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专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平
面夹角为
，间距为
，在导轨之间接有阻值为
的定值电阻，质量为
，电阻为
的金属杆ab 由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为
的
重物P 相连，磁感应强度为
的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab 置
于导轨下端靠近电阻R 处，将重物P 和金属杆ab 由静止释放，当金属杆ab 运动到Q
点（图中未画出）时，通过R 的电量为
，此时重物P 已经开始匀速下降，运动
过程中金属杆ab 始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速
度g 取
，求：
（1）重物P 匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab 从释放到Q 点的过程中，定值电阻R 中产生的焦耳热
；
（3）若金属杆到达Q 点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以
的加速度向上加速运动。试写出磁感应强度B 随时间t 变化的关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（T）
【详解】（1）重物匀速下降时，设细线对金属杆的拉力大小为T，金属杆中电流为
I，由平衡条件得
1
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根据闭合电路欧姆定律，得
根据法拉第电磁感应定律，得
对重物P，由平衡条件得
解得
（2）设金属棒运动到Q 点的过程中，运动时间为
，平均电流为
，向上运动位移
为L
则
而
联立代入数据解得
设电路中产生的总热量为Q，由能量守恒定律得
由串联电路的规律可知，电阻R 中产生的热量
联立解得
（3）金属杆向上做匀加速运动，对杆与重物整体，根据牛顿第二定律有
解得
2
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金属杆中不产生感应电流时，说明穿过回路的磁通量始终不变，则有
物体运动的位移
则磁感应强度B 随时间t 变化的关系为
2．（2023·河北·校联考模拟预测）我国空间站上安装有一种圆柱形磁控装置，其横截
面如图所示。很窄的环柱形空间内有沿半径向外的磁场Ⅰ，其磁感应强度大小可近似
认为处处相等；垂直于圆环平面同时加有匀强磁场Ⅱ和匀强电场（图中没画出），磁
场Ⅰ与磁场Ⅱ的磁感应强度大小相等。若一质量为
、电荷量为
的小球在圆环内沿
顺时针方向做半径为
、速率为的匀速圆周运动。
（1）判断匀强电场及磁场Ⅱ的方向；
（2）求匀强电场的电场强度的大小；
（3）以
为坐标原点，垂直纸面向里为轴正方向，建立
空间直角坐标系，当
小球运动到位置
时，撤去沿半径向外的磁场Ⅰ，同时开始计时，求小球经过z 轴的
时间以及经过轴时的坐标值。
【答案】（1）匀强电场的方向垂直纸面向里，磁场Ⅱ的方向垂直纸面向外；（2）
3
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；（3）
，
【详解】（1）沿半径向外的磁场Ⅰ对应的洛伦兹力的方向垂直纸面向外，故电场力的
方向垂直纸面向里，电场强度的方向垂直纸面向里；根据小球受到的洛伦兹力的方向，
磁场Ⅱ的方向垂直纸面向外
（2）带电小球处于完全失重状态，以空间站为参考系，小球在题图所示的截面内做圆
周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
小球在垂直纸面方向受力平衡
解得
（3）撤去沿半径向外的磁场Ⅰ，粒子在平行于
平面内做匀速圆周运动，在轴方
向做初速度为零的匀加速直线运动，小球做圆周运动的周期
故小球经过轴的时间为
小球经过轴的坐标为
根据牛顿第二定律
解得
3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）如图所示，真空中A 位置存在一带
4
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电粒子发射器能够瞬间在平面内发射出大量初速度大小为
带电量相同的正电荷，电
荷以不同的入射角
（
为
与x 轴正方向的夹角且
）射入半径为R 的圆形
边界匀强磁场（图中未标出），圆形磁场刚好与x 轴相切于A 点，所有电荷均在该磁
场的作用下发生偏转，并全部沿x 轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存
在着方向沿y 轴正向的匀强电场，虚线刚好经过C 点（C 为实线圆最右端的点）且顶
点与O 点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从O 点射入第一象限，第一
象限内存在范围足够大的垂直于平面向里磁感应强度大小为
的匀强磁场，O 点上方
沿y 轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷
的质量为m，电荷量大小为q，OA 的距离为2R，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相
互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度
的大小及方向；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）所有电荷在第一象限内运动轨迹所经过的区域的面积。（当
，
）
【答案】（1）
，方向垂直于平面向里；（2）
；（3）
【详解】（1）根据几何关系可知电荷在实线圆内运动的半径也为R，有
解得
5
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方向垂直于平面向里。
（2）电荷在电场中做类平抛运动且汇聚在O 点，设电荷进电场时位置的坐标为
，
故有
解得
点
是虚线上一点，代入可解得
（3）电荷从O 点入射第一象限的速度
6
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故所有进入第一象限的电荷，都会被荧光屏上同一点吸收，该点纵坐标为
若在x 轴下方h 的位置处进入电场，离开电场时电荷在竖直方向的速度
（其中
）
故
，即速度与x 轴正向夹角α 应满足
当
时
当
时
4．（2023·河北·模拟预测）如图所示，真空中竖直放置的圆柱体底面圆半径
，
高
，圆柱体上表面放有一个荧光屏，底面中心处有一点状放射源S，仅在底面
圆所在平面内向各个方向均匀发射α 粒子，所有α 粒子的速率均为
，已
知α 粒子的比荷为
，α 粒子重力忽略不计。
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（1）现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强磁场B，使所有α 粒子恰好能束缚在圆柱体
区域内，求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强电场E，使所有α 粒子均能打到荧光屏上，
则所加匀强电场至少需要多大？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）所有α 粒子恰好能束缚在圆柱体区域内，由几何关系可知，α 粒子的轨
道半径为
α 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）α 粒子在电场力作用下做类平抛运动，使所有α 粒子均能打到荧光屏上，水平运
动距离最大为
则粒子在圆柱体内运动时间为
竖直方向有
，
联立解得
5．（2023·河北·模拟预测）如图所示，两根足够长光滑导轨竖直放置，导轨间距为
L，底端接阻值为R 的电阻。将质量为m 的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，弹
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簧劲度系数为k，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直。现将金属棒从弹簧
原长位置由静止释放，第一次达到最大速度v 时，回路产生的焦耳热为Q。若金属棒
和导轨接触良好，电阻均可忽略，试求：
（1）金属棒第一次达到最大速度时，弹簧的伸长量为多少？弹簧的弹性势能为多少？
（2）金属棒最后静止时，弹簧弹性势能等于重力势能减少量的一半，电阻R 上产生的
总热量为多少？
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）金属棒运动时受到重力、弹簧的弹力和安培力的作用，第一次达到最大
速度时，处于平衡状态，则有
安培力为
导体切割磁感线，感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律有
弹簧的弹力为
联立解得
金属棒第一次达到最大速度时，由能量守恒定律有
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即
（2）金属棒最后静止时，安培力为零，受重力和弹簧弹力作用，则有
根据动能定理有
由功能关系可知回路产生的焦耳热为
联立解得
6．（2023·河北秦皇岛·校考模拟预测）如图所示，两根足够长且电阻不计的光滑金属
导轨固定在水平桌而上，间距
。在轨道上有两根质量分别为
、
，接入电路电阻分别为
、
的导体棒a 和b，在轨道区域内有
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。现给导体棒a 一个向右的、大小为
的初速度，两导体棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两导体棒未相碰，
。求：
（1）流经导体棒b 的最大电流；
（2）从开始运动到两棒相距最近的过程中，流经b 的电荷量；
（3）从开始运动到两棒相距最近的过程中，导体棒a 上产生的焦耳热；
（4）当导体棒a 的速度大小为
时，b 的加速度大小。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）给导体棒a 一个向右的初速度的瞬间流经导体棒b 的电流最大为
（2）两棒共速时相距最近，设共同速度为，对两导体棒整体根据动量守恒有
解得
从开始到共速时间内对导体棒b 根据动量定理有
解得
（3）根据能量守恒，从开始运动到两棒相距最近的过程中，回路中的总焦耳热为
根据电路规律可知导体棒a 上产生的焦耳热为
联立解得
（4）当导体棒a 的速度大小为
时，根据动量守恒有
解得
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故此时电路中的总电动势为
导体棒b 此时受到的安培力为
，
b 的加速度大小为
联立解得
7．（2023·河北·统考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系处在竖直平面内。在
