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专题02 电磁学版块大题综合
一、解答题
1．（2023·山东济宁·济宁市育才中学校考模拟预测）东方超环（EAST），俗称“人造
小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较
高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系
统”将带电离子从粒子束剥离出来。“偏转系统”的原理简图如图所示，混合粒子中
的中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；而带电离子一部分打到下极板，剩下
的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬。已知离子带正电、电荷量为
，质量为
，两极
板间电压为
，间距为
，极板长度为
，离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考
虑混合粒子间的相互作用。
（1）在极板间施加了一垂直于纸面向里的匀强磁场，使速度为
的离子直线
通过两极板，求其磁感应强度
的大小；
（2）直线通过极板的离子以
进入垂直于纸面向外的矩形匀强磁场区域，最
后均被吞噬板吞噬。其磁感应强度
，求该磁场区域的宽度应满足的条件；
（3）撤去极板间磁场
，且
边界足够大。若粒子束由两极板中央平行于极板射入，
且离子的速度范围
，其磁感应强度
，有部分带电离子会
通过两极板进入偏转磁场，最终被吞噬板吞噬，求离子打到吞噬板的长度
。
1
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）离子能直线通过两极板，则洛伦兹力等于电场力
将
代入得
（2）由洛伦兹力提供向心力
离子在偏转磁场中的运动半径为
该磁场区域的宽度应满足的条件
（3）撤去极板间磁场后，离子在极板间做类平抛运动，离子入射速度为
时，能够进
入磁场
的离子在电场中的侧移量为
，由类平抛运动的规律可得，沿极板方向做匀
速直线运动，则有
沿垂直极板方向做匀加速直线运动，则有
2
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解得
由
，解得
可知离子的速度
满足
的带电离子会通过两极板进入偏转磁场。
设进入磁场
的离子的速度为，其方向与
方向夹角为
，运动半径为，运动轨迹
的弦长为，如图所示；离子在磁场
中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
又有
运动轨迹的弦长
离子打到吞噬板的位置与两极板间中轴线的距离
为
令
，
取值范围为：
，可得
由数学知识可得：在区间：
，
为增函数，则有
的取值范围为
则离子打到吞噬板的长度
3
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2．（2023·山东济南·统考一模）如图甲所示，在三维坐标系
中，
的空间
内，存在沿
轴正方向的匀强电场，
的空间内存在沿
轴正方向的匀强磁场，荧
光屏垂直
轴放置，其中心
位于
轴上并且荧光屏可以沿
轴水平移动。从粒子源不
断飘出电荷量为
、质量为
的带正电粒子，加速后以初速度
沿
轴正方向经过
点，经电场进磁场后打在荧光屏上。已知粒子刚进入磁场时速度方向与
轴正方向的
夹角
，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。
（1）求匀强电场电场强度的大小
；
（2）当粒子打到荧光屏后，沿
轴缓慢移动荧光屏，沿
轴正方向看去，观察到荧光
屏上出现如图乙所示的荧光轨迹（箭头方向为荧光移动方向），轨迹最高点
的
轴
坐标值为
，求匀强磁场磁感应强度的大小
以及荧光屏中心C 初始位置可能的
轴坐标；
（3）若将荧光屏中心C 固定于
轴上
处，在
的空间内附加一沿
轴
负方向的匀强磁场，磁感应强度大小
，求附加匀强磁场
后进入磁场的粒
子打在荧光屏上的位置坐标。
4
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【答案】（1）
；（2）
；
（3）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，则
d=v0t
qE=ma
解得匀强电场电场强度的大小
（2）在电场中的偏转距离
在磁场中运动的半径
根据
解得
5
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周期
则荧光屏中心C 初始位置可能的
轴坐标
（3）由题意可知
B 与速度2v0方向垂直；则
圆轨道与荧光屏相切；则
粒子打在荧光屏上的位置坐标（
）
3．（2023·山东泰安·统考一模）如图所示，在xoz 平面的第二象限内有沿x 轴负方向
的匀强电场，电场强度的大小
，空间某区域存在轴线平行于z 轴的圆柱形磁
场区域，磁场方向沿z 轴正方向。一比荷为
的带正电粒子从x 轴上的P 点
以速度
射入电场，方向与x 轴的夹角
。该粒子经电场偏转后，由z 轴上的Q
点以垂直于z 轴的方向立即进入磁场区域，经磁场偏转射出后，通过坐标为（0，
0.15m，0.2m）的M 点（图中未画出），且速度方向与x 轴负方向的夹角
，其
中
，不计粒子重力。求：
（1）粒子速度
的大小；
6
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（2）圆柱形磁场区域的最小横截面积Smin（结果保留两位有效数字）；
（3）粒子从P 点运动到M 点经历的时间t（结果保留三位有效数字）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中沿x 轴正方向的分运动是匀速直线运动，沿z 轴正方向的
分运动是匀变速直线运动，沿z 轴方向根据匀变速直线运动的规律可得
1
根据牛顿第二定律可得
沿x 轴正方向
联立可得
（2）由几何关系得
7
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圆柱形磁场区域的最小横截面积
（3）洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
，
粒子在磁场和电场中运动的时间围为
解得
4．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，真空中有一坐标系
，在x≤0 的空间
存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出），在x≥0 的空间存在磁感应强度大小为
、方向沿z 轴负方向的匀强磁场（图中未画出），在
、
的空间
存在沿z 轴正方向的勾强电场（图中未画出），两处电场的电场强度大小相等。一质
量为m、电荷量为q（
）的带电微粒从
处由静止开始运动，其y 坐标第
一次为零时恰好经过原点O。重力加速度大小为g。求；
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）在y≤0 空间中运动时，微粒的最大动能；
（3）微粒从离开P 到其y 坐标第二次为零经历的时间；
（4）在x≥0 空间，微粒的y 坐标第二次正的最大值时的位置坐标。
8
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）微粒从P 向O 运动过程。重力与电场力的合力沿PO 方向，即
解得
（2）设微拉从O 点进入磁场时，速度大小为
，则
沿x、y 方向的分速度大小相等
微粒所受洛伦兹力沿y 方向的分力方向向上，大小为
即微粒在x 轴下方磁场中的运动，可分解为沿x 方向的匀速运动和
平面的匀速圆
周运动，设圆周运动的半径为R，则
转过四分之一圆周时，微粒的速度方向沿x 轴正方向，此时速度最大，为
激粒的最大动能为
解得
9
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（3）微粒从P 到O 的运动，由运动公式得
微粒从O 到再次经x 轴的时间为圆周运动的半个周期，时间为
微粒从离开P 开始到其y 坐标第二次为零经历的时间
（4）沿x 方向有
y 坐标正最大为R，即
沿z 方向有
其中
整理得
即微粒的位置坐标
。
5．（2023·山东聊城·校联考模拟预测）如图所示，空间坐标系O—xyz 内有一由正方体
ABCO—A′B′C′O′和半圆柱体BPC—B′P′C′拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z
轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿z 轴负方向的匀强磁场。M、M′分别为
AO、A′O′的中点，N、N′分别为BC、B′C′的中点，P、P′分别为半圆弧BPC、B′P′C′的
10
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中点，Q 为MN 的中点。质量为m、电荷量为q 的正粒子在竖直平面MNN′M′内由M 点
斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为v0，方向与x 轴正方向夹角为θ = 53°。一
段时间后，粒子垂直于竖直平面BCC′B′射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体
的直径均为L，匀强磁场的磁感应强度大小为
，不计粒子重力，sin53° =
0.8，cos53° = 0.6。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间t；
（3）若粒子以相同的初速度自Q 点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x 轴方向
解得
沿z 轴方向
由牛顿第二定律可知
解得
11
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（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知
解得
由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的周
期
粒子在匀强磁场中运动的时间
故
（3）若粒子以相同的初速度自Q 点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间
进入磁场时，沿x 轴方向的速度大小为
沿z 轴方向的速度大小为
故粒子沿x 轴方向做匀速圆周运动，半径
沿z 轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的半径不变，故在磁场中运动的时间
不变，在磁场中沿z 轴方向运动的位移大小为
在电场中沿z 轴方向运动的位移大小为
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故粒子离开磁场时，z 轴方向的坐标
y 轴方向的坐标
x 轴方向的坐标
即离开磁场时的位置坐标为
。
6．（2023·山东济宁·统考二模）2022 年4 月16 日上午，神舟十三号飞船顺利返回地球。
为了能更安全着陆，设计师在返回舱的底盘安装了4 台相同的电磁缓冲装置。如图所
示，为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，MN、PQ 为绝缘光滑缓冲轨道，竖直固定
在返回舱底部，导轨内侧存在稳定匀强磁场，方向垂直于整个缓冲轨道平面。单匝闭
合矩形线圈abcd 绕在缓冲滑块上，缓冲滑块由高强度绝缘材料制成，缓冲滑块接触地
面前瞬间速度大小为v0，接触地面后滑块立即停止运动，此后线圈与磁场相互作用，
返回舱开始做减速直线运动，经时间t，返回舱以速度v（未知）做匀速直线运动。已
知线圈的电阻为R，ab 边长为L，返回舱质量（含缓冲轨道、磁场发生器）为m，磁
感应强度大小为B，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）v 的大小；
（2）在返回舱减速运动过程中，通过每台电磁缓冲装置线圈的电荷量q。（结果保留
v）
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）返回舱向下做减速运动，受到向上的安培力和向下的重力，随着速度的
减小，安培力减小，直到安培力减小到与重力大小相等时，速度最小，此后匀速运动，
即速度大小为v，由平衡条件可知
即
解得
（2）返回舱速度减速运动的过程中，由动量定理可得
又因为
解得
7．（2023·山东泰安·统考二模）如图所示，在空间直角坐标系中，
平面左侧存在
