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专题05 电场、磁场及复合场
一、单选题
1．（2024·广西·三模）如图所示为一正点电荷M 和一金属板N 形成的电场线，a，b、
c 为电场中的三点，则下列说法正确的是（ ）
A．正电荷在a，b 两点的电势能大小关系为
B．同一电荷在a，c 点处的加速度大小关系为
C．a，c 两点的电势关系为
D．一正点电荷仅在电场力作用下可以由a 点沿电场线运动到b 点
【答案】B
【详解】A．沿着电场线的方向电势逐渐降低，知
；又根据
可知，正电
荷在a，b 两点的电势能大小关系为
故A 错误；B．电场线密的地方电场强度
大，电场线疏的地方电场强度小，则a，c 两点的电场强度大小关系为
，由牛
顿第二定律有
可知，同一电荷在a，c 点处的加速度大小关系为
故B 正确；
C．沿电场线方向电势降低，所以a 点电势比c 点的电势高，即
，故C 错误；
D．电荷所受电场力的方向沿电场线的切线方向，所以运动轨迹不会与电场线重合，
故D 错误。故选B。
2．（2024·江西南昌·三模）如图所示，A、B、C、D 为半球形圆面上的四点，且AB 与
CD 交于球心O 且相互垂直，E 点为球的最低点，A 点放置一个电量为
的点电荷，
在B 点和E 点放置一个电量为
的点电荷，令无穷远处电势为0，则下列说法正确的
1
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是（ ）
A．C、D 两点电场强度相同
B．沿CD 连线上，O 处电场强度最大
C．沿CD 连线上，电势一直不变
D．沿CD 连线上，O 处电势最大
【答案】B
【详解】A．AB 为等量的异种电荷，CD 为AB 连线的中垂线且CD 关于AB 连线对称，
则AB 在CD 两点的电场相同，E 点点电荷在CD 两点的电场大小相等方向不同，则CD
两点的电场大小相同，方向不同，故A 错误；B．AB 为等量的异种电荷，CD 为AB 连
线的中垂线，则AB 两点电荷在CD 连线上的电场都是垂直CD 向右，E 点电荷在CD
上的电场都是垂直AB 方向，即AB 两点电荷和E 点点电荷产生的电场垂直，而AB 两
点电荷和E 点点电荷产生的电场都是在O 点是电场强度最大，所以，沿CD 连线上，O
处电场强度最大，故B 正确；C．AB 为等量的异种电荷，CD 为AB 连线的中垂线，所
以AB 两点电荷在CD 连线上的电势都相等，但E 点电荷到CD 连线上各点距离不同，
则电势不同，则合电势也不相同，故C 错误；D．AB 为等量的异种电荷，CD 为AB 连
线的中垂线，所以AB 两点电荷在CD 连线上的电势都相等，但E 点电荷到CD 连线上
各点距离不同，其中，O 点到E 的距离最近，则E 点点电荷在O 的电势最小，则沿CD
连线上，O 处电势最小，故D 错误。故选B。
3．（2024·安徽·三模）如图所示，半径为R 的
圆OAP 区域中存在垂直于圆平面向外、
磁感应强度为B 的匀强磁场，圆心O 点有一粒子源，先后从O 点以相同速率
向圆区域内发射两个完全相同的正电粒子a、b（质量为m，电量为q），其速度方向
均垂直于磁场方向，与OP 的夹角分别为90°、60°，不计粒子的重力及粒子间相互作
用力，则两个粒子a、b 在磁场中运动时间之比
为（ ）
2
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A．1：1
B．2：1
C．1：2
D．4：1
【答案】A
【详解】两个粒子在磁场中做圆周运动的半径均为R，恰好与磁场区域半径相等，对
粒子
在磁场中恰好以P 点为圆心做圆周运动，从AP 边上M 点
出磁场，
；对b 粒子
在磁场中做圆周运动恰好从AP
边上D 点出，由几何关系得
故
故A 正确，BCD 错误。故选A。
4．（2024·安徽·三模）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强
磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管
道长度为l（管道长度大于管道横截面半径）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进
入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，
三次碰撞后从另一端沿轴线射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，
不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
3
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A．管道横截面半径为
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子质量为
D．粒子束每次与管壁碰撞时，对管道的平均作用力大小为
【答案】D
【详解】AB．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，三次碰撞后沿轴线射
出，可知粒子运动的圆弧半径为
粒子在磁场中运动的时间
故AB 错误；C．根据洛伦兹力提供向心力
可得粒子的质量为
故C 错误；D．粒子与管壁发生弹性碰撞后原速反弹，则由
动量定理可得
再结合
可得
由牛顿第三定律
可知粒子束对管壁的平均作用力为
，故D 正确。故选D。
5．（2024·安徽合肥·三模）如图所示，半圆形的绝缘环上均匀分布有正电荷，AB 是竖
直直径，直导线与圆心O 等高且水平固定，直导线中有向右的恒定电流，将半圆环绕
AB 所在直线沿顺时针方向（从上向下看）匀速转动，则直导线受到的安培力方向（
）
4
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A．向上
B．向下
C．垂直纸面向里
D．垂直纸面向外
【答案】D
【详解】将半圆环绕AB 所在直线沿顺时针方向（从上向下看）匀速转动，从上向下看