的区
域内有竖直向上的匀强电场，场强大小为
，在第二象限的某个矩形区域内
有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为
。一带电小
球以初速度
沿与x 轴负方向成
角的方向从M 点进入第一象限，在第一象
限内做直线运动，而后从y 轴上的P 点进入第二象限。经历一段时间后，小球经x 轴
上的Q 点离开电场区域，速度方向与x 轴负方向成
角，重力加速度取
，
，
。求：
（1）带电小球的带电性质及比荷；
（2）矩形区域的最小面积。
【答案】（1）正电荷；10C/kg；（2）
【详解】（1）由题意分析可知带电小球在第一象限应该做匀速直线运动，即带电小球
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所受重力与电场力平衡，说明应该带正电荷，且有
解得
（2）带电小球在第二象限磁场区域内由受力分析可知应该做匀速圆周运动，洛伦兹力
提供向心力
如图所示
由几何关系可知矩形磁场区域面积最小时，矩形两边长分别为
则可知有
8．（2023·河北保定·统考一模）如图，光滑水平面上静置一质量
、长
的长木板，在长木板右侧某位置固定一光滑绝缘的竖直半圆轨道，半径
，半圆轨道下端与长木板上表面齐平，竖直直径右侧区域存在竖直方向的匀
强电场，在半圆轨端静置一质量
、电荷量
的小物块
。质量
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的小物块a 从长木板左端以
的水平速度冲上长木板，物块a 与长木板
的动摩擦因数
。长木板与半圆轨道相撞前已与物块a 共速，碰撞后长木板瞬间
停止。已知物块a、b 间发生弹性碰撞且物块b 电荷量不变，之后小物块b 在半圆轨道
内运动过程中对轨道各点的压力大小均相等。g 取
，求：
（1）匀强电场的场强大小和方向；
（2）物块b 在半圆轨道内运动的时间。
【答案】（1）
，方向竖直向上；（2）
【详解】（1）由题意，小物块b 在半圆轨道内运动过程中对轨道各点的压力大小均相
等，可知小物块在半圆轨道内做匀速圆周运动，向心力由半圆轨道对小物块的支持力
提供，则可以确定电场力大小等于物块的重力大小，且方向相反，即
解得
，方向竖直向上
（2）设小木块和长木板达到共速时速度为
，则由动量守恒定律可得
解得
设此时小木块的对地位移为
，长木版的对地位移为
，小木块和长木板共速时距离
右端的距离为，则对小木块和长木版分别由动能定理可得
解得
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，
则可得
与半圆形轨道碰撞后长木板瞬间停止，则此刻开始小木块做匀减速运动，直至与小物
块
与放在半圆轨道最低点的物块
发生弹性碰撞，设小物块
与物块
发生碰撞前的
速度为
，碰撞后物块
的速度为
，物块
的速度为
，则由运动学公式可得
，
解得
由动量守恒定律和机械能守恒可得
解得
，
设物块
在半圆轨道内运动的时间为，则可知
9．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，
为边长为L 的正方形，在三角形
区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量
为
的带电粒子由Q 点沿
方向射入磁场，速度大小为v，经磁场偏转后由
边
离开正方形区域。粒子重力不计，求：
（1）粒子射入磁场的初速度的最大值；
（2）若在三角形
区域加一平行
边、由N 指向P 方向的匀强电场，电场强度大
小为
（E 的大小随v 的变化而变化），发现粒子仍由
边离开正方形区域，求
粒子射入磁场的初速度的范围。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）要使带电粒子从
边离开正方形区域，其偏转半径最大值为
根据
解得
（2）在三角形
区域施加电场后，使带电粒子仍从
边离开正方形区域，设射入
最小速度为
，对应半径为
，根据
带电粒子进入电场后做类平抛运动，根据
，
根据
根据题意有
解得
则带电粒子射入磁场的速度范围为
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10．（2023·河北·统考二模）如图所示，在倾角为
的绝缘长方形斜面
上，边
长为
的正方形
区域存在着磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直斜面向上。
一个质量为m、电阻为R，边长为L 的正方形导线框
，在沿斜面向下的恒力
（g 为重力加速度大小）的作用下由静止开始下滑，线框刚进入磁场区域时恰
好做匀速直线运动，线框刚完全进入磁场区域时撤去恒力F，线框最后完全离开磁场
区域。已知正方形线框与斜面间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，
离
足够远，求：
（1）线框开始运动时
边距
的距离x；
（2）线框离开磁场区域后的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）因为正方形线框与斜面间的动摩擦因数为
则
则线圈下滑的加速度
进入磁场时
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线框刚进入磁场区域时恰好做匀速直线运动
解得
（2）线圈完全进入磁场后撤去外力，线圈完全进入磁场后做匀速运动，离开磁场时由
动量定理
又
解得
11．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考三模）如图所示，竖直平面内竖直边界
M、N 和荧光屏P 相互平行，分界面N 将M、P 之间分为Ⅰ、Ⅱ两个宽度均为L 的区域，
在荧光屏P 所在的平面内取水平向外为x 轴正方向、竖直向上为y 轴正方向建立直角
坐标系，在区域Ⅰ内存在着沿x 轴正方向的匀强电场，带电粒子以初速度v0垂直于荧
光屏P 且正对原点O 从边界M 射入场区，粒子经过区域Ⅰ、Ⅱ打在荧光屏P 上的位置
坐标为
。已知粒子的质量为m，电荷量为+q，不计粒子重力及粒子间的相互
作用。
（1）求匀强电场的电场强度大小；
（2）若区域Ⅱ内添加磁感应强度大小
、沿x 轴正方向的匀强磁场，求粒子打
在荧光屏P 上的位置坐标。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子在电场中的运动时间为t，粒
子的运动轨迹如图所示
沿初速度方向
沿x 轴正方向的速度
加速度
设粒子出电场时的速度方向的改变角为φ，有
由几何关系可知
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联立解得
（2）粒子沿x 轴方向做匀速运动，垂直于x 轴方向以速度v0做匀速圆周运动，粒子在
匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得
在区域Ⅱ中做圆周运动的圆心角为θ
沿y 轴方向的位移
解得
进入磁场后粒子沿x 轴方向做匀速运动，粒子在磁场内运动的时间
粒子打在荧光屏P 上的坐标
解得
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故粒子打在荧光屏P 上的位置坐标为
12．（2023·河北·模拟预测）如图所示，将装有
的铅制容器放在匀强磁场中的P
点，磁场的磁感应强度B=4T，方向垂直纸面向里，在距P 点x=1cm 的位置放置荧光屏，
屏的下沿与P 点等高，铀发生衰变后从铅制容器中竖直向上释放出两束射线，射线M
打在屏上，在屏上距下沿y=3cm 处形成Δy=2cm 宽的光带，N 射线竖直向上。已知铀
核质量mU=3.85×10-25kg，钍核质量mTh=3.79×10-25kg，α 粒子的质量mα=6.65×10-27kg，β
粒子的质量mβ=0.91×10-30kg，普朗克常量h=6.63×10-34J·s，不计速度对质量的影响，求：
（结果保留一位有效数字）
（1）射线M 和射线N 的成分；
（2）M 射线的速度范围；
（3）若认为衰变后的原子核不稳定，将动能一次性全部转为光子释放，则光子的频率
范围。
【答案】（1）射线M 为
粒子，射线N 为
光子；（2）
；
（3）
【详解】（1）由衰变后粒子在磁场中运动的轨迹，根据左手定则可知，射线M 带正
电，为
粒子；射线N 不带电，为
光子。
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，打在光屏下端粒子运动半径为
，打在上端粒子
半径为
，做出估计图如图所示
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则由几何关系可得
，
解得
，
由洛伦兹力充当向心力有
可得
代入数据解得
，
故可知M 射线的速度范围为
。
（3）核衰变反应符合动量守恒和质量数守恒，则有
，
所释放光子得能量
代入数据解得
，
故可知光子的频率范围为
。
13．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）在芯片制作过程中，对离子注入的位
置精度要求极高，通过如图所示的装置可实现离子的高精度注入。立方体区域
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的边长为L，以O 点为原点，
、
和
分别为x 轴、y 轴和z
轴的正方向建立空间坐标系
。在
平面的左侧有一对平行金属板M、N，板
M、N 与
面平行，板间距离为d，M、N 两板间加有电压，板间同时存在沿x 轴负
方向、磁感应强度大小为
的匀强磁场。在板中间的P 点有一离子发射源，能沿平行
y 轴正方向发射质量为m、电荷量为
、速率不同的离子，立方体的
面
为一薄挡板，仅在其中心D 处开有一小孔供离子（可视为单个离子）进入，D 点与P
点等高，P、D 连线垂直挡板。立方体的
面为水平放置的薄硅片，E、F 分别为
和
的中点。当板M、N 间的电压大小为
且立方体内匀强磁场的方向沿
方
向时，由D 点进入的离子恰好注入到硅片
边上，且速度与
边垂直。不计离子间
的相互作用力、离子的重力和离子碰撞后的反弹。
（1）比较M、N 两板的电势高低和由D 点进入的离子的速度大小
；
（2）求立方体内匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）通过调整板M、N 间电压，可以控制离子在y 轴方向上的注入；通过改变立方体
内磁场的方向，可以控制离子在x 轴方向上的注入。假设板M、N 间的电压大小为
，立方体内的磁场磁感应强度大小不变、方向始终垂直于y 轴，为保证进入立方
体的离子均能注入硅片且硅片的全部区域都有离子注入，求
的取值范围。
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【答案】（1）M 板电势高，
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，由
点进入的离子在M、N 板间做直线运动，因此运动
时电场力与洛伦兹力平衡，根据左手定则可知洛伦兹力沿轴正方向，则电场力应沿
轴负方向，则M 板电势高于N 板电势。该离子做匀速直线运动，有
解得
（2）离子由
点进入后在立方体
面做匀速圆周运动，离子的轨迹如图1 所示
因粒子到达
边时速度垂直
边，则A 点为粒子的轨迹圆心，由几何关系得，粒子