沿z 轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y 轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感
应强度大小相等；
平面右侧还有沿y 轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为
的M 点发射一质量为m，电荷量为
的粒子，粒子的初速度大小为
、方向
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沿
平面，与x 轴正方向的夹角为
；经一段时间后粒子恰好垂直于y 轴进入
平面右侧。其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足
，不计粒子的
重力。求：
（1）在
平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径
；
（2）粒子第2 次经过
平面时的速度大小；
（3）粒子第2 次经过
平面时的位置坐标；
（4）粒子第2、第3 两次经过y0z 平面的位置间的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据几何关系有
解得
（2）根据运动的合成有
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根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）在
平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍
然为
，粒子第2 次经过
平面时的坐标
由于
解得
粒子第2 次经过
平面时的坐标
（4）粒子再次进入
平面左侧，速度大小变为
，则有
根据几何关系，粒子第2、第3 两次经过
平面的交点间的距离为
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解得
8．（2023·山东青岛·统考二模）某科研小组在如图坐标系中研究质量为m、电荷量为
q 的带正电小球在复合场中的运动情况，重力加速度为g，请解答以下问题：
（1）如图甲，若沿x 轴正向加匀强电场，沿y 轴正向加匀强磁场。小球以某速度在
xOz 平面内做匀速直线运动；某时刻撤去电场和磁场，小球在此后运动过程中的最小
动能为其初始动能的
，求所加匀强电场的电场强度大小
；
（2）如图乙，若在坐标原点O 固定一正点电荷，沿z 轴加匀强磁场，小球恰好能以z
轴上
（0，0，a）点为圆心做匀速圆周运动其轨迹平面与
平面平行，角速度为
ω，运动方向如图中箭头所示求磁感应强度大小
并说明其方向；
（3）如图丙，若沿z 轴正向加电场强度大小
的匀强电场，沿y 轴负向加磁感
应强度大小
的匀强磁场，沿y 轴正向还存在电场强度
的匀强电场。
现让小球在yoz 平面内从z 轴
（0，0，R）点以初速度2v0与z 轴正向成
角射入，
设C 点（图丙中未画出）为小球运动过程中z 坐标最大的点，求
的可能距离。
【答案】（1）
；（2）
，方向沿z 轴负方向；（3）
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，其中
【详解】（1）x 轴方向有
z 轴方向有
该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能的
，最小动能即为z 方向的速度减为0
时的动能
根据题意有
解得
所以
解得
（2）设圆轨道半径为R，圆周上一点和坐标原点连线与y 轴的夹角为，则
其中
解得
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方向沿z 轴负方向；
（3）离子的运动为复杂的旋进运动。将该运动分解为xoz 平面内的匀速圆周运动和y
轴正方向的匀加速直线运动，根据
即
离子在圆柱体截面上做匀速圆周运动的周期为
到C 的时间
离子在y 轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动规律可得：
在z 轴
方向上的距离
，
在x 轴方向上的距离
，
在y 轴方向上的距离
所以
9．（2023·山东聊城·校联考模拟预测）如图所示，间距L=1m 的粗糙倾斜金属轨道与
水平面间的夹角
，在其顶端与阻值为2R 的定值电阻相连，间距相同的光滑金
属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长且在
处平滑连接，
至
间是绝缘
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带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强
度大小为
的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为
的
匀强磁场。两根导体棒1、2 的质量均为m=0.1kg，两棒接入电路部分的电阻均为R。
初始时刻，导体棒1 放置在倾斜轨道上，且距离
足够远，导体棒2 静置于水平轨道
上。已知倾斜轨道与导体棒1 间的动摩擦因数
，R=1Ω。现将导体棒1 由静止释
放，运动过程中未与导体棒2 发生碰撞。
，
，重力加速度g 取
，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，不计金属棒1 经过
时的
机械能损失。求：
（1）导体棒1 滑至
瞬间，导体棒2 的加速度大小；
（2）整个运动过程中通过导体棒2 的电荷量。
【答案】（1）
；（2）0.12C
【详解】（1）导体棒1 在倾斜轨道匀速时的电流
受力分析可知
解得
导体棒1 滑至
瞬间
解得
20
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（2）导体棒1、2 最终在水平轨道上以相同的速度匀速运动，利用动量守恒
对导体棒2 利用动量定理
则
10．（2023·山东聊城·校联考三模）如图所示，均可视为质点的两个小球A 和B，静置
于足够大的光滑绝缘水平面上，小球A 带正电，电荷量为q，小球B 不带电．现在水
平面附近空间加水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为E，然后A 球
与B 球发生多次碰撞，每次碰撞过程时间极短且不计能量损失，碰撞过程中无电荷转
移．已知小球A、B 的质量分别为
和m，开始时两小球相距为
．
（1）求A 与B 第一次碰前的瞬间A 球的速率；
（2）若
，求从A 开始运动到两球第2 次相碰时B 球的运动位移大小；
（3）若
，求第n 次碰撞到第
次碰撞经历的时间；
（4）若
，求从开始到第n 次碰撞时A 球电势能的改变量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据动能定理，有
解得A 与B 第一次碰前的瞬间A 球的速率为
（2）根据弹性碰撞规律有
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得
若
，即
时
，
即每次碰撞后瞬间A、B 球速度发生交换。
A、B 球第一次碰撞后瞬间，A 球速度
，B 球速度
如图1 所示，碰撞后，B 球保持匀速直线运动，A 球初速度为零的匀加速直线运动，
直至它们发生第2 次碰撞．
A 球的加速度
从第1 次碰撞到第2 次碰撞经历时间
此过程中B 球做匀速直线运动通过位移
22
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（3）由第（2）问弹性碰撞末速度公式不难得出，每次碰撞前后两球的相对速度等大
反向，即
如图2 所示，由A、B 球追及相遇的
图像也不难得出，每次碰撞前瞬间的相对速
度与前一次碰撞后瞬间的相对速度等大反向，即
由此可得，两球每次碰撞前瞬间的相对速度是常量，即有
A 球的加速度
每相邻两次相撞时间间隔相等
（4）由第（2）问弹性碰撞末速度公式不难得出，每次碰撞B 球速度增量相等，即
由此可得，第1 次碰撞后B 球速度
第2 次碰撞后B 球速度
第3 次碰撞后B 球速度
23
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……
第
次碰撞后B 球速度
由于每相邻两次碰撞时间间隔不变，均为
由此可得，从第1 次碰撞到第2 次碰撞B 球通过位移
从第2 次碰撞到第3 次碰撞B 球通过位移
……
从第
次碰撞到第n 次碰撞B 球通过位移
所以，从开始到第n 次碰撞时，B 运动的总位移
所以，A 运动总位移
电场力对A 做正功，A 的电势能减小
11．（2023·山东烟台·统考二模）如图所示，在xOy 平面内的第一象限内存在一有界匀
强磁场（未画出），磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy 平面向外，在第四象限内
充满范围足够大、方向沿y 轴负方向的匀强电场。一束质量为m、电量为+q 的粒子以
不同的速率从O 点沿xOy 竖直平面内的OP 方向发射，沿直线飞行到P 点时进入有界
匀强磁场区域，O、P 两点间的距离为L，OP 连线与x 轴正方向的夹角
。所有
粒子在离开磁场后最终都能从x 轴上射出，且射出方向与x 轴负方向的夹角均为
24
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，若速度最大的粒子从x 轴上Q 点以速度v（未知）射出，且射出之前都在磁
场内运动，匀强电场的电场强度
，粒子的重力忽略不计，求：
（1）粒子在匀强磁场中运动的时间；
（2）v 的大小；
（3）有界匀强磁场区域的最小面积；
（4）速度为v 的粒子经过y 轴负半轴上的点与原点O 的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，有
可得
可知，所有粒子经过磁场后的偏转角均为150°，则粒子在磁场中运动的时间为
（2）速度为v 的粒子的运动轨迹如图所示
25
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由几何关系可知
即
解得
（3）由几何关系可知
则三角形PMQ 的面积为
150°圆心角对应的扇形面积
由数理规律可知，磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积
（4）粒子在匀强电场中运动时，在沿x 轴负方向有
26
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在沿y 轴负方向有
解得
12．（2023·山东·模拟预测）如图，光滑绝缘水平面内有边长
、电阻
、质量
的正方形线框
，开始线框静止在水平面上，线框右侧距
线框ab 边
处有宽
、方向竖直向下的匀强磁场区域。现对线框施加大小
为
、方向水平向右的恒定拉力，在线框
边到达磁场左边界时撤去拉力，当线
框完全进入磁场后再对其施加大小为
、方向水平向右的拉力。已知线框
边到达磁场右边界时的速度
，线框进入磁场的过程中，线框速度与线框
边到磁场左边界距离
之间满足关系式
（
为线框ab 边刚到达磁场左边
界时的速度，常量c 未知），重力加速度g 取
。
（1）求线框进入磁场过程中产生的焦耳热Q。
（2）求磁场磁感应强度B 的大小。
（3）若线框ab 边到达磁场右边界瞬间，立即改变拉力
的大小，使线框能以
的加速度匀减速离开磁场，取ab 边到达磁场右边界时为
时刻，求线框
离开磁场的过程中，拉力
与线框运动时间t 的关系式。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，线框在磁场左侧运动的过程，由动能定理有
解得
设线框完全进入磁场时速度大小为
，完全在磁场中的运动过程由动能定理有
解得
由能量守恒定律有
解得
（2）根据题意，由
可得
取
，两边同除以
可得
又有
，
故有
28
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线框进入磁场的过程中有
又有
，
当线框刚好全部进入磁场时，有
联立解得
（3）根据题意，线框离开磁场过程中，由牛顿第二定律有
又有
整理可得
解得
13．（2023·山东潍坊·统考三模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在绝
缘水平面上，两导轨间距为
，导轨左侧有两个开关
、
，
与一个阻值为
的定
值电阻串联，
与一个电容为
的电容器串联。导体棒
垂直于导轨放置，其长度为
、质量为
、电阻也为
。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小为
的匀
29
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强磁场中。一质量为
