁场I 时的最大速度；
55
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（2）匀强磁场I、II 的磁感应强度
、
的大小；
（3）Oa、cd 两个放射源中点M、N 发出的粒子在磁场中的运动时间之比。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中受电场力而加速
得
由
，代入可得
（2）粒子在磁场
中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由
又因为
，可得
56
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x 接近于0，r 也接近于0，可知粒子均汇聚于e 点，所以
得到
所以
在磁场
中运动的粒子也汇聚于e 点，可知
得到
（3）粒子在磁场中圆周运动
得
由几何关系可知，M 点射出的粒子在磁场I 中偏转半周，运动时间为
设N 点射出的粒子在磁场II 中偏转
得
则运动时间为
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则Oa、cd 两个放射源中点M、N 发出的粒子在磁场中的运动时间之比为
27．（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。
在电场中，若将一个质量为
，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与
竖直方向夹角为53°。如图所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道
（电场没有画出），
水平，长度为
，
是半径为
的四分之一的圆弧，与
相切于
点。现将该小球由
点静止释放，求从
点开始运动的整个过程中（取重
力加速度大小为
，
，
）。
（1）小球受到的电场力大小及方向；
（2）从
点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量；
（3）小球从c 点离开轨道后速度最小时距c 点的距离。
【答案】（1）
，水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意，电场力大小
方向：水平向右
（2）对小球由a 到c 的过程，由动能定理得
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解得
小球离开点后竖直方向在重力作用力下做匀㓕速直线运动（竖直上抛运动），设小
球离开c 点到其轨迹最高点所需的时间为t，有
小球沿水平方向做初速度为0 的匀加速运动，加速度为a，则有：由牛顿第二定律可知
此过程小球沿电场方向位移为
电场力做功为
因为电场力做正功，所以电势能减少量为
（3）由题意可知，重力与电场力合力方向与竖直方向夹角53°，斜向下如图，沿着合
力与垂直合力方向建立坐标系，将C 点速度沿着两个方向分解
y 方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知
从C 点到小球速度最小时的位移
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x 方向做匀速直线运动，此速度为离开C 后的最小速度
小球从C 点离开轨道后速度最小时距C 点的距离
28．（2023·辽宁·校联考三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，存在经过坐标原
点O、半径为
的圆形边界，圆心
在x 轴上，边界内存在垂直纸面向外、磁感应强
度大小为B 的匀强磁场。一个长方形边界区域abcd，长
，宽
，a 点是圆
形边界与x 轴的交点，在a 点的右侧存在沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷
量为q 的带正电粒子（不计重力）从圆形边界上的f 点以指向圆心
的速度射入磁场，
从a 点离开磁场并进入电场，已知
，ab 边界与x 轴的夹角为37°，
、
。
（1）求粒子从f 点入射的速度大小；
（2）若粒子从a 点进入电场后能运动到c，则a、b 两点间的电势差为多少？
（3）若已知匀强电场的电场强度大小为E，且粒子能从a 点运动到ab 边上的某点p
（图中未画出），求粒子从f 到p 经历的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在f 点的入射速度指向圆心
，则在a 点的出射速度的反向延长线
指向圆心
，即出射速度沿x 轴的正方向，设轨迹圆的半径为r，则由几何关系可得
解得
由于
解得
（2）将粒子从a 到c 的位移分别沿x、y 轴分解，由几何关系可得
由类平抛运动的规律可得
解得
a、b 两点之间的电势差为
解得
（3）粒子从f 到a，速度的偏转角为
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磁场中运动时间为
粒子从a 到p 做类平抛运动，设运动时间为
，把粒子的类平抛位移分别沿x、y 轴分
解，则有
由类平抛运动的规律可得
解得
综合解得
29．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，在直角坐标系
中，第一、四象限内
存在三个有界匀强磁场，即垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ、垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ、
半径为
的圆形匀强磁场Ⅲ，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等，宽均为
，
长均为
。在第二、三象限存在平行y 轴方向的匀强电场Ⅰ、Ⅱ，其电场强度大小相
等，方向相反，在第四象限存在匀强电场Ⅲ，其上边界和匀强磁场Ⅲ在M 点相切，下
边界放置光屏，M 点到光屏的垂直距离为
．现有两个质量均为m、带电荷量均为
的带电粒子1、2 分别从匀强电场Ⅰ、Ⅱ中坐标为
、
的两
点以速度
沿x 轴正方向射出，都恰好经过原点O 处分别射人匀强磁场Ⅱ、Ⅰ，又平
行于x 轴正方向射出匀强磁场Ⅱ、Ⅰ，射入匀强磁场Ⅲ且都从M 点射出，最后进入匀
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强电场Ⅲ打在光屏上。不计粒子的重力及粒子间相互作用，电磁场均具有理想边界。
求：
（1）匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度
大小；
（2）带电粒子1、2 在匀强磁场Ⅲ中的运动时间之差
；
（3）带电粒子1、2 最后打在光屏上的距离
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子运动的轨迹如图所示
将带电粒子1 在匀强电场Ⅰ中运动分解，沿
轴方向
沿
轴方向
解得
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带电粒子1 经过
点时的竖直分速度
带电粒子1 经过
点时的速度偏转角的正切值
解得
则带电粒子1 经过
点时的速度
带电粒子1 在匀强磁场Ⅱ中做匀速的圆周运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力
解得
（2）带电粒子1 在匀强磁场Ⅲ中做匀速圆周运动，由几何关系可得
运动时间
带电粒子2 在匀强磁场Ⅲ中做匀速圆周运动，由几何关系可得
运动时间
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带电粒子1、2 在匀强磁场Ⅲ中运动的时间之差
（3）带电粒子1 在匀强电场Ⅲ中做类平抛运动
解得
带电粒子2 在匀强电场Ⅲ中做类平抛运动
解得
带电粒子1、2 最后打在光屏上的距离
30．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）如图所示，沿水平和竖直方向建立直角坐标
系，沿x 轴放置一块长为2d 的绝缘板，y 轴左侧固定一内壁光滑的半圆管道（内径很
小），半圆直径为d、且与y 轴重合。第一象限内绝缘板的上方存在有界的匀强电场和
匀强磁场，电场强度
，方向竖直向上，磁场方向垂直于坐标平面向外，大小未
知，竖直方向边界
。一带电量为
、质量为m 的绝缘小球A（直径略小
于管道内径）静止在坐标原点O 处，质量也为m 的不带电小球B 以初速度
（未知）
向左运动，与A 球发生弹性正碰，A 球电荷量始终不变。
（1）若碰撞后A 球能过管道最高点，则
至少多大；
（2）若A 球通过管道最高点后，恰能与B 球在平行x 轴的方向上再次发生碰撞，求小
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球A 做圆周运动半径r 的大小；
（3）若A 球以
与x 轴正方向成
进入电磁场区域，此后运动未与B 球相
碰，最后恰好从坐标为（2d，d）的P 点水平射出场区，则磁感应强度可能多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）详见解析
【详解】（1）由动量守恒得
由能量守恒得
已知
联立解得
由动能定理得
解得
（2）由于
mg = qE
则a 球先平抛，再做匀圆运动，设进入场区时速度为v1，与水平边界夹角为θ，圆运动
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半径为r，由几何关系
由平抛运动推论
解得
（3）设小球第一次从M 点进入场中，由平抛运动得，水平方向有
竖直方向有
解得
由A 球轨迹图（轨迹形状相同，只作一次在电磁场的运动）：轨迹与y 轴相切时，有
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解得
粒子水平打在P 点应满足
解得
由于
所以
解得
由题意得
即
解得
当n=3 时
当n=4 时
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