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专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·广东广州·广州市第二中学校考三模）如图，在xOy 坐标中第Ⅳ象限中分布
着沿x 轴负方向的匀强电场，长方形OPQH 区域内还分布着垂直坐标平面向里的匀强
磁场。在xOy 平面内一质子从y 轴上的a 点垂直OP 射入场区，然后垂直x 轴通过b 点。
已知：质子质量为m、带电量为q，射入场区时的速率为v0，通过b 点时的速率为
，磁感应强度为B，
，
，粒子重力不计。
（1）电场强度的大小；
（2）撤去电场，质子从y 轴上c 点以速度
垂直OP 射入磁场，已知
，
粒子恰好从H 点射出磁场，求c 点所在位置。
【答案】（1）
；（2）O 点下方
【详解】（1）由于粒子重力不计，又因为洛仑兹力不做功，故只有电场力做功，质子
从a 到b，由动能定理可得
解得
1
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（2）
撤去电场后，质子在磁场中只受洛仑兹力作用，质子从y 轴上c 点以速度
垂直
OP 射入磁场，由洛仑兹力提供向心力可得
代入
，解得
设圆心为
，由
，
得
，
则
故c 点所在位置为O 点下方
处。
2．（2023·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）我国新一代航母阻栏系统的基本原
理如图所示，飞机（已经关闭动力系统）着舰瞬间，通过绝缘阻拦索钩住轨道上的一
根金属棒ab，飞机与金属棒瞬间相对静止，共同速度为
；金属棒、导轨
和定值电阻R 形成一闭合回路，在磁场中共同减速滑行至停下。已知阻拦索的质量和
2
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形变不计，飞机质量
，金属棒ab 质量
、接入电路的电阻
，定值电阻
，导轨电阻不计，导轨间
，匀强磁场磁感应强度
B=5T，除安培力外飞机与金属棒克服其它阻力做的功为
J。求：
（1）飞机着舰瞬间金属棒ab 中感应电流I 的大小和方向；
（2）金属棒ab 中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）
，感应电流方向为由b 到a；（2）
【详解】（1）飞机着舰瞬间金属棒的电动势
根据闭合电路欧姆定律，感应电流
解得
由右手定则可知，感应电流方向为由b 到a。
（2）飞机至舰停下，由动能定理
解得
金属棒与电阻串联，根据焦耳定律可知
3．（2023·广东佛山·佛山市高明区第一中学校联考模拟预测）如图所示，M、N 为两
3
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水平金属板，板间电压为U、距离为d，磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向外，
ACD 为用绝缘板围成的正三角形区域，正三角形边长为L，S 为AC 板中心的小孔，区
域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，放射源P 沿水平方向发出速
率不等、比荷不同的粒子，其中有部分粒子恰能沿板M、N 的中轴线通过，再垂直AC
边从孔S 进入正三角形区域。板间电场可看成匀强电场，忽略板外空间的电场；粒子
每次与绝缘板发生碰撞后均以原速率反弹且电荷量不变，不计粒子重力及相互作用。
（1）求能沿板M、N 中轴线通过的粒子的速度大小
；
（2）求与绝缘板碰撞次数最少且能从S 孔飞出的粒子比荷
；
（3）比荷为
的粒子在三角形区域内运动过程中，每次与板碰撞时速度方向均与板垂
直且能从S 孔飞出，求该粒子的比荷
的可能值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）能沿板M、N 中轴线通过的粒子，在极板间受到的洛伦兹力和电场力平
衡，有
解得
（2）如图所示
4
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粒子至少与绝缘板碰撞2 次后从S 孔飞出，此时粒子在磁场中的运动轨迹半径为
同时有
联立解得
（3）分析可知要使粒子每次与板碰撞时速度方向均与板垂直，需要满足SA 的长度为
粒子轨迹半径
的奇数倍，即
，
解得
同时有
联立解得
4．（2023·广东江门·统考一模）如图甲所示，一对足够长金属导轨由等宽的右侧水平
导轨和左侧倾斜导轨两部分在虚线mn 处连接组成，mn 右侧存在竖直向下的匀强磁场，
mn 左侧存在与倾斜轨道平行的匀强磁场（图中未画出），mn 两侧磁场的磁感应强度B
5
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大小相等（B 的大小未知），导轨的间距为L = 1.5m，倾角θ = 37°，在t = 0 时刻，
置于倾斜导轨上的ef 棒由静止释放，置于水平导轨上的cd 棒在一水平向右的外力F 的
作用下由静止开始做匀加速直线运动，外力随时间的变化规律如图乙所示，cd、ef 棒
的质量分别为m1= 1.0kg、m2= 2.0kg，电阻分别为R1= 2Ω、R2= 3Ω，忽略导轨的电
阻，ef 棒与金属导轨的动摩擦因数为μ = 0.12，不计cd 棒与导轨之间的摩擦，sin37°
= 0.6，cos37° = 0.8，取g = 10m/s2，求：
（1）t = 0 时刻cd 棒的加速度大小及cd 棒的电流方向；
（2）磁感强度B 的大小；
（3）经过多长时间ef 棒在倾斜轨道上的速度达到最大？
【答案】（1）5m/s2，电流方向由d 到c；（2）1.33T；（3）见解析
【详解】（1）在t = 0 时刻根据牛顿第二定律有
F = m1a
且由图可知，t = 0 时F = 5N，代入得
a = 5m/s2
由右手定则，cd 棒的电流方向是由d 到c。
（2）由题知cd 棒做匀加速直线运动，经过时间t，cd 棒速度为
v = at
此时
E = BLv = Blat
则cd 棒的安培力为
由牛顿第二定律得
F－F 安 = m1a
由以上各式整理得
6
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由图线可知
t = 2s，F = 13N
代入得
（3）①当mn 左侧的匀强磁场与倾斜轨道平行斜向上时，ef 棒受力如图所示
当
F1= m2gcosθ
时，ef 棒在倾斜轨道上的速度达到最大，之后ef 棒飞离轨道，由于
联立解得
t1= 4s
②当mn 左侧的匀强磁场与倾斜轨道平行斜向下时，ef 棒受力如图所示
当
f2= m2gsinθ
时，ef 棒在倾斜轨道上的速度达到最大，之后ef 棒减速并最终停在导轨上，且
f2= μFN2= μ(m2gcosθ＋F2)
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联立解得
t2= 21s
5．（2023·广东汕头·统考一模）1897 年，汤姆逊利用电磁偏转的方法，测量了电子的
荷质比。20 世纪初，考夫曼用磁聚焦法也测量出粒子的荷质比，并且该实验还是狭义
相对基础实验之一。如图为磁聚焦法简化原理图。电子从电子枪K 出发，初速度为零。
虽然由于各种原因在Q 处会出现散开一个角度，但可以认为经过加速电场MN 的做功，
所有电子均获得相同的轴向速度。如图方向的磁场作用下，电子将做螺旋运动，重新
会聚在另一点。这种发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，
因此叫磁聚焦。已知加速电压为U，磁感应强度为B，Q 处角度为2θ，电子的轴向速
度为
，不计重力以及电子之间的相互作用，求：
（1）求电子的比荷k；
（2）求在磁场中相邻两个会聚点的距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）电子经过加速电场加速，由动能定理可得
解得
（2）电子进入磁场后，受洛伦兹力影响，在径向上做匀速圆周运动，则
8
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电子在磁场中运动周期为
轴上两个会聚点的距离为
，则
联立可得
6．（2023·广东·模拟预测）如图所示，在正交坐标系
的空间中，同时存在匀强电
场和匀强磁场。匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向与
平面平行，且与
轴的夹
角为
。一质量为
、电荷量为
（
）的带电粒子从
轴上的点
（，，
）沿平行于轴正方向以速度
射入场区保持匀速直线运动，不计重力。
（1）求电场强度
的大小；
（2）若撤去磁场，求带电粒子从
射入后运动到
平面时的坐标。
【答案】（1）
；（2）（
，，
）
【详解】（1）带电粒子所受的合力为零，则有
解得电场强度大小为
（2）撤去磁场后，粒子在电场中做类平抛运动，则有
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联立解得
又
粒子经过的坐标为（
，，
）。
7．（2023·广东·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系
的第一象限充满沿y 轴正
方向的匀强电场；坐标原点O 右侧有一个与y 轴平行、足够长且厚度不计的荧光屏，