的重物通过轻质定滑轮用绝缘轻绳与导体棒
的中点连接，
开始时轻绳张紧。现将
闭合，
断开，使重物由静止释放，经时间金属棒达到最
大速度。已知导轨足够长，不计导轨电阻，导体棒始终垂直导轨且与导轨接触良好，
重物始终未落地，重力加速度为
，不计一切摩擦。求：
（1）导体棒的最大速度；
（2）导体棒从开始运动到刚达到最大速度时，运动的距离；
（3）从导体棒开始运动到刚达到最大速度时，电阻
中产生的热量；
（4）导体棒达到最大速度后，将
断开、
闭合，同时撤去重物，电容器所带的最大
电荷量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）导体棒的速度最大时有
解得
（2）导体棒从开始运动到刚达到最大速度的过程中，分别对重物和导体棒应用动量定
理
30
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又
解得
（3）从导体棒开始运动到刚达到最大速度时，由能量守恒
解得
电阻
中产生的热量
（4）设稳定时导体棒的速度为v，则电容器两端电压
电容所带的电荷量为
对导体棒由动量定理有
通过导体棒的电荷量
解得
14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示为一种粒子约束装置，横截面abcd 是
边长为L 的正方形，将装置分成左右两部分。左侧是宽度为
的匀强电场区域，电场
方向竖直向下；右侧是长为x（x 未知）的长方体匀强磁场区域，磁场方向水平向右，
长方体右侧面efgh 内有一个光屏。粒子源射出一个电荷量为
、质量为m 的粒子，以
31
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速度
从pq 中点水平射入匀强电场区域，恰好从图中abcd 面的中心O 点进入长方体
区域，粒子在右侧磁场内运动过程中，到达光屏之前恰好未离开长方体区域，粒子重
力不计。
（1）求粒子到达O 点时的速度大小v 和左侧区域中的电场强度大小E；
（2）若粒子打在光屏上Q 点时的速度恰好和经过O 点时的速度相同，求磁感应强度
大小B 和OQ 两点间距离x；
（3）若将光屏移至和点距离
，求粒子打到光屏上的位置到O 点的距离l。
【答案】（1）
，
；（2）
，
（
、2、3…）；
（3）
【详解】（1）由题意可知粒子在匀强电场区域做类平抛运动，分解O 点速度如图所示
32
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联立得
（2）粒子在磁场中做等螺距螺旋线运动，粒子在水平方向以大小为
的速度做匀速运
动，在竖直平面内以
的速率做匀速圆周运动，粒子做圆周运动
又由题意恰好不出立方体得
可得
粒子做圆周运动的周期
联立得
由题目条件可知
（
、2、3…）
得
（
、2、3…）
（3）粒子沿水平方向做匀速直线运动，由
得在右侧区域运动时间
33
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由几何关系可得原点O 到光屏上落点的距离为
15．（2023·山东·统考二模）如图所示，足够大的光滑绝缘水平面上在
，
虚线范围内存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，有A、B 两个小
球（均可视为质点），小球A 质量为m 电荷量为＋q，小球B 不带电。现将小球A 从
处无初速释放，小球B 位于
处，A 与B 发生碰撞碰撞时间极短，且只撞一
次，碰撞过程中A 的电荷量不变，经过一段时间两小球保持
的距离不变。求：
（1）小球A 与小球B 碰前小球A 的速度
；
（2）小球B 的质量
；
（3）若将虚线区域内的电场换为垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，小
球A 从O 点以不同的速度发射，速度方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在
0 到90°范围内。已知小球A 在磁场中做圆周运动的半径介于
到d 之间，A 在磁场中
运动的最长时间为在磁场中做圆周运动周期的四分之一，求当A 在磁场中运动时间最
长时，从O 点射出时的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对小球A，根据动能定理得
，
34
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解得
（2）对小球A、B，动量守恒有
碰撞后小球A 向左运动，先向左做匀减速运动，再向右做匀加速运动，最后向右匀速
直线运动出电场，由两小球保持
的距离不变可得
碰撞后一段时间t，对小球A 有
解得
（3）对于小球A，洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系可得
解得
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16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图所示，Oxyz 为空间直角坐标系，在x<0 的
空间I 内存在沿z 轴正方向的匀强磁场B1。在0<x＜d 的空间II 内存在沿y 轴正方向的
匀强电场E，在x>d 的空间III 存在磁感应强度大小
、方向沿x 轴正方向的匀
强磁场。现将一带负电的粒子从x 轴上的A（
，0，0）点以初速度v0射入空间I
的磁场区域，经磁场偏转后从y 轴上的C（0，d，0）点垂直y 轴进入空间II，并从x
轴上的D（d，0，0）点进入空间III。已知粒子的电荷量大小为q，质量为m，不计重
力。求：
（1）空间I 内磁场的磁感应强度大小B1和空间II 内电场的电场强度大小E；
（2）粒子运动过程中，距离x 轴的最大距离；
（3）粒子进入空间III 后，每次经过x 轴时的横坐标。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在空间I 的磁场中的轨迹半径为
，由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
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解得
粒子在空间II 做类平抛运动，沿y 轴方向的加速度大小
沿x 轴方向运动有
沿y 轴方向运动有
解得
（2）根据类平抛运动规律可知，粒子速度偏向角正切值为
粒子经过D 点时，沿
轴负方向的分速度大小为
沿x 轴正方向的分速度大小为
粒子在空间III 内垂直于磁场的分速度
使粒子在
平面内做匀速圆周运动，由洛伦
兹力提供向心力可得
解得
粒子做圆周运动距x 轴的最大距离为
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（3）粒子在空间III 内做圆周运动的周期为
粒子在空间III 内沿x 轴方向做匀速直线运动，粒子在一个周期内沿x 轴正方向运动的
距离
所以粒子在空间III 中每次经过x 轴时的横坐标为
17．（2023·山东·校联考模拟预测）离子推进器又称离子发动机，广泛用于空间推进。
中国空间站天和核心舱用来调整姿态、维持轨道的霍尔推进器就是离子推进器的一种。
如图所示，某种离子推进器模型由离子源、间距为d 的中间有小孔的两平行金属板
M、N 和左右侧面间距为2L 的长方体构成，长方体的上下面、前后面间距足够大，其
右侧面P 为喷口。以金属板N 上的小孔O 为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立
x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在大小为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；长方体
Ⅰ区域宽度为L，存在沿x 轴正方向匀强电场
（大小未知）；Ⅱ区域存在匀强磁场B
沿x 轴正方向，大小可调。质子束从离子源小孔S 飘出（可认为初速度为0），经M、
N 板间电场加速后进入匀强电场和磁场区域，最后从右侧面P 射出。已知质子的质量
为m、电荷量为e，忽略离子间的相互作用。测得质子到达Ⅰ、Ⅱ区域分界面时的速度
方向与x 轴正方向成角度
。
（1）求Ⅰ区域匀强电场
的大小；
（2）调节Ⅱ区域匀强磁场B 的数值，使得质子均能从右侧面P 射出，求B 的取值范围；
（3）若
，求质子离开右侧面P 时的位置坐标；
（4）离子源释放的离子变成
粒子，其质量为4m，电荷量为2e，保持第（3）问的匀
强磁场不变，同时在Ⅱ区域空间加上另一个匀强电场
，大小为
，方向在
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xOy 平面内且与x 轴正方向、y 轴负方向都成
斜向下，判断
粒子进入Ⅱ区域
时的位置坐标，并说明
粒子在Ⅱ区域中的运动性质，画出运动轨迹示意图。（标明
轨迹所在的平面）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
，匀变速曲线运动，
【详解】（1）MN 间电场加速，由动能定理得
在Ⅰ区域匀强电场
中，由类平抛运动规律得
、
、
解得
（2）质子进入Ⅱ区域后，参与两个分运动：沿x 轴正向的匀速直线运动，速度大小为
在yOz 平面内的匀速圆周运动，速度大小为
，圆周运动恰好与面P 相切。设轨迹半
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径为
，由几何关系知
轨迹半径应满足
由
得
（3）
满足从右侧面P 射出的条件，在Ⅱ区域参与匀速直线和匀速圆周两
个分运动，设圆轨迹半径为
，由
得
由几何关系知：匀速圆周运动转过的角度
、
运动时间
沿x 轴正方向位移
得
40
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沿y 轴正方向位移
得
沿z 轴正方向位移
质子在Ⅰ区域中沿x 轴正方向位移
得
沿y 轴方向位移
，沿z 轴正方向位移
质子离开右侧面P 时位置关系为
（4）
粒子在加速电场中加速后，在区域Ⅰ中匀强电场中偏转运动轨迹与质子的运动
轨迹重合，则
粒子进入Ⅱ区域时的位置坐标为
；
经分析可知，
粒子在Ⅱ区域内做匀变速曲线运动；轨迹所在平面为xOz 平面，轨迹
如图所示
41
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18．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）某离子诊断测量装置的简化结构如图
所示。在第一象限中存在一沿y 轴正方向，电场强度
的匀强电场。在第二、
三象限存在垂直xOy 平面向外磁感应强度
的匀强磁场。有一块长度为a 的探测
板CD，仅可在第四象限范围内移动，且始终接地。在第一象限的抛物线
上有一簇粒子源，沿x 轴负方向发射大量负离子，离子的质量为
m、电荷量为-q(
)。速度大小均为
，单位时间发射的离子数为N，这些离子沿y
轴均匀分布。稳定工作后，若探测板CD 在某处平行于y 轴固定，则从O 点出射的离
子恰能击中探测板的C 点，从A 点(a，2a)出射的离子恰能击中探测板的D 点。不计离
子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求探测板上C 点的纵坐标
；
（2）求探测板的横坐标
；
（3）求离子第二次经过y 轴时的纵坐标y 与其出发点的横坐标x 的关系；
（4）若探测板沿x 轴平移，求单位时间内，板上接收到的离子数n 与板的横坐标x 之
间关系式。
42
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【答案】（1）
；（2）
；（3）任意离子第二次穿越y 轴时的纵坐标为
，与其出发点的横坐标x 无关；（4）
【详解】（1）O 点出射的离子直接进入第三象限做匀速圆周运动有
解得
恰能击中探测板的C 点，得到C 点纵坐标为
（2）假设A 点粒子从原点上方出电场则有
解得
说明该粒子从原点进入磁场。设磁场粒子速度为v，且与水平方向夹角为
，在磁场中
43
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有
解得
从F 点射出，由电场中的类平抛运动可知，
如图所示
由
解得横坐标为
（3）在抛物线上任取一点
，则
若该处发射的离子进入第二象限，则有
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解得
可见
故所有离子均从O 点进入第三象限。此时粒子速度为
且与水平方向夹角为
，在磁
场中有
第二次过y 轴时，坐标为
解得
所以任意离子第二次穿越y 轴时的纵坐标为
，与其出发点的横坐标x 无关。
（4）由（3）的结论得
①当
时
②