的轨迹半径
由牛顿第二定律得
解得
（3）在板M、N 间的电压确定时，离子在
点的速度大小和离子在磁场中做圆周运动
的半径大小也相应确定，在板M、N 间，有
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离子在立方体内的磁场中运动时，有
联立解得
当粒子注入
点时，离子的轨迹半径最大，
值最大，此时磁场方向沿
轴正方向，
取
截面作平面图如图2 所示
离子的轨迹如图2 中圆弧1 所示，由几何关系可知
解得
当粒子注入
点时，离子的轨迹半径最小，
值最小，此时磁场方向沿
轴正方向，
离子的轨迹如图2 中圆弧2 所示。
由几何关系可知
联立解得
14．（2023·河北张家口·统考三模）如图所示，PQ、MN 两挡板竖直正对放置，两板
长度l 均为1m，间距也为1m，两挡板间有垂直纸面向里、磁感应强度大小可调节的匀
强磁场。挡板的上边缘P、M 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直
向上的匀强电场，电场强度大小E=10V/m；一带负电粒子自电场中A 点以一定速度水
25
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平向右发射，恰好从P 点处与水平方向成45°射入磁场，从两挡板下边缘Q、N 之间射
出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知：该带负电的粒子比荷大小为
1.0×105C/kg，粒子发射位置A 到水平线PM 的距离h=2m，不计粒子的重力。整个装置
处于真空中且不考虑地磁场的影响。求：
（1）粒子从A 点发射的初速度v0；
（2）求磁感应强度大小的取值范围。
【答案】（1）2×103m/s；（2）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
根据牛顿第二定律有
解得
（2）粒子在磁场运动的速度大小为
粒子在磁场中运动的临界轨迹（从Q 射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径为
26
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粒子在磁场中做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，即
解得磁感应强度大小的临界值为
所以磁感应强度大小的取值范围为
15．（2023·河北·模拟预测）如图，光滑绝缘水平面内有边长
、电阻
、质量
的正方形线框
，开始线框静止在水平面上，线框右侧距
线框ab 边
处有宽
、方向竖直向下的匀强磁场区域。现对线框施加大小
为
、方向水平向右的恒定拉力，在线框
边到达磁场左边界时撤去拉力，当线
框完全进入磁场后再对其施加大小为
、方向水平向右的拉力。已知线框
边到达磁场右边界时的速度
，线框进入磁场的过程中，线框速度与线框
边到磁场左边界距离
之间满足关系式
（
为线框ab 边刚到达磁场左边
界时的速度，常量c 未知），重力加速度g 取
。
（1）求线框进入磁场过程中产生的焦耳热Q。
（2）求磁场磁感应强度B 的大小。
（3）若线框ab 边到达磁场右边界瞬间，立即改变拉力
的大小，使线框能以
的加速度匀减速离开磁场，取ab 边到达磁场右边界时为
时刻，求线框
离开磁场的过程中，拉力
与线框运动时间t 的关系式。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，线框在磁场左侧运动的过程，由动能定理有
解得
设线框完全进入磁场时速度大小为
，完全在磁场中的运动过程由动能定理有
解得
由能量守恒定律有
解得
（2）根据题意，由
可得
取
，两边同除以
可得
又有
，
故有
28
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线框进入磁场的过程中有
又有
，
当线框刚好全部进入磁场时，有
联立解得
（3）根据题意，线框离开磁场过程中，由牛顿第二定律有
又有
整理可得
解得
16．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图所示，有三根完全相同、原长均为
的绝
缘轻质橡皮筋，其中两根的一端固定在天花板上的
点，另一端分别连接质量均为
的带电小球
，它们所带的电荷量分别为
和
，
之间用第三根橡皮筋连
接起来。由于空间存在水平向右的匀强电场，平衡时三根橡皮筋的长度均为原长的
。
29
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现剪断
之间的橡皮筋，由于有空气阻力，
球最后会在新的位置平衡。已知
橡皮筋满足胡克定律并始终在弹性限度内，两小球所带电荷量始终不变，不计两小球
间的静电力，重力加速度大小为
。求：
（1）匀强电场的电场强度大小
；
（2）再次平衡时小球A 电势能的减少量
；
（3）再次平衡时小球B 重力势能的增加量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，对小球A 受力分析如图所示
由平衡条件有
则有
解得
30
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（2）设橡皮筋的劲度系数为k，再次平衡时橡皮筋的弹力为
，对小球A 受力分析如
图所示
由平衡条件有
解得
设此时橡皮筋的长度为
，有
由电场力做功和电势能变化的关系有
联立解得
（3）由对称性可知，小球B 位置变化情况和小球A 相同，由重力做功和重力势能变
化关系有
解得
17．（2023·河北保定·统考三模）如图所示，在xOy 平面内存在匀强磁场，y>0 区域磁
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感应强度大小为2B0，y<0 区域磁感应强度大小为B0，在O 点有一粒子源，可向yOM
区域发射速率为v0的同种粒子，OM 与x 轴正方向夹角30°，已知粒子的质量为m，电
荷量为q（q>0），不计粒子间相互作用力和重力，求：
（1）如果粒子的入射方向与y 轴夹角30°，求该粒子第一次到达y 轴时到O 点的距离；
（2）求所有入射方向中粒子第二次经过x 轴的最短时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）如图所示，粒子进磁场的方向与
方向夹角为
．在
区域
经磁场偏转后进入
区域，在两个区域做圆周运动，轨迹圆心为
、
，由几何
知识知道必在
轴上．
32
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第一次到达y 轴时到O 的距离为y
由此可知此时到O 点距离为
（2）设粒子进磁场的方向与
方向夹角为
，第二次经过x 轴的时间为t，在
区
域时间为
，在
区域时间为
由此可知
越小，用时越短
解得
18．（2023·河北·模拟预测）如图所示，一半径为R 的金属圆桶，外表面涂有绝缘物质，
33
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桶上有一条平行于轴线的细缝M，桶的中心轴位置有一粒子发射器，能不断溢出带电
量为q，质量为m 的粒子，发射器与圆桶之间加有可调节的加速电压U，粒子由中心
轴经过加速后可从狭缝M 射出。在圆桶外存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，粒子在磁场中运动与桶外壁发生碰撞后无机械能损失，且电荷量保持不变，
粒子所受重力及一切阻力均不计。求：
（1）当加速电压为
时，粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）若粒子在桶外运动一段时间后能从狭缝返回桶内，求在桶外磁场中运动的最短时
间。
（3）求能使粒子在磁场中运动后由狭缝返回桶内所有可能电压值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）粒子在电场中运动时，由动能定理得
粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得
联立解得
（2）粒子在磁场中运动时，每次与桶的碰撞均沿半径方向，且每段圆弧半径和时间都
是一样的。设粒子经n 段圆弧运动后能从狭缝M 返回，每段圆弧对应圆桶内的圆心角
为
，n 段圆弧对应的圆周数为k，
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则应满足
其中k 取1、2、3…，且需要满足
，所以
设每段圆弧对应轨迹圆的圆心角为
，则
设粒子在磁场中运动的时间为t，则：
即
当
，
时对应时间最短
（3）根据（2）可以得出返回M：
且有
，
由几何关系可知
结合（1）可得
其中
、2、3…，同时需满足
19．（2023·河北·模拟预测）如图所示，水平绝缘长直轨道与光滑圆弧轨道在C 处相
切且平滑连接，水平轨道处于方向水平向左、场强大小为E 的匀强电场中，圆弧轨道
35
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的半径为R，O 点为轨道圆心，整个装置固定在同一竖直平面内。两个小滑块A、B
（都可视为质点）的质量分别为3m 和m。已知滑块B 不带电，其与水平轨道间的动摩
擦因数为
，滑块A 带电，但与轨道间无摩擦力。开始时滑块A、B 都静止于水平轨
道上，与C 点的距离分别为2R 和R。现将滑块A 由静止释放，之后A、B 之间发生的
碰撞皆为完全非弹性碰撞，且碰后两者一起沿水平轨道做匀速直线运动，进入圆弧轨
道后仍能从C 点返回水平轨道，碰撞后两者之间并不粘连，整个过程中A 的电荷量始
终保持不变，重力加速度为g，求：
（1）滑块A 所带电荷量的大小及两滑块进入圆弧轨道运动过程中对圆弧轨道压力的最
大值；
（2）滑块AB 再次返回水平轨道后两者之间的最远距离；
（3）整个过程中滑块B 在水平轨道上运动的总路程。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，A、B 能发生碰撞，说明A 所受电场力向左，故A 带正电；
碰撞后一起做匀速直线运动，对AB 整体，满足
解得
对滑块A，由动能定理有
解得A、B 碰撞前A 的速度为
由动量守恒定律有
解得A、B 碰后的共同速度为
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根据圆周运动规律可知，两滑块对圆弧轨道的压力的最大值出现在C 点，所以有
解得
由牛顿第三定律得两滑块对圆弧轨道压力的最大值为
（2）滑块B 第1 次返回水平面时，有
解得
滑块A 第1 次返回水平面时，有
解得
故A、B 返回水平面后会分，根据能量守恒定律可知，AB 返回时的速度大小为
则滑块B 在第1 次返回在水平面上向右移动的位移为
滑块A 在第1 次返回在水平面上向右移动的位移为
所以AB 再次返回水平轨道后之间的最大距离为
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（3）由题意可知，A、B 在水平轨道上分离后，A 在电场力作用下会与B 发生第二次
碰撞，根据动能定理有
根据动量守恒定律，碰撞过程中有
碰后继续一起做匀速直线运动，然后冲上圆弧轨道，返回到水平轨道上时速度大小仍