荧光屏与x 轴相交于Q 点，且
；y 轴左侧充满垂直
平面向里的匀强磁场。
一重力可忽略不计、比荷大小为k 的带负电粒子，以速度
从y 轴负半轴上的P 点（
）水平向左射入磁场。若匀强磁场的磁感应强度大小
，匀强电场的电
场强度大小
，求：
（1）该粒子从P 点入射到打在荧光屏上所经过的时间；
（2）若
，该粒子打在荧光屏上的位置到Q 点的距离。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）比荷大小为k 的带负电粒子，则
由图可知，粒子在磁场中运动时间为
在电场中运动时间为
故该粒子从P 点入射到打在荧光屏上所经过的时间为
（2）粒子在磁场中做圆周运动，则
解得
在电场中沿y 轴方向上，可得
由公式
解得
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则该粒子打在荧光屏上的位置到Q 点的距离为
解得
8．（2023·广东·模拟预测）如图所示，xOy 坐标系中，第三象限存在沿x 轴正向的匀
强电场，第四象限与x 轴和y 轴相切的半径为R=0.2m 的圆形区域内存在匀强磁场B1，
磁感应强度B1=0.1T，方向垂直纸面向里，x 轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场B2，
磁感应强度B2=0.3T。在第三象限x=-40cm，y=-8cm 至-36cm 间存在粒子源，比荷
k=108C/kg 的相同带正电粒子由粒子源无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入
圆形磁场，其中正对圆心入射的粒子经B1偏转后恰好以垂直于x 轴的方向经切点P 点
进入磁场B2，带电粒子最终都打到放置在x 轴上的收集板上。不计粒子的重力，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）第三象限中加速电场的电场强度E；
（2）收集板最小长度L；
（3）带电粒子在磁场B1、B2中运动的总时间范围（用含π 的分数式表示）。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由几何关系，粒子在电场加速后进入
中匀速圆周运动的半径
粒子在
中圆周运动
对粒子在电场中运动由动能定理
解得
，
（2）粒子均将从P 点进入
磁场，粒子在
中圆周运动
作出粒子源上下边界粒子的轨迹如图
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由几何关系知
故
，
则从粒子源下端进入
再进入
的粒子打在收集板最左端
垂直
轴进入
的粒子打在收集板最右端
所以收集板长度
（3）粒子进入
时的位置越靠下，进入
点与
连线弦切角越大，在
中运动时间
越长，同时粒子在
中的运动轨迹从劣弧向优弧变化，在
中转过圆心角变大，因此
粒子源上下边界入射的粒子在磁场中运动的时间即为边界时间情况由
进入磁场粒子
在磁场中运动时间最短
由
进入磁场粒子在磁场中运动时间最长
粒子在磁场中运动时间
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9．（2023·广东广州·统考二模）为了模拟竹蜻蜓玩具闪闪发光的效果，某同学设计了
如图甲所示的电路。半径为a 的导电圆环内等分为四个直角扇形区域，Ⅰ、Ⅱ区域内
存在垂直环面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。长度为a、电阻为r 的导体棒
OP 以角速度
绕O 点逆时针匀速转动，t=0 时OP 经过图示位置。OP 通过圆环和导
线与导通电阻为R 的发光二极管（LED）相连。忽略其它电阻。
（1）求OP 切割磁感线过程中，通过二极管的电流大小和方向；
（2）在图乙中作出
时间内通过二极管的电流随时间变化的图像（规定从M 到N
为正方向，不用写分析和计算过程）。
【答案】（1）
，方向由M 到N；（2）见解析
【详解】（1）OP 切割磁感线过程产生的感应电动势
通过二极管的电流大小
根据右手定则可知通过二极管的电流的方向由M 到N 。
（2）电流图像如图所示
15
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10．（2023·广东潮州·校考三模）近年来电动汽车越来越普及，有的电动汽车动力来源
于直流电机。直流电机工作原理可简化如下图所示：在竖直向下、磁感应强度为B 的
匀强磁场中，两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，两轨间接一电动
势恒为E、内阻恒为r 的直流电源。质量为m 的导体棒ab 垂直导轨静置于导轨上，接
入电路部分的有效电阻为R，电路其余部分电阻不计。一根不可伸长的轻绳两端分别
连接在导体棒的中央，和水平地面上质量为M 的物块上，绳与水平面平行且始终处于
伸直状态。已知物块与水平面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，闭合开关S，物块
即刻开始加速。
（1）求S 刚闭合瞬间物块加速度的大小，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力；
（2）求当导体棒向右运动的速度为v 时，流经导体棒的电流；
（3）求物块运动中最大速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）以导体棒ab 和M 整体为研究对象，开关S 闭合瞬间，它们受安培力和
滑动摩擦力
由牛顿第二定律
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联立解得
（2）当导体棒向右运动的速度为v 时
解得此时流经导体棒的电流
（3）导体棒ab 匀速时速度最大，有
解得
11．（2023·广东深圳·统考二模）某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶
放出X 射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满
垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为
。水平放置的目标靶长为
，靶左端M 与磁场
圆心O 的水平距离为、竖直距离为
。从电子枪逸出的电子（质量为
、电荷量为
，初速度可以忽略）经匀强电场加速时间后，以速度
沿PO 方向射入磁场，（PO
与水平方向夹角为
），恰好击中M 点，求：
（1）匀强电场场强的大小；
（2）匀强磁场的方向及电子在磁场中运动的时间；
（3）为保证电子击中目标靶MN，匀强电场场强的大小范围（匀强电场极板间距不
变）。
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【答案】（1）
；（2）垂直纸面向里，
；（3）
【详解】（1）电子穿过匀强电场过程中，由动量定理得
解得
（2）由左手定则，可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里；电子在磁场中运动时，由洛
伦兹力提供向心力得
周期为
联立可得
设
与竖直方向夹角为
，则有
18
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可得
由图中几何关系可知，电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
，则电子在磁场中
运动时间为
（3）①当电子击中M 点时，电子在磁场中的偏转半径为
设匀强磁场区域半径，由几何关系得
②当电子击中N 点时，设
与竖直方向夹角为
，则有
可得
由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
，则偏转半径为
则有
粒子穿过匀强电场后的速度
，由动能定理得
设极板间距离为
，则有
联立解得
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则匀强电场场强的范围为
12．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）某质谱仪的原理如图，速度选择器两板间有
正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向由上板指向下板；磁感应强度
为
，方向垂直于纸面．速度选择器右边区域存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B
的匀强磁场，接收器M 安放在半径为R、圆心为O 的圆形轨道上，a、b、O、C 在同
一直线上，
与
的夹角为
。若带电粒子恰能从a 点沿直线运动到b 点，再进入
圆形磁场中，不计粒子的重力，求：
（1）匀强磁场
的方向以及速度选择器中粒子的速度大小；
（2）x、y 两种粒子比荷的比值
，它们均沿
直线进入圆形磁场区域，若接
收器M 在
处接收到x 粒子，则
与
的夹角为多大时，接收器M 可接收到
y 粒子？
【答案】（1）垂直于纸面向里，
；（2）
【详解】（1）假设粒子带正电，受到的电场力方向向下，则受到的洛伦兹力方向竖直
向上，由此可知磁场方向垂直于纸面向里．
由受力平衡得
解得粒子的速度大小