时，对打在D 点的粒子，如图所示
45
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对于第一象限的类平抛运动有
由于在第一象限沿着y 轴均匀分布，则击中挡板的比率为
解得
纵上所述可得
19．（2023·山东聊城·统考二模）如图甲所示，磁感应强度大小为B、方向竖直向下的
匀强磁场存在于底面半径为R 的圆柱形空间内，O1和O2是圆柱形空间上、下两个圆面
的圆心，其后侧与O1等高处有一个长度为
的水平线状粒子发射源MN，图乙是俯
视图，P 为MN 的中点，O1P 连线与MN 垂直。线状粒子源能沿平行PO1方向发射某种
质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子束，带电粒子的速度大小均相等。在O1O2右
侧2R 处竖直放置一个足够大的矩形荧光屏，荧光屏的AB 边与线状粒子源MN 垂直，
且处在同一高度，过O1作AB 边的垂线，交点恰好为AB 的中点O，荧光屏的左侧存在
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竖直向下的匀强电场，宽度为R，电场强度大小为E，已知从MN 射出的粒子经磁场偏
转后都从F 点（圆柱形空间与电场边界相切处）射入电场，不计粒子重力和粒子间的
相互作用。
（1）求带电粒子的初速度大小；
（2）以AB 边的中点O 为坐标原点，沿AB 边向里为x 轴，垂直AB 边向下为y 轴建立
坐标系，求从M 点射出的粒子打在荧光屏上的位置坐标；
（3）求磁场区域的最小横截面积。
【答案】（1）
；（2）（R，
）；（3）
【详解】（1）在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
线状粒子源发出的粒子均从F 点射出，可得
，由①②两式得
（2）设粒子打在荧光屏上的横、纵坐标分别为x、y，粒子从F 点离开磁场时与
之
间的夹角为
，如图所示
47
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由几何关系知
得
依题意有
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，可得
联立解得
则粒子打在荧光屏上的位置坐标为
。
（3）磁场区域的最小面积为图中两条轨迹与圆
相交部分的面积，设磁场区域的最
小面积为S
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得磁场区域的最小横截面积
20．（2023·山东·济南一中统考二模）如图所示，P、Q、M、N 为四个互相平行的竖
直分界面，间距均为d，P、Q 之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N 之间充满竖直向
下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P 的左侧有一边长为
的正方形线框
，线框水平放置，
边平行于分界面P，与界面P
的距离也为d。线框以水平初速度
飞出，当
边刚好到达分界面Q 时，线框的速度
大小仍为
。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度
为g。求
（1）
边刚好进入分界面P 时，a、b 两点间的电势差大小以及线框加速度的大小；
（2）
边刚好到达分界面Q 时，线框产生的焦耳热以及下落的距离；
（3）要想线框最终能竖直下落，求磁感应强度的最小值。
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【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）导体棒切割磁感线
a 点电势高于b 点电势，则
根据欧姆定律
所受安培力
根据牛顿第二定律
解得
（2）ab 边从分界面P 运动到分界面Q，由法拉第电磁感应定律，电路中产生的感应电
动势
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根据欧姆定律
对线框abcd 由动量定理得
又
解得
（3）线框最终能竖直下落的临界条件为cd 边运动到分界面N 时水平速度为零，此时
磁感应强度最小。从开始进入磁场到最终出磁场过程中，线圈中有感应电流的阶段为：
①ab 边切割，运动的水平距离为d
②cd 边切割，运动的水平距离为
③ab 边、cd 边都切割，运动的水平距离为
④ab 边切割，运动的水平距离为
⑤cd 边切割，运动的水平距离为d
一个边切割的总水平距离为
，此过程中安培力的冲量为
；
两个边同时切割的总水平距离为
，此过程中安培力的冲量为
；
对线框abcd 水平方向全程应用动量定理得
得
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21．（2023·山东菏泽·统考二模）如图所示，在xOy 平面内半径为R（未知）的圆形区
域内有垂直于平面向外的匀强磁场，圆形区域的边界与y 轴在坐标原点O 相切，区域
内磁场的磁感应强度大小为
。空间中z 轴正方向垂直于xOy 平面向外，x 轴上过D
点
放置一足够大且垂直于x 轴的粒子收集板PQ，PQ 与yOz 平面间有一沿x 轴
正方向的匀强电场，电场强度大小为E。x 轴上过C 点
垂直于x 轴的平面MN 与
PQ 间存在沿x 轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
。在xOy 平面内的
区域内，有大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子沿y 轴正方向以速度
射入圆形区域，经过磁场偏转后所有粒子均恰好经过O 点，然后进入y 轴右侧区域。
已知电场强度大小
，磁感应强度大小
，不计带电粒子的重力及粒
子间的相互作用。求：
（1）带电粒子在圆形区域内做圆周运动的轨道半径；
（2）带电粒子到达MN 平面上的所有位置中，离x 轴最远的位置坐标；
（3）经过MN 平面时离x 轴最远的带电粒子到达收集板PQ 时的位置坐标。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）只有带电粒子的轨道半径等于圆形磁场的半径，粒子才能全部经过O 点，
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）经过A 点射入圆形磁场的粒子经过O 点时，速度方向沿y 轴负方向，在MN 上的
位置离x 轴最远，在y 轴右侧区域运动的带电粒子，沿x 轴正方向粒子做匀加速直线运
动，由牛顿第二定律得
解得
由运动学公式得
解得
又
解得离x 轴最远的距离
对应坐标为
。
（3）经过MN 时离x 轴最远的带电粒子， x 轴做匀加速直线运动到达收集板PQ，粒
子在到达MN 平面时，沿x 轴方向的速度大小
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解得
设粒子从MN 到达PQ 所用的时间为t2，则
解得
经过MN 时离x 轴最远的带电粒子，在yOx 平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供
向心力得
解得
粒子做圆周运动的周期
又
解得
带电粒子到达收集板PQ 上位置的y 坐标为
，则该带电粒子到达收集板PQ 上
位置坐标为
。
22．（2023·山东济宁·统考二模）如图所示，O-xyz 坐标系的y 轴竖直向上，在yOz 平
面左侧-2L<x<-L 区域内存在着沿y 轴负方向的匀强电场E1（大小未知），-L<x<0 区域
内存在着沿z 轴负方向的匀强磁场，在yOz 平面右侧区域同时存在着沿x 轴正方向的匀
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强电场和匀强磁场，电场强度大小为
，磁感应强度大小与yOz 平面左侧磁
感强度大小相等，电磁场均具有理想边界，在x 轴正方向距离O 点
处，有一
垂直于x 轴放置的足够大的荧光屏（未画出）。一个质量为m，电荷量为+q 的粒子从
M（-2L，
，0）点以速度v0沿x 轴正方向射入电场，经N（-L，0，0）点进入磁场区
域，然后从O 点进入到平面yOz 右侧区域，不计粒子重力。求：
（1）匀强电场E1的电场强度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）带电粒子打到荧光屏的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（
，
，
）
【详解】（1）粒子在电场中运动做类平抛运动，则沿x 轴方向
L=v0t
在y 轴方向
由牛顿第二定律得
qE1=ma
解得
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（2）在N 点，设粒子速度v 的方向与x 轴间的夹角为θ，沿y 轴负方向的速度为vy。
粒子进入磁场时竖直分速度大小
vy=at
解得
θ=45°
粒子进入磁场时的速度大小
vy=v0
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子轨迹如图所示：
由几何知识可知，粒子做圆周运动轨迹的半径
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
（3）粒子在xoy 平面内沿着与x 轴正向成45°角的方向以速度v 从O 点进入E2和B 的
区域，沿x 方向的速度分量和沿y 轴正向的速度分量均为v0，则粒子在yoz 平面内做匀
速圆周运动，半径
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粒子沿x 轴正向做匀加速运动，加速度
设粒子到达光屏的时间为t，则
解得
粒子做圆周运动的周期
则
则粒子在屏上的坐标
即位置坐标（
，
，
）
23．（2023·山东济南·山东省实验中学校考一模）如图所示，在长方体Ⅰ区域内，有垂
直平面
的匀强电场，电场强度为E，已知
长为L，
长为2L。Ⅱ区为电加速
区，由间距为d 的正中间有小孔S、O 的两个正方形平行金属板M、N 构成，金属板边
长为
，Ⅲ、Ⅳ区为长方体形状的磁偏转区，水平间距分别为d、4d，其竖直
截面与金属板形状相同。Ⅳ区左右截面的中心分别为
、
，以
为坐标原点，垂
直长方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。m、n 间匀强电场大小为E，方向沿
方
向；Ⅲ、Ⅳ区的匀强磁场大小相等、方向分别沿
、
方向。现有一电荷量为
、
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质量为m 的粒子以某一初速度从c 点沿平面
进入电场区域，经
点垂直平面
由小孔S 沿
方向进入Ⅱ区，经过一段时间后恰好能返回到小孔S，不考虑粒
子的重力。求：
（1）粒子经过
点的速度大小
；
（2）粒子经过小孔O 时的速度大小v；
（3）粒子在磁场中相邻两次经过小孔O 时运动的时间及磁感应强度B 的大小；
（4）若在Ⅲ区中
方向增加一个附加匀强磁场，可使粒子经过小孔O 后恰好不能进
入到Ⅳ区，并直接从Ⅲ区前表面（
方向一侧）的P 点飞出，求P 点坐标
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
；（4）
【详解】（1）沿初速度方向有
沿电场力方向有
又
解得
58
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（2）粒子由到
过程，由动能定理得
解得
（3）粒子在磁场中运动轨迹如图（俯视）所示
由几何关系得
根据牛顿第二定律得
解得
即
粒子在磁场中的周期为
由几何关系得粒子在磁场中运动的时间
59
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联立方程，解得
（4）如图所示
粒子恰好与Ⅲ、Ⅳ区边界相切且从
点飞出，对应半径
即
解得
由几何关系得
解得
则有
60
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即
点坐标为
。
24．（2023·山东聊城·校联考三模）如图所示为圆柱形的粒子可控装置简化示意图．圆
柱体底面直径和高度均为
，在圆柱体底面中心O 处放置一粒子发射源，可向圆柱体
内各个方向连续不断发射速率不等的同种粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为
，粒子初速度大小范围为
，不计粒子的重力及粒子间的相互作用；
（1）若仅在圆柱体内施加沿圆柱体轴线方向的匀强磁场，为使粒子不能从圆柱体侧面
飞出，则磁感应强度至少为多大？
（2）若仅在圆柱体内施加沿圆柱体轴线方向向上的匀强电场，为使粒子不能从圆柱体