为
，则滑块B 第2 次返回时的水平位移为
则滑块A 第2 次返回时的水平位移为
A、B 停止运动时之间的距离为
同理第3 次碰撞到再次返回有
联立解
以此类推可得：第n 次返回时B 的水平位移为
最终两个滑块A、B 将停于C 点，所以B 运动的总路程为
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解得
20．（2023·河北石家庄·统考三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，x 轴上方区
域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。原点O 处有一粒子源，可在xOy 平面内的x 轴上
方沿各个方向均匀发射比荷为
、速度大小为
的带正电的粒子。
一足够长的粒子收集板PQ 垂直于x 轴放置，底端P 位于
处，当粒子打到收
集板时立即被吸收。当粒子沿与x 轴正方向夹角为
方向发射时，粒子恰好打在收集
板上的P 点。不计粒子重力和粒子间相互作用，粒子被吸收的过程中收集板始终不带
电，已知
，
。
（1）求磁感应强度B 的大小；
（2）在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板PQ 上的数目占粒子总数的百
分比；
（3）粒子源发射的粒子中会有两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ 上的同一位置，
求PQ 上这种位置分布的区域长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当粒子沿与x 轴正方向夹角为
方向发射时，粒子恰好打在收集板上
的P 点，粒子运动轨迹如图所示
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由几何关系可知粒子运动的轨道半径为
在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）当粒子轨迹恰好和收集板相切时，粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知
解得粒子速度与x 轴负方向的夹角
在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板上的数目占粒子总数的百分比为
（3）粒子源发射的粒子有两个不同方向入射的粒子打在在PQ 上的同一位置，临界点
1：如图所示
40
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初速度与
轴成
的粒子轨迹直径与PQ 交于M，这是PQ 上离P 最远的亮点
解得
则有
临界点2，如图所示
初速度与
轴成
的粒子轨迹与PQ 相切于N，则有
解得
则有
综合上述，所求区域长度为
21．（2023·河北石家庄·统考一模）如图所示平面直角坐标系
内，第一象限在以A
点
和C 点
连线为对角线的矩形区域内存在平行y 轴竖直向下的匀强电场，
在第三、四象限存在着垂直纸面向外的匀强磁场。位于A 点的粒子源可以水平向右发
41
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射电荷量均为
，质量均为m 的同种粒子，粒子发射速度在0 到
之间。已知速度为
的粒子恰好从C 点进入磁场，并从原点O 射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互
作用。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最低点的纵坐标范围。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示
则
从A 点运动到C 点的过程中，竖直方向上有
42
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水平方向上有
解得
（2）粒子运动到C 点的竖直分速度为
，则
解得
竖直速度与水平速度相等，合速度与水平夹角为
，从不同位置进入磁场的粒子竖直
速度均为
，合速度与x 轴正向夹角为
，且
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，有
解得
当
时粒子进入磁场的间距为
解得
最低点的坐标为
解得
因为
，所以
43
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22．（2023·河北唐山·统考二模）如图所示，有足够长的光滑水平导轨CDC′D′和
EFE′F′，各段导轨均平行，左侧部分间距为0.5m，右侧部分间距为1m，两部分导轨间
有磁感应强度大小为B=10T，方向相反的匀强磁场。有两根相同的金属棒a、b，质量
均为2kg 且分布均匀，电阻与棒长成正比。将金属棒a、b 分别垂直放在左右两部分导
轨上，开始时a 棒位于图中DD′位置，b 棒位于EE′位置。b 棒用足够长的绝缘细线绕
过光滑定滑轮和一物块c 相连。物块c 的质量为3kg，c 开始时距地面的高度为
h=8.55m。物块c 由静止开始下落，触地后不反弹。物块c 触地时a、b 两棒速率之比
1:3，物块c 下落过程中b 棒上产生的焦耳热为30J，设两棒始终在磁场中运动，整个过
程中导轨和金属棒接触良好，且导轨光滑电阻不计，g=10m/s2。求：
（1）物块c 触地时，b 棒的速度大小；
（2）从b 棒开始运动到c 落地的过程中通过棒的电荷量；
（3）从物块c 触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。
【答案】（1）9m/s；（2）1.2C；（3）45J
【详解】（1）设a、b 棒的有效长度为L 和2L，则接入电路的阻值分别为R 和2R，流
过两棒的电流相等，所以
根据能量守恒定律有
解得
，
44
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（2）对a 棒，根据动量定理有
解得
（3）物块c 触地后，a 棒向左做加速运动，b 棒向右做减速运动，最终两棒匀速时回
路中的电流为零，即两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，即
联立解得
，
根据能量守恒定律有
解得
23．（2023·河北·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限内有竖
直方向的匀强电场
（方向未标出）与垂直纸面的匀强磁场
（未标出）；第二象限
内有水平向右的匀强电场
与垂直纸面向里的匀强磁场
；现有质量为m、电荷量为
、可视为质点的带电小球从x 轴上P 点以初速度
射入复合场中，P 点坐标为
，初速度
与x 轴正向夹角
，小球恰好做匀速直线运动经过y 轴上S 点进
入第一象限，在第一、四象限做匀速圆周运动经Q 点进入第三象限。已知小球做圆周
运动的圆心
在x 轴上，重力加速度为
，
，求：
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（1）电场强度
与磁感应强度
的大小；
（2）电场强度
与磁感应强度
；
（3）小球从P 点到Q 点的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
，方向竖直向上，
，方向垂直
纸面向外；（3）
【详解】（1）带正电荷的小球在第二象限做匀速直线运动，其受力如图所示
根据受力平衡有
联立解得
46
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（2）带正电荷的小球在第一、四象限做匀速圆周运动，故有
解得
，方向竖直向上
由题意知，小球做匀速圆周运动的圆心
在x 轴上，设小球做圆周运动的半径为R，
由几何关系可知
联立可得
由牛顿第二定律有
解得
，方向垂直纸面向外
（3）小球在第二象限的运动时间
设做圆周运动的时间为
，则
联立解得
24．（2023·河北沧州·统考一模）2022 年12 月4 日中国科学院高能物理研究所王贻芳
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院士表示，中国的粒子物理研究正在走向国际最前沿。在粒子物理学的研究中，经常
用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。现有一种较为简单的控制粒子的装置，其
内部结构可简化为如图所示模型：空间三维直角坐标系
中，在
，
的空
间中有沿
轴正方向、电场强度大小
的匀强电场，在
的空间中有
沿轴负方向、磁感应强度的大小
的匀强磁场，
平面内
区域有一足
够大的吸收屏，屏下方存在有沿
轴正方向、大小为
的匀强磁场。有一小型
粒子源紧贴在
轴上点
的上侧，粒子源能沿
轴负方向持续发射速度为
的带正电的粒子，其比荷为
。忽略粒子重力及带电粒子
间的相互作用。求：
（1）带电粒子第1 次穿过
轴时的速度大小；
（2）带电粒子第2 次穿过
轴时的位置坐标；
（3）若电场强度的大小
可在
之间进行连续调节，带电粒
子打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，带电粒子在
平面的电场中做类平抛运动，运动轨迹
48
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如图所示
粒子沿
轴负方向做匀速直线运动
沿
轴正方向电场力提供加速度
到达
轴时，沿
轴正方向速度为
粒子速度为
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，则
带电粒子在磁场
中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得半径为
根据几何关系，粒子再次回到
轴时，与第一次到
轴之间的距离
则有
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可知，粒子第2 次到达
轴时坐标为
。
（3）若所加电场
则有
当
时，带电粒子进入磁场
中后，粒子在平行于
的平面内以
做匀速圆周运动，同时在沿
轴方向上做速度为
的匀速直线运动。
即做螺旋向上运动。调节
的数值后，易知在垂直于磁场
的方向上，粒子每次进入
磁场
的速度水平分量总保持
不变。故粒子在平行于
的平面内做圆周运动
的半径为
粒子运动的周期为
所加电场
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时，粒子到达吸收屏的时间
所加电场
时，粒子到达吸收屏的时间
吸收屏能接受到粒子的持续时间为
由于
可知
带电粒子均落在吸收屏上，设痕迹的长度为，则
25．（2023·河北衡水·校联考二模）如图所示，光滑平行轨道
的水平部分（虚
线右侧）存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
段轨道宽度为
，
段轨道宽度为L，质量为m、长度为
的均质金属棒Q 静止在
段，将另一完全
相同的金属棒P 从
段距水平轨道高h 处无初速释放，由于回路中除两金属棒外的电
阻极小，
段和
段轨道均足够长，一段时间后两金属棒均匀速运动，重力加速度