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（2）当
时，x 粒子的轨迹如图甲，由几何关系知x 粒子的运动半径
由洛伦兹力提供向心力
解得
同理
由题意得
故
y 粒子的轨迹如图乙，由几何关系得：
故
，即
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13．（2023·广东惠州·统考一模）半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作，其简化
模型如图所示，控制器主要由平行金属板电容器和相互靠近的两个电磁线圈构成（忽
略边缘效应）。加上电压后，两金属板A、B 间形成匀强电场；通电流后，两电磁线
圈间形成圆柱形匀强磁场：匀强电场与匀强磁场（柱形）的中轴线垂直相交，磁场横
截面圆的半径为
，极板A、B 长为
，间距为d。标靶是圆形的薄单晶硅晶圆，晶
圆面与匀强电场的中轴线垂直，与匀强电场中心和柱形匀强磁场中轴线的距离分别为
和
。大量电量为
，质量为m 的离子，以速度
沿电场的中轴线飞入电场；当
，且电磁线圈中的电流也为零时，离子恰好打到晶圆中心O 点．不计离子所受
重力。求：
（1）当
，且电磁线圈中的电流为零时，离子离开金属板后到达晶圆所在
平面的时间
以及离子刚好离开金属板时的竖直偏移量
的大小；
（2）当
时，要使离子都能打到半径为
的晶圆上，线圈之间的匀强磁场的
磁感应强度B 的大小应满足的关系。
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）离子在水平方向做匀速直线运动，故离子离开金属板后到达晶圆所在平
面的时间
离子刚好离开金属板时的竖直偏移量
其中
联立以上四式，并结合
可解得
（2）当
时，设晶圆半径为R，离子恰好打到晶圆边缘上时，如图
23
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代入
得
在圆柱形匀强磁场区域
由图中几何关系
解得离子做匀速圆周运动的临界半径为
对应的临界磁感应强度大小为
能打到晶圆上，要求偏转半径比临界半径更大，磁感应强度大小满足
14．（2023·广东韶关·统考模拟预测）MM50 是新一代三维适形和精确周强的治癌设备
（如图甲），是公认最先进的放射治疗系统，是当今放射治疗的领军产品可以在近质
子水平上进行3D 适形放射治疗。其核心技术之一就是多级能量跑道回旋加速器，跑道
式回旋加速器放置在真空中，其工作原理如图乙所示，匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界平
行，相距为L，磁感应强度大小相等，方向均垂直纸面向里；下方P、Q 及两条横向虚
线之间的区域存在水平向右的匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度忽略不计），
方向与磁场边界垂直。质量为m、电荷量为＋q 的粒子从P 端无初速进入电场，经过n
24
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次电场加速和多次磁场偏转后，从位于边界上的出射口K 射出，射出时的速率为v。
已知K、Q 之间的距离为d，不计粒子重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小E 及匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）粒子从P 端进入电场到运动至出射口K 的过程中，在电场和磁场内运动的总时间。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设经过n 次加速后粒子的速率为v，由动能定理有
解得
粒子从K 点离开前的轨道半径为
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
解得
（2）粒子在电场中做初速度为零的匀加速运动，设加速度大小为a，由牛顿第二定律
和运动学公式可得
，
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解得
磁场中运动周期
粒子在磁场中运动的总时间为
，则有
，在电场和磁场内运动的总时间
解得
15．（2023·广东汕头·统考二模）如图，一有界区域内，存在着磁感应强度大小均为
，
方向分别垂直于光滑水平桌面向下的匀强磁场，磁场宽度为。边长也为的正方形单
匝金属线框P、Q 的质量均为
、电阻均为
。它们置于光滑桌面上，其左、右边与磁
场边界平行，开始时P、Q 靠在一起但彼此绝缘且不粘连。使它们一起以大小为
的
初速度向右运动并进入磁场，线框所用金属丝的宽度可忽略不计。
（1）用水平推力作用在线框Q 上，使P、Q 一起以速度
匀速穿过磁场区，求整个过
程中水平推力的最大值；
（2）不加外力，让线框P、Q 在磁场中自由滑行，结果线框Q 恰好能穿过磁场区。求
线框P、Q 在整个过程中产生的焦耳热
与
之比。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）每个线框在磁场区域运动时，电流大小均为
当P、Q 靠在一起的边进入磁场时，水平推力达到最大，大小为
联立解得最大水平推力为
（2）以P 右边刚进入磁场为计时起点，把线框Q 向右的位移分别达到、
、
依次
分成3 个阶段，相应的末速依次记为
、
和0。
在第1 阶段，P、Q 一起减速，时间为
，有
由动量定理可得
联立可得
在第2 阶段，由于P、Q 同时处于磁场中，产生的感应电动势和电流总是相同，受力也
相同，因此仍一起减速，同理可得
在第3 阶段，P 已经离开磁场，而Q 还处于磁场中㨔速运动，因此P、Q 分开，Q 最后
恰好离开磁场，同理可得
联立可得
27
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，
线框P、Q 在整个过程中产生的焦耳热分别为
联立解得
16．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考三模）如图所示，
和
为竖直方
向的平行边界线，水平线
将两边界围成区域分为上下两部分，其中Ⅰ区域内为竖
直向下的匀强电场，Ⅱ区域内为垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q
的带正电粒子从左边界A 点以初速度
垂直边界进入Ⅰ区域，从C 点离开Ⅰ区域进入
Ⅱ区域。已知
，
，粒子重力不计：
（1）求Ⅰ区域匀强电场强度E 的大小；
（2）若两竖直边界线距离为4h，粒子从Ⅱ区域左边界射出，求Ⅱ区域内匀强磁场的
磁感应强度大小范围；
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）如下图所示，粒子从A 点至C 点做匀变速曲线运动，垂直电场方向有
平行电场方向有
28
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根据牛顿第二定律有
联立解得
（2）粒子在C 点速度的竖直分量
故粒子在C 点速度为
方向为斜向右下方与
夹角为45°，当粒子恰好不从
边界出射，粒子轨迹如下图
轨迹①所示
设此种情况下，粒子在磁场中轨道半径为
，由几何知识得
解得
粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力
解得
当粒子恰好不从
边界出射，粒子轨迹如图轨迹②所示，由几何知识得
29
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解得
粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力
解得
所以Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围
17．（2023·广东·模拟预测）如图所示，M、N 两金属圆是直线加速器的一部分，M 与
N 间的电势差大小为U；边长为2L 的立方体区域abcda'b'c'd'内有竖直方向的匀强磁场。
一质量为m，电量为－e 的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M 左侧的小孔，粒子在每
个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N 出来后，从正
方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后从棱边bb'的中点飞出磁场区域，忽略粒子
受到的重力。求：
（1）粒子进入磁场区域时的速率v；
（2）磁感应强度的大小B 和方向。
【答案】（1）
；（2）B
，沿
垂直abcd 平面向下
【详解】
粒子在电场中加速，根据动能定理可知
30
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解得
根据题意根据几何关系
可得粒子在磁场中运动的轨道半径
在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力，则有
解得磁感应强度大小
B=
沿
垂直abcd 平面向下
18．（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，在第一象限的
