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专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考二模）如图为小姚设计的新型质谱仪原理图，离子源中飘
出的初速为0 的离子，经
间的电场加速后，沿轴线进入图中虚线所示的圆形匀强
磁场区域，圆形匀强磁场半径为
，磁场区域的右下部分
圆周边界处安装有接收底
片
，
在
的正下方，
与
同在轴线上，一个氢离子
从离子源进入电场、磁
场，最后恰好打在
点，已知元电荷为，一个氢离子的质量为
，
间电压为
，
重力忽略不计。
（1）求圆形区域中磁感应强度
的大小与方向；
（2）在离子源中放入不同的离子，离子打在底片上的位置到
点连线与轴线成
角，
求离子的比荷
；
（3）
上的电压波动范围为
，求质量为
、
的两种一价离子在
底片上的位置不重叠时，
应满足的条件；
（4）在（1）情况下，因放置失误，导致磁场区域整体向下移动，使磁场区域圆心偏
离轴线
，
，求此情况下氢离子打在底片上的位置。（用该位置到
点连线
与轴线所成的角度
表示）
1
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据题意可知，粒子经过加速电场加速，由动能定理有
由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为
由牛顿第二定律有
解得
（2）根据题意，设运动半径为，由几何关系知
在加速电场，由动能定理有
在磁场中，由牛顿第二定律有
联立解得
（3）由上述分析可知，质量为
的离子，对应角度
同理，质量为
的离子，对应角度
2
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要同时测量两种离子，满足
解得
（4）根据题意可知，满足（1）条件情况下，粒子在半径为
的圆形磁场中做圆周运
动的半径为
，若磁场区域圆心向下偏离轴线
，相当于在磁场区域圆心上方
之间一组平行粒子进入磁场，由磁聚焦可知，氢离子均打在底片上的位置仍在光
屏的P 点，如图所示
由几何关系可知，
。
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示，一对平行光滑轨道倾斜放置在水平面上，
与水平面间夹角为θ，两轨道相距L，两轨道间通过开关，并列连接阻值为R 的电阻和
电容为C 的超级电容器，有一质量m 的导体棒ab 静止放在轨道上，与两轨道垂直，导
体棒的电阻为零，轨道足够长且轨道的电阻忽略不计，整个装置处于垂直于导轨平面
磁感应强度B 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下。现用沿平行于导轨的恒力
F 拉动导体棒向上运动，则：
（1）当开关S 接通时求导体棒的最终速度；
（2）若开关S 断开，求导体棒运动过程中的加速度大小；
（3）当开关S 接通时，已知从静止开始直到导体棒达到稳定速度所经历的位移为x，
求在此过程中电阻R 产生的焦耳热（电容器储存的电能表达式
，U 是电容器
两端的电压）。
3
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当开关S 接通时，导体棒在力F 作用下加速运动，最后匀速，设导体棒
的最终速度为，则有
，
，
根据受力平衡可得
联立解得
（2）若开关S 断开，导体棒在
时间内，速度增加量为
，则电路中的电流为
又
由牛顿第二定律可得
联立解得导体棒运动过程中的加速度大小为
（3））当开关S 接通时，速度稳定时，电动势为
4
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电容器两端电压
由能量守恒得
产生的热量
联立可得
3．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，一个质量为m、电荷量为-q 的带电粒子以速度
v0=
，α=30°从O 点射入匀强磁场①区中，匀强磁场外侧紧贴一个圆心角β=300°的
绝缘刚性圆壁（粒子在圆壁上无能量损失反射），最后粒子从A 射出磁场，经过宽度
为0.5d 的对称性匀强电场E 及匀强磁场②区之后，又恰好从B 点回到匀强磁场①区中。
已知匀强磁场①区的半径为d，匀强磁场①、②的磁感应强度大小分别为B1、B2，且
B2=4B1，匀强电场E=
。不计粒子重力、粒子间的相互作用力，回答以下问题：
（1）带电粒子在匀强磁场②区中的轨道半径；
（2）返回B 点后第一次接触匀强磁场①区外侧绝缘刚性圆壁时，两点间位移大小；
（3）不计碰撞反射时间，从O 点出发到第一次回到O 点的总时间。
5
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【答案】（1）
；（2）d；（3）
【详解】根据题意，带电粒子在整个区域中运动的轨迹，如图所示。
（1）带电粒子从O 点射入磁感应强度为B1 的匀强磁场中，带电粒子的轨迹半径
r=
代入已知条件，得
r=d
经过4 次圆心角均为60°的圆周运动，从A 点恰好水平飞出。进入匀强电场后，带电粒
子在电场中做类平抛运动，即
将E=
代入可得
y=0.25d
粒子速度偏转角的正切值
tanθ=2×
=1
即带电粒子进入匀强磁场②区时与-y 轴的夹角为45°。
粒子进入匀强磁场②区的瞬时速度大小
v′=
v0
带电粒子在匀强磁场②区的轨迹半径
r′=
解得
6
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r′=
（2）带电粒子从匀强磁场②区出来后，根据类平抛知识可知，恰好水平向左出匀强电
场，离开的速度大小恰好为v0，返回匀强磁场①区时，半径大小为r=d、所以第一次恰
好回到O 点，BO=d。
（3）根据带电粒子在磁场中的运动轨迹，首先在匀强磁场①区中的时间
t1=
从A 到C 及从D 到B 的时间相等，总时间
t2=2×
在电场的两段时间相等，总时间
t3=2×
在匀强磁场②区中的时间为粒子转过90°圆心角的时间，即
t4=
从B 回到O 的时间
t5=
所以从出发到回到O 点的总时间为
4．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图1 所示是一个电子检测装置的示意图，两块长度
为d 且平行正对的金属板M、N 相距为d，板间加有如图2 所示的交变电压。M、N 右
侧区域存在垂直纸面向里且范围足够大的匀强磁场。N 右侧边缘。O 点正下方存在着
长度足够长的收集板，收集板通过电流表与大地相连。M、N 左端连线中点处有一粒
子源S，它沿两板间中轴线方向持续均匀射出速度为
、质量为m、电荷量为
的电
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子。已知交变电压最大值
，匀强磁场磁感应强度
，S 在单位时间
内发射的电子数为n，交变电压周期
，电子打到两极板即被吸收，不计电子重
力。求：
（1）
时刻进入极板间的电子打在收集板的位置离收集板顶端O 点的距离；
（2）收集板上能被电子打到的区域长度
（3）若题给条件下电流表有确定示数，求通过电流表的电流I；
（4）若电子射入的速度范围为
，试推导通过电流表的电流i 与v 的关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）见解析
【详解】（1）
时刻，电子在电场中不偏转，直接进入磁场
电子打在收集板的位置离收集板顶端
的距离
处位置
（2）射入磁场的粒子速度为，它在磁场中圆弧对应的弦长
为
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即只要射出磁场，粒子向下打到的点的距离恒等于
，收集板上能被电子打到的区域
长度也等于
；
（3）粒子竖直方向的偏移量表达式为
电压为
则恰好射出对应
时候，对应的电压值
即
所以电流值为
（4）设不同速度对应偏移量
时候对应的电压为
得出
9
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5．（2023·浙江宁波·统考二模）用
射线轰击铝箔
Al 人工产生一定量的放射性同位
素
P 和某种粒子A，放置一段时间
后，部分
P 衰变产生
Si 和正电子。现用如图
所示装置检测
P 在时间
内的衰变率：将核反应产物（电离态的P
、电离态的
Si4+、
粒子、粒子A、正电子等五种粒子）一起注入到加速电场的中心P，忽略各粒
子的初速度，部分粒子经电场加速形成的粒子束1 从正极板的小孔M 射出，被探测板
1 收集；部分粒子经电场加速后形成粒子束2 从负极板上的小孔N 射出，沿半径为
的
圆弧轨迹通过静电分析器，经由速度选择器筛选后（速度选择器中不同粒子的运动轨
迹如图中虚线所示），在磁分析器中沿半圆弧轨迹偏转，最后被磁场边界处的探测板
2 收集。其中加速电场的电压大小为
，静电分析器中与圆心
等距离的各点场强大
小相等，方向指向圆心，磁分析器中以
为圆心的足够大半圆形区域内，分布着方向
垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为
。经检测，探测板1 收集的电荷
量为
，探测板2 收集电荷量为
。设原子核中每个核子的质量均为
，整个系统处
于真空中，忽略检测过程中发生的衰变，不计重力、粒子间的相互作用力及相对论效
应，且已知元电荷量为。
（1）写出
粒子轰击铝箔的核反应方程：
（2）求静电分析器中粒子运动轨迹处电场强度的大小；
（3）求时间
内发生衰变的
P 与人工产生的
P 的比值
；
（4）若磁分析器中磁场有较小的波动，其变化范围为
至
，为将进入磁
分析器的粒子全部收集，探测板2 的最小长度
是多少。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
粒子轰击铝箔的核反应方程为
（2）由题可知
解得
（3）由题可知到达探测板1 的是P
，到达探测板2 的是Si4+，故时间
内发生衰变的
P 与人工产生的
P 的比值
（4）由题可知，每个核子的质量均为
，则Si 的质量为30m，电荷量为4e
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解得
当B 变化范围为
至
，则
探测板2 的最小长度
为
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）如图甲所示，某国货车频繁脱轨、侧翻的重要原因是
铁路轨道不平整。我国的高铁对轨道平整度有着极高的要求，为了检测高铁轨道可能
存在的微小不平整，某科学兴趣小组设计了如图乙所示的方案：M 为水平待测轨道，
其上有一可沿轨道无摩擦运动的小车Ⅰ，车上固定竖直放置的n 匝线圈ABCD，总阻
值为R，小车与线圈总质量为m，线圈中连有微电流传感器，可显示ABCD 中非常微
弱的电流信号，A→B 为电流正方向；N 为标准水平平整轨道（轨道N 与轨道M 平行正
对放置），其上有一可沿轨道运动的小车Ⅱ，小车Ⅱ上安装了车速控制系统，且车上
固定磁场发射装置EFGH，该装置可在EFGH 范围内激发垂直并指向ABCD 的匀强磁
场，磁感应强度大小为
，
，
。现
先将小车Ⅰ、Ⅱ平行正对放置，调节ABCD 的高度，使之略高于EFGH，其高度差远
小于
但大于待测轨道凹凸不平引起的高度差，然后给小车Ⅰ大小为
的初速度，同
时控制小车Ⅱ以相同的速度向前匀速行驶。（不考虑磁场的边缘效应，忽略轨道不平
整对小车沿轨道方向速度的影响）
（1）若在
时间内，微电流传感器显示出如图丙所示的电流信号，问这段时间内
经过的待测轨道是凸起还是凹陷？试简要说明理由。
（2）若小车Ⅱ在行驶过程中突然停止，求小车Ⅰ继续前进并离开的过程中，线圈上产
生的总热量Q。
（3）现控制小车Ⅱ做匀减速直线运动，为确保微电流传感器不损坏，线圈中电流不能
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超过
，求小车Ⅱ做匀减速直线运动时加速度的最大值。
【答案】（1）凸起，见解析；（2）
；（3）
【详解】（1）根据图丙可知，电流先正后负，说明线圈内磁通量先减少后增加，线圈