形成的等效电流沿顺时针方向，则电流在直导线处的磁场竖直向上，根据左手定则，
直导线受到的安培力垂直纸面向外。故选D。
6．（2024·安徽马鞍山·三模）如图所示，匀强磁场范围足够大且方向垂直纸面向里，
在纸面内有P、M、N 三点，
间的距离为L，
连线与
间的夹角为
。从P
点平行于
向左发射速率为v0的带正电粒子，恰好经过M、N，粒子质量为m、电荷
量为q，不计粒子重力，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．
间距离为
C．粒子从P 运动到N 的时间为
D．粒子运动过程中，距
的最大距离为
【答案】D
【详解】根据题意作出轨迹，如图所示
根据几何关系，可知
则轨道半径
由于洛伦兹力提供向心力，则有
解
5
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得
故A 错误；B．根据几何关系，
间距离为
故B 错
误；
C．粒子从P 运动到N 对应的圆心角
粒子运动周期
则经历
时间为
解得
故C 错误；D．根据轨迹图像可知，当粒子运动至与P 点
关于圆心对称位置时，距
的距离最大
故D 正确。故选D。
7．（2024·安徽·三模）如图所示，某同学用电流传感器探究电容器充电过程中对旁路
的影响，t=0 时刻闭合开关S，则能正确表示此后电阻R1中电流变化过程的图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】闭合开关S 瞬间，对电容器充电，通过R2的电流逐渐减小，则通过R1的电流
逐渐增加，电容器充电结束，通过R1的电流达到最大，并保持不变。故选B。
8．（2024·安徽·三模）如图所示，半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，半圆
的弧长为L，圆心为O，半径PO 与直径MN 垂直。一带负电荷的粒子以初速度v0从P
6
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点沿着PO 方向射入磁场，在磁场中运动t1时间后从N 点离开，另一带正电荷的粒子以
初速度v0从P 点射入磁场，初速度v0方向与PO 成α=30°角，在磁场中运动t2时间后离
开磁场。已知正、负粒子所带电荷量和质量均相等，不计粒子重力，则t1-t2的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图所示
是带负电荷的粒子的圆心，由题意可知，四边形
是
正方形，轨迹圆半径R 与磁场圆半径R 相等，带负电荷运动轨迹的圆心角为
。而正
粒子往左偏转飞出磁场，它的圆心角为
，负电荷在磁场中运动的时间为
正电荷在磁场中运动的时间为
所以
故选B。
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示，光滑绝缘圆管竖直固定在水平匀强磁场
中，一带正电小球从管口由缝静止开始下落，则下列描述圆管对小球的冲量I 随下落
时间t 和下落高度h 的关系图像中正确的是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】小球竖直方向只受重力，小球做自由落体运动，则有
，
小球下
落过程中在水平方向将受到洛伦兹力，根据水平方向受力平衡可知圆管对小球的弹力
大小始终等于小球所受洛伦兹力，即有
由此可知圆管对小球的冲量
联立以上各式可得
，
则可知，小球的
图像为过原点且开口向上
的抛物线，
图像为过原点的倾斜直线。故选A。
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，一根足够长的粗糙绝缘细直杆
，固定
在竖直平面内，与水平面的夹角为
，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀
强磁场充满直杆所在的空间，杆与磁场方向垂直。质量为m 的带负电小环（可视为质
点）套在直杆上，与直杆之间有一个极小的空隙，小环与直杆之间动摩擦因数
，
将小环从直杆
上的P 点由静止释放，下降高度为h 之前速度已达到最大值。已知
小环和直杆之间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小环的电荷量为
，重力加速
度大小为g，不计空气阻力，取
，下列说法中正确的是（ ）
8
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A．小环释放后，一直做加速度减小的加速运动
B．小环释放后，小环的速度先增大后减小
C．小环释放后，加速度的最大值为0.6g，速度的最大值为
D．小环下降高度h 的过程中，因摩擦产生的热量为
【答案】C
【详解】AB．刚开始阶段，小环受到重力、支持力沿斜面向上的摩擦力作用，下滑后，
由于小环速度逐渐增大，所以还会受到洛伦兹力作用
根据力的合成与分解，垂直于杆方向，有
沿杆方向，有
随着小环速度增大，支持力逐渐减小，摩擦力减小，所以加速度
增大，故小环会做加速度增大的加速运动，之后洛伦兹力大于重力垂直于杆的分力，
支持力垂直于杆向下，根据
，
小环做加速度减
小的加速运动，最后做匀速运动，故AB 错误；C．小环释放后，支持力为零，洛伦兹
力等于重力垂直于斜面的分力，加速度最大，根据牛顿第二定律，有
即
当合力为零时，速度最大，根据共点力平衡，有
解得
故C 正确；D．因为下降高度为h 之前速度已达到
最大值，小环下降高度h 的过程中，根据能量守恒，有
解得
故D 错误。故选C。
11．（2024·广西·三模）带电量为q 的小球，用绝缘丝线悬挂在水平向右的电场中，平
9
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衡时，丝线与竖直方向成
角。现在使电场方向缓慢逆时针旋转至竖直向上，在此过
程中若还要保持小球在原处不动，则场强的大小（ ）
A．逐渐变小
B．先变小后变大
C．先变大后变小
D．逐渐增大
【答案】B
【详解】小球受重力、拉力和电场力，要保持带电小球在原处不动，电场方向变化过
程中，小球始终受力平衡，合力为零。使电场方向缓慢