区域内存在沿x 轴
正方向、电场强度大小为E 的匀强电场，在
的区域内存在沿y 轴负方向、电场强
度大小未知的匀强电场
，x 轴下方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强
磁场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计粒子的重力）从y 轴上A（0，L）
点处由静止释放，粒子离开
区域后撤去该区域内的匀强电场，粒子经C
（3L，0）进入x 轴下方的磁场中，之后粒子经过第二象限回到A 点。求
（1）匀强电场的电场强度大小
；
（2）粒子从A 点出发至第一次返回A 点所用时间t。
31
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子在
区域内做匀加速直线运动，根据动能定理，有
进入竖直向下的电场后做类平抛运动，经C（3L，0）进入x 轴下方的磁场中，根据运
动的合成与分解，水平方向有
竖直方向有
联立解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，飞出磁场后，在第二象限做匀速直线运动，粒子
进入磁场时的水平速度为
竖直速度为
所以粒子进入磁场时速度方向与x 轴成
斜向下，速度大小
粒子的运动轨迹如图所示
32
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可知粒子离开磁场时的速度也是与x 轴成
斜向上，粒子经过第二象限回到A 点；根
据几何关系可得
解得
粒子在磁场中运动的轨迹所对圆心角为
，粒子在磁场中运动的时间为
粒子在电场中运动的时间为
粒子在第四象限运动的时间为
所以粒子从A 点出发回到A 点所用的时间为
19．（2023·广东茂名·统考二模）如图所示，在xOy 平面内
和x 轴之间存在沿+x
方向的匀强电场，
的区域存在匀强磁场。比荷为2k 的带负电粒子1 从O 点以速
度
沿y 轴正方向射入，此时电场强度大小变为原来的3 倍，粒子1 不经过磁场直接
到达收集装置被收集，且在粒子1 到达收集装置的过程中，前一半时间存在电场，后
一半时间电场消失。电场恢复到开始时情况，比荷为k 的带正电粒子2 从O 点以速度
33
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沿y 轴正方向射入，最终到达固定于坐标
的收集装置被收集。忽略粒子重力，
不考虑边界效应。求：
（1）开始时电场强度的大小；
（2）磁感应强度的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设粒子1 存在电场的时间为t，则竖直方向一直做匀速运动
带负电粒子1 向
轴负方向运动，设水平方向加速后的速度为，水平方向先做匀加速
运动，后做匀速运动
匀加速过程有
由题知
联立解得
（2）带正电粒子2 向
轴正方向做类平抛运动
竖直方向做匀速运动
水平方向做匀加速运动
其中
34
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解得
竖直方向的速度
所以进入磁场时速度为
方向与竖直方向成45°
在磁场中洛伦兹力提供向心力
由几何关系可知
联立解得
20．（2023·广东广州·执信中学校考三模）如图所示，两竖直虚线MN 和
间的距
离
，P、Q 点在直线
上。一质量为m、电荷量为q 的粒子（不计重力）以
某一速度从A 点垂直于MN 射入：若两竖直虚线间的区域内只存在场强大小为E、沿
竖直方向的匀强电场，则该粒子将从P 点离开场区，射出方向与AC 的夹角叫做电偏
转角，记为
；若两竖直虚线间的区域内只存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸
面的匀强磁场，则该粒子将从Q 点离开场区，射出方向与AC 的夹角叫做磁偏转角，
35
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记为
。
（1）若两竖直虚线间的区域内同时存在上述电场和磁场，且该粒子沿直线运动从C 点
离开场区，粒子从A 点入射的速度是多大？
（2）在（1）问的速度下，只在电场中的电偏转角
的正切值与只在磁场中的磁偏转
角
的正弦的比值。
【答案】（1）
；（2）1
【详解】（1）由于若两竖直虚线间的区域内同时存在上述电场和磁场，且该粒子沿直
线运动从C 点离开场区，可知此时粒子做匀速直线运动，则有
解得
（2）做出粒子运动轨迹如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，则有
36
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，
，
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹关系有
轨迹洛伦兹力提供向心力有
解得
则有
21．（2023·广东深圳·深圳中学校考三模）如图，光滑水平面上静置一质量
的
木板，木板右侧某位置固定一半径
的光滑绝缘竖直半圆轨道，轨道下端与木
板上表面齐平，虚线右侧存在竖直方向的匀强电场，质量
的物块a 以
的水平速度冲上木板左端，与木板的动摩擦因数
，到达木板右端时刚好与木板
共速，之后物块a 与静止在半圆轨道底端的物块b（质量
、电荷量
）发生弹性正碰，碰后物块b 电荷量不变，长木板瞬间停止且不再运动。已知物块b
在半圆轨道内运动过程中对轨道各点的压力大小均相等。g 取10
，求：
（1）匀强电场的场强；
（2）长木板的长度；
（3）定量计算说明物块b 离开半圆轨道后能否落回木板。
37
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【答案】（1）500V/m，方向竖直向上：（2）3m；（3）能，理由见解析
【详解】（1）由题意，可知小物块在半圆轨道内做匀速圆周运动，则电场力与物块重
力等大反向。即
解得
方向竖直向上
（2）设小木块和长木板达到共速时，速度为v，则由动量守恒定律可得
解得
设木板长为L，由能量关系，得
解得
（3）两物块碰撞前后，由动量守恒定律和机械能守恒可得
解得
物块b 离开半圆轨道后做平抛运动，有
38
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得
故物块b 可以落回木板。
22．（2023·广东清远·校考模拟预测）如图所示，在xOy 平面的第一象限内存在方向垂
直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在第二、三象限内存在沿y 轴负方向
的匀强电场。一比荷为k 的带负电粒子（不计重力）从x 轴负半轴上的M 点（图中未
画出）沿x 轴正向射入电场，从y 轴上的N（0，b）点进入磁场，进入磁场时的速度方
向与y 轴正方向的夹角θ=45°，粒子经过磁场偏转后从P 点（图中未画出）垂直穿过x
轴。求:
（1）P 点与O 点之间的距离。
（2）该粒子在磁场中运动的速度大小v。
（3）M 点的坐标及电场强度E 的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（-2b，0），
【详解】（1）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示
设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据几何关系可知
P 点与O 点之间的距离
39
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（2）根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）带电粒子在电场中做类平抛运动，设其射入电场时的初速度大小为v0，根据类平
抛运动的规律可知,带电粒子在N 点的速度v 的反向延长线过O、M 连线的中点，故M
点的坐标为（-2b，0）
粒子在x 轴方向有
2b=v0t
粒子在y 轴方向有
并且
又因为
联立解得
23．（2023·广东汕头·汕头金山中学南区学校校考三模）某种飞船的电磁缓冲装置结构
简化图如图所示。在缓冲装置的底板上，沿竖直方向固定着两个光滑绝缘导轨NP、
MQ。导轨内侧安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感
应强度为B。绝缘缓冲底座上绕有n 匝闭合矩形线圈，线圈总电阻为R，ab 边长为L。
假设整个返回舱以速度
与地面碰撞后，绝缘缓冲底座立即停下，船舱主体在磁场作
用下减速，从而实现缓冲。返回舱质量为m，地球表面重力加速度为g，一切摩擦阻力
不计，缓冲装置质量忽略不计。
（1）求绝缘缓冲底座的线圈中最大感应电流的大小
（2）若船舱主体向下移动距离H 后速度减为v，此过程中缓冲线圈中通过的电量和产
生的焦耳热各是多少？
40
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【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）滑块刚接触地面时感应电动势最大
解得
（2）电量
其中
可得
设缓冲线圈产生的焦耳热为Q，由动能定理得
得
24．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在平面直角坐标系内有四个点：