大小为g，求：
（1）金属棒P 在磁场中运动的最小速度
；
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q 两端的电压U。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属棒P 下滑刚进入磁场时，速度最大，设最大速度为
，之后金属
棒P 在安培力作用下做减速运动，金属棒Q 做加速运动，直到两金属棒产生的电动势
等大、反向，回路的电流为零，设金属棒Q 匀速运动时的速度大小为
，整个过程中
通过回路中某截面的电荷量为q，时间为
，平均电流为
,则有
金属棒P 由动量定理
金属棒Q 由动量定理
解得
（2）两金属棒在水平轨道做变速运动时，金属棒P 的加速度大小始终等于金属棒Q 的
加速度大小的两倍。运动过程中的
图像如图所示
52
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显然图像的交点的纵坐标为
，而两金属棒速度大小相等时距离最近，设此时金属棒
P 产生的电动势为E，金属棒Q 在电路中产生的反电动势为
，回路中的感应电流为
I，设金属棒Q 接入电路的电阻为R，则金属棒P 接入电路的电阻为
，则有
又Q 棒未介入电路的部分也有切割电动势，则
解得
26．（2023·河北张家口·统考二模）在半导体集成电路制造过程中需要生产出纯度很高
的，可精确控制的一价硼离子束。具体流程如图甲所示，离子源腔室可产生包含有
、
、
、
和
的等离子体，这些离子从一条狭缝进入吸极并把带正电的离子选
出来，正离子通过吸极后垂直于磁场方向进入分析磁体控制的空间，被分析磁体选出
的离子束引人到加速管调速，最终获得满足需要的离子束进入工艺腔内。吸极结构示
意图如图乙所示，吸极由两个带缝隙的平行金属板（即抑制电极和引出电极）构成，
引出电极接地，离子源腔体和引出电极之间的吸极电压为
，抑制电极和引出电极之
53
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间的抑制电压为
。分析磁体提供截面半径为R 的圆柱型匀强磁场区域，磁感应强度
可调。已知等离子体中的多数离子动能很接近，设为
，电子的动能比较大，忽略离
子所受重力，元电荷为e。
（1）求从引出电极飞出的
离子的动能
，以及恰好不能通过抑制电极的电子在离
子源中的动能
（2）硼有两种同位素
和
，若
离子
质量为10m，在磁场中恰好偏转了90°
角，求分析磁体提供的磁感应强度B 的最小值。
（3）航天用集成电路要求生产芯片用的硼必须是
。离子束进入磁场时并不严格平
行而是有个很小的散开角θ，如图丙所示，如果θ 较大将导致离开磁场时两种B+离子
没有分离，请在（1），（2）问的基础上分析，为了使两种
离子分离求这个散开角
θ 的范围。（提示：请考虑使用散开角度很小，离子轨道半径接近时的近似条件（结
果可用根式表示）
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）吸极电压对
离子做正功
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解得
离子源和抑制电极间的电场对电子做负功，对电子有
解得
（2）
离子在磁场中做半径为
的匀速圆周运动，当
最大时，磁感应强度最小，
如图所示
由几何知识可知，
的最大值为
在磁场中运动时，由牛顿第二定律可得
解得
（3）
离子在磁场中运动的轨迹半径为
离子在磁场中运动时由牛顿第二定律可得
又
55
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可得
离子在磁场中运动的轨速半径为
可知两离子半径相差很小，若
和
离子入射无偏转角时，近似认为两离子经过磁
场的过程均偏转了90°，射出磁场时两离子间的距离为轨迹半径之差，如图所示。
即
当
入射方向向轨迹圆外侧（向左）偏θ 角时，根据几何关系可知
离开磁场时偏
转的距离为
同理当
入射方向向轨迹圆内侧（向右）偏θ 角时，
离开磁场时偏转的距离为
若恰好不能单独析取
时，则满足
解得
所以若能单独析取
，应满足
27．（2023·河北张家口·统考一模）如图所示的平面直角坐标系xOy 内，在第一象限
的区域内存在直向下的匀强电场
区域存在一左端开有小孔的圆弧形绝缘
挡板，挡板分别与直线
和x 轴相切，挡板区域内存在垂直纸面方向的匀强磁场
（图中未画出）。一质量为 电荷量为+q 的粒子从O 点以速度v 平行纸面射入电场，
入射方向与x 轴的夹角
，粒子经电场偏转后恰沿水平方向经过直线
，之后
匀速运动经过小孔进入挡板内，在磁场和挡板共同作用下经过一段时间又从小孔射出，
不计粒子重力，粒子和挡板碰撞时无能量损失，求
（1）
的区域内匀强电场电场强度的大小；
（2）挡板内磁场磁感应强度的最小值；
（3）在
区域加上水平向右的匀强电场，调整挡板区域内的磁场，粒子从小孔
56
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射入挡板区域后仍能从小孔射出，求所加电场的电场强度
和调整后的磁感应强度
B'的关系。
【答案】（1）
（2）
；（3）
【详解】（1）粒子进入电场后水平方向做匀速直线运动，有
竖直方向做匀减速运动，有
又
联立解得
（2）粒子离开电场时竖直方向运动的距离
可知圆形挡板的半径
粒子进入小孔又从小孔射出的过程，磁感应强度最小时的轨迹如图：
57
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由几何关系可知粒子的轨道半径
根据牛顿第二定律可知
联立解得
（3）在
区域加上水平向右的匀强电场后，粒子在电场内做加速运动，根据动
能定理有
粒子以
进入磁场后能返回小孔，设粒子与挡板碰撞的次数为n，则粒子运动轨道半
径与挡板半径的关系为
又
联立解得
28．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，在
区域存在沿y 轴正方向的匀强
电场（图中未画出），电场强度大小为E，在
区域存在平行于y 轴正方向的匀强
磁场（图中未画出）和沿z 轴正方向的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为
58
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2E。质量为m、电荷量为
的小球从
处由静止释放，小球从原点进入
区域，在
处有一垂直于y 轴的荧光屏（图中未画出），小球打在荧光屏上
点。已知重力加速度为g。
（1）求
区域匀强电场的电场强度E；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若磁感应强度取最小值，当小球离y 轴最远时，求小球到原点O 的距离。
【答案】（1）
；（2）
（
）；（3）
【详解】（1）小球由静止释放，从原点进入
区域
解得
（2）
区域
小球所受合力为洛伦兹力。小球在原点速度
与水平方向夹角
59
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y 轴正方向速度
运动时间
z 轴负方向速度
由洛伦兹力提供向心力
运动周期
则
（
）
解得
（
）
（3）若磁感应强度取最小值
半径
周期
当小球离y 轴最远时，运动时间
60
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求小球到原点O 的距离
29．（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，在平面直角坐标系的三、四象限内有一
宽度为d、方向水平向右的匀强电场；从
轴上的
点分别向左、右两侧水平射出比荷
为
的同种微粒，左侧微粒在第三象限离开电场时速度方向竖直向下，右侧微粒在第
四象限的电场中做直线运动。已知从
点射出时左侧微粒的初速度是右侧微粒的倍，
离开电场时右侧微粒的动能是左侧微粒的
倍，重力加速度为
，空气阻力不计。求：
（1）右侧微粒与左侧微粒在电场中运动的水平位移之比；
（2）电场强度的大小；
（3）
点的坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设微粒的质量为
，带电量为
，电场强度为
，从
点向左、右两侧
水平射出的微粒的速度大小分别为
、
，左侧微粒与右侧微粒在电场中运动的水平
位移大小分别为
、
。两个微粒的运动轨迹如下图所示
61
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两个微粒在竖直方向的分运动均为自由落体运动，可得两个微粒在电场中的运动时间
相等，设为
。进入电场前两个微粒均做平抛运动，进入电场后在第三象限内的微粒
在水平方向做匀减速直线运动，在第四象限内的微粒在水平方向做匀加速直线运动，
因两个微粒在水平方向上的加速度相同均为
则在水平方向上可得
，
已知
解得
又由于
，
解得右侧微粒与左侧微粒在电场中运动的水平位移之比
（2）因两个微粒在竖直方向的分运动均为自由落体运动，故它们离开电场时的竖直分
速度相同，设均为
，由题意离开电场时右侧微粒的动能是左侧微粒的
倍，则有
62
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解得
设右侧微粒在电场中做直线运动的方向与水平方向的夹角为
，可得
根据右侧微粒在电场中做直线运动，重力与电场力的合力与运动方向相同，可得
解得
（3）设右侧微粒进入电场时的竖直分速度为
，则有
可得
由上述的解答可得
设
点的纵坐标为
，对于微粒在竖直方向的运动可得
，
解得
则
点的纵坐标为
。
30．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，半径为R 的半圆形绝缘轨道ACB 竖直
放置，C 点为轨道的最低点，AC 段光滑、BC 段粗糙，圆心O 处竖直固定一长度不计
的光滑挡板，直径AB 上方存在水平向左的电场E1，下方存在垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，OC 右侧、OB 下方还存在竖直向上的匀强电场E2。一质量为
63
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m，电荷量为+q 的带电小球从A 点由静止释放，沿轨道ACB 运动到B 点后在电场E1的
作用下运动到O 点并和挡板相碰，此时匀强电场E2的电场强度突变为原来的两倍，使
小球与O 处挡板相碰后做匀速圆周运动到B 点，运动到B 点时小球速度恰好竖直向上，
已知重力加速度为g，小球与挡板发生碰撞时，垂直于挡板的速度变为0；平行于挡板
的速度不变，小球损失的动能全部转化为二者的内能，不计空气阻力，小球可视为质
点，E1、E2大小未知，求：
（1）小球刚运动到C 点时对轨道的压力；
（2）E1与E2的比值；
（3）在比较长的一段时间t 内，挡板和小球组成的系统增加的内能。
【答案】（1）
，方向竖直向下；（2）
；（3）
【详解】（1）小球由A 运动到C 的过程中，有
小球运动到C 点时，有
解得
由牛顿第三定律得，小球到C 点时对轨道的压力为
方向竖直向下；
（2）小球在匀强电场E1中由B 点运动到O 点的过程中，有
64
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小球在电场E2中做匀速圆周运动，有