先向上运动后向下运动，故此处轨道有凸起。
（2）若小车Ⅱ在行驶过程中突然停止
，
根据能量守恒
（3）根据题意分析，小车Ⅰ、Ⅱ相对速度不断变大，小车I 线圈中的电流不断增大，
做加速度不断增大的减速运动，在不分离的情况下，最终小车I 与小车Ⅱ的加速度应
相等，此时小车I 的加速度最大，即电流最大。为确保微电流传感器不损坏，故
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解得
7．（2023·浙江·模拟预测）如图甲所示，MN 与PQ 是两条水平放置彼此平行的金属导
轨，质量m=0.2kg，电阻r=0.5Ω 的金属杆ab 垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感线垂
直于导轨平面，导轨左端接阻值R=2Ω 的电阻，理想电压表接在R 两端，导轨电阻不
计。t=0 时刻ab 杆受水平拉力F 的作用由静止开始向右运动，t1=6s 时ab 杆的速度为
v1=1m/s，整个运动过程中电压表的示数U 随时间t 的变化如图乙所示。已知ab 杆与导
轨间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g 取10m/s2
（1）第5s 末，ab 杆受到的安培力为多大？
（2）第8s 末，ab 杆所受的水平拉力为多大？
（3）在9s 内ab 杆克服滑动摩擦力所做的功为多大？
（4）在图丙中，画出9s 内ab 杆所受的水平拉力F 随时间t 的变化图像。
【答案】（1）0.625N；（2）0.6125N；（3）2.4J；（4）
【详解】（1）第5s 末，回路中的感应电流
I=
=0.5A
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ab 杆产生的电动势为
E=I（R+r)=1.25V
由题图乙可知，4~7s，R 两端电压不变，则ab 杆产生的感应电动势不变，则运动速度
不变，5s 末ab 杆速度与6s 末速度相等，为1m/s，设磁场的磁感应强度为B，ab 杆的
长度为L，则由E=BLv 得
BL=
5s 末ab 杆受到的安培力
F1=BIL=0.625N
（2）由题图甲可知，ab 杆两端的电压随ab 杆的速度变化关系为
U=
v
ab 杆在0~4s 内做匀加速直线运动，在4~7s 内做匀速直线运动，在7~9s 内做匀减速直
线运动，匀减速运动的加速度大小为
a2=
=0.5m/s2
在第8s 末ab 杆所受的安培力为
F2=
N=0.3125N
设第8s 末ab 杆所受的拉力为F，由牛顿第二定律得
μmg+F2-F=ma2
即
F=F2+μmg-ma2=0.6125N
（3）ab 杆在0~4s 内做匀加速直线运动的位移为
x1=
t1=
×4m=2m
ab 杆在4~7s 内的位移为
x2=vt2=3m
ab 杆在7~9s 内的位移为
x3=
t3=
×2m=1m
ab 杆克服滑动摩擦力所做的功为
W=μmg（x1+x2+x3)=2.4J
（4）ab 杆在0~4s 内所受的拉力为
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F11=μmg+
+ma1
a1=
=0.25m/s2
解得
F11=0.45+0.15625t（N）
ab 杆在4~7s 内所受的拉力为
F12=μmg+F1=1.025N
ab 杆在7~9s 内所受的拉力为
F13=μmg+
-ma2
解得
F13=3.1125-0.3125t（N）
画出ab 杆所受的拉力大小变化如图所示。
8．（2023·浙江宁波·校考三模）如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水
平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R 的定值电阻；整个装置
处于两种磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界
线。质量均为m 的两根金属棒MN、PQ 静止于导轨上，两金属棒接入电路的电阻均为
R，与导轨间的动摩擦因数均为
（设金属棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒
始终与导轨垂直且接触良好。某时刻，用水平向左的恒力F 拉MN 棒，使其由静止开
始运动，直到PQ 刚好要滑动的过程中，通过金属棒PQ 的电荷量为q，重力加速度为
g，试求：
（1）PQ 刚好要滑动时，金属棒MN 的速度大小；
（2）上述过程中金属棒MN 在导轨上运动的距离；
（3）上述过程中金属棒MN 产生的焦耳热为多少？
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）PQ 刚好要滑动时PQ 两端的电压为
PQ 的电流大小为
对PQ 受力分析有
解得
（2）由题意可知通过金属棒MN 的电量为2q
解得
（3）对金属棒MN 由动能定理可得
解得
所以金属棒MN 产生的焦耳热为
9．（2023·浙江台州·统考三模）如图所示，相距
的两平行导轨MN、PQ 固定在
水平面上，其中
和O 处为一小段长度可忽略的绝缘材料，其余均为金属材料，两导
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轨左端连接阻值为
的电阻。导轨所在处的空间分布两个竖直向下的有界磁场，
磁场1 宽度为
，右边界与y 轴重合，磁感应强度大小
，磁场2 宽度为
，左边界与y 轴重合，磁感应强度分布规律为，
，水平导轨上
的无磁场区域静止放置一质量为
的“联动双杆”（金属杆ab 和cd 长度均为
，电阻均为2Ω，它们之间用长度为
的刚性绝缘杆连接构成），在外力F
的作用下以
的速度匀速穿过磁场1，完全进入磁场2 后撤去外力F，运动过程
中，杆ab、cd 与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。不计摩擦阻力和导轨电阻，
忽略磁场边界效应。求：
（1）联动双杆进入磁场1 的过程中，通过ab 杆的电荷量；
（2）联动双杆匀速穿过磁场1 的过程中，外力F 做的功；
（3）联动双杆能否穿出磁场2，请说明理由。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）联动双杆进入磁场1 的过程中，cd 杆切割磁感线产生的感应电动势为
流过干路的总电流为
联动双杆进入磁场1 所用时间为
通过ab 杆的电荷量为
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（2）联动双杆进入磁场1 过程中产生的焦耳热为
联动双杆均在磁场1 中运动过程，ab 杆和cd 杆产生的电动势均为
将ab 杆和cd 杆看成一个等效电源，则等效电源电动势和内阻分别为
，
联动双杆均在磁场1 中运动过程的时间为
联动双杆均在磁场1 中运动过程产生的焦耳热为
联动双杆出磁场1 过程中，ab 杆与
构成回路，该过程产生的焦耳热为
可得
联动双杆匀速穿过磁场1 的过程中，根据能量守恒可知，外力F 做的功为
（3）联动双杆完全进入磁场2 后撤去外力F，联动双杆在磁场2 的运动过程中，设cd
杆所在位置的磁感应强度为
时，ab 杆所在位置的磁感应强度为
，根据
可知
联动双杆产生的总电动势为
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双杆与导轨构成回路的电流为
联动双杆受到的安培力合力大小为
设联动双杆速度减为0 时在磁场2 中运动的位移为，根据动量定理可得
又
联立可得
由于
故联动双杆不会穿出磁场2。
10．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图（甲）所示，两个完全相同的“人”字型金
属轨道面对面正对着固定在竖直平面内，间距为
，它们的上端公共轨道部分保持竖
直，下端均通过一小段弯曲轨道与一段直轨道相连，底端置于绝缘水平桌面上。
、
（图中虚线）之下的直轨道
、
、
、
长度均为
且不光滑（轨道
其余部分光滑），并与水平方向均构成
斜面，在左边轨道
以下的区域有垂直
于斜面向下、磁感应强度为
的匀强磁场，在右边轨道
以下的区域有平行于斜面
但大小未知的匀强磁场
，其它区域无磁场。
间连接有阻值为
的定值电阻与
电压传感器（e、f 为传感器的两条接线）。另有长度均为
的两根金属棒a 和b，它们
与
、
之下的轨道间的动摩擦因数均为
。金属棒a 的质量为
、电阻
为
；金属棒b 的质量为
、电阻为
，金属轨道电阻不计。先后进行以下两种操
作：
操作Ⅰ：将金属棒a 紧靠竖直轨道的左侧，从某处由静止释放，运动到底端
过程
中棒始终保持水平，且与轨道保持良好电接触，计算机屏幕上显示的
图像如图
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（乙）所示（图中
）；
操作Ⅱ：将金属棒a 紧靠竖直轨道的左侧、金属棒b（图中未画出）紧靠竖直轨道的右
侧，在同一高度将两棒同时由静止释放。多次改变高度重新由静止释放，运动中两棒
始终保持水平，发现两棒总是同时到达桌面。（
，
）。
（1）试求操作Ⅰ中金属棒a 到
的速度大小；
（2）试求操作Ⅰ全过程定值电阻上产生的热量
和通过磁场区域的时间；
（3）试求右边轨道
以下的区域匀强磁场
的方向和大小。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）沿斜面向下，
【详解】（1）操作Ⅰ中甲到
时，有
又
联立解得
（2）由图有
21
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解得
根据能量守恒可得
解得
定值电阻上产生的热量为
对金属棒a，由动量定理可得
又
联立解得
（3）因为两棒同时静止释放，又总是同时到达桌面，所以任意瞬间两棒运动状态一致；
回路的总电阻为
某时刻对a 棒，根据牛顿第二定律，有
对b 棒，安培力必须垂直斜面向下，所以
沿斜面向下；根据牛顿第二定律，有
两棒加速度相等，联立可得
22
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11．（2023·浙江·校联考三模）现代科学研究中经常利用电场、磁场来控制带电粒子的
运动．在平面直角坐标系
中存在如图的电磁场，在x 轴上方有方向垂直纸面向外、
半径为R 的圆形匀强磁场
区域，圆心
的位置坐标为
，x 轴下方有宽度为d、
电场强度为E、方向沿y 轴负向的匀强电场，边界
与x 轴平行．在
下方有垂直
纸面向外，磁感应强度随y 轴衰减的磁场，为了研究非均匀磁场对带电粒子的偏转，
简化建立如图所示理想模型．设每个磁场间距均为d，磁场分界线与x 轴平行，从上向
下磁场依次减弱，第一区域磁感应强度为
，下面各区域磁感应强度依次为
、
、……、
的匀强磁场．在第二象限磁场区域左侧有一平行于y 轴的线状粒
子源
（b 点与O 等高）源源不断发射沿x 轴正方向初速度均为
的正电粒子进入匀
强磁场
，从b 点射出的粒子恰好从O 点进入电场．已知
、
、
、
、
、
、
，粒子重力和其相互
间作用力均不计，计算结果可以保留根式，求：
（1）粒子的初速度
；
（2）粒子穿过
边界时的速率v；
（3）粒子从进入匀强磁场
至运动到
边界时所经历的最长时间；
（4）若从a 射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，则至少需要几层衰减磁场才能
确保粒子不从衰减磁场下方射出？
23
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）3 层
【详解】（1）从
点射出的粒子恰好从
点进入电场，则粒子在匀强磁场
区域做圆
周运动的半径
质子在磁场中作匀速圆周运动，根据
联立可得
（2）电子经过电场区域，由动能定理
代入数据可得
（3）从
点射出的粒子在磁场和电场中运动的时间最长，故总时间最长，设该粒子在
磁场中运动的时间为
，则
设粒子在电场中运动的时间为
，则电场中恰好做类平抛运动