侧面飞出，则电场场强至少为多大？
（3）若沿圆柱体轴线方向的匀强磁场（磁感应强度
）只存在于圆柱体内，沿
圆柱体轴线向上方向的匀强电场（电场场强大小
存在整个空间内．
某一粒子S 以初速度
从O 点沿底面内射出，当智能系统监测到该粒子穿过圆柱体侧
面时，立即启动智能开关，从圆柱体上底面中心M 处沿上底面以一定的初速度发射一
中性粒子P（不计重力），粒子S、P 恰好能在空间某处相遇．求粒子P 的发射初速度
大小．
61
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）依题意，只要保证沿底面内发射且发射速度最大的粒子不飞出圆柱体侧
面即可．
由牛顿第二定律和向心力得
解得
（2）依题意，只要保证沿底面内发射且发射速度最大的粒子不飞出圆柱体侧面即可．
由平抛运动规律可得
其中
解得
（3）因为电场存在整个空间内，粒子在圆柱体方向始终做匀加速直线运动，设粒子到
达上底面所在平面所需总时间为
，有
其中
在圆柱体空间内，粒子S 在垂直圆柱体轴线方向上做匀速圆周运动
62
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得
俯视图如图1 所示，在垂直圆柱体轴线方向粒子S 的运动圆心角等于
，
粒子S 在圆柱体内运动时间
粒子S 射出圆柱体后，在垂直圆柱体轴线方向（即平行于底面的平面内）以速度
上
做匀速直线运动，之后再经过
时间到达上底面所在平面且与粒子P 相遇
解得
设粒子S、P 在
点相遇
俯视图如图2 所示，由几何关系可得
点与M 点间的距离
63
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中性粒子P 从发射到与粒子S 相遇所用时间
所以，中性粒子发射初速度
25．（2023·山东临沂·统考二模）如图所示，在x 轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场。
在x 轴下方有沿y 轴正方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为＋q、初速度v 的带
电粒子从a（0，d）点处沿y 轴正方向开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x 轴正
方向成45°角进入电场，经过y 轴上b 点时速度方向恰好与y 轴垂直，带电粒子重力不
计。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）粒子从a 点开始到达x 轴的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
64
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（n 为奇数），
（n 为偶数）
【详解】（1）粒子运动轨迹如图
以后重复x1—x2—x3过程，粒子在磁场中做圆周运动
由图可得
rcos45° = d
联立可得
（2）粒子在x 轴下方运动到b 点过程中，水平方向
r＋rsin45° = vcos45°∙t2
竖直方向
联立可得
（3）粒子在磁场中运动到x1，即第一次到达x 轴所用时间
65
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从x1到x2，根据对称性可知
所以粒子第二次到达x 轴所用时间为
在x2处，粒子以速度v 与x 轴正方向成45°进入磁场，从x2到x3
所以粒子第三次到达x 轴所用时间为
所以当粒子第n 次到达x 轴时所用时间
（n 为奇数）
（n 为偶数）
26．（2023·山东滨州·统考二模）如图，圆柱形区域与
平面相切于y 轴，该区域内
存在平行y 轴的匀强磁场．在
和
位置，紧靠y 轴放置两平行金属板，金
属板与
平面平行，沿z 轴方向长为L，沿x 轴方向宽度足够大，两板间加恒定电压．
在金属板右侧垂直z 轴固定一足够大的荧光屏，荧光屏与金属板右端距离为
，荧光
屏与z 轴交点记为
．
平面内有一与z 轴平行且宽度等于磁场区域直径的线状粒
子源，粒子源各位置处均匀向外无初速度释放带电粒子，已知单位时间内粒子源释放
的总粒子数为N．粒子源释放的粒子经加速电压加速后，全部射向磁场区域，通过磁
场后均过O 点离开磁场，进入偏转电场后，粒子向y 轴正方向偏转，最终部分粒子打
在荧光屏上．已知粒子进入磁场前的加速电压与离开磁场后的偏转电压大小相等，不
计粒子重力．求：
66
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（1）如图所示，沿与z 轴正方向夹角
离开磁场的粒子，最终打在荧光屏上的x 轴坐
标值；
（2）荧光屏上显示的粒子落点形成的图线的方程；
（3）单位时间打在荧光屏上的粒子数．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【详解】（1）带电粒子打到荧光屏前，沿轴方向
沿
轴方向
最终射荧光屏上的
轴坐标
（2）对带电粒子加速过程根据动能定理
在偏转电场中
粒子离开电场时，偏转角为
，则
67
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粒子离开电场后，沿
轴方向偏转位移
粒子打在荧光屏上的
轴坐标
联立解得
荧光屏上显示的粒子落点图线方程
粒子能手射到荧光屏的条件
可得
即
图线方程的定义域为
（3）如图所示
68
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设圆柱形磁场圆直径为
，由几何关系可知，沿与
轴正方向夹角
离开圆柱形
磁场的粒子恰好可以打在荧光屏上，改粒子进入磁场时与中心线距离
可知满足条件的粒子源长度
单位时间打在荧光屏上的粒子数
27．（2023·山东·模拟预测）现有一对半圆柱体回旋加速器置于真空中，如图所示，其
半径为R，高度为H，两金属盒半圆柱体间狭缝宽度为d，有垂直于盒面向下、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场和垂直于盒面向下、电场强度大小为E 的匀强电场，磁场仅
存在于两盒内，而电场存在于整个装置，两盒间接有电压为U 的交流电。加速器上表
面圆心A 处有一粒子发射器，现有一电荷量为
、质量为m 的粒子从A 点飘入狭缝中，
初速度可以视为零。不考虑相对论效应和重力作用，若粒子能从加速器下表面边缘离
开，求：
（1）若U 未知，粒子从A 点到离开加速器下表面边缘所用时间t 及动能
；
（2）粒子在狹缝中被加速的次数n；
（3）若H 未知，粒子在狭缝中被加速的时间与在磁场中运动的时间的比值。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从A 点到离开加速器下表面边缘的过程中，竖直方向在电场力作用
下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有
69
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，
解得
粒子从加速器下表面边缘出去时在水平方向上的速度
取决于加速器金属盒的半径，
由洛伦兹力提供向心力，有
竖直方向上的速度
则离开时的动能
（2）由（1）分析可知
解得
（3）设粒子在狭缝中被加速的时间为
，在磁场运动的时间为
，有
，
解得
粒子在磁场中运动的周期
已知粒子每经过一次狭缝，就会在磁场运动半个周期，则
则
70
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28．（2023·山东·校联考模拟预测）某型号质谱仪的工作原理如图所示。M、N 为竖直
放置的两金属板，两板间有电场强度大小为E 的水平向右的匀强电场，两板间距为
d，Q 板为记录板，分界面P 将N、Q 间区域分为宽度均为d 的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、
P、Q 所在平面相互平行，a、b 为M、N 上两正对的小孔。以a、b 所在直线为z 轴，
向右为正方向，取z 轴与Q 板的交点O 为坐标原点，以平行于Q 板水平向里为x 轴正
方向，竖直向上为y 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿
x 轴正方向大小可调节的匀强电场和匀强磁场。一质量为m，电荷量为＋q 的粒子，从
a 孔飘入电场（初速度视为零），经b 孔进入区域Ⅰ，经区域Ⅰ、Ⅱ后最终打到记录板
Q 上。不计粒子重力。
（1）求粒子穿过b 孔时的速度大小；
（2）若只在区域Ⅰ存在电场强度大小为E 的电场，求粒子打到记录板上位置的x 坐标；
（3）若只在区域Ⅱ存在磁感应强度大小为
的磁场，求粒子打到记录板上位
置的y 坐标；
（4）若在区域Ⅰ存在电场、区域Ⅰ存在磁场，电场强度大小、磁感应强度大小分别为
E 和
求粒子打到记录板上位置的坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）由动能定理
71
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解得
（2）粒子在区域Ⅰ电场中做类平抛运动
在区域Ⅰ电场中沿x 方向位移
x 方向末速度
在区域Ⅱ中做匀速直线运动
沿x 方向位移
粒子打到记录板上位置的x 坐标
（3）粒子在区域Ⅰ电场中沿z 轴正方向做匀速直线运动
粒子在区域Ⅱ磁场中做匀速圆周运动，圆周运动的半径为
由几何关系可知，粒子在磁场中的圆弧轨迹对应的圆心角为30°，可解得粒子打到记录
板上位置的y 坐标为
解得
（4）粒子在区域Ⅰ电场中做类平抛运动，沿x 轴做匀加速直线运动，运动过程与
72
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（2）在区域Ⅰ电场中的运动过程完全一样，所以有
粒子在区域Ⅱ磁场中做匀速圆周运动，但仍沿x 轴运动，以速度
沿x 轴做匀速直线
运动，其在磁场中的运动时间为
粒子在区域Ⅱ磁场中沿x 轴的运动距离为
最终粒子打到记录板上位置的x 坐标为
粒子在区域Ⅰ电场中不沿y 轴运动，只在区域Ⅱ磁场中沿y 轴运动，且运动距离与
（3）完全一样，所以
粒子打到记录板上位置的z 坐标为
z＝0
所以，粒子打到记录板上位置的坐标
29．（2023·山东济南·统考三模）如图所示为内径为R 的中空圆柱形管，OO′为管的中
轴线，管内分布着沿中轴线OO′方向的匀强电场，电场强度大小为E。带电粒子与管内
壁发生碰撞时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后沿管壁切向分速度不变，垂直管
壁方向分速度大小不变、方向相反。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以垂直于
中轴线OO′方向的速度v0从O 点射出，不计粒子的重力，求：
（1）带电粒子从O 点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线OO′（带电粒子仍在圆
柱形管内）时的速度大小；
（2）若带电粒子恰好能从O′点离开圆柱形管，求圆柱形管管长的可能值；
（3）若粒子第一次经过中轴线OO′时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁
场，磁感应强度大小为
，求带电粒子第二次经过中轴线时（带电粒子仍在圆
73
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柱形管内）的位置与O 点之间的距离；
（4）若粒子第一次经过中轴线OO′时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁
场，粒子与管壁发生n 次（3≤n≤6）碰撞后恰好从O′点射出圆柱形管，射出圆柱形管时
带电粒子的速度与刚撤去电场时速度的大小和方向均相同，求磁感应强度的可能值以
及对应的管长值。（结果中要求含有n）
【答案】（1）
；（2）
（
，
，
）；（3）
；（4）见解析
【详解】（1）设沿轴线方向为
轴方向，带电粒子从O 点出发与管壁发生碰撞后第一
次经过中轴线OO′过程，在垂直于轴线方向
在沿轴线方向
，
则有
联立解得
（2）假设粒子与圆筒碰撞
次，在垂直于轴线方向
在沿轴线方向
74
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联立解得
（
，
，
）
（3）在电场加速过程中，粒子沿轴线前进距离
在磁场偏转过程中
解得
如图所示，粒子碰撞一次后再次回到轴心
根据几何关系可得转过的圆心角
再次回到轴心的时间
粒子沿轴线前进距离
带电粒子第二次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱管内）与O 点的距离
75