（
41
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m，3m）、
（
m，3m）、
（
m，－1m）和
（
m，－
1m），在空间内有平行于xOy 平面的匀强电场，且
、
、
点处的电势分别
为-2000V、1000V、-1000V。有一个重力可以忽略的带电粒子从坐标原点以大小为
、方向与y 轴负方向夹角为
的速度射入第四象限，经过
，
速度恰好平行于x 轴且与x 轴同向。
（1）求
点的电势；
（2）求匀强电场的电场强度大小；
（3）求带电粒子的带电性质及比荷
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，粒子带负电
【详解】（1）在平行于xOy 平面内有匀强电场，且
平行于
，在匀强电场中，
相互平行的两线段两端的电势差与两线段的长度成正比，有
可得
由以上两式解得
42
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（2）据题意，
与y 轴交点M（0，3m）电势为0，点N（
m，1m）的电势也
为0，即直线MN 为等势线，设MN 与y 轴间的夹角为α，如图所示
由几何关系有
得
因为电场的方向垂直MN，所以电场方向与x 轴负方向间的夹角为
，电场强度大小
（3）在t 时间内粒子在y 轴负方向上做匀减速运动，则有
，
解得
，且该带电粒子带负电
25．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，在xoy 坐标系中，在
区域
内存在沿y 轴负方向的匀强电场，
区域内存在垂直xoy 平面向外的匀强磁场。ab
和pc 是两块厚度不计的绝缘挡板，ab 平行x 轴放置且b 端固定在
处，a 端可沿着
x 轴负方向伸缩从而改变板的长度；足够长的pc 板沿y 轴竖直放置，初始时刻其下端
点p 位于
处，与ab 的b 端重合但不粘连。某时刻，一个电荷量为
、质量为m
43
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的粒子，在
位置以沿
方向的初速度
开始运动，之后从点
进入
区域，此时pc 板立刻沿
方向做匀速运动，粒子经过偏转后垂直到达
处的
平面，并最终垂直打在pc 板上被吸收。已知所有粒子均不会打在ab 上表面，当粒子
打在ab 下表面时将原速反弹，若不计粒子的重力，求：
（1）电场强度E 的大小；
（2）磁感应强度B 的大小；
（3）pc 板运动速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在电场中做类平抛运动的时间为t，加速度大小为a，则
沿x 轴负方向有
沿y 轴负方向
由牛顿第二定律
解得
（2）设粒子到达y 轴时速度方向与y 轴负方向的夹角为
，有
则粒子进入磁场的速度大小为
44
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且
，粒子垂直到达ab 所在水平面，轨迹如图I 所示，由几何关系
解得
由洛伦兹力提供向心力
解得
（3）粒子在磁场中运动的周期
若粒子没有与ab 板碰撞而直接打在pc 板上，可得粒子在磁场中运动的时间为
若粒子与ab 碰撞n 次后垂直打在pc 板上，则粒子运动的时间t 满足
pc 板运动的位移
联立解得
45
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26．（2023·广东·模拟预测）动能回收系统
是新能源汽车
时代一项重要的技术，其主要原理是利用电磁制动回收动能以替代传统的刹车制动模
式，其能源节省率高达
。其原理为，当放开油门进行轻制动时，汽车由于惯性会
继续前行，此时回收系统会让机械组拖拽发电机线圈，切割磁场并产生电流对电池进
行供电。设汽车的质量为M，若把动能回收系统的发电机看成理想模型：线圈匝数为
N，面积为S，总电阻为r，且近似置于一磁感应强度为B 的匀强磁场中。若把整个电
池组等效成一外部电阻R，则：
（1）若汽车系统显示发电机组此时的转速为n（r/s），则此时能向外提供多少有效充
电电压？
（2）某厂家研发部为了把能量利用达到最大化，想通过设计“磁回收”悬挂装置对汽
车行使过程中的微小震动能量回收，实现行驶更平稳，更节能的目的。其装置设计视
图如图甲、乙所示，其中，避震筒的直径为D，震筒内有辐向磁场且匝数为
的线圈
所处位置磁感应强度均为
，线圈内阻及充电电路总电阻为
，外力驱动线圈，使得
46
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线圈沿着轴线方向往复运动，其纵向震动速度图像如图丙所示，忽略其他摩擦。试分
析此避震装置提供的电磁阻尼随时间的表达式。
（3）在实际制动过程中，由于受充电电压限制，当车速大于一定值
时，回收系统介
入进行动能回收，此过程产生的阻力与车速成正比
，当车速小于
时，断开动
能回收系统，传统机械制动介入，其阻力为车重的
倍。当某次制动时车速为
的m
倍（m 大于1），若动能的回收率为a，则制动过程中有多少动能被回收，总制动位移
为多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由线框转动产生交变电流电动势最大值为
依题意得电动势的有效值为
由闭合电路欧姆定律，电池组获得的实际充电电压为
代入
可得
（2）依题意，电磁避震筒通过切割辅向磁场产生感应电流，其电动势表达式为
其中L 为线圈的有效切割长度，即周长
，且由图可知，阻尼线圈的切割速度函数
表达式为
47
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故线圈中的总电流
感应电流产生的安培力即为电磁阻尼大小，该力与运动方向相反且其大小为；
（3）由题意可知，实际动能回收的速度范围在
之间，则：
故回收的动能为：
在实际制动中，汽车减速应分为两个阶段：
第一阶段：动能回收过程，由于阻力为变力，对于中间的一小段过程由动量定理得
代入
得
即
对回收系统介入的减速全过程得：
解得
第二阶段：机械制动过程，阻力为恒力，汽车在恒力作用下减速，由动能定理得
其中
48
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解得
故制动的总位移为
27．（2023·广东·模拟预测）在“质子疗法”中，质子先被加速到具有较高的能量，然
后被引向轰击肿瘤，杀死细胞。如图所示，质量为m、电荷量为q 的质子从极板A 处
由静止加速，通过极板
中间的小孔后进入速度选择器，并沿直线运动。速度选择器
中的匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
，极板
间的电场强度大
小为
。坐标系
中
区域充满沿y 轴负方向的匀强电场Ⅰ，
区
域充满垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，OP 与x 轴夹角
。匀强磁场Ⅱ的磁感应强度
大小
，且
。质子从（0，d）点进入电场Ⅰ，并垂直OP 进入磁场Ⅱ。
取质子比荷为
，
。求：
（l）极板
间的加速电压U；
（2）匀强电场Ⅰ的电场强度
；
（3）质子能到达x 轴上的区间的长度L（结果用根号表示）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）质子进入速度选择器中的速度为
，由力的平衡得
49
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由动能定理有
联立得
，
（2）质子在电场中运动到达
上的
点时间为，竖直方向速度为
，水平位移为
，
竖直位移为
，加速度为
。由运动学公式有
，
，
由几何关系有
，
由牛顿第二定律有
联立可得
，
，
（3）质子进入磁场的速度为，则
质子在磁场中运动半径为
，由牛顿第二定律有
有
由几何关系有
，
当
，质子恰好从N 点飞出，当
，质子恰好与
轴相切。故质子能
到达
轴上的区间长度
50
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28．（2023·广东·广州市第二中学校联考三模）离子约束技术对实现可控核聚变有着决
定性作用。某离子束实验装置的基本原理如图甲所示，在半径为R 的圆柱体底面建立
空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱体区域内存在沿z 轴负方向、
电场强度为E 的匀强电场，圆柱区域正上方存在沿x 轴负方向、磁感应强度为
的匀
强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出（不计初速度）电荷量为q、质量为m 的正
离子，经电场加速后从圆柱边界正上方沿y 轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心
处与y 轴正方向成
角斜向下射出磁场，进入圆柱区域内的电场中，最后落在圆
柱底面上坐标为
的D 点（图中未画出），不计离子重力。
（1）求加速装置的电压U；
（2）若已知
，求圆柱体区域的高度h；
（3）若将圆柱体区域（含边界）的电场，换成一个沿z 轴负方向的匀强磁场，且知圆
柱区域高度为
。为使离子都能到达圆柱底面，并在O 点“聚焦”，则磁感应