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代入数据可得
故总时间
（4）设向下速度为
，水平速度为
，在水平方向上很短时间，有
粒子恰好未进入衰减磁场第二层，则有
点进入的粒子在衰减磁场中沿
轴的偏移量最大，在衰减磁场中依次有
最低点时水平速度为，联立方程组代入可得
最多3 层就能确保粒子不从衰减磁场射出。
12．（2023·浙江绍兴·统考二模）近日，某研究团队的“实验证实超导态‘分段费米
面’”科研成果入选2022 年度“中国科学十大进展”，超导体圆环半径为r，常温下
电阻为R，圆环的环横截面半径远小于圆环半径。
（1）如图1，钕磁铁沿圆环轴线从上到下穿过，圆环面上沿轴线方向的磁感应强度分
量的平均值
随时间变化的情况如图2 所示（已作简化处理），求
时间内圆
环中电流
的大小与方向（从上往下看）；
（2）求（1）过程中
时间内圆环产生的焦耳热；
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（3）磁单极子是理论物理中指一些仅带有
极或
极单一磁极的磁性物质，它们的磁
感线分布类似于点电荷的电场线分布，如图3 所示，图中包围一个
极的磁单极子球
面的磁通量为
，此磁单极子从上向下以恒定速度沿轴线穿过低温超导态的圆环，
求该磁单极子到达圆环中心时圆环中的感应电动势；（不考虑线圈的自感）
（4）当磁单极子穿过环后（看作相距无穷远），研究人员测得环中初始电流为
，设
环中单位体积的自由电子数为
，电子质量为
、电荷量为，环的电阻率为
．经一
年以上的时间检测出电流变化量
，其中
，求
的值。
提示1：导体中的电流
可表示为
，其中
为单位体积的自由电荷数，
为自
由电荷带电量，为导体截面积，为电荷定向移动速率。
提示2：本题中可把情境理想化：各个自由电荷定向运动的速率都是相同的。
提示3：当
，
【答案】（1）
；顺时针方向；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内，有
又
由楞次定律可知顺时针方向。
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（2）
时间内
时间内
根据焦耳定律，可得
，
则有
（3）以磁单极子为球心，半径为的球面的磁通量为
，设距磁单极子距离为处的
磁感应强度为
，有
磁单极子到达圆环中心时，相当于圆环切割磁感线，产生感应电动势为
代入可得
（4）建立能量关系，环中的电子动能减小，转化为焦耳热．即
时间内环中焦耳热
环中定向移动电子减少的动能总和
式中
分别代表环中单位体积内定向移动电子数、圆环周长、圆环截面积，由电
阻定律得
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由已知条件
，
联立上述各式，得
13．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示为某种粒子注入机的原理模型，在坐标系
xOy 平面内，正离子质量为m，带电量为q，以速度
从A 点射入磁感应强度大小为
B，宽度为d（未知）的匀强磁场，A 点坐标为
，离子从y 轴上的H 点与y 轴
负方向成θ 角射入第一象限，此时在第一象限内加与离子速度方向垂直的匀强电场，
使离子在第一象限内做类平抛运动且垂直x 轴射出电场。随后离子进入第四象限的圆
形磁场中，经该磁场偏转，打到很长的离子收集板上，该板离圆型磁场最低点M 为
处，不计离子受到的重力，及离子间的相互作用。
（1）求第二象限的磁场宽度d；
（2）求匀强电场的电场强度E 的大小；
（3）若去掉电场，调整系统，让离子从K 点与x 轴正方向成30°射入圆形磁场，磁场
半径为
，方向垂直纸面向外的圆形偏转磁场系统内，磁感应强度大小取值范
围
，求吸收板上离子注入的宽度。
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【答案】（1）
；（2）
或
；
（3）
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
根据几何关系有
解得
（2）电场线与x 轴所成的角为
，由于A 点坐标为
，根据
解得
即粒子圆周运动的圆心在磁场左侧边界与x 轴的交点位置，令粒子射出匀强电场时的
速度大小为v，将E、
沿x 轴和y 轴分解，在y 轴方向有
将
沿电场和垂直于电场方向分解，则有
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解得
或
（3）结合上述分析，并由几何知识可得圆形磁场中轨迹半径
满足
所以粒子轨迹如图所示
当
时由几何知识可知，离子竖直向下离开，落点到N 点距离
当
时由几何知识，离子从M 点与水平方向成30°离开，落点到N 的距离
则宽度为
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，在水平面内存在垂直
平面向里、大小为B 的匀强磁场和与之正交的匀强电场E。一质量为m、带电荷量为
的粒子在水平面内做匀速率圆周运动，电场跟随带电粒子一起以角速度
绕
圆心转动，电场方向与速度方向夹角
保持不变。带粒子在中性气体中运动时受到气
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体的粘滞阻力与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即
。不考虑带电粒
子运动时的电磁辐射，不计重力。
（1）求
，
时，带电粒子运动的角速度
；
（2）求带电粒子运动速度的大小v 和
（用m、
、k、q、B 和E 表示）；
（3）求电场力的功率及功率的最大值；
（4）若电场力的功率减小为最大值的一半，求速度。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，
；（4）
【详解】（1）
，
时，带电粒子运动的周期
带电粒子运动的角速度
（2）带电粒子在水平面内做匀速率圆周运动，则粒子在运动方向上所受合力为零
解得带电粒子运动速度的大小
洛伦兹力与电场力的分力的合力提供向心力
又
，解得
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（3）电场力的功率
当
时，功率的最大值
（4）若电场力的功率减小为最大值的一半
解得
15．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平行板电容器中有垂直纸面向里的匀强磁场B1
和竖直向下的匀强电场E1，平行板电容器右端有孔，且孔在平行于金属板的中轴线上。
一束质量均为m、电荷量均为q，但速度大小不同的正、负粒子从O1点，沿平行板电
容器中轴线水平射入，飞出后的带电粒子经过匀强电场E1后，立即进入矩形匀强磁场
B2。矩形磁场上下对称。不考虑粒子间相互作用、粒子的重力。已知匀强磁场B1、B2
的磁感应强度均为B0，匀强电场E2的宽度为d，E1=
。
（1）求从平行板电容器飞出的带电粒子的速度大小v0；
（2）带电粒子在匀强电场E2中的偏转距离y=
，求匀强电场E2；
（3）在上一问中，匀强磁场B2的面积至少是多少，带电粒子轨迹全部都在磁场中。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
d2
【详解】（1）在平行板电容器中，只有满足洛伦兹力等于静电力，带电粒子才会做匀
速直线运动飞出该区域，即
所以
v0=
=
（2）在匀强电场E2中的带电粒子做类平抛运动，假设为正电荷
d=v0t，y=
·
）
2
由于正电荷向下偏转，负电荷向上偏转，偏转距离均为
y=
因此
E2=
（3）设带电粒子在匀强电场E2中做类平抛运动的速度偏转角为θ，位移偏转角为α，
由类平抛运动的推论可知
tanθ=2tanα=
=
解得
θ=30°
带电粒子射入磁场的速度
=cos30°
即
v=
v0
正电荷在磁场中的半径
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r=
联立解得
r=
d
正电荷的轨迹如图所示
由几何关系可知，磁场的宽度
d1=r-rcos60°=
d2=
d+
r=
d+2d
负电荷的轨迹与正电荷关于中轴线对称，所以匀强磁场B2的面积至少为
S=2d1d2=
d2
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图甲所示，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r 的圆环形光
滑细玻璃管，环心O 在区域中心。一质量为
、带电量为
（
）的小球，在管内
沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动。已知磁感应强度大小
随时间的变化关系
如图乙所示（图中的
为已知量），其中
。设小球在运动过程中电量保持不
变，对原磁场的影响可忽略。在
到
这段时间内，小球恰好不受细管侧壁的作
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用力。
（1）求小球的速度大小
；
（2）在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生感生电场，其电场线是在水平面内
一系列的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。试求
到
这段时
间内；
①细管内感生电场的场强
的大小和方向（从上向下看，填“顺时针”或“逆时
针”）；
②电场力对小球做的功
；
③细玻璃管侧壁是否存在对小球的弹力？如果存在，是哪一侧（填“内侧”或“外
侧”）对小球有弹力？并说明理由。如果不存在，请说明理由。
【答案】（1）
；（2）①
，方向为逆时针；②
；③见解
析
【详解】（1）在
到
这段时间内，小球恰好不受细管侧壁的作用力，说明洛
伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
解得
（2）①根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为
根据电势差与电场强度的关系，有
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联立解得细管内感生电场的场强大小为
根据楞次定律可知，感生电场方向为逆时针。
②电场力为
根据牛顿第二定律可得
小球的末速度大小为
根据动能定理，电场力做的功为
③在
到
这段时间内，有
假设在
到
这段时间内，侧壁对小球没有弹力，设在
时刻，由洛
伦兹力提供向心力，可得
其中
又
联立可得
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所以侧壁对小球存在弹力，且是内测对小球有弹力。
17．（2023·浙江杭州·统考二模）如图所示，电池通过开关
与两根光滑水平轨道相
连接，轨道的S、T 两处各有一小段绝缘，其它位置电阻不计，轨道间L=1m，足够长
的区域MNPO 内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
=0.5T，QR 右侧足够长的区域
内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
=0.5T，O、P 两处各有一微微突起的导电结
点，结点不影响金属棒通过。轨道右端电阻
=0.1Ω，P 与R 间有一开关
。轨道上
放置三根质量m=0.03kg、电阻r=0.1Ω 的相同金属棒，金属棒甲位于
磁场内的左侧；
金属棒乙用较长绝缘细线悬挂在
磁场外靠近OP 边界的右侧，且与导电结点无接触；
金属棒丙位于
磁场内的左侧。闭合K1，金属棒甲向右加速，达到稳定后以
=2m/s
速度与金属棒乙碰撞形成一个结合体向右摆起。此时立即断开
并闭合
，当两棒结
合体首次回到OP 时，恰与导电结点接触(无碰撞)，此时导体棒丙获得向右的速度。两
棒结合体首次向左摆到最大高度h=0.032m 处被锁止。空气阻力不计，不考虑装置自感。
求:
（1）电池电动势E 的大小；