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（4）如图所示
若粒子能再次回到
点且速度不变，则应满足
且
，
为碰撞次数；由几何关系可得
①当
时
，
联立方程可得
解得
（
，
，，）
，
管长
解得
76
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（
，
，，）
②当
时
，
联立方程可得
解得
（
，）
（分别为
，
与
时相同）
，
管长
解得
（
，）
（分别为
，
）
各种情景运动图像如下
77
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30．（2023·山东威海·统考二模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy 中，第一象限存在
沿y 轴负方向的匀强电场，第三、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为
m、电量为q 的带电粒子，从y 轴上的
沿x 轴正方向射入第一象限，到达
时速度大小为v，又经x 轴上的M 点射入磁场，最后从x 轴上的N 点离开磁
场，M、N 关于O 点对称。求：
（1）M 点的坐标；
（2）粒子到达M 点时的速度；
（3）磁感应强度B 的大小；
（4）撤掉甲图中的电场和磁场，在一、二象限加上图乙所示的磁场，磁场关于y 轴对
称，一簇粒子从N 点以不同方向射入，速度方向与x 轴正方向的夹角0<θ<90°，所有粒
子穿越磁场后都汇聚于M，已知所有粒子在磁场中做圆周运动的半径均为r，求磁场边
界的函数方程。
78
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）见解析
【详解】（1）带电粒子在第一象限做类平抛运动，可得
依题意，从P 点到Q 点和从P 点到M 点的竖直方向位移关系为
解得
又
易知
可知M 点的横轴坐标为
即M 点坐标为
（2）到M 点速度方向与x 轴的夹角为α，则
解得
79
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设Q 点竖直分速度为
，则M 点竖直分速度为
，因为
同理
又
解得
（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，可得
又
解得
（4）当
时，满足
解得
当
时，满足
31．（2023·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）如图甲所示，两平行板P、Q
80
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足够大，间距为
。板间有可独立控制的变化的电场和磁场。取垂直于纸面向里为正
方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度E 随时间的变化规律如图
丙所示。
时刻，一质量为
、带电量为
的粒子（不计重力），以初速度
由Q
板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当
、
、
取某些特定值时，可使
时刻入射的粒子经
垂直打在P 板上（不考虑粒子反
弹）。上述
、
、
、
、
为已知量。
（1）若只加磁场，当
时，求
满足的条件；
（2）若同时加电场、磁场，当
时，求
满足的条件和粒子的位移；
（3）若同时加电场、磁场，当
，求
。
81
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【答案】（1）
；（2）
（
，
，
），
；（3）见解析
【详解】（1）若只加磁场，当
时，设粒子做圆周运动的半径为
，由洛伦兹
力提供向心力得
可得
根据题意由几何关系可得
解得
（2）若同时加电场、磁场，当
时，设粒子做圆周运动的半径为
，由洛伦
兹力提供向心力得
可得
由丙图可知在一个电场周期
内，沿电场方向的速度变化为0；根据题意由几何关系
可得
解得
82
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（
，
，
）
粒子沿电场方向的位移为
粒子的位移为
（3）若同时加电场、磁场，当
，设粒子做圆周运动的半径为
，周期为
，
由圆周运动公式可得
由牛顿第二定律可得
可得
，
粒子运动轨迹如图所示
、
为圆心，
连线与水平方向的夹角为
，在每个
内，只有
、
两个位
83
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置才有可能垂直击中P 板，且均要求
，由题意可得
可得
设经历完整
的个数为
（
，，
，
）。
若在
点击中P 板，根据题意由几何关系可得
当
，，
时，无解；
当
时，有
若在
点击中P 板，根据题意由几何关系可得
当
，
时，无解；
当
时，
当
时，有
32．（2023·山东·模拟预测）如图甲所示，空间直角坐标系
中，界面
均与
xOy 平面平行，界面
将空间分为区域Ⅰ、区域Ⅱ两部分，界面M 与xOy 平面和
界面N 间的距离均为
轴与界面M 相交于
与界面N 相交于
。区域Ⅰ中在y>0 的
84
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范围内存在着沿y 轴负方向的匀强电场，在
的范围内存在着沿y 轴正方向的匀强
电场，两个电场强度大小相等；区域Ⅱ中，在
的区域里有垂直xOz 平面的匀
强磁场，磁感应强度大小为B，如图乙所示，B 随时间t 的变化规律如图丙所示（
和
均未知），规定磁场方向沿y 轴负方向为正。有一质量为m、电荷量为
的粒子，
初速度为零，经加速器加速后获得大小为
的速度，然后从y 轴上的
点沿z
轴正方向进入区域Ⅰ，之后经过z 轴后从Q 点垂直穿过界面M 进入区域Ⅱ。不考虑粒
子的重力，求：
（1）加速器的加速电压；
（2）区域Ⅰ中匀强电场的场强大小；
（3）若粒子从
时刻射入区域Ⅱ，在
的某时刻从
平面的点
（以Q
点为坐标原点）射出磁场，求
的大小；
（4）若粒子的比荷为
，粒子在
的任一时刻射入区域Ⅱ时，粒子
离开磁场时的位置都不在
轴上，求
的取值范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）粒子经加速器加速，由动能定理得
85
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解得
（2）设粒子在区域Ⅰ中运动时间为
，区域Ⅰ中匀强电场的场强大小为E，根据题意
得
又
解得
（3）粒子进入区域Ⅱ，在
平面内做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示
洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系可得
联立解得
（4）由题意可得粒子运动的轨迹半径为
86
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临界情况为粒子从
时刻入射，并且轨迹恰好与
轴相切，此时刻进入的粒子不从
轴射出，其他情况粒子都不会从
轴射出，轨迹如图乙所示
该情况下根据洛伦兹力提供向心力可得圆周运动的周期为
由几何关系可得，
内，粒子转过的圆心角为
，对应运动时间为
故要使粒子离开磁场时的位置都不在
轴上，应满足
联立可得
33．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图甲所示，空间中正四棱柱区域
的侧面
与电容器的下极板Q 处于同一水平面，极板Q 的
中线与
在同一直线上。电容器两极板间的距离为d，两极板的长度均为L，正四
棱柱底边长也为d、截面
将正四棱柱分为左、右两部分，
左侧部分
为正方体，其中（包括正方体边界）存在磁感应强度竖直向上、大小为
的匀强磁
场；
右侧部分存在磁感应强度水平向右、大小为
的匀强磁场。在电容
87
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器左侧有一离子源，离子源持续射出带电量为
、质量为m 的离子，所有离子射出后
均从Q 板左侧中点正上方距离Q 板
处射入两板间，入射速度均为
，方向与Q 板的
中线平行，电容器两极板间的电势差随时间的变化规律如图乙所示（U 未知），不同
时刻射入的离子刚好都能从电容器右侧射出。不计离子的重力及离子间相互作用。
（1）求图乙中U 的大小。
（2）以截面
的中心为坐标原点在该截面上建立直角坐标系（如图甲中所
示），x 轴水平；y 轴竖直，求
时刻射入电容器的离子通过截面
时的坐
标。
（3）要使所有离子都不能从正四棱柱的
面射出，求正四棱柱侧棱的最小长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）离子在平行极板PQ 间运动的时间
恰好为一个周期
（
）时刻进入电容器的离子恰从极板边缘离开
88
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解得
（2）
时刻射入电容器的离子到达截面
之前，竖直方向偏移的距离
到达截面
时的y 坐标
所有离子飞过平行极板PQ 过程中，沿竖直方向的速度增量为
即
，所有离子均以速度
水平飞出电容器
进入正方体区域后
解得
正方体中所有离子运动轨迹的俯视图如图所示
则有
89
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所有离子到达截面
时的x 坐标相同
时刻射入电容器的离子通过截面
时的坐标为
（3）所有离子到达截面
后在竖直方向做圆周运动，离子运动的侧视图如图
所示，MN 为所有离子到达截面
时的位置连线
解得
离子竖直方向做匀速圆周运动的周期为
从N 点进入的离子在磁场中圆周运动时间最长
即
能在该场中做圆周运动的离子最长时间为
90
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所有离子到达截面
后，水平方向以速度
做匀速直线运动。要使所有离
子都不能从正四棱柱的
面射出，正四棱柱侧棱的最小长度
34．（2023·山东济宁·统考三模）如图甲所示，区域I 有宽度为d，方向竖直向上，电
场强度大小为E0的匀强电场，区域Ⅱ有平行于x 轴的交变电场（对其它区域不产生影
响），交变电场的电场强度大小也为E0，方向随时间变化规律如图乙所示（向右为正
方向），区域Ⅲ和区域Ⅳ有方向均垂直纸面向里的匀强磁场，且区域Ⅳ磁场的磁感应
强度大小为区域Ⅲ磁场的磁感应强度大小的2 倍。y 轴上固定着一块以O′为中点的水平
绝缘弹性挡板，挡板厚度可忽略，长度很短。
时，在O 点由静止释放一质量为
m、电荷量为+q 的粒子（不计重力），粒子经电场加速后进入区域Ⅱ，再经电场偏转
后，进入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时粒子速度与水平方向成45°角，接着恰好以O′为圆心
做圆周运动，进入区域Ⅳ后在O′点与挡板发生弹性碰撞，且碰撞后电量不变，在
（大小未知）时刻又恰好回到O 点，之后继续做周期性运动。求：
（1）粒子进入区域Ⅱ时速度v0的大小；
（2）区域Ⅲ中磁感应强度B 的大小；
（3）区域Ⅳ的上边界与x 轴间的最小距离s；
（4）交变电场随时间变化的周期T。，
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
91
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【详解】（1）粒子在区域Ⅰ中经电场加速，根据动能定理有
解得粒子进入区域Ⅱ的速度为
（2）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，根据题意粒子进入区域Ⅲ时的速度与水平方向夹
角为45°，可知粒子进入区域Ⅲ时的速度为
粒子刚进入区域Ⅲ的水平坐标x 为
根据几何关系可得粒子在区域Ⅲ中的轨迹半径为
再由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
（3）根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示
92
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区域Ⅳ磁场的磁感应强度大小为区域Ⅲ磁场的磁感应强度大小的2 倍，所以区域Ⅳ的
上边界与x 轴间的最小距离为粒子在区域Ⅳ中的轨道半径，则
（4）粒子在0~0.5T 内运动到O′点，轨迹关于y 轴对称，粒子在第一个区域Ⅰ中运动
的时间为
在区域Ⅱ中运动的时间为
粒子在区域Ⅲ中运动的时间为
粒子在区域Ⅳ中运动的时间为
故周期为
35．（2023·山东·模拟预测）如图甲所示，在绝缘水平桌面上固定有间距为