强度B 应为多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设离子进入磁场的速度为v，根据动能定理，有
51
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离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
根据几何关系，有
解得
（2）由（1）可得
离子在圆柱形区域内的电场中沿y 轴正方向做匀速直线运动，沿z 轴负方向做匀加速直
线运动，则沿y 轴正方向有
沿z 轴负方向有
其中
，
解得
（3）在圆柱形区域内撤电场加磁场后，离子沿z 轴负方向做匀速直线运动，可知离子
在圆柱形区域内运动的时间
为使在底面O 点聚集有
，
得到
52
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为使粒子不在中途从圆柱侧面射出则
，
得到
综上
29．（2023·广东茂名·统考模拟预测）离子推进器中某部件简化如图甲，真空中有一半
径R1、长为L 的金属部件，与金属部件同轴放置一半径为
、长为L 的金属圆柱面。
假设金属部件沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考
虑出射电子间的相互作用。
（1）在柱面和金属部件之间只加恒定电压
时，刚好没有电子到达柱面，求出射电
子的初速度v0。
（2）在柱面和金属部件间，只加与轴线平行的匀强磁场
时，刚好没有电子到达柱面，
求出射电子的初速度v0。
（3）撤去金属圆柱面，沿柱面原位置放置一块弧长为a，长度为b 的金属片，如图乙。
在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p，求金属
部件单位长度单位时间出射的电子数n 和电子出射的初速度
。
53
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在柱面和金属部件间，只加恒定电压
，刚好没有电子到达柱面，根
据动能定理有
解得
（2）在柱面内，只加与x 轴平行的匀强磁场，磁感应强度为
时，刚好没有电子到达
柱面，设粒子的偏转半径为R，根据几何关系有
得
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（3）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒
子数
54
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金属片上形成电流为
所以
根据动量定理得金属片上的压强为
由动量定理
解得
30．（2023·广东广州·统考三模）“质子治疗”是用氢原子核，也就是将质子加速到具
有较高的能量，通过某装置引导，到达靶向肿瘤部位，用于人体关键部位的癌症治疗。
如图所示，质量为m、电荷量为q 的质子从极板A 处由静止加速，通过极板
中间的
小孔后进入速度选择器，并沿直线运动。速度选择器中的匀强磁场垂直纸面向里，磁
感应强度大小为
，极板
间的电场强度大小为
。坐标系xoy
中yoP 区域充满沿y 轴负方向的匀强电场I 且电场强度
，xoP 区域充满
垂直纸面向外的匀强磁场II，OP 与x 轴夹角
。匀强磁场II 的磁感应强度大小
，
且
质子从（0，d）点进入电场I，并垂直OP 经Q 点（图中未标出）进
入磁场II。取质子比荷为
。求：
（1）极板
间的加速电压U；
（2）Q 点位置坐标；
（3）质子能到达x 轴上的区间的长度L（结果用根号表示）。
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【答案】（1）
；（2）（
m，0.2m）；（3）
【详解】（1）质子进入速度选择器中的速度为
，由力的平衡得
由动能定理有
联立得
（2）由题
Q 点坐标（
m，0.2m）。
（3）质子进入磁场的速度为v，则
质子在磁场中运动半径为R，由牛顿第二定律有
56
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由几何关系有
当
，质子恰好从N 点飞出，当
，质子恰好与x 轴相切
故质子能到达x 轴上的区间长度
31．（2023·广东深圳·深圳中学校考三模）如图，在平面直角坐标系
平面内存在两
处匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC 之外的区域，磁感应强度大小
为2B，方向垂直纸面向里，A、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，
，OC 的长
度为2R，第二象限内的匀强磁场分布在半径为R 的圆形区域内，磁感应强度大小为
B，圆形区域的圆心坐标为（
R，R），圆形区域与x、y 轴的切点分别为P、Q，第三、
四象限内均无磁场。置于P 点的离子发射器，能持续地从P 点在xOy 平面内向x 轴上
方
范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y 轴上
的CG 之间放置一个长CG=2R 的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知
从P 点垂直于x 轴发射的离子恰好经过Q 点进入第一象限，不计重力及离子间的相互
作用，求：
（1）圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率
；
（2）从P 点垂直于x 轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC 所用的时间t；
（3）探测板CG 上有离子打到的区域长度。
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【答案】（1）垂直于纸面向外，
；（2）
；（3）
【详解】（1）从P 点垂直于x 轴发射的正离子恰好经过Q 点进入第一象限，说明正离
子在P 点受向右的磁场力，由左手定则知磁场方向垂直于纸面向外。如图所示
设离子在圆形区域圆周运动的半径为r，则
由洛伦兹力提供向心力
解得
（2）设离子在第二象限磁场中圆周运动的周期为T，则
则在第一象限磁场中圆周运动的周期为
离子在圆形区域磁场中运动圆心角为90°，则运动时间
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离子在两磁场之间匀速直线运动时间
离子在AC 右侧区域磁场中运动圆心角为
，运动时间
则离子从发射到第二次经过边界AC 所用的时间
得
（3）如图所示，因所有离子均以恒定速率发射，故离子在圆形磁场中的轨迹半径均为
r，又已知
，易得所有离子经过圆形磁场后均水平向右飞出圆形磁场，然后穿过
AC 进入右侧磁场，离子在第一象限运动有
得
从C 点进入右侧磁场的离子，经过半个周期打到屏上E 点，则
从M 点进入右侧磁场的离子，轨迹恰好与屏CG 相切与D 点，图中CF 垂直于
，
则
得
则探测板上有离子打到的区域为DE，其长度
32．（2023·广东茂名·统考二模）如图甲是医用肿瘤化疗装置，其原理如图乙所示，利
用在O 点沿y 轴正方向射出的高能质子束对肿瘤病灶精准打击从而杀死癌细胞。实际
中，质子束的运动方向并不是严格沿y 轴而是与y 轴有一个很小的偏角，呈发散状。
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为此加一个方向沿y 轴正向，磁感应强度大小为B 的匀强磁场，使得质子参与两种运
动，沿y 轴方向的直线运动和垂直y 轴的平面内的圆周运动。为研究方便，用垂直y 轴
足够大的显示屏表示病人，癌细胞位于屏上，从O 点射出的质子速度为v，质量为
m，电荷量为q，所有质子与y 轴正方向偏差角均为
，不考虑质子重力和空气阻力。
（1）y 轴方向的直线运动速度大小是否变化，请简述理由；
（2）当显示屏离O 点距离为多大时，所有的质子会重新会聚于一点？
（3）移动显示屏，屏上出现一亮环，当屏到O 点的距离为
时，亮环半径
多大？在移动显示屏过程中，最大亮环的面积是多少？
【答案】（1）见解析；（2）
或
；（3）
；
【详解】（1）速度大小不变，y 轴方向与磁场平行，y 轴方向不受磁场力。
（2）y 轴方向
质子做圆周运动，有
又
解得
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当
时，所有质子会汇聚一点，得
当
时，所有质子会汇聚一点，可得
（3）当
时，可得
又
如图
，
解得
当
，
，圆环面积最大，易知最大面积为
，
【点睛】
33．（2023·广东潮州·统考二模）如图所示，直角坐标系
所在竖直平面内，第一、
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二象限中分布着沿x 轴负方向的匀强电场
，第三、四象限中分布着沿y 轴正方向的
匀强电场
；第三、四象限还分布着匀强磁场（图中未画出）．一质量为m、带电量
为q 的正电小球自坐标为
的A 点由静止出发，进入第三象限后恰能作匀速圆周运
动并垂直于y 轴射入第四象限，已知
，重力加速度为g．求：
（1）小球第一次通过x 轴时的速度；
（2）匀强电场场强
和匀强磁场磁感应强度B 大小的比值；
（3）小球从第四象限穿出后，经过一段时间会再次到达x 轴上的N 点（图中未标出），