（2）碰后瞬间甲、乙结合体的速度大小
；
（3）结合体与导电结点接触过程，通过金属棒丙的电荷量q；
（4）全过程金属棒丙产生的焦耳热Q。
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【答案】（1）1V；（2）1m/s；（3）0.024C；（4）
【详解】（1）当感应电动势大小等于电池电动势大小时，金属棒匀速运动，电池电动
势
E=
（2）根据动量守恒
得碰后瞬间甲、乙结合体的速度大小
（3）根据
得两棒结合体首次回到OP 时的速度
方向向左
对结合体，由动量定理得
代入数据解得
（4）对金属棒丙分析，其产生瞬间的速度，由动量定理得
解得
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金属丙棒到达绝缘段前，则有
分配至金属棒丙有
金属丙棒到达绝缘段后，最终静止，则有
分配至金属棒丙有
则全过程金属棒丙产生的焦耳热
18．（2023·浙江杭州·统考二模）某离子诊断测量装置的简化结构如图所示。在第一象
限中存在一沿y 轴正方向，电场强度
的匀强电场。在第二、三象限存在垂直
xOy 平面向外磁感应强度
的匀强磁场。有一块长度为a 的探测板CD，仅可在
第四象限范围内移动，且始终接地。在第一象限的抛物线
上有一簇
粒子源，沿x 轴负方向发射大量负离子，离子的质量为m、电荷量为-q(
)。速度大
小均为
，单位时间发射的离子数为N，这些离子沿y 轴均匀分布。稳定工作后，若
探测板CD 在某处平行于y 轴固定，则从O 点出射的离子恰能击中探测板的C 点，从A
点(a，2a)出射的离子恰能击中探测板的D 点。不计离子的重力及相互作用，不考虑离
子间的碰撞。
（1）求探测板上C 点的纵坐标
；
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（2）求探测板的横坐标
；
（3）求离子第二次经过y 轴时的纵坐标y 与其出发点的横坐标x 的关系；
（4）若探测板沿x 轴平移，求单位时间内，板上接收到的离子数n 与板的横坐标x 之
间关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）任意离子第二次穿越y 轴时的纵坐标为
，与其出发点的横坐标x 无关；（4）
【详解】（1）O 点出射的离子直接进入第三象限做匀速圆周运动有
解得
恰能击中探测板的C 点，得到C 点纵坐标为
（2）假设A 点粒子从原点上方出电场则有
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解得
说明该粒子从原点进入磁场。设磁场粒子速度为v，且与水平方向夹角为
，在磁场中
有
解得
从F 点射出，由电场中的类平抛运动可知，
如图所示
由
解得横坐标为
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（3）在抛物线上任取一点
，则
若该处发射的离子进入第二象限，则有
解得
可见
故所有离子均从O 点进入第三象限。此时粒子速度为
且与水平方向夹角为
，在磁
场中有
第二次过y 轴时，坐标为
解得
所以任意离子第二次穿越y 轴时的纵坐标为
，与其出发点的横坐标x 无关。
（4）由（3）的结论得
①当
时
②
时，对打在D 点的粒子，如图所示
42
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对于第一象限的类平抛运动有
由于在第一象限沿着y 轴均匀分布，则击中挡板的比率为
解得
纵上所述可得
19．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图所示，两根竖直放置的足够长金属导轨MN、
PQ 间距为l，底部是“△”型刚性导电支架，导轨区域布满了垂直于平面MNQP 的磁
感应强度为B 的匀强磁场。长为l 的金属棒ab 垂直导轨放置，与导轨接触良好。半径
为r 的轻质圆盘与导轨在同一竖直平面内，可绕通过圆盘中心的固定转轴O 匀速转动。
圆盘与导轨间有一T 型架，T 型架下端与金属棒ab 固定连接，在约束槽制约下只能上
下运动。固定在圆盘边缘的小圆柱体嵌入在T 型架的中空横梁中。当圆盘转动时，小
圆柱体带动T 型架进而驱动金属棒ab 上下运动。已知ab 质量为m，电阻为R。“△”
型导电支架共六条边，每条边的电阻均为R。MN、PQ 电阻不计且不考虑所有接触电
43
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阻，圆盘、T 型架质量不计。圆盘以角速度
沿逆时针方向匀速转动，以中空横梁处
于图中虚线位置处为初始时刻，求：
（1）初始时刻ab 所受的安培力；
（2）圆盘从初始时刻开始转过90°的过程中，通过ab 的电荷量；
（3）圆盘从初始时刻开始转过90°的过程中，T 型架对ab 的冲量I；
（4）圆盘从初始时刻开始转过90°的过程中，T 型架对ab 做的功。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）初始时刻，导体棒
的速度
则导体棒
切割磁感线产生的电动势为
整个回路的电阻
则导体棒
受到的安培力大小为为
（2）运动到最底端过程，导体棒
的电荷量
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（3）由动量定理可得
（4）设运动到最底端过程中，导体棒对
做功为
，则由功能关系可得
20．（2023·浙江台州·统考二模）如图所示，在一个匝数为N、横截面积为S、阻值为
的圆形螺线管内充满方向与线圈平面垂直、大小随时间均匀变化的匀强磁场
，其
变化率为k。螺线管右侧连接有“T”形金属轨道装置，整个装置处于大小为
、方向
竖直向下的匀强磁场中，该装置由位于同一水平面的光滑平行导轨AP、
和粗糙竖
直导轨SW、
构成，导轨间距均为l。开始时，导体棒a、b 分别静置在水平轨道上
左右两侧适当位置，b 棒用一绝缘且不可伸长的轻绳通过光滑转弯装置O 与c 棒相
连，与b、c 棒相连的轻绳分别与导轨SP、SW 平行，三根导体棒的长度均为l 且始终
与导轨垂直接触。刚开始锁定b 棒，闭合开关K 后，a 棒由静止开始运动，与b 棒碰前
瞬间，a 棒的速度为
，此时解除b 棒的锁定，同时断开开关K，碰后两棒粘在一起运
动，此后导体棒减速为零的过程中c 棒产生的焦耳热为Q。已知三根导体棒的质量均
为m，电阻均为
，c 棒与竖直轨道间的动摩擦因数为
，a、b 棒碰撞时间极短，不
计其他电阻及阻力，重力加速度为g。求
（1）开关K 刚闭合时，通过a 棒的电流大小；
（2）a 棒从静止加速到
的过程中，流过a 棒的电荷量；
（3）a、b 棒碰后瞬间，a 棒的速度大小；
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（4）c 棒上升的最大高度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）开关K 刚闭合时，产生的感应电动势
通过a 棒的电流大小
（2）a 棒根据动量定理
流过a 棒的电荷量
（3）a、b 棒碰撞过程中，根据动量守恒定律，对a、b 棒
对c 棒
因此
碰后瞬间，a 棒的速度大小
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（4）整个电路的焦耳热
对c 棒
因此
c 棒上升过程中
c 棒上升的最大高度
21．（2023·浙江绍兴·统考二模）如图所示是半导体注入工艺的装置示意图，某种元素
的两种离子
和
，质量均为m，可从A 点水平向右注入加速电场，初速度大小连
续分布且在0 和
之间。经电压为U 的电场直线加速后，离子均从小孔C 水平射
入偏转电场（两极板水平放置且上极板带负电，电势差
可调），偏转后均能穿出此
电场，其中CD 为偏转电场的中线。离子穿出电场后立即进入紧靠电场的匀强磁场，
该磁场边界线竖直、右侧足够大，磁感应强度大小B 在
和
之间可调，方向始终
垂直纸面向里。不考虑离子的重力及相互作用，元电荷带电量为e。
（1）仅注入初速度0 的离子，
不为0，求
和
穿出偏转电场时竖直方向位移之
比；
（2）仅注入初速度为
的
离子，
不为0 且
，求离子在磁场中射入位
置与射出位置的距离Y；
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（3）若放置一块紧靠磁场左边界的竖直收集板，长度
，下端距D 点的
距离
。先调节偏转电场的电压，使
，仅注入
离子，每秒发射
的离子数为
，各种速率的离子数目相同，再调节磁感应强度大小，使
，
求收集板上每秒能收集到的离子数n 与B 之间的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）设偏转电场的极板间距为
，板长为
，则在加速电场中
在偏转电场中竖直方向位移为
联立上述两方程可得
可知竖直方向位移与所带电荷量无关，仅注入初速度0 的离子时
和
穿出偏转电
场时竖直方向位移之比为
。
（2）仅注入初速度为
的
离子，则在加速电场
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在偏转电场射出后的速度大小为，在磁场当中，设入射方向与磁场边界线夹角为
，
则射入位置与射出位置的距离
，
，
联立以上方程可得
（3）收集板最上端的位置距离
点
初速度为0 的粒子射入磁场后偏转的距离为
初速度为
的粒子射入磁场后偏转的距离为
当
时，所有的粒子均在收集板上。当
解得
即
范围时所有的粒子恰好均在收集板上。当
解得
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即
恰好所有的粒子均不在收集板上。当
范围时，每秒能收
集到的离子数n 为
收集板上每秒能收集到的离子数n 与B 之间的关系为
时
时
时
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示，在
平面内，以
为圆心、R
为半径的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，x 轴下方有一与其平行的直线
ab，ab 与x 轴相距为d，x 轴与直线ab 间区域有平行于y 轴的匀强电场，在ab 的下方
有一平行于x 轴的感光板MN，ab 与MN 间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场。在
的区域内，大量质量为m、电荷量为
的电子从圆形区域左侧沿x 轴正方向
以速度
射入圆形区域，经过磁场偏转后都经过O 点，然后进入x 轴下方。已知x 轴
与直线ab 间匀强电场的场强大小
，直线ab 与感光板MN 间的磁场的磁感应
强度大小
。不计电子重力，取
，
（1）求圆形区域内磁场的磁感应强度大小
；
50
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（2）若要求从所有不同位置出发的电子都不能打在感光板MN 上，MN 与ab 间的最小
距离
是多大？
（3）若要求从所有不同位置出发的电子都能打在感光板MN 上，MN 与ab 间的最大距
离
是多大？
（4）在（3）的条件下，电子从O 点到MN 的运动时间最长是多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
d；（4）
【详解】（1）所有电子射入圆形区域后做圆周运动轨道半径大小相等，设为r，当电
子从位置y=R 处射入的电子经过O 点进入x 轴下方，则
r =R
解得
51
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（2）设电子经电场加速后到达ab 时速度大小为v，电子在ab 与MN 间磁场做匀速圆
周运动轨道半径为r1，沿x 轴负方向射入电场的电子离开电场进入磁场时速度方向与
水平方向成θ 角，则
如果电子在O 点以速度v0沿x 轴负方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，不能打
在感光板上，则所有电子都不能打在感光板上，恰好不能打在感光板上的电子在磁场