的
93
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光滑平行金属导轨，虚线MN 左侧、PQ 右侧（不包含边界）存在相同的匀强磁场，磁
场方向竖直向下，磁感应强度
，两个阻值均为
的电阻接在导轨的左右两端。
导轨上放置两个完全相同的导体棒ab 与cd，导体棒的质量
，长度
，
电阻
，ab 位于MN 左侧，cd 放在磁场边界PQ 上，对ab 施加向右的恒力
后，ab 的速度-时间图像如图乙所示（
段为直线，其余段为曲线），
时
刻撤去外力F，
时刻ab 静止，已知
时刻的速度大小为
，
过程图像围成的
面积为2m。两个导体棒之间的碰撞为完全非弹性碰撞，导体棒与导轨始终接触良好，
不计导轨电阻，求：
（1）两磁场边界MN、PQ 之间的距离L；
（2）若
时刻之后系统受到向左的变力
作用，且
，国际单位制下比例
系数k 大小为
，已知施加
后的
内，导体棒运动位移为
，此过程中
导轨左侧接入的电阻R 产生的焦耳热为
，求施加
后的
内
做的功。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由图像可知：
时刻ab 到达MN，
时刻ab 与cd 在PQ 位置发生碰撞，
对于两根导体棒碰后的过程，列动量定理，则有
94
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任一导体棒接入电路的有效电阻
根据电路规律有
由
解得
联立可得
设两导体棒发生碰撞前瞬间ab 棒的速度为
，根据动量守恒定律可知
代入数据得
在MN 到PQ 的过程中，根据牛顿第二定律有
根据运动学公式
（2）设施加
后的
时两导体棒的速度为
，对两根导体棒整体研究，根据动量定
理有
95
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根据
满足的函数关系可知
结合
联立解得
根据电路规律可知，此过程中整个电路生成的热量为
根据能量守恒定律有
代入数据得
36．（2023·山东·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，x 轴上方有垂直于
坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x 轴下方有沿y 轴正方向的匀强电场。
x 轴上与O 点距离为d 的P 处有一粒子源，在坐标平面内先后向磁场中与x 轴正方向夹
角为
范围内发射带正电的粒子，所有粒子第一次经磁场偏转后均可同时从O
点进入电场。其中第一次到达O 点所用时间最长的粒子又从x 轴上P 点第二次返回磁
场。已知粒子的质量为m、电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：
（1）试分析判断由P 处最先和最晚发射的粒子与x 轴正方向的夹角分别为多少；
（2）由P 处最先发射的粒子与最后发射的粒子，发射的时间差；
（3）匀强电场的电场强度大小；
（4）由P 处发射的速度最小的粒子，从发射到第二次经过O 点的时间。
96
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）粒子在磁场中圆周运动的周期公式为
设粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为
，则粒子在磁场中的运动时间为
所以t 与
成正比。由几何知识可知，发射粒子的运动方向与x 轴正方向夹角为
时，
角最小，为
粒子发射时间最晚。发射粒子运动方向与x 轴正方向夹角为
时，
角最大，为
粒子发射时间最早。
（2）根据（1）可知，最先发射的粒子与最后发射的粒子，发射的时间差为
（3）第一次到达O 点所用时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中运动时，
有
由几何关系知
设粒子在电场中从O 点到P 点运动的时间为t，加速度为a，则
97
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，
由对称性，得
联立解得
（4）发射速度越小的粒子，其圆周运动半径越小。由几何知识可得，粒子圆周运动半
径最小为
由牛顿第二定律，得
速度最小的粒子在磁场中运动的时间为
粒子在电场中先减速，再反向加速返回O 点，在电场中运动的时间为
所以粒子从发射到第二次经过O 点的时间为
联立解得
98
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37．（2023·山东聊城·统考三模）如图（a），空间直角坐标系
中，有一长方体区
域，四边形
是边长为L 的正方形，
长度为
，其顶点分别是a、b、c、d、
O、
、
、
，其中
、
、
在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。
时刻，一质量为
、电荷量为
的带正电粒子，以初速度
从a 点沿
方向射入
区域，不计粒子重力。
（1）若区域内仅分布着沿y 轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从
点离开区域，求电
场强度
的大小；
（2）若区域内仅分布着方向垂直于平面
的匀强磁场，则粒子能从
连线上距d
点
的点离开区域，求磁感应强度
的大小；
（3）若区域内仅交替分布着方向沿x 轴负方向的磁场
和沿y 轴正方向的磁场
，
且磁感应强度
和
的大小随时间周期性变化的关系如图（b）所示，则要使粒子从
平面
离开，且离开时速度方向与平面的
夹角为60°，感应强度
大小的可
能取值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场力作用下，在平面add'O 内做类平抛运动,由运动学规律在x
正方向
99
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在y 负方向
由牛顿第二定律
联立解得
（2）如答图1，粒子在洛伦兹力作用下,在平面adc'b'内做匀速圆周运动，做ae 的中垂
线与ab'的交点O'为圆心，设粒子在磁场中的运动半径为r
，
由牛顿第二定律
解得
（3）由题意，粒子在磁场
和
，中做匀速圆周运动的轨道半径R 相同，周期T 也
相同
，
100
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解得
，
（i）若粒子射出时与z 轴负方向的夹角为60°，则粒子在长方体区域运动轨迹沿y 轴负
方向的俯视如答图2 所示，沿x 轴负方向的侧视如答图3 所示，设粒子在平行于yOz 平
面内运动了n 个半周期（答图2、答图3 为n=3 的情况），则
据答图2，x 正方向
据答图3，y 正方向
因为y<2L，故粒子能到达cdd'c'平面，符合题意
，
101
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解得
（ii）若粒子射出时与z 轴正方向的夹角为60°,则粒子在长方体区域运动轨迹沿y 轴负
方向的俯视如答图4 所示。
据答图4，x 正方向
据答图3，y 负方向
因为
，故粒子能到达cdd'c'平面，符合题意
，
解得
综合整理得
38．（2023·山东·模拟预测）如图所示，间距为
且足够长的光滑平行金属导轨
与
，由倾斜与水平两部分平滑连接组成。倾角
的倾斜导轨间区
域Ⅰ有垂直导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度
。水平导轨间区域Ⅱ有
一个长度
、竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
。质量
、阻值
的金属棒a 从倾斜导轨某位置由静止开始释放，穿过
前已做匀速直线运
动，以大小不变的速度进入水平导轨，穿出水平磁场区域Ⅱ与另一根质量
、
阻值
的静止金属棒b 发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，金
属导轨电阻不计，求：
102
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（1）金属棒a 到达斜面底端
时的速度
的大小；
（2）金属棒a 第一次穿过区域Ⅱ的过程中，金属棒a 电路中产生的焦耳热Q；
（3）金属棒a 最终停在距区域Ⅱ右边界距离x。
【答案】（1）8m/s；（2）5.76J；（3）0.5m
【详解】（1）导体棒
匀速穿过
，由受力平衡得
解得
（2）规定向右为正方向，对金属棒
，根据动量定理得
，
，
（或
）
解得
金属棒
第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒
机械能的减
少量
解得
（3）规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得
，
联立并带入数据解得金属棒
反弹的速度为
103
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设金属棒
最终停在距磁场右边界
处，规定向右为正方向，对金属棒
，根据动量定
理得
，
，
或
解得
39．（2023·山东·模拟预测）如图所示，直角三角形导线框
固定在匀强磁场中，
是一段长为l、电阻为R 的均匀导线，
和
的电阻可不计，
长度为
。磁场的磁
感强度为B，方向垂直纸面向里。现有一段长度为
、电阻为
的均匀导体杆
架
在导线框上，开始时紧靠
，然后沿
方向以恒定速度v 向b 端滑动，滑动中始终与
平行并与线框保持良好接触，当
滑过的距离为
时，导线
中的电流是多大？
方向如何？
【答案】
，方向为由a 到c
【详解】设
滑过的距离为
时，它与
的接触点为P，如图所示
由右手定则可知MN 中的电流由P 到M，则导线
中的电流方向为由a 到c。
104
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根据几何关系可知
长度为
，
中的感应电动势为
此时
段的电阻为
和
两电路的并联电阻为
由欧姆定律，
中的电流为
由分流得
中的电流为
解得
40．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，间距
的平行金属导轨与水平面成
角放置，导轨的下端接有阻值
的电阻，上端通过小圆弧形绝缘材料与水
平金属导轨平滑对接，其中轨道
与
间距为
，轨道
与
间距为
。在
导轨的上端垂直于导轨锁定一质量
的导体棒
，
棒及下方区域全部处于与
导轨平面垂直、磁感应强度大小
的匀强磁场中，
右方存在竖直向上、磁感
应强度大小
的匀强磁场，在
右侧锁定一质量
的导体棒
。质量
的导体棒
垂直于导轨，与
棒相距
，以
的速度沿导轨向
上运动，经过
与
棒碰撞（碰撞前瞬间解除
棒的锁定），瞬间粘在一起，
105
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继续向上运动
到达
，此时解除
棒锁定。当
、
运动到
时，被
锁定在
左侧（此前速度已稳定）。
棒再运行
到
处。三个导体棒始
终与导轨接触良好，不计金属导轨的电阻，所有导体棒长度
，电阻
，单
位长度的电阻都相等，不计任何摩擦，忽略连接处的能量损失。（重力加速度
，
，
），求：
（1）
棒运动到
棒位置时的速度大小；
（2）
棒与
棒碰撞后瞬间，棒两端的电势差大小；
（3）整个运动过程中系统产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）2V；（3）
【详解】（1）
棒切割磁感线产生感应电动势，电路总电阻
代入可得
对
棒，由动量定理
解得
106
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（2）
棒与
棒碰撞，系统动量守恒
碰撞后瞬间棒两端的电势差大小
（3）
棒斜向上说动到
棒处过程中电路产生的焦耳热，由能量守恒定律
棒与
棒碰撞后继续斜向上运动到
处，此区域内无磁场，故电路中无电流，
由动能定理
解得
、
棒进入
磁场后，切割磁感线产生感应电流而做减速运动直到
处，由动
量定理
棒解锁后，在安培力的作用下开始加速运动并切割磁感线，由动量定理
最后速度稳定时，导体棒中均无电流，所以
解得
对
、
、
棒的这一运动过程，由能量守恒定律得
107
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、
棒锁住后，
棒继续切割磁感线做减速运动直到
处，由动量定理
解得
棒单独运动到
这一过程，由能量守恒定律
故整个运动过程中产生的焦耳热
41．（2023·山东潍坊·统考二模）如图所示，三维坐标系
中，在
的区域Ⅰ、
Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y 轴正方向的匀强电场，其中区域