求小球从出发运动至N 的时间
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在第一象限有
则
得
即小球在第二象限内沿与x 轴成
角进入第三象限，有
间距离为
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由动能定理得
得
（2）小球在第三象限做匀速圆周运动，由
得
运动轨迹如图，有几何关系得
又
得
则
（3）小球由A 点运动到B 点的过程竖直方向，有
解得
小球做匀速圆周运动周期为
小球从B 点到C 点的过程中所用时间为
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小球从C 点到N 点的过程做类平抛运动，有
垂直速度方向
沿速度方向
由几何关系可知
联立解得
总时间
34．（2023·广东·统考二模）如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、
外半径分别为R 和3R 的圆筒共轴放置，轴线
水平，在轴线正下方是一对平行金属
板，上板正中间的小孔a 与外筒正中间的小孔b 在通过轴线的同一竖直线上，a、b 间
距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，
磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、
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电量为e 的氢离子（
）从静止加速经小孔a 从小孔b 进入磁场，在磁场中的轨迹恰
好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为原来的2 倍，并让一个氘核（
）
在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞
时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子间的相互作用和它们
在平行板间加速的时间。
（1）求加速氢离子时平行板间的电压U 多大；
（2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点
P（未在图中画出）与小孔b 的水平距离s 的大小；
（3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P 点时与氘核相遇，
筒长
，求氢、氘核释放的时间间隔。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）过筒中间轴线的竖直截面如图所示，
氢离子的轨迹刚好与内筒相切，故其半径为
r1=2R
由洛伦兹力提供向心力
解得
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由动能定理
解得加速氢离子的电压为
（2）设氘核在磁场中的运动半径为r2，速度v2，由牛顿第二定律可知
由动能定理
解得
r2=4R
因为r2>2R，则氘核会与内筒碰撞；
通过作图可得氘核与轨迹碰撞点如图中的P 点所示，由
可知
θ=30°
由此可得P 点与小孔沿轴方向的距离为
（3）氢离子与筒的左壁垂直碰撞后原速返弹，且沿着轴做匀速直线运动，运动轨迹如
图所示
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氢离子在磁场中的运动周期为
氘核在磁场中的运动周期
由上述分析可知相遇前氢原子在磁场中运动的时间为
氘核在磁场中运动的时间
两粒子释放时的时间间隔
又
v1=v2
解得
35．（2023·广东茂名·统考模拟预测）如图所示，两根光滑金属导轨ABD 和ACE 固定
在倾角为θ 的绝缘斜面上，导轨关于中轴线AO 对称，导轨BAC 单位长度电阻阻值大
小为k，AB＝AC＝L，∠A＝60°，BD 和CE 与AO 平行且电阻不计，整个空间存在着垂
直于斜面向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、阻值不计的导体棒在
外力作用下以速度
从A 点匀速滑到虚线BC 位置时，撤去外力，导体棒开始加速下
滑，经时间t 下滑到虚线MN 位置时，恰好再次匀速运动。已知全过程中导体棒始终垂
直于AO 且与轨道接触良好，重力加速度为g，求：
（1）导体棒运动到MN 位置时的速度大小v；
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（2）导体棒从BC 位置运动到MN 位置过程中，经过导体棒的电荷量q；
（3）导体棒从A 点运动至BC 位置过程中，回路产生的焦耳热Q。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当导体棒滑到MN 位置后，轨道BAC 部分的总电阻R 全部接入电路中，
且导体棒匀速下滑，即从MN 位置开始导体棒受力平衡，分析可得
联立可解得
（2）导体棒从BC 位置运动到MN 位置过程中应用动量定理得
联立可得
（3）设导体棒从A 点运动到BC 位置过程中产生的焦耳热为Q，导体棒从A 点开始匀
速运动任意一小段位移大小为x，导体棒接入回路中的长度
此刻接入回路中的总电阻
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感应电动势为
此刻回路中的感应电流大小为
代入上式可得
可见，运动过程中电流的大小并不随时间变化，安培力
会随位移均匀变化
平均作用力
克服安培力做功
则回路中产生的焦耳热
36．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，平行金属导轨MM'、NN'和平行金属导轨
PQR、P'Q'R'固定在水平台面上，平行金属导轨间距均为
，M'N'与
高度差为
。导轨MM、NN'左端接有
的电阻，导轨平直部分存在宽度为d、磁
感应强度
方向竖直向上的匀强磁场；导轨PQR 与
，其中PQ 与P'Q'是圆
心角为
、半径为
的圆弧形导轨，QR 与Q'R'是水平长直导轨。QQ'右侧存在
磁感应强度
方向竖直向上的匀强磁场，导体棒a 质量
，接在电路中
的电阻
；导体棒b 质量
，接在电路中的电阻
Ω。导体棒a
从距离导轨MM'、NN 平直部分
处静止释放，恰能无碰撞地从PP'滑入右侧平
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行导轨，且始终没有与棒b 相碰。重力加速度
，不计导轨电阻、一切摩擦
及空气阻力。求：
（1）导体棒a 刚进入磁场
时的速度大小以及此时电阻R 的电流大小和方向；
（2）导体棒b 的最大加速度；
（3）d 的大小；
（4）导体棒a、b 在平行金属导轨PQR、P'Q'R'中产生的总焦耳热（导轨足够长）。
【答案】（1）5m/s，
，方向为由N 到M；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据动能定理可知
解得导体棒a 刚进入磁场
时的速度大小为
由题可知
解得
由右手定则可判断，此时电阻R 的电流的方向为由N 到M。
（2）由题可知，导体棒a 到达
时速度方向与水平方向的夹角为
，则
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解得
导体棒a 刚进入磁场
时，导体棒b 的加速度最大，则
解得
（3）导体棒a 从
到
的过程中
解得
由题可知在导轨MM'、NN'平直部分从左到右
即
解得
（4）根据动量守恒定律可知
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导体棒a、b 在平行金属导轨PQR、P'Q'R'中产生的总焦耳热与系统减少的动能相等，
即
解得
37．（2023·广东·模拟预测）磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，
如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如
图所示，在半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度为B 的匀强磁场，
在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E 的匀强电场，电场左边界与圆
形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P 点。
粒子源可以持续的从P 点向磁场内发射速率为v 方向不同的带正电同种粒子。经观测：
有一粒子a 以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开
磁场，然后进入电场区域。粒子b 进入磁场的速度方向与粒子a 的速度方向夹角为
（未知），进入磁场后，粒子b 的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进
入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足
，不计粒子重力及粒子
间相互作用。求：
（1）粒子的比荷
；
（2）粒子b 与粒子a 的夹角
和b 粒子打在荧光屏上的亮点到P 点的距离x；