中的圆轨道圆心为O2如图，则感光板与ab 间的最小距离
解得
θ＝53°
（3）如果电子在O 点沿x 轴正方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，能打在感光
板上，则所有电子都能打在感光板上．恰好能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道
圆心为O3，如图，感光板与ab 间的最大距离
解得
d
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（4）当感光板与ab 间的距离最大为
d 时，所有从O 点到MN 板的电子中，沿x
轴正方向射入电场的电子，运动时间最长．设该电子在匀强电场中运动的加速度为
a，运动
时间为t1，在磁场B2中运动周期为T，时间为t2，则
运动最长时间
解得
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示，真空中的立方体棱长为
，底面中
心处有一点状放射源S，仅在
所在平面内向各个方向均匀发射
粒子，所有
粒
53
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子的速率均为
，已知
粒子的比荷为
，现在立方体
内施加竖直向上的匀强磁场，使所有
粒子恰好能束缚在正方形
区域内。
面
放有一个屏，该屏可以沿轴左右平移。
（1）求匀强磁场的磁感应强度
的大小；
（2）现让
屏向左沿-z 方向移动
，求打在
屏上的粒子占总数的几分之几；
（3）若在立方体内同时加一个竖直向上的匀强电场，匀强电场的电场强度的大小为
，求粒子打在
屏（屏的位置与（2）相同）上x 坐标最大值和最
小值时对应点的y 坐标；
（4）在
面内，以P 为中心放置一块半径为0.2m 的圆形屏。在竖直向上的匀强电
场的场强大小可以不断改变的条件下，要使所有粒子总能打中屏幕，匀强磁场的磁感
应强度B 的大小要满足什么条件？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
；（4）
【详解】（1）所有
粒子恰好束缚在正方形
区域内，由几何关系得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
（2）向z 轴负方向的粒子恰好能打到屏上，速度方向顺时针旋转
的粒子都能打到
54
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屏上。所以有
的粒子能打到屏上。
（3）
粒子做圆周运动的周期为
粒子运动的俯视图如图所示
由图可知，当
为直径时，射出粒子的x 轴坐标为最大值，此时粒子运动的时间为
此时对应的y 轴坐标
解得
由图可知，当与
面相切时，射出粒子的x 轴坐标为最小值，此时粒子运动的时间
为
此时对应的y 轴坐标为
解得
（4）要让所有
粒子总有打到圆屏上，由它们的轨迹半径应该满足
55
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粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
24．（2023·浙江温州·统考三模）如图所示，足够大的光滑水平地面上有一水平直角坐
标系，第一、二和四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
，
和
为光滑挡板，A 点坐标为
，足够长的
挡板与x 轴夹角为
。第三象限内一
个电荷量为q、质量为m 的可视为质点的带正电小球，以某一速度沿直线运动通过相
互垂直的电场和磁场后，从A 点垂直x 轴进入第二象限，小球与
挡板的碰撞为弹性
碰撞；小球与
挡板碰撞后反弹，垂直挡板方向的速度大小减为碰前的二分之一，
平行挡板方向的速度不变，碰撞过程中小球电荷量保持不变。已知第三象限内的电场
强度与磁感应强度的比值为
。求
（1）小球从A 点进入磁场到第一次撞击
挡板所用的时间及第一次撞击点坐标；
（2）小球打在
挡板上离坐标原点的最远距离
；
（3）当小球打在
挡板上离坐标原点最远位置时，将
方向反向（大小不变），同
时加一个沿y 轴负方向的匀强电场E，此后小球沿y 轴负方向运动的最大距离h（用
m，E，
，q 表示）。
【答案】（1）
，
；（2）l；（3）
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【详解】（1）设第三象限内的电场强度与磁感应强度分别为
，小球以某一速度沿直
线运动通过相互垂直的电场和磁场，根据洛伦兹力和电场力左右平衡
解得
又已知第三象限内的电场强度与磁感应强度的比值为
，得
小球在磁感应强度为
的磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
解得
小球做顺时针圆周运动，与板碰撞后原速率反弹继续做半径不变的圆周运动，直至打
到OC 板上，轨迹如图所示
从A 点至第一次打到OC 板，小球圆周运动转过的总角度为
周期为
小球从A 点进入磁场到第一次撞击
挡板所用的时间
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设第一次撞击点坐标为
第一次撞击点坐标为
。
（2）小球垂直撞击OC 挡板后，反弹后速度大小减为碰前的二分之一，根据
解得
可知每次反弹后圆周运动半径变为原来的二分之一
故小球打在
挡板上离坐标原点的最远距离
代入数据得
（3）受力分析如图所示
58
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开始时小球沿斜面匀加速滑动，其加速度为
当
时，小球离开斜面，此过程小球y 轴负方向运动的距离为h1，则有
之后脱离斜面，x 轴正方向由动量定理得
即
求和得
x 方向初始速度
小球y 轴负方向运动到最大距离时，其速度v1沿x 轴正方向。由动能定理得
联立上述两式得
故小球y 轴负方向运动最大距离为
将
代入得
25．（2023·浙江金华·校联考一模）如图（俯视）所示，在间距L=0.2m 的两光滑平行
59
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水平导轨间，磁感应强度分布沿y 方向不变，沿x 方向如下：
，
x≥0 区域内的导轨为绝缘材料，导轨间通过单刀双掷开关S 连接稳压电源U=1V 和电容
C=1F 的未充电的电容器，有一质量m=0.16kg、R1=1Ω 的金属棒a 垂直导轨静止放置于
x<0 区域某处，且离开x=0 处足够远，未闭合多匝矩形线框b 静止在x>0 区域，线框沿
y 方向长度L1=0.2m，沿x 方向宽度L2=0.1m，匝数n=80，阻值R2=9Ω，质量
M=0.64kg。当开关S 掷向1 时给电容器充电，电容器充电结束后开关S 掷向2，已知金
属棒a 在运动过程中始终与导轨垂直。求：
（1）开关S 接通2 瞬间，金属棒a 的加速度a1；
（2）金属棒a 刚运动到x=0 处时的速度v1；
（3）金属棒a 越过x=0 处后与线框b 碰撞，刚好合为一个闭合的多匝线框，则该线框
最终停止运动时，离开x=0 处的距离。
【答案】（1）1.25m/s2，方向沿x 轴正方向；（2）1m/s；（3）
【详解】（1）开关S 接通2 瞬间，金属棒a 两端电压为U，则有
由牛顿第二定律有
解得
a1=1.25m/s2
方向沿x 轴正方向。
（2）金属棒a 开始时离开x=0 处足够远，所以金属棒a 运动到x=0 处时速度已稳定，
此时，电容器两端电压
假设速度从零增大到v1过程流过金属棒的电荷量为q，则有
60
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取向右为正方向，对金属棒a 有
又由于
解得
v1=1m/s
（3）设金属棒a 与线框b 碰撞后速度为v2，取向右为正方向，由动量守恒定律得
mv1=（M+m）v2
解得：
v2=0.2m/s
由于线框沿x 方向宽度L2=0.1m，根据题意，可知闭合的多匝线框左右两边的磁感应强
度差值保持不变
ΔB=0.1T
假设线框某时刻速度为v，则线框的感应电动势
E=nΔBL1v
感应电流
线框所受的安培力
根据动量定理得
|IF 安|=（M+m）v2
即有
则有
61
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解得
26．（2023·浙江金华·校联考一模）如图所示，真空中有一长为H 的直细金属导线
，置于一半径为、高为
的金属圆柱网面的轴线上，导线
与金属圆柱网面
之间电压恒为
，导线
为负极。金属圆柱网面与半径
的同轴等高圆
柱面之间，磁感应强度为
，其大小可调。假设导线每秒逸出的电子数为
，同一高
度逸出的电子均沿水平径向由静止开始加速，且沿各径向方向也均匀分布。已知电子
质量为
，不考虑出射电子间的相互作用。
（1）求电子到达金属圆柱网面速度大小
；
（2）要求没有电子能飞出半径
的圆柱侧面，求磁感应强度的最小值
；
（3）若磁感应强度的大小保持上题（2）得到的最小值
，并在金属圆柱网面与半径
为
的圆柱面之间，加竖直向下的匀强电场，电场强度为
（
），接收板
圆心与
点重合，半径为
，厚度忽略不计，在该金属板上接地的线路中检测
到电流的电流强度为
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，由动能定理有
解得电子到达金属圆柱网面速度大小
62
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（2）根据题意，没有电子能飞出半径
的圆柱侧面，临界情况就是让电子轨道与半径
为
的圆柱侧面相切，这样求解的是磁感应强度的最小值
，画出柱面以及轨迹俯
视图如下图所示
根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力
解得磁感应强度的最小值
（3）根据题意可知，电子运动可以理解为两个分运动，一是水平方向的匀速圆周运动，
周期为
一是整竖直方向上匀加速直线运动，加速度为
俯视图如图所示
电子匀速圆周运动分别通过①②③④⑤位置，其中①⑤位置分别为刚出和回到金属圆
63
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柱网面，②④位置为轨迹与接收板边缘的交点，根据题意以及几何关系可以证明
则①至②过程圆弧对应圆心角，④至⑤过程圆弧对应圆心角均为
，由于
，
则最下端的电子达到接收板的时间小于
。若最下端电子在
时刻到达接收板，则
解得
若最下端电子在
时刻到达接收板，则
解得
第一种情况，若最下端电子在
到达接收板，即
所有电子均能在①至②过程到达接收板，则有
第二种情况，若最下端电子在
内到达接收板，即
那么能在
时刻到达接收板的电子离开接收板的距离为
离开接收板的距离小于
的电子能在轨迹①至②过程达到接收板，所以
64
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第三种情况，若最下端电子在
内到达接收板，即
那么能在
时刻到达接收板的电子离开接收板的距离为
则离开接收板的距离大于
的电子能在轨迹④至⑤过程达到接收板，离开接收板的距
离小于
的电子能在轨迹①至②过程达到接收板，则有
27．（2023·浙江宁波·校考三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内，以
O1（2a，0）为圆心，a 为半径的半圆内不存在磁场，除此之外第一象限的其它区域都
存在与纸面垂直、磁感应强度为B 的匀强磁场，从原点以不同速率同时沿y 轴正方向
发出比荷为k 的带正电粒子，这些粒子仅在洛伦兹力的作用下向右偏转，其中速率为v
（未知）的粒子最早离开磁场区域。
（1）说明磁场的方向并求带电粒子在磁场中运动的最短时间；
（2）求粒子的速度v 大小；
（3）求从x 轴上MO1之间的任一点C 垂直x 轴沿y 轴正方向以速度v 射入第一象限的
比荷为k 的带正电粒子离开磁场的位置的x 轴坐标范围（请写出必要的证明过程）。
【答案】（1）