联立解得
（3）小球在电场E1和2E2内做周期性运动，运动一周在E1中运动的时间
小球获得的水平速度
小球运动一周在E2，中运动的时间
小球运动的周期为
每个周期内挡板和小球组成的系统增加的内能
在比较长的一段时间t 内，挡板和小球组成的系统增加的内能
联立解得
31．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为
坐标原点，A 点的坐标为（3L，0），B 点坐标为（0，2L），三角形ABC 为直角三角
形，其中∠C 为直角，在直角三角形ABC 中有沿y 轴负方向的匀强电场，三角形OBD
为等腰直角三角形，P 点为OD 的中点，等腰直角三角形OBD 中存在沿x 轴正方向的
匀强电场，电场强度大小为E0，第三象限和第四象限存在范围足够大的匀强磁场，磁
65
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场方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q（q > 0）的带电粒子，从P 点静止
释放，粒子从第二象限进入第一象限，经过直角三角形ABC 内的匀强电场后恰好从A
点进入匀强磁场，经匀强磁场偏转后直接打到坐标原点O，不计粒子重力，sin37° =
0.6，求：
（1）直角三角形ABC 中匀强电场的电场强度大小E1；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从P 点运动到O 点的总时间t 总。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在第二象限的电场中加速运动，设射入第一象限时速度为v1，P 为
OD 的中点，根据几何关系可得加速的距离为L，根据动能定理得
解得
粒子在第一象限中先做匀速直线运动，进入匀强电场后做类平抛运动，运动轨迹如图
所示
x 方向上有
66
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y 方向上有
根据牛顿第二定律
qE1= ma
以上各式联立解得
（2）设粒子从A 点射出电场时的速度大小为v，根据动能定理有
解得
设射入磁场时速度方向与x 轴正方向的夹角为θ，则有
解得
θ = 53°
粒子在磁场中运动轨迹如图所示，根据几何关系可得带电粒子在磁场中运动半径为
带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有
以上各式联立解得匀强磁场的磁感应强度大小
（3）设粒子在第二象限运动的时间为t1，根据动量定理
解得
67
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设粒子在第一象限中运动时间为
，水平方向上做匀速直线运动则有
解得
设带电粒子在磁场中运动周期为T，则有
解得周期
在磁场中运动时间为
运动的总时间
解得
32．（2023·河北·统考模拟预测）科学工作者通过电场和磁场来控制带电粒子的运动。
如图所示，在xOy 平面内，有一个半径为R 的圆形区域和边长为2R 的正方形区域，在
这两个区域里加入匀强电场或匀强磁场就可以控制带电粒子的运动。圆形区域的圆心
A 的坐标是（R，0），MN 是圆的直径，正方形区域中心的坐标是（R，－2R），圆和
正方形相切于N 点。在
范围内有宽度为R 的粒子束平行于x 轴射入圆形区
域，粒子束的速度大小均为
。已知圆形区域内存在沿y 轴负方向的匀强电场，正方
68
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形区域内加上垂直于纸面向里的匀强磁场，粒子的质量为m，电荷量为＋q，重力不计。
（1）若经过O 点的粒子刚好偏转经过N 点，求电场强度E 的大小。
（2）在满足（1）的条件下，若经过N 点的粒子刚好垂直于正方形边界离开，求正方
形区域内磁感应强度B 的大小。
（3）若把原来的圆形区域和正方形区域里的场都去掉，在圆形区域里加上垂直纸面向
外的匀强磁场，在正方形区域里加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为
，且所有粒子汇聚于N 点，最终从正方形区域右边界离开，求粒子从正方形区域右
边界离开时的位置对应的长度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在圆形区域内做类平抛运动，经过O 点的粒子刚好偏转经过N 点，
则
水平方向
竖直方向
联立上式解得
（2）设粒子进入磁场时与水平方向的夹角为
，如图甲所示，则
69
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则
正方形区域中，洛伦兹力提供向心力，有
解得
由几何关系得
则
解得
（3）依题意，平行射入圆形区域的所有粒子汇聚于N 点，根据磁聚焦原理，可知粒子
在磁场中运动的轨道半径
r＝R
设从N 点进入的粒子从正方形区域右边界离开的位置最上边为C 点，最下边为D 点，
70
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作出两个边界圆的圆心分别为
、
，设从C 点射出的粒子从N 点进入正方形区域
时速度方向与竖直方向的夹角为
，如图乙所示，由几何关系可知
且两个边界圆的半径
可得
，则
故
33．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图所示，一质量为
、电荷量为
的粒子从静止开始经加速电压为
的电场加速后，进入速度选择器，速度选
择器中的匀强磁场的磁感应强度大小为
，粒子射出速度选择器后进入静电分析器，
静电分析器两端中心位置
和
处各有一个小孔，通道中心轴线的半径为
，通道内
存在均匀辐向电场，粒子从
孔射出后沿半径方向进入环形匀强磁场且刚好未进入小
圆区域。已知环形磁场的外半径为
，内半径为
。可能用到的数据
。求：
71
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（1）速度选择器和静电分析器中的电场强度大小
和
；
（2）环形磁场的磁感应强度的大小
；
（3）粒子在环形磁场中的运动时间。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）离子在电场中加速，由动能定理得
粒子通过速度选择器时，有
粒子通过静电分析器时，有
联立解得
（2）粒子在环形磁场中的运动轨迹如图所示
72
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设轨迹半径为，由几何关系，得
由牛顿第二定律，得
联立解得
（3）粒子在环形磁场中运动周期为
由几何有关系得
解得
粒子在环形磁场中的运动时间
联立解得
34．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，一金属板固定在y 轴上，
其上P 点处有一粒子源，能释放出质量为m、电荷量为q 且初速度为0 的正、负点电
荷。另一金属板与y 轴平行，两板间电势差为U、距离为d，左板电势高于右板。两极
73
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板间存在磁感应强度大小为
、方向沿z 轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；
区域存在电场强度大小为
、方向沿x 轴正方向的匀强电场；
，
区域存在电场强度大小为
、方向沿z 轴正方向的匀强电场（图中未画出）；
，
区域有磁感应强度大小为
、方向沿y 轴负方向的匀强磁场（图中未
画出）。向右运动的点电荷能够经过一次磁场之后恰好通过图中
平面内与P 点等
高的Q 点，不计点电荷的重力及电荷间的相互作用。
（1）为保证负点电荷不碰到左侧金属板，磁感应强度大小
应满足什么条件？
（2）为保证正点电荷能够恰好通过右侧Q 点，P、Q 两点间的距离应为多少？
【答案】（1）
，方向沿z 轴正方向；（2）
【详解】（1）取负电荷恰好与左侧金属板相切时为临界条件，洛伦兹力等于电场力，
即
根据动能定理
联立解得
74
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为保证负点电荷不碰到左侧金属板，则
方向沿z 轴正方向。
（2）正电荷在
区域做匀加速运动，加速度为
则到达
时的速度
进入
后，在
由于受到电场力与速度方向垂直，做类平抛运动，此时的加速
度
如图，设类平抛的水平位移为
，根据类平抛公式可知
解得
沿轴方向的速度为
进入
区域的磁场时合速度为
75
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洛伦兹力提供向心力
解得
在磁场做圆周运动，如图可知
解得
由对称性可知，P、Q 两点间的距离应为
35．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，在足够大的光滑绝缘
水平台面内建立xOy 坐标系，在第一、二象限内有垂直于台面向上的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，在第三、四象限内分别有沿x 轴负方向和沿y 轴正方向的匀强电场，
电场强度大小均为E。现从台面上的A 点，将带电荷量为+q 的金属小球以初速度v0沿
台面弹出，到达原点O 时，小球的速度大小为
，方向沿y 轴正方向。已知在x 轴上
静止有5 个与入射球完全相同的不带电金属小球（图中未画出，原点O 处的小球记为
第1 个，原点右侧依次为2、3、4、5），所有金属小球的质量均为m，小球经过x 轴
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时会依次与下一小球发生碰撞，小球间的碰撞均无机械能损失，碰撞时间极短。
（1）求台面上A 点的坐标。
（2）求第2 个小球的运动时间和路程。
（3）求第四次碰撞与第六次碰撞的时间间隔和距离。
（4）第5 个小球发生碰撞前，第1 个小球在磁场中运动的时间和路程。
【答案】（1）（
，
）；（2）
；（3）
，
；（4）
，
【详解】（1）金属小球在第三象限内运动时，沿
方向做匀速直线运动，速度大小
为
沿
方向做匀减速直线运动，分初速度为
则有
在
方向，由动量定理得
联立可得
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，
故台面上A 点的坐标为（
，
）。
（2）金属小球与第1 个金属小球碰撞后，电荷量均分，即每个金属小球所带电荷量均
为
，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立解得
，
可知两金属小球相碰后电荷量均分且交换速度；此后第1 个金属小球做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得
解得半径为
第1 个金属小球运动半个周期后与第2 个金属小球相碰，同理可知，第1 个金属小球
与2 个金属小球相碰后电荷量均分，即每个金属小球所带电荷量均为
，第1 个金属
小球静止，第2 个金属小球沿
方向以初速度
做匀变速直线运动直至再次
与第1 个金属小球相碰，即碰后第2 个金属小球做一次往复运动，第2 个金属小球与