（3）入射方向与荧光屏所在平面成
区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上
形成的亮线长度。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
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【详解】（1）由a 粒子的运动可知粒子在磁场中运动的半径为
由牛顿第二定律有
可得粒子的比荷
（2）画出粒子b 的运动轨迹，如图所示
根据几何关系可知
构成一个边长为R 的菱形，则
由于
，b 粒子经过Q 点的速度方向与
垂直，所以粒子b 进入电场的方向也
沿水平方向。b 粒子进入电场中做类平抛运动，有
，
解得
所以b 粒子打在荧光屏上的亮点到P 点的距离为
（3）入射方向与P 点右侧荧光屏成
的粒子，在磁场与电场中的运动轨迹如图所示
73
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由几何关系可知，粒子进入电场时距离荧光屏的距离为
进入电场后，粒子做类平抛运动，有
，
解得
所以该粒子打到荧光屏的位置距离P 点的距离为
；根据（2）可知，入射方向与P
点左侧荧光屏成
的粒子，打到荧光屏的位置距离P 点的距离为
，所以入
射方向与荧光屏所在平面成
区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮
线长度为
38．（2023·广东广州·统考二模）如图，“凹”形区域
，各边长已在图中
标示，L 为已知量。在该区域内有正交的匀强电场和匀强磁场，与ab 平行的虚线为电
场的等势线；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。容器A 中质量为m、带
电量为e 的电子经小孔S1不断默飘入加速电场，其初速度几乎为0，电子经加速电场
加速后由小孔S2离开，接着从O 点进入场区，沿Oc 做直线运动经c 点离开场区。若
仅撤去磁场，电子从b 点离开场区。
（1）求加速电场的电压和“凹”形区域的电场强度；
（2）若仅撤去“凹”形区域中电场，求电子离开“凹”形区域时的位置与O 点的距离；
（3）若撤去“凹”形区域中电场，改变加速电场的电压，使得电子在“凹”形区域内
的运动时间均相等，求加速电场电压的取值范围。
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【答案】（1）
，
，沿着
方向；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）设加速电场的电压为
，电子经加速后后获得的速度为
，凹形区域
的电场强度为
，根据动能定理
①
电子沿
直线运动，有
②
仅撤去磁场，电子从
点离开场区，设电子在场区的运动时间为，则有
③
④
联立①②③④可得
⑤
⑥
方向沿着
方向；
（2）若仅撤去电场，则电子在磁场中做匀速圆周运动，设电子的轨道半径为
，则有
⑦
联立②③④⑦可得
⑧
所以电子从
点离开场区，距离
点的距离为
；
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（3）依题意，要使电子在凹形区域内的运动时间均相等，则电子必须在场区内运动半
周从
边离开，分析可知，电子从
段离开场区是满足要求的；要从
段离开
场区必须具备两个几何约束条件，第一、电子不能从
离开场区；第二、电子不能
进入
区域。设加速电场的电势差为
时，电子获得的速度为
，其运动的轨道
半径为
，电子从
段离开场区，依题意
⑩
设加速电场的电势差为
时，电子获得的速度为
，其运动的轨道半径为
，电子从
段离开场区，依题意必须满足：第一、电子不能从
离开场区，电子运动轨迹
如图Ⅰ，圆心为
,设轨道半径为
；第二、电子不能进入
区域，电子运动轨迹
如图Ⅱ，圆心为
，设轨迹半径为
，依题意
⑪
根据几何关系有
⑫
联立①⑦⑩⑪⑫并分别用
、
代替
，
、
代替
，
、
代替
，求得
39．（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，水平面内固定两根平行的足够长的光滑轨道，
轨道间距
m，其中在E、F、G、H 四点附近的轨道由绝缘材料制成，这四段绝
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缘轨道的长度非常短，其余轨道由金属材料制成，金属轨道的电阻不计，在右侧两轨
道之间连接一个阻值
Ω 的定值电阻。在矩形区域MNQP 中存在竖直向上的磁场，
记M 点所在位置为坐标原点，沿MP 方向建立
坐标轴，磁感应强度的大小随位置的
变化如图乙所示，图中
T。现有一总质量
kg 的“工”字形“联动双棒”
（由两根长度略长于
的平行金属棒ab 和cd，用长度为
的刚性绝缘棒连接构成，棒
的电阻均为
Ω），以初速度
沿
轴正方向运动，运动过程中棒与导轨
保持垂直，最终静止于轨道上，忽路磁场边界效应。求
（1）棒ab 刚进入磁场时，流经棒ab 的电流的大小和方向；
（2）棒ab 在EF 处的速度大小
和在GH 处时的速度大小
；
（3）电阻R 上产生的焦耳热。
【答案】（1）8A，
（2）4m/s，3m/s（3）0.3375J
【详解】（1）当ab 棒刚进入磁场时产生的感应电动势为
由欧姆定律
解得
由右手定则可知，电流方向为acdba；
（2）当ab 棒进入磁场后，到ab 棒到达EF 处的过程中，由动量定理可得
解得
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当ab 棒经过EF 后，由于EF 绝缘，ab 棒与cd 棒不再形成闭合回路，虽有切割，但感
应电流为0，所以两棒做匀速运动，直至cd 棒经过EF 处，此后，对ab 棒
对cd 棒
由乙图可知
所以，电路中的总感应电动势为
由欧姆定律
则ab 棒的安培力
cd 棒的安培力
所以ab 棒与cd 棒的合力向左，为
当ab 到达GH 处时，由动量定理
解得
（3）当ab 棒经过GH，由于GH 绝缘，ab 棒无电流，ab 棒切割与右边电阻形成闭合
回路，则
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由欧姆定律
ab 棒所受安培力
设ab 棒运动
的距离后减速为0，由动量定理可得
解得
故ab 棒还未离开磁场就减速为0，由动能定理可得
则电阻R 产生的焦耳热为
解得
40．（2023·广东·模拟预测）如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内存在竖直向下的匀
强电场，第二、三象限内存在方向水平向右、电场强度大小
的匀强
电场，第四象限内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，足够长的薄挡板在N 点垂直
于x 轴竖直放置。质量
、电荷量大小
的带正电粒子从第
二象限的M 点由静止释放，经历一段时间到达y 轴上的P 点，随后经过第一象限内的
电场运动至x 轴上的Q 点，之后进入第四象限内的匀强磁场。已知
，粒子重力不
计。
（1）求第一象限内的匀强电场的电场强度大小
；
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（2）若粒子经过第四象限内的匀强磁场后恰好能够再次到达M 点，求粒子从M 点静
止释放至再次回到M 点的时间t（结果保留2 位有效数字）；
（3）若粒子在进入匀强磁场后的运动过程中没有越过y 轴，且粒子最终垂直打在薄挡
板上，求匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【详解】（1）粒子从M 点运动到P 点的过程，由动能定理有
从P 点运动到Q 点的过程，粒子做类平抛运动，则有
粒子在第一象限运动的过程中，由牛顿第二定律有
解得
（2）设粒子从Q 点进入第四象限时的速度为
，该速度与x 轴正方向的夹角为θ，则
解得
80
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粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由于粒子经过第四象限内的匀强磁场后恰好能够再
次到达M 点，表明在电场
中，水平分速度恰好减为0 时到达M 点，即进入
中的
速度与水平方向间的夹角也为
，则粒子在磁场中的运动轨迹为半个圆，如图甲
所示
在电场
加速时，有
在磁场中，有
根据几何关系有
根据“逆向思维”，粒子进入电场
中到回到M 点所用时间与粒子从M 点运动到P 点
的时间相等，则总时间
（3）欲使粒子最终垂直打在薄挡板上，则粒子打击点必定位于粒子在电场
中运动
轨迹的最高点，设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R，由于
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根据对称性有
由于粒子进入匀强磁场后没有越过y 轴，则
解得
由于粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
当
时，解得
当
时，解得
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