；（2）kBa；（3）3a
【详解】（1）根据带电粒子的入射方向和偏转方向，应用左手定则，可知匀强磁场垂
直纸面向外；带电粒子在磁场中运动的时间最短，则对应的圆心角最小，过原点O 做
圆弧切线，如图所示
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设带电粒子在磁场中圆周运动的圆心角为α，由几何关系可得
带电粒子在磁场中的周期为
粒子在磁场中运动的最短时间为
（2）因带电粒子恰好以最短时间通过磁场，由几何关系可得粒子做圆周运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力可得
代入数据，其速度大小为
（3）设带电粒子从MO1上任一点C 垂直x 轴沿y 轴正方向以速度v 射入第一象限，经
过虚线圆上的D 点进入磁场，过D 做速度的垂线DE，由于
任意四边形O1DEN 为菱形，所以从x 轴上MO1之间的任一点C 垂直x 轴沿y 轴正方向
射入第一象限的比荷为k 的带正电粒子都能通过N 点，离开磁场的位置
28．（2023·浙江金华·统考三模）如图甲所示，有一竖直放置的平行板电容器，两平行
金属板间距为l，极板长度为2l，以极板间的中心线OO1为y 轴建立如图里所示的坐标
系，在
直线上方全部区域加上垂直纸面向里磁感应强度为B 的匀强磁场。现有
66
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大量电子从入口O 点以平行于y 轴的初速度射入两极板间，经过磁场区域后所有电子
均能打在
所在的直线上，已知电子的质量为m，电荷量为e。
（1）如果电子的速度范围为
，求电子打在
所在的直线上的落点范围长度
；
（2）在两极板间加上如图乙所示的交变电压（t=0 时右极板带负电）。t=0 时从O 位
置入射速度为v0的电子恰好能在t=T 时刻从D 点平行极板射出，求交变电压的周期T
和电压U0的值；
（3）如图丙在
所在直线上某处K，安装一块能绕K 旋转的挡板，现将挡板从水
平位置逆时针转到与y 轴正方向成
角（
），从
位置以平行于y 轴速度
射出的电子经过磁场偏转打在档板某处H，已知运动轨迹的圆心为
（在K 左侧），
，
，求
；
（4）如图丁，宽度均为d 的n 个匀强磁场和
个匀强电场交替分布，电场、磁场的
边界与水平方向均成θ 角，沿边界方向范围足够广。有界磁场磁场的磁感应强度大小
依次为B0，2B0，3B0，.....nB0，磁场方向垂直纸面向外，电场方向垂直边界向上。在两
极板间加上如图乙所示的交变电压（t=0 时右极板带负电）。已知
，
。
t=0 时从O 位置以v0为初速度的电子从平行极板射出后射入I 区磁场，若电子恰好不能
从第n 个磁场上边界射出，求匀强电场的场强大小。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
；（4）
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【详解】（1）由洛伦兹力充当向心力有
，
解得
，
由此可知，电子打在
所在的直线上的落点范围长度
（2）根据题意可知，粒子在极板间竖直方向做匀速直线运动，水平方向向左xianzuo
匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，则有
,
解得
，
（3）根据已知条件由余弦定理可得
再根据洛伦兹力充当向心力有
解得
（4）电子离开平行极板的速度为v0，方向平行极板，粒子在平行于电场的方向上动量
发生了改变，粒子在经过磁场I 过程中，由动量定理可得
同理，粒子在经过磁场II 的过程中，由动量定理可得
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经过磁场III 的过程中，由动量定理可得
则可知经过磁场
的过程中，由动量定理可得
最终由数学方法整理可得
整个过程由动能定理有
联立解得
29．（2023·浙江台州·校联考模拟预测）如图，
是边长为
的正方形磁性约束
装置，内部存在垂直纸面方向的匀强磁场，
、
中点O、
处各有一窄缝。平行
金属板M、N 和
边平行，长度为
、两板间距离为a，其中M 板紧靠
边且中点
处的窄缝与
边的窄缝对齐，在金属板M、N 上加电压
时，两板间产生的电场可
看成匀强电场。粒子源P 不断向外释放电量为
、质量为m 的粒子，速度大小在
之间，各个方向上的粒子数均匀分布。测量发现每秒有N 个粒子从
点射出，
其中速度大小为
的粒子恰能垂直
边从窄缝射出。不考虑粒子所受重力和粒子间
相关作用力，不考虑电、磁场边界效应，粒子撞到装置边界或极板后马上被吸收并立
即通过接地线被导走。求：
（1）
内磁场的磁感应大小和方向；
（2）打到
边的粒子中，在磁场中运动的最短时间；
（3）当
时，N 板上有粒子打到的区域的长度；
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（4）请定性画出每秒打到N 板上的粒子数n 与电压
的关系图线（需标注特征点）。
【答案】（1）
，垂直纸面向外；（2）
；（3）
；（4）见解析
【详解】（1）如图1
作
的中垂线和
相交于B 点得，速度为
的粒子做圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力
得
根据左手定则判断可知，磁场方向垂直纸面向外
（2）如图2
70
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粒子速度不变时，利用旋转轨迹圆的方法得，射到B 点的粒子比射到
上其它位置
的粒子运动的时间短；
如图3
在射到B 点的粒子中，半径越大，圆心角越小。所以速度大小为
，且打到B 点的粒
子运动时间最短
（3）如图4
连接
，设速度v 与
夹角为
，作图构建几何关系
71
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即粒子垂直
方向的速度大小为
，所以粒子出磁场时速度方向与
的夹角为
（即与
边的夹角为
）；
如图5
粒子在M、N 板间做匀速直线运动，根据几何关系，速度与
边夹角为
的粒子恰
能打到N 板最左侧，与
板垂直的粒子能打到N 板中点，所以有粒子打到的区域长
度为
（4）当
时，所有粒子都不能打到N 板
此时
；
当
得
此时
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30．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，水平面放置两根足够
长平行金属导轨MN 和PQ，导轨间距为
，左端连接阻值为
的电阻，
其余电阻不计。在
处，存在垂直于水平面磁感应强度为0.2T 的匀强磁场，一根质
量为
、金属棒放置在水平导轨上。金属棒从
处开始在外力作用下做“另
类匀加速”运动，即速度随位移均匀增大，
，其中初速度
，
。当金属棒运动到
时，撤去外力，同时磁场随时间发生变化，金属棒则
做匀速直线运动到
处，此时磁感应强度为0.1T，此后磁场保持不变，金属棒立即受
到水平向左的恒力
，金属棒恰好回到
时撤去恒力，恒力作用时长为1.4s。设
运动过程中金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦。求
（1）磁场变化的时间；
（2）金属棒做“另类匀加速”时电阻的焦耳热？金属棒运动到
处，外力的大
小；
（3）金属棒在
间，金属棒的动生电动势大小与位置的关系。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）由于磁场变化导致导体棒做匀速直线运动，即磁通量保持不变，所以
73
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代入数据，可得
导体棒末速度
即磁场变化时间为
（2）由能量守恒，得
导体棒末速度
导体棒所受安培力为
即可得，回路当中的焦耳热为
，所以
由于拉力也是随位移线性变化的，所以位移中点处的拉力为
（3）当金属棒向右运动时，在
到
间
在
到
间：此时磁场发生变化，有
即
从而有
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对于金属棒受水平向左的恒力
作用时，利用动量定理得
得金属棒返回
时速度为
，当金属棒向左运动时
即速度
从而有金属棒向左运动时，在
到
间
31．（2023·浙江金华·模拟预测）如图甲所示为某一电磁复合场装置（主要包括加速电
场、辐向电场、偏转电场和环状区域磁场四大部分）。最左侧为竖直放置的平行板电
容器，竖直电容器左极板处一带正电的粒子X（质量为m，电量为q）从静止开始经过
加速电场加速后沿切线方向进入弧形细管道（半径为
，圆心角为
），弧形细管道
中的电场的电场线均指向圆心。细管道右侧开口处紧挨水平放置的电容器下极板的左
侧，水平电容器之间加上如图所示的交变电压（以X 进入该电容器后开始计时，图乙
中的
和T 为已知量）。X 从辐向分布电场射出后从下极板左端进入右侧水平电容器
并恰好从中线右端水平飞出。最右侧的环状区域内有一垂直于纸面向外的强度为B 的
匀强磁场，内半径为
。电容器中线过环状区域磁场圆心。带正电粒子Y（质量为m，
电量为2q）自中空区域的圆心O 点以某一初速度沿环状区域半径OM 方向射入磁场后，
恰好不能穿出磁场外边界，且从磁场内边界上的N 点第一次射回中空区域。已知
，偏转电场极板间距为
，不计重力影响。
（1）求X 从进入到离开偏转电场所用的时间t；
（2）求加速电场的电压U 和辐向电场的场强E；
（3）求Y 射入环状区域磁场时的初速度
和从O 点出发到同向回到O 点所需的时间
；
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（4）求环状区域磁场外半径
并分析判断X 能否不经过中空区域而直接经过磁场偏转
到达圆环磁场的最低点。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，
，（n=1，2，3…）；（4）
，
，不能
【详解】（1）X 粒子在偏转电场中，由牛顿第二定律
可得
由于X 粒子能从中线右端水平飞出，所以当
时，粒子在竖直方向上的速度可
以减小为0，若当
时，粒子在竖直方向上的速度减小为0，则粒子竖直方向上的位
移为
所以竖直方向上，
内，粒子向上匀减速至速度为零；
内，粒子向上匀加速
至恢复原来的速度；
内，粒子向上匀减速至速度为零。当
时，粒子竖直
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方向上的位移为
，粒子从中线右端水平飞出。
（2）设X 粒子射入偏转电场的速度为v1，由几何可得其与水平方向的夹角为60°。由
动能定理
解得
因为在幅向电场中，电场力对粒子不做功，所以粒子做匀速圆周运动，所以粒子离开
加速电场时的速度即为
，在加速电场中由动能定理
可得加速电场的电压为
在幅向电场中，粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
可得辐向电场的场强
（3）Y 粒子在环形磁场中的运动轨迹如图
由几何可得，粒子运动的轨迹半径为
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由牛顿第二定律
可得Y 射入环状区域磁场时的初速度
Y 粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为
所以它从O 点出发到第一次同向回到O 点所需的时间
所以它从O 点出发到第一次同向回到O 点所需的时间
，（n=1，2，3…）
（4）由几何得环状区域磁场外半径
假设X 粒子能够不经过中空区域而直接经过磁场偏转到达圆环磁场的最低点，则其在
磁场中运动轨迹的半径
则圆心O 点距离轨迹最近的距离
所以假设不成立，即X 粒子不能不经过中空区域而直接经过磁场偏转到达圆环磁场的
最低点。
32．（2023·浙江金华·模拟预测）如图甲所示，无限长的两根通电直导线安装在横放的
绝缘直三棱柱架子的
和
两条棱边上（