第1 个金属小球相碰后，电荷量均为
，第2 个金属小球静止，第1 个金属小球以速
78
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度
做匀速圆周运动，半径为
可见此后第1 个金属小球做圆周运动的速度大小不变，电荷量减半，碰后做圆周运动
的半径加倍，另一个金属小球在第四象限内做一次往复运动，作出从O 点开始的各金
属小球的运动轨迹（与第5 个金属小球碰撞前）如图所示
对第2 个金属小球，由牛顿第二定律可得
解得第2 个金属小球运动的加速度大小为
故第2 个金属小球运动的时间为
第2 个金属小球运动的路程为
（3）第四次碰撞到第六次碰撞的时间间隔即为第1 个金属小球与第3 个金属小球开始
相碰到与第4 个金属小球开始相碰的时间；第3 个金属小球运动后所带的电荷量为
，
初速度大小为
由牛顿第二定律得
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解得第3 个金属小球运动的加速度大小为
则第3 个金属小球运动的时间为
第1 个金属小球第3 次做圆周运动时电荷量为
，其做圆周运动的半径为
故第四次碰撞与第六次碰撞的时间间隔为
第四次碰撞与第六次碰撞的距离为
（4）第1 个金属小球第4 次做圆周运动时电荷量为
，其做圆周运动的半径为
故第5 个金属小球发生碰撞前，第1 个金属小球在磁场中运动的路程为
第1 个金属小球在磁场中运动的时间为
36．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，竖直平面内的xOy 坐
标系第二、三象限内存在平行于y 轴向上的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，
第三象限内磁场的磁感应强度大小为第二象限内磁感应强度大小的2 倍；第一、四象
限内存在平行于xOy 平面且与x 轴正方向成
角斜向上的匀强电场。一光滑的半圆形
绝缘轨道固定在第四象限平面内，其左端位于坐标原点O 处，右端位于坐标为
80
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的N 点。
时刻，质量为m、电荷量为
的小球由坐标为
的M 点以大小为
的速度垂直于x 轴进入第二象限，小球在第二、三象限内均做圆周运动，且小球由
M 点射出之后第5 次穿过x 轴时恰好于O 点沿y 轴负方向进入半圆轨道。已知xOy 平
面内电场强度的大小均相同，小球可视为点电荷，重力加速度大小为g，规定M 点的
电势为0。
（1）求第二象限内磁场的磁感应强度大小；
（2）求小球从M 点运动至O 点所用的时间；
（3）求小球通过N 点之后的最小速度以及此时的电势能。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）小球在第二、三象限内均做圆周运动，说明重力与电场力平衡，则有
解得
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据
可得
故小球在第二象限的轨迹半径是在第三象限的轨迹半径的两倍，分别设为2r、r，小球
由M 点射出之后第5 次穿过x 轴时恰好于O 点沿y 轴负方向进入半圆轨道，根据几何
关系和左手定则可知小球在第二象限一共运动3 次半周，在第三象限一共运动了2 次
半周，则有
81
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在第二象限时
解得
（2）根据题意可知
小球在第二象限一共运动3 次半周，在第三象限一共运动了2 次半周，则
（3）小球在y 轴右侧时，重力和电场力大小相等，根据几何关系，重力和电场力的合
力与x 轴正方向成30°角斜向右下，大小为mg，小球到N 点时，根据动能定理
此时速度竖直向上，小球做类斜抛运动，则小球的最小速度即为v 垂直合力方向的分
速度，即
联立解得
小球在第一象限时，由N 到速度减为最小用时
沿竖直方向上升的距离
其中竖直方向的加速度大小
联立解得
82
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小球运动过程中，由M 到速度减为最小过程，根据能量守恒可知
解得
37．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，坐标系xOy 内直线
x=a 与y 轴之间有一匀强电场，电场强度平行y 轴向下，在直线x=a 右侧的某个区域有
一匀强磁场，一电荷量为+q、质量为m 的粒子从点A（a,0）以初速度v0进入第一象限，
速度方向与直线x=a（a>0）成30°角，带电粒子在点
射出匀强磁场时速度
方向与直线x=a 成60°角，带电粒子最后垂直打在y 轴上的P 点（图中未画出），不计
带电粒子的重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的最小值；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）满足（1）条件下带电粒子从A 点运动P 点的总时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）要所加匀强磁场的磁感应强度最小，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
的轨道半径必定最大，过D 点作出射速度的反向延长线与过A 点的入射速度的延长线
83
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交于C 点。线段CD 的长就是轨迹圆的最大半径，作出对应的
圆弧BD，如图
由几何关系得
又由牛顿第二定律
解得
（2）带电粒子从D 点运动到y 轴上的P 点做类斜抛运动，设运动的时间为t3，则竖直
方向上
由牛顿第二定律
水平方向上
解得
所以匀强电场的场强大小为
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（3）带电粒子由A 到B 做匀速直线运动，设运动时间为t1，则
解得
带电粒子由B 点运动到D 点做匀速圆周运动，设运动时间为t2，则
因此满足（1）条件下带电粒子从A 点运动到P 点的总时间为
38．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy
内有一个半径为R 的圆形区域I，圆心坐标为
，圆形区域内存在垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为
，在y 轴上
的范围内有一个线状的粒
子源，能够沿x 轴正方向发射速度为
的某种正粒子，已知所有粒子均从圆形磁场边
缘的同一点射出，然后进入第四象限所在区域为
的足够大的匀强磁场区域II 中，
匀强磁场区域II 的磁感应强度大小为
。不计粒子重力和粒子间的相互作用力（
；
）。求：
（1）粒子的比荷；
（2）匀强磁场区域II 的上边界有粒子射出的区域长度；
（3）圆形磁场区域I 有粒子经过的面积。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）若所有粒子从圆形磁场区域I 的同一点射出，则此点为
，且粒子
圆周运动的半径
由
代入数据得
（2）画出粒子的运动轨迹如图所示
可知
处射出的粒子进入磁场时与匀强磁场区域II 边界的夹角为
，
处射出的粒子进入磁场时与匀强磁场区域II 边界的夹角为
，由几何关系可得
86
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对从D 点射入磁场区域II 的粒子分析可得
对从F 点射入磁场区域II 的粒子分析
粒子在磁场区域II 的运动半径
粒子从匀强磁场II 上边界有粒子射出的区域长度
得
（3）根据几何关系可知
，
有圆形磁场有粒子经过的区域的面积
解得
39．（2023·河北邯郸·统考三模）研究高能粒子的运动时，电磁场约束可以控制带电粒
子运动的轨迹。如图甲所示为相关研究装置的简化示意图。两块面积足够大的金属板
MN 水平放置，金属板与可调电源连接形成电场，在两板之间施加磁场。电场强度与
磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场的正方向为竖直向下，磁场的正方向
为垂直于纸面向外，E0与B0已知，电场和磁场交替存在的时间间隔为
（持续交替
存在，后续时间未画出）。t=0 时刻，带正电粒子（质量m，电荷量q，不计重力）在
极板M 的上边缘向右水平射入，初速度大小为
。
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（1）若经时间
后，粒子未与极板N 相撞，求此时粒子速度大小。
（2）若N 板的位置可调，为保证粒子在
时间内不撞到N 板，求MN 板间
的最小距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）正电粒子做类平抛运动，经时间
后，粒子垂直两板的分速度为
此时粒子速度大小
（2）粒子在磁场中运动周期为
则粒子在洛伦兹力作用下做完整的圆周运动后，继续在电场力的作用下做曲线运动，
如图所示
88
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时，设速度与水平方向夹角为
，则
即
当第二个圆周运动的半径为
轨迹与N 板相切时，MN 板间距最小，则最小间距为
得
40．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限内，有半径为R 的圆形有界磁场，磁场的方向垂直于坐标平面向外，
磁场边界分别与x 轴、y 轴相切于Q、P 点，在第二象限内有沿x 轴正方向的匀强电场，
在第四象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，两电场的电场强度大小均为E，在第四象限
内有水平放置的荧光屏，荧光屏到x 轴的距离为
。在第二象限的A 点由静止释放质
量为m、电荷量为q 的带正电的甲粒子，甲粒子经电场加速后从P 点进入磁场，最终
垂直打在荧光屏上，A 点到y 轴的距离为
，所有粒子的重力不计，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小：
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（2）在A 点，再由静止释放电量为q 的带正电的乙粒子，乙粒子经磁场偏转的偏向角
为60°，则乙粒子打在荧光屏上的位置与甲粒子打在荧光屏上的位置距离为多少。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子由静止开始直线加速
解得
由于粒子能垂直打在荧光屏上，因此粒子一定是从Q 点射出磁场则粒子做圆周运动的
半径
根据牛顿第二定律
解得
（2）设乙粒子的质量为
，由题意可知
解得
设乙粒子在磁场中做圆周运动的半径为r1，根据几何关系
90
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解得
根据牛顿第二定律
解得
粒子乙出磁场后，设经过x 轴的位置坐标为
，根据几何关系有
粒子进入第四象限后，做类斜抛运动，速度分解
设粒子打到荧光屏上时速度沿电场方向的分速度为
，则
解得