中磁场的磁
感应强度大小为
、方向沿x 轴正方向，区域
中磁场的磁感应强度大小
为
、方向沿y 轴正方向；在
的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y 轴正方向的匀强磁场，
磁感应强度大小为
。区域Ⅰ中坐标为
的A 点有一粒子源，发出沿
方向、质量为m、带电量为
的粒子，粒子的初速度大小为
，在区域Ⅰ中恰好沿直
线运动并经过原点O，粒子的重力不计。．求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子从发出到第3 次经过x 轴需要的时间；
（3）粒子第6 次通过
平面时的y 轴坐标值。
108
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【答案】（1）
； （2）
；（3）
【详解】（1）由洛伦兹力与电场力平衡
解得
（2）设在I 区运动时间为t1，粒子经原点进入Ⅲ区域后，其运动的轨迹俯视图（沿y
轴负方向俯视）
109
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设粒子第2 次通过z 轴坐标为z1，则
解得
（3）画出第6 次通过yoz 平面的轨迹俯视图如图所示：
粒子第2 次到第3 次经过yoz 平面的时间内，在区域II 中沿y 轴方向做匀加速运动，设
运动时间为t4，则
设粒子第4 次到第5 次经过yoz 平面的时间内，在区域II 中运动的时间为t5，则
110
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第3 次至第4 次经过yoz 平面的时间内，在区域I 运动时间为t6，第5 次至第6 次经过
yoz 平面的时间内，在区域I 中运动的时间为t7，沿y 轴运动的速度为
，则
42．（2023·山东日照·统考二模）如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个
半径均为R 的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁
场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x 轴、y 轴均相切，磁感应强度大小均为
B0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B0的匀强磁场。在x 轴上x
< －2R 的位置有荧光屏，粒子源P（2R，－R）可以在纸面内沿与x 轴负方向成－37°
到37°夹角的范围内发射速率
（m、q 分别为粒子的质量和电荷量）的同种带
正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）沿x 轴负方向射出的粒子到达荧光屏上的位置坐标；
（2）粒子打到荧光屏上的x 轴坐标范围；
（3）粒子从射出到打到荧光屏上的过程中，粒子的最长运动时间。
111
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【答案】（1）（－3R，0）；（2）（－3.6R，－2.4R）；（3）
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力
可得轨迹半径
沿x 轴负方向射出的粒子到达荧光屏的过程中，运动轨迹如图1 所示
则该粒子打到荧光屏上的位置坐标为（
，0）。
（2）根据题意，可知最近和最远粒子的运动轨迹如图2 所示
112
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对最远粒子在第二象限的运动，几何关系如图3 所示
根据对称关系，打到荧光屏上的最远距离的位置
x1=-(2R+R+Rsin37°)=-3.6R
同理可得，打到荧光屏上的最近距离的位置
x2=-(2R+R-Rsin37°)=-2.4R
粒子打到荧光屏上的x 轴坐标范围为（
，
）。
（3）根据图像可知，打到最远处的粒子运动的时间最长，其中圆周运动时间
T 为带电粒子在磁场中运动的周期
直线运动时间
最长时间为
t=t1+t2
联立解得
113
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43．（2023·山东淄博·山东省淄博第一中学校联考二模）如图甲所示，某粒子从容器A
正下方的小孔
飘入
与
之间的加速电场中，其初速度可视为零，电场两极板之间
的电压为U，经电场加速后通过小孔
恰好沿圆弧
通过静电分析器，
为圆弧
的圆心，
、
在同一水平线上，
。从小孔
离开后，由正方体
右侧面中心位置处小孔
（即图中坐标系原点）向左上方沿
平面进入z 轴水平的
正方体空腔
内。已知静电分析器内有均匀辐向分布的电场，粒子
运动轨迹处电场强度大小恒定，圆弧半径和正方体边长均为L，粒子的质量为m，带电
量为
，重力不计。
（1）求粒子在圆弧
运动轨迹处电场强度大小E；
（2）若在空腔内加平行于y 轴且沿
轴方向、电场强度大小为
的匀强电场，
求粒子从
点进入空腔到打在空腔壁上的时间及打在空腔壁上的位置坐标；
（3）若空腔平行于y 轴的边长变为足够大，其他方向边长不变，在空腔内加与y 轴平
行、磁感应强度随时间的周期性变化规律如图乙所示的磁场，其中
，规
定当磁场方向沿y 轴正方向时磁感应强度为正，求粒子打在空腔壁上的位置坐标；
（4）若保持（3）问条件不变，平行于x 轴的边长也变为足够大，平行于z 轴的边长不
变，在空腔内再加平行于y 轴且沿
轴方向、电场强度大小为
的匀强电场，求
粒子打在空腔壁上的速度大小。
114
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【答案】（1）
；（2）
，（0，
，L）；（3）（
，
，
）；（4）
【详解】（1）带电粒子在电场中加速过程有
在辐向电场中做匀速圆周运动过程有
解得
（2）分析可知粒子射入空腔时方向与
轴成45°角，且粒子进入空腔后做类斜上抛运
动，且有
若粒子沿
方向速度变为0，由
解得
即粒子恰好到达空腔上表面，其间用时
115
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整理有
沿
轴方向有
整理得
即粒子恰好从
中点出射，解得粒子打在空腔上的时间为
粒子打在空腔上的位置坐标为（0，
，L）
（3）粒子进入空腔磁场后由
得粒子在
和
时间内在磁场中运动的周期和半径的关系分别为
粒子在
时间内在磁场中运动的周期和半径分别为
粒子运动轨迹在
平面投影如图所示
116
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分析可知粒子打在腔壁上时
此过程粒子沿
方向做匀速直线运动，运动时间为
沿
方向位移为
解得
综上分析，粒子打在腔壁时的位置坐标为（
，
，
）
（4）分析可知此问中粒子运动轨迹在
平面投影如图所示
粒子打在腔壁时位置坐标
117
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沿
轴方向的分速度
运动时间
此过程粒子沿y 轴做匀变速直线运动，且有
解得
时刻沿y 轴方向的分速度为
此时打在腔壁时粒子速度大小为
解得
44．（2023·山东·模拟预测）如图甲所示，三维坐标系中存在平行z 轴方向周期性变化
的磁场
和沿y 轴正方向竖直向下的匀强电场E。电场强度为
，磁场
随
时间变化如图乙所示，其中
，
，规定z 轴正向为磁场正方向。在
时刻，一个质量为
、电荷量为
C 的带负电液滴，从O 点在
xoy 平面内以速度
，方向与x 轴正向成45°角斜向下入射，已知重力加速度为
。
（1）求液滴第一次从O 点经过x 轴到第4 次经过x 轴所需时间；
（2）在
时刻撤去电场E 和
，同时在整个空间区域加上竖直向上（与y 轴正方
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向平行）的匀强磁场，磁感强度
T，求液滴继续运动过程中达到最大高
度时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）坐标为（
，
，
）
【详解】（1）液滴进入xoy 平面的右侧，由于
所以液滴在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，当磁感应强度大小为2B0时，有
解得
由周期公式有
同理 磁感应强度为B0时，有
解得
由周期公式有
则液滴第一次从O 点经过x 轴到第四次经过x 轴的运动轨迹如图
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由图可知液滴第一次从O 点经过x 轴到第4 次经过x 轴所需时间
（2）在
时刻液滴的位置如图所示
液滴在xoy 平面内与-x 方向夹角为45°，此后液滴将螺旋式上升，在y 方向上，液滴以
沿y 轴正向做竖直上抛，上升到最高点的时间为
上升的高度为
在x 方向上，液滴以
在平行于xoz 平面内（水平面）做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
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由周期公式得
所以在
因此上升到最高点时水平方向上完成了1.5 个周期的圆周运动。分析可
知
时油滴x 轴坐标与最高点时x 轴坐标相同，有图可知x 轴坐标为
在
时由图可知油滴y 轴坐标为
所以最高点时y 轴坐标为
因为负电油滴在
时z 轴坐标为0，而此时洛伦兹力沿z 轴正方向，所以在1.5 个周期
时z 轴坐标为
因此液滴继续运动过程中达到最大高度时的位置坐标为（
，
，
）
45．（2023·山东青岛·统考三模）图甲是某粒子控制设备的核心装置，图乙是其正视图，
装置的左侧为两个水平正对放置的长方形金属板abcd 和a'b'c'd'，oo'是其水平中心轴线，
金属板ab 边长
bc 边足够长，金属板间距
；让下金属板接地，上金
属板的电势φ 随时间t 变化关系如图丙所示，周期
时刻上金属板的电
势高。平行金属板的右侧存在一个长度足够长的圆柱形磁场区域，圆柱形磁场区域的
中心轴与金属板bc 边平行，磁场方向沿cb 方向向外，整个装置处于真空中。从
时刻开始，一束负离子由aa'dd'面中心点o 处沿oo'方向连续射入两板间，已知每个离
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子的比荷
，入射速度
，恰好所有离子都进入磁场区域并
最终全部集中于圆柱形磁场边缘同一点。离子间相互作用及重力不计，
，
。求；
（1）
时刻射入的离子射出平行板时速度大小和射出平行板时竖直方向偏转距离
（2）圆柱形磁场的磁感应强度大小；
（3）若离子束只在
这段时间内从o 点连续入射，速度大小为
，方
向水平且与oo'成37°向里，最终离子从磁场中出射时，求所有离子出射位置沿磁场中
轴线方向分布的长度。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）负离子穿过平行板的时间为
时刻进入平行板的负离子的竖直速度与时间关系图像如图
前半周期内加速度大小为
同理得后半周期内加速度大小为
时刻竖直方向速度大小为
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时刻竖直方向速度大小为
离子射出时速度为
竖直方向的偏移位移为
符合题意，所以竖直方向的偏移位移为0.8m；
（2）不同时刻进入的离子在平行板间的运动时间均为一个电压变化周期，竖直方向初
速度为零，竖直方向上加速和减速时间相同，加速阶段和减速阶段的加速度与零时刻
进入离子相同，故离子从平行板射出时竖直方向速度相同，出射速度相同，结合图像
如图
离子0 时刻、
时刻、
时刻进入平行板间时竖直方向速度随时间变化关系为
设速度方向与水平成
角，则
所以
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当0 时刻进入平行板的离子向上偏转的最大位移为
当
时刻进入平行板的离子向上偏转的最大位移为
由此可知所有离子与水平方向成
进入圆形磁场，离子束宽度即为圆柱形磁场截面直
径，大小为
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（3）
时刻进入平行板的离子沿oo'方向的速度为
离子沿圆柱形磁场中轴线方向的速度为
时刻进入平行板的离子竖直方向偏离位移大小为
离子在磁场中圆周运动的周期为
时刻进入平行板的离子在磁场中运动的时间为
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最终离子从磁场中出射沿中轴线方向分布的长度大小为
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