），在架子右侧一条棱边
的中点上水平固定一面积为S、电阻为R 的n 匝线圈，线圈到
和
的距离分别为
和
，另外将足够长的平行光滑绝缘轨道固定水平地面上（轨道分别位于
和
的延长线上），轨道间距为
，已知通电直导线周围激发的磁场满足关系：
78
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，其中I 为电流大小，r 为到直导线的距离，k 为某已知常数。
（1）如果
和
上通电导线的电流大小分别为
和
，方向如图中箭头所示，求
线圈中的磁通量（由于线圈面积足够小，通电导线在线圈中激发的磁场可当成匀强磁
场）；
（2）如果通电导线在线圈处激发的磁感应强度的竖直分量
与时间的关系如图乙所
示，图中
已知，求0 到
时间内，流过线圈导线横截面的电荷量；
（3）在第（2）题画波浪线部分的前提条件下，已知
时刻线圈中磁场方向为竖直
向上，假设以俯视观察时逆时针方向为电流正方向。求在0 到T 时间内线圈中的电流
瞬时表达式及电流有效值；
（4）撤去两根通电直导线，现将一质量为m、接入轨道部分电阻为R 的金属棒ab 垂
直放置在轨道上，右方还有质量为
、边长均为
的U 形框cdef，其中U 形框cdef
的电阻为3R。沿绝缘轨道方向建立x 轴，虚线EF 与坐标原点O 在同一水平线上，让
虚线EF 右侧所在空间存在竖直向上的磁场，磁感应强度的分布为
（
）。现在给金属棒ab 一个水平向右的瞬时冲量
，一段时间后金属棒ab 与U 形框发
生完全非弹性碰撞，求ab 与U 形框整体最终静止时de 边的坐标x 及U 形框在运动过
程中产生的焦耳热
。
79
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
；（4）
，
【详解】（1）根据安培定则可知，
和
上通电导线在线圈处产生的磁感应强度
方向如图所示：
由题可得两通电导线在线圈处产生的磁感应强度大小为
，
则线圈处磁感应强度垂直与线圈平面的分量大小为
线圈中的磁通量
解得
80
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（2）由图乙可知，0 到
时间内穿过线圈的磁通量的变化量为
流过线圈导线横截面的电荷量
（3）当
时，线圈中的磁感应强度均匀变化，则感应电流的大小不变，为
由楞次定律可知，线圈中感应电流方向为逆时针，即此过程电流为正；
同理可得，当
时，线圈中的感应电流大小为
线圈中感应电流方向为逆时针，即此过程电流为正；
当
时，线圈中的感应电流大小为
线圈中感应电流方向为顺时针，即此过程电流为负；
当
时，线圈中的感应电流大小为
线圈中感应电流方向为顺时针，即此过程电流为负。
综上可得，线圈中的电流瞬时表达式为
81
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由交变电流有效值的定义可得
解得
（4）金属棒ab 与 U 形框碰撞发生完全非弹性碰撞，设碰撞后共同速度为，根据动
量定理和动量守恒定律有
两棒碰撞构成回路后运动过程，de 边磁场总是比ab 边磁场大
则回路中电流为
全框架受到的安培力的合力为
由题可知，当两棒碰撞后构成回路，才有感应电流和安培力，由动量定理可得
综合上式可得
可得最终静止时整体运动的距离为
则ab 与U 形框整体最终静止时de 边的坐标x 为
82
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由功能关系可得整个线框产生的焦耳热为
U 形框在运动过程中产生的焦耳热为
33．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示，总电阻为
、半径为R 的单匝圆形导
体线圈，两端与导轨
相连，处于竖直向下匀强磁场中，其磁感应强度B 随时
间变化规律为
，其中
为已知量。
是三根材质和
粗细相同的匀质金属棒，
棒的长度为
、电阻为
、质量为
．导轨
与
平行且间距为d，导轨
与
平行且间距为
，
和
的长度相同且与
、
的夹角均为
。由磁场源S 产生的正方形边界匀强磁场存在于区域I 中，边长为
、方向竖直向下、磁感应强度大小为
。区域是和区域相邻的边长也为L 的
正方形区域，
时间内，水平外力使棒
在区域I 中某位置保持静止，且其两端
分别与导轨
与
对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切
摩擦。
（1）求
和内圆形导体线圈产生的电动势多大？
（2）求
内使棒
保持静止的水平外力F；
（3）在
以后的某时刻，撤去右侧圆形磁场，在外力作用下磁场源S 以速度
向左
匀速运动，当磁场从区域I 内全部移入区域Ⅱ时，导体棒
速度恰好达到
且恰好进
入区域Ⅱ，求金属棒
与区域Ⅰ左边界的初始距离
；
83
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（4）在（3）前提下，若磁场全部移入区域Ⅱ时立刻停下，求导体棒
运动到
时
的速度v。
【答案】（1）
；（2）
，方向水平向右；（3）
；（4）
【详解】（1）根据楞次定律和安培定则可知，在
内，感应电动势为
（2）CD 中的电流由C 到D，感应电流为
安培力
则外力
方向水平向右
（3）CD 棒向左加速过程中，导体棒速度为v 时导体棒感应电动势的瞬时值为
安培力的瞬时值为
84
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由动量定理得
联立可得
解得
（4）CD 从区域Ⅱ右边界向左运动距离x 时，棒CD 的速度为
，棒CD 接入回路中的
长度为
则回路中总电阻为
回路中电流为
棒CD 所受安培力为
棒CD 从磁场区域Ⅱ右边界运动到FI 过程
由动量定理得
即
其中
85
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所以
34．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，正方体
的四个侧面固定有荧光
板，正方体棱长
，正方体中心有一粒子源，能沿水平方向均匀向四周发射速度
大小相等、比荷为
的带正电粒子。空间中存在方向竖直向下、磁感应
强度大小为
的匀强磁场，不考虑粒子重力和粒子间的相互作用。
（1）若粒子均能击中四周的荧光板，求粒子速度的最小值。
（2）撤去磁场，在空间中加上竖直向下、大小为
的匀强电场，若要粒子均
能击中四周的荧光板，求粒子初始速度的最小值。
（3）撤去磁场，在空间中加上竖直向下、大小为
的匀强电场，若粒子的速
度大小分布在
与
之间，以
为原点，
为x 轴正方向，
为y 轴正方向建立直角坐标系，求粒子在
面上击中区域的上、下边界分别满
足的函数关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）y=0，
【详解】（1）粒子速度最小时，沿粒子源所在水平截面的对角线方向射出的粒子运动
轨迹与截面正方形相切，如图所示
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由几何关系得
由圆周运动规律有
解得最小速度
（2）粒子速度最小时，沿粒子源所在水平截面的对角线方向射出的粒子恰能击中正方
体下方的顶点，粒子射出后做类平抛运动，在竖直方向上，由牛顿第二定律和运动学
规律有
在水平方向上有
解得
（3）以大小为
、方向垂直坐标平面的速度射出的粒子，射出后在竖直方向上有
则水平位移为
即速度最小的粒子可击中x 轴，又由于
则
边均有粒子到达，即下边界的函数关系式为
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对于速度最大的粒子，由几何关系知，其打在荧光屏上的位置的横、纵坐标值分别满
足
解得
35．（2023·浙江台州·统考三模）如图所示为某离子速度分析器截面图，用于探究空间
区域离子发射的速度。在xOy 平面（纸面）内，两圆相切于点F，圆心位置分别为
O1、O2，与x、y 轴相切于A、C 两点，半径均为R，两圆心连线与OF 垂直，圆内存在
垂直纸面向外的匀强磁场B1、B2，某离子源能发射质量为m、电荷量为q、速度大小、
方向不同的正离子，不计离子的重力及相互作用。（已知
）
（1）某离子以速度v0从A 点沿AO1方向射入磁场B1，经F 点进入磁场B2，求磁感应
强度B1的大小；
（2）调整B2大小，使满足（1）问中的离子不会碰到y 轴，求磁感应强度B2的大小；
（3）若离子源发射点在磁场B1内可移动，且离子的发射方向均沿y 轴正方向，要使离
子都能从F 点垂直OF 方向射入B2场区，求离子发射点位置的函数关系式；
（4）要使（3）问中的离子都能从F 点垂直OF 方向射入B2场区，求B1磁场的最小面
积。
【答案】（1）
；（2）
；（3）x－y = R1，
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，y = (r1－R1)cos45°，
；（4）
【详解】（1）画出离子的运动轨迹如下图
根据几何关系有
再根据
解得
（2）再根据几何关系有
同理（1），解得
（3）若离子源发射点在磁场B1内可移动，且离子的发射方向均沿y 轴正方向，要使离
子都能从F 点垂直OF 方向射入B2场区，则画出其可能的运动轨迹为
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则根据几何关系有
x = R1＋(r1－R1)sin45°
y = (r1－R1)cos45°
或
x－y = R1
y = (r1－R1)cos45°
可解得
或
（4）根据以上分析，可知要使（3）问中的离子都能从F 点垂直OF 方向射入B2场区，
B1磁场的最小面积为
解得
36．（2023·浙江金华·统考三模）如图甲所示，有一固定在水平面上半径为
的光滑金
属圆环，环内半径为
的圆形区域存在两个方向相反的匀强磁场，右侧磁场磁感应强
度为B1，方向竖直向上，左侧磁场磁感应强度为B2，方向竖直向下。两个磁场各分布
在半圆区域内。金属棒a 电阻为R，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转
轴上，随转轴
以角速度ω 顺时针匀速转动。在圆环和电刷间接有阻值为R 的电阻，
90
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通过绝缘件GH 与倾角为θ 且宽度为d 的光滑平行轨道相连接。自感线圈（自感系数为
L，直流电阻不计）和电容器（电容为C）固定于倾斜轨道上，开关S1、S2一开始都处
于断开状态，轨道上锁定着电阻不计、质量为m 的金属棒b，自感线圈和电容器与金
属棒b 的间距足够长，轨道处于磁场磁感应强度为B3匀的匀强磁场中，磁场方向与轨
道面垂直，不计其它电阻，重力加速度为g。
（1）当导体棒a 运动到B1磁场中时，求流过电阻R 的电流大小和方向；
（2）金属棒a 从如图乙所示位置开始计时，顺时针转动一周，在图丙中画出在这一过
程中的UEF—t 图像，UEF为EF 两点的电势差。
（3）若将电键S1闭合，同时金属棒b 解除锁定，若电容器的击穿电压为U，为保证电
容不被击穿，求金属棒b 沿轨道能运动的最远距离x1；
（4）若将电键
闭合，同时金属棒b 解除锁定，求金属棒b 沿轨道能运动的最远距离
。
【答案】（1）
，从E 指向F；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）当导体棒a 运动到B1磁场中时，线圈产生的自感电动势为
感应电流为
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方向：从E 指向F
（2）金属棒a 从如图乙所示位置开始计时，即转动四分之一个周期后电动势方向发生
改变；UEF为EF 两点的电势差，当金属棒a 在右半边转动产生感应电动势，根据右手
定则，可知
由闭合电路欧姆定律得
金属棒a 在左半边转动产生感应电动势，根据右手定则，可知
由闭合电路欧姆定律得
故这一过程中的UEF-t 图像如下
（3）金属棒在倾斜轨道上时
电容的表达式
加速度为
，
对金属棒受力分析，根据牛顿第二定律得