粒子在第四象限运动时间为t
解得
则两粒子在荧光屏上的位置距离为
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41．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系中，在
0≤y≤6a 的区域中存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出），y≥6a 区域存在垂直纸
面向外的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、电荷量为+q 的带电粒子从坐标原点
O 以速度v0沿y 轴正方向射入电场，经P（4a，6a）点射入磁场，出磁场后返回电场区
域，后经过点Q（22a，0），不计粒子的重力。
（1）求匀强电场的电场强度大小E 及磁感应强度大小B；
（2）若磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，求粒子再次到达x 轴时的位置；
（3）若粒子从坐标原点O 以速度
沿y 轴正方向射入电场，求粒子再次到达x 轴时的
位置。
【答案】（1）
，
；（2）（10a，0）；（3）（67a，0）
【详解】
（1）如图所示，粒子从O 点到P 点的运动过程中
竖直方向
水平方向
92
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又
联立解得
粒子到达P 点时
，
速度关系为
，
设粒子从P'射出磁场，设P 点与P'点的距离为x2，粒子的轨迹半径为R，则
由洛伦兹力提供向心力
粒子从P'点到Q 点的运动过程中，竖直方向
水平方向
又
联立解得
（2）设粒子从P'射出磁场，设P 点与P'点的距离为x2，粒子的轨迹半径为R，则
由洛伦兹力提供向心力
粒子再次到达x 轴时的位置为Q1，粒子从P'点到Q1点的运动过程中，竖直方向
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水平方向
则Q1点的横坐标
联立解得
粒子再次到达x 轴时的位置为（10a，0）。
（3）设粒子经
点射入磁场，粒子到达P1点时
，
，
，
设粒子从
射出磁场，设P1点与
点的距离为x'2，粒子的轨迹半径为R'，则
由洛伦兹力提供向心力
粒子再次到达x 轴时的位置为
，粒子从P'1点到
点的运动过程中，竖直方向
水平方向
则Q'点的横坐标
联立解得
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粒子再次到达x 轴时的位置为（67a，0）。
42．（2023·河北·校联考三模）如图甲所示，平面直角坐标系
的第二、三象限内有
沿y 轴正方向的匀强电场，在第一、四象限内虚线
（平行于y 轴）左侧有垂直坐标
平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，图中所标物理量均为已
知量，垂直坐标平面向里为磁场正方向，现在x 轴上坐标为
的P 点，沿与x 轴
正方向成
斜向右上射出一个带电粒子，粒子射出的速度大小为
，经电场偏转
后在
内的某个时刻，垂直
轴射入磁场，结果粒子在
时间内的运动轨迹与
y 轴相切，在
时间内的运动轨迹与
相切。已知粒子在磁场中做圆周运动的
周期为T，不计粒子的重力，
。求：
（1）匀强电场的电场强度的大小；
（2）粒子第一次从电场进入磁场的时刻
；
（3）
与y 轴间的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期为
，则
解得
粒子在电场中运动时有
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解得
（2）粒子进入磁场后的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，
由几何关系可知
粒子经电场偏转后在
内的某个时刻垂直
轴射入磁场，在
内在磁场中运动
的时间为
因此粒子第一次从电场进入磁场的时刻为
（3）粒子进磁场时的速度大小为
根据牛顿第二定律
解得
根据几何关系，
与
轴间的距离
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43．（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系的第一象限，
一等腰三角形OAC，底角为53°，底边长为14L，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，在OC 边界的左侧有与y 轴平行的匀强电场，D 是底边OA 的中点。
质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子以一定的初速度，从OA 边上的D 点沿y 轴正方
向垂直射入磁场，恰好从OC 边上某点沿着与x 轴平行的方向射入匀强电场（不计粒子
的重力），求：
（1）粒子的速度大小；
（2）粒子离开磁场后，经过x 轴上N 点（图中没有标出），已知NO=5L，求匀强电场
的电场强度；
（3）求粒子从D 点到达N 点所经历的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹如图所示，粒子做圆周运动的圆心为
G，根据几何关系有
GD=FG=R
则
解得
R=4L
根据洛伦兹力提供向心力有
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解得
（2）粒子在电场中的；类平抛运动轨迹如图所示，
粒子在垂直电场线方向做匀速直线运动，位移为：
x=GN=8L
沿电场线方向做匀加速直线运动，位移为：
y=FG=4L
根据
x=vt，
，
解得
（3）设粒子在磁场中运动的时间为t₁，在电场中运动的时间为t₂
带电粒子在磁场中运动的周期为
联立得
x=GN=8L=vt₂
解得：
所以时间
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44．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考三模）如图，“凹”形区域
，各
边长已在图中标示，L 为已知量。在该区域内有正交的匀强电场和匀强磁场，与ab 平
行的虚线为电场的等势线；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。容器A 中
质量为m、带电量为e 的电子经小孔S1不断默飘入加速电场，其初速度几乎为0，电子
经加速电场加速后由小孔S2离开，接着从O 点进入场区，沿Oc 做直线运动经c 点离
开场区。若仅撤去磁场，电子从b 点离开场区。
（1）求加速电场的电压和“凹”形区域的电场强度；
（2）若仅撤去“凹”形区域中电场，求电子离开“凹”形区域时的位置与O 点的距离；
（3）若撤去“凹”形区域中电场，改变加速电场的电压，使得电子在“凹”形区域内
的运动时间均相等，求加速电场电压的取值范围。
【答案】（1）
，
，沿着
方向；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）设加速电场的电压为
，电子经加速后后获得的速度为
，凹形区域
的电场强度为
，根据动能定理
①
电子沿
直线运动，有
②
仅撤去磁场，电子从
点离开场区，设电子在场区的运动时间为，则有
③
④
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联立①②③④可得
⑤
⑥
方向沿着
方向；
（2）若仅撤去电场，则电子在磁场中做匀速圆周运动，设电子的轨道半径为
，则有
⑦
联立②③④⑦可得
⑧
所以电子从
点离开场区，距离
点的距离为
；
（3）依题意，要使电子在凹形区域内的运动时间均相等，则电子必须在场区内运动半
周从
边离开，分析可知，电子从
段离开场区是满足要求的；要从
段离开
场区必须具备两个几何约束条件，第一、电子不能从
离开场区；第二、电子不能
进入
区域。设加速电场的电势差为
时，电子获得的速度为
，其运动的轨道
半径为
，电子从
段离开场区，依题意
⑩
设加速电场的电势差为
时，电子获得的速度为
，其运动的轨道半径为
，电子从
段离开场区，依题意必须满足：第一、电子不能从
离开场区，电子运动轨迹
如图Ⅰ，圆心为
,设轨道半径为
；第二、电子不能进入
区域，电子运动轨迹
如图Ⅱ，圆心为
，设轨迹半径为
，依题意
⑪
根据几何关系有
100
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⑫
联立①⑦⑩⑪⑫并分别用
、
代替
，
、
代替
，
、
代替
，求得
45．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图所示，在直角坐标系
中，第一、四
象限内存在三个有界匀强磁场，即垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ、垂直纸面向里的匀强
磁场Ⅱ、半径为
的圆形匀强磁场Ⅲ，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等，宽均
为
，长均为
。在第二、三象限存在平行y 轴方向的匀强电场Ⅰ、Ⅱ，其电场强
度大小相等，方向相反，在第四象限存在匀强电场Ⅲ，其上边界和匀强磁场Ⅲ在M 点
相切，下边界放置光屏，M 点到光屏的垂直距离为
．现有两个质量均为m、带电
荷量均为
的带电粒子1、2 分别从匀强电场Ⅰ、Ⅱ中坐标为
、
的两点以速度
沿x 轴正方向射出，都恰好经过原点O 处分别射人匀强
磁场Ⅱ、Ⅰ，又平行于x 轴正方向射出匀强磁场Ⅱ、Ⅰ，射入匀强磁场Ⅲ且都从M 点
射出，最后进入匀强电场Ⅲ打在光屏上。不计粒子的重力及粒子间相互作用，电磁场
均具有理想边界。求：
（1）匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度
大小；
（2）带电粒子1、2 在匀强磁场Ⅲ中的运动时间之差
；
（3）带电粒子1、2 最后打在光屏上的距离
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子运动的轨迹如图所示
将带电粒子1 在匀强电场Ⅰ中运动分解，沿
轴方向
沿
轴方向
解得
带电粒子1 经过
点时的竖直分速度
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带电粒子1 经过
点时的速度偏转角的正切值
解得
则带电粒子1 经过
点时的速度
带电粒子1 在匀强磁场Ⅱ中做匀速的圆周运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力
解得
（2）带电粒子1 在匀强磁场Ⅲ中做匀速圆周运动，由几何关系可得
运动时间
带电粒子2 在匀强磁场Ⅲ中做匀速圆周运动，由几何关系可得
运动时间
带电粒子1、2 在匀强磁场Ⅲ中运动的时间之差
（3）带电粒子1 在匀强电场Ⅲ中做类平抛运动
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解得
带电粒子2 在匀强电场Ⅲ中做类平抛运动
解得
带电粒子1、2 最后打在光屏上的距离
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