，
92
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则导体棒做匀加速运动，其中最大速度为
有运动学公式
，解得
（4）金属棒b 解除锁定，则在斜轨上初速度为0，开始下滑，因为b 棒与线圈组成的
回路，直流电阻为零，所以必须满足
可得
所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即
所以棒的运动方程为
可知金属棒做简谐运动，平衡位置时，a=0，即
由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为
37．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，光滑平行导轨abc 与def 间距为L，固定在绝
缘水平面上，
之间接一定值电阻，
均与导轨垂直，
段长度均为
L。边界be 右侧存在竖直向上、随时间按照某种规律变化的匀强磁场，b 左侧存在竖直
向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场。现把某质量为m 的导体棒放在af 处，计时开
始时，be 右侧磁场的磁感应强度大小为
，此时给导体棒一个水平向左、与导体棒垂
直的速度，导体棒匀速运动到be 处，继续运动到cd 处速度正好为0。定值电阻阻值为
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R，其余电阻不计。
（1）求导体棒从be 处运动到cd 处过程中回路中产生的热量。
（2）求计时开始后，be 右侧磁场的磁感应强度大小B 随时间t 变化的关系式。
（3）若导体棒从be 处运动到cd 处过程中，回路平均电流为
，求导体棒从af 处运动
到cd 处的运动时间及导体棒从af 处运动到cd 处所受的安培力对时间的平均值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设导体棒匀速运动的速度为v，导体棒从be 处运动到cd 处，由动量定
理可得
由法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律可得
综合解得
回路中产生的热量
（2）导体棒从af 处到be 处做匀速运动，所受合力为0，则所受安培力为0，感应电流
为0，感应电动势为0，故
计时开始时
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t 时刻
综合解得
（3）导体棒从af 处到be 处的运动时间为
解得
由
解得
导体棒从af 处到cd 处的运动时间为
导体棒从af 处运动到cd 处，由动量定理可得
综合解得
38．（2023·浙江·校联考三模）如图所示，有一匝数
匝、内阻
、横截
面积
的螺线管线圈内存在垂直线圈平面向上的匀强磁场，磁感应强度随时间
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变化的规律为
，线圈左侧有电容为
的超级电容器，平行倾斜
金属导轨可通过单刀双掷开关分别与线圈和电容器相连，倾斜导轨与水平金属导轨间
通过一小段光滑绝缘圆弧平滑连接．已知倾斜导轨的倾角
，倾斜导轨和水平导
轨间距均为
，倾斜导轨内存在垂直导轨平面向上、磁感应强度
的匀
强磁场，水平导轨
区域内存在方向竖直向上、宽度为
、磁感应强度为
的匀强磁场，磁场边界与导轨垂直．现将开关接1，将一电阻不计、质量
的金属杆
垂直倾斜导轨放在磁场边界
下方某处，金属杆
处于静止
状态．然后将开关接2，金属杆
由静止开始下滑，当滑到底端
时速度为
，此后进入较长的光滑水平导轨，与磁场边界
左侧的“工”字型联杆发
生弹性碰撞，随后联杆向左运动穿过磁场区域．已知金属杆
与倾斜导轨间动摩擦因
数
，金属杆
、
长度均为
、质量均为
、电阻均为
，与金属杆垂直的绝缘轻杆
长度也为
、质量不计．已知金属杆始终与
导轨良好按触，导轨电阻不计，忽略磁场的边界效应，求：
（1）当开关接1 时，金属杆
所受的摩擦力大小；
（2）当开关接2 时，金属杆
从初始位置运动到倾斜导轨底端
的位移s；
（3）
与联杆相碰后，联杆穿过磁场区域
过程中，
杆上产生的焦耳热？
【答案】（1）1N；（2）4.5m；（3）1.25J
【详解】（1）当开关打到接头1 时，由法拉第电磁感应定律，可知
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感应电流
根据受力平衡列平衡方程
代入可得
（2）当开关打到接头2 时，对金属杆ab 受力分析可知
杆ab 与电容器构成闭合回路，电流
联立求得杆做匀加速运动，加速度
杆ab 运动至底端，根据匀变速直线运动规律有
可得
（3）杆ab 与联动装置发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒可知其交换速度，故碰
后杆ab 静止，联杆速度变为v1=3. 0m/s
①当杆ef 从FG 运动到HI 过程，ef 杆为电源，ab 和cd 并联构成外电路，由于ab 电阻
不计，外电路短路，电路中产生的电能全部转化为ef 杆的焦耳热。对ef 杆列动量定理
得
v2=2m/s
由此得ef 杆产生的焦耳热
②当杆cd 从FG 运动到HI 过程，cd 杆为电源，ab 和ef 并联构成外电路，由于ab 电阻
不计，ef 被短路，电路中产生的电能全部转化为cd 杆的焦耳热，ef 杆不发热。
所以整个过程中ef 杆产生的焦耳热
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Q=1. 25J
39．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图甲所示，真空中存在一间距为
的
水平平行板电容器，板长
，板间电压为U、板间匀强电场方向向上，
为
一垂直上极板PQ 的足能长的光屏，其下端N 与极板右端Q 重合，在MN 所在竖直线
右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有一个粒子源A，可以紧贴极板水平向右连续
发射带正电的粒子，粒子比荷为
，初速度
。已知粒子打到
极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子的重力不计。
（1）为使粒子能够从极板间射出，求电压U 的最大值；
（2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为
，电压U 可任意调
节，则求粒子击中光屏形成痕迹的长度
；
（3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为
，电压U 可任意调节，在极
板右侧放置另一块与MN 平行的足够大的光屏CD，CD 在磁场中能左右移动，则求粒
子打在光屏CD 上留下所有痕迹的面积S；
（4）在满足第（3）问的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀
强电场，其场强大小
，在光屏上以D 点原点（D 点为光屏与FG 直线
的交点），垂直纸面向内为
轴，竖直向上为
轴，水平向右的方向为轴，建立如图
乙所示的三维直角坐标系
。光屏位置到G 点的距离用K 表示，现将光屏CD 沿FG
直线从G 点开始从近到远依次放在不同位置上，光屏CD 始终平行MN，当光屏距G
点为
与
这两个位置时打在光屏上所有粒子的点迹首次先后出现如图丙、丁所示的
两条直线（顺着匀强电场
，水平向右看光屏），其中图丙为距离
时的图样，图丁
为距离
时的图样，则
与
这两位置相距多少距离？
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【答案】（1）50V；（2）0.02m；（3）
；（4）
【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向
竖直方向
联立解得
所以电压U 的最大值为
；
（2）设射入磁场的粒子速度为，与水平方向成角度
，磁场中圆周运动半径为
则可得
解得运动半径为
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由几何关系得，磁场中动弧线在竖直方向上的高度为
联立解得
即
为定值，出射点离Q 越远，打到光屏上离Q 距离的越小，出射点离Q 越近打到
光屏上离Q 距离的越大
当
时，从下级板边缘出射，此时距离Q 最小
当
时，从上级板边缘Q 点出射，此时距离Q 最大
因此，痕迹长度
（3）粒子从电场中射出，进入磁场后，水平方向匀速运动，垂直磁场方向做匀速圆周
运动
由图可知
所以
圆心与下极板右边缘连线与竖直方向夹角
满足
100
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由图可知
所以
即圆心连线为一条直线且过下极板右边缘，所有光屏痕迹是由从上到下逐浙减小的圆
叠加形成的，如图所示
当
时，圆半径最大，最大半径为
则求粒子打在光屏CD 上留下所有痕迹的面积为
（4）加上水平向右的电场后，粒子进入磁场区域时水平方向匀加速运动，垂直磁场方
向做匀速圆周运动，其周期为
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因粒子圆周的周期与速度大小无关，出现图1 直线时，所有粒子偏转120°，由运动等
时性可知，水平方向运动时间恰为
，出现图2 直线时，所有粒子恰好运动一周，水
平方向运动时间为
，由运动学公式有：
所以两点相距
40．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图所示，以圆柱底面中心O 点为坐标原点建
立空间直角坐标系Oxyz，另一底面中心
点坐标为（0，0，l），圆柱底面半径为R。
在圆柱区域内存在沿z 轴正方向的匀强磁场。磁场区域左侧有一矩形区域abcd，其中
bc 边与y 轴平行，ab 边与z 轴平行，矩形区域的尺寸和位置已在图中标出。区域内均
匀分布电子源，沿x 轴正方向持续不断地发射出速率均为v0的电子，单位时间内发射
的电子个数为N。从bc 边射出的电子经过磁场偏转后均从M 点射出，从ad 边射出的
电子经过磁场偏转后均从N 点射出。在圆柱两底面的正下方有两块半径为R 的半圆形
平行金属收集板P、Q，圆心分别位于M 点、N 点。已知电子质量为m，元电荷为e，
两板之间的电压
。忽略电子重力、电子间相互作用和电子收集后对电
压UPQ 的影响。求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）从b 点射出的电子打到金属板上时的位置坐标；
（3）Q 极板收集到电子区域的面积；
（4）若在PQ 金属板正对的半圆柱空间内新增沿z 轴负方向、磁感应强度为
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的匀强磁场，并调节PQ 间电压为
。求过M 时速度沿y 轴负方向的电
子继续运动
时间后的坐标位置。
【答案】（1）
；（2）（0.2R，-0.15R，l）；（3）
；（4）（R，-R，
l）
【详解】（1）由题可得，电子在磁场中运动的半径为R，则
ev0B=
解得
（2）如图所示为从b、c 两点射出的电子的运动轨迹
由几何关系易得
，
电子在垂直金属板方向分运动为匀加速直线运动，设从b 点射出的电子打到金属板上
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的位置为b’，如图
根据匀加速直线运动有
解得
所以从c 点射出的电子打到金属板上时的位置坐标为（0.2R，-0.15R，l）。
（3）由（2）同理可得，Q 极板收集到电子区域为图中圆弧区域，其面积为
（4）在PQ 金属板间的运动可分解成两个分运动：平行于xOy 平面的匀速圆周运动，
沿z 轴方向的匀加速直线运动，在叠加场中有
可知
综上，坐标为（R，-R，l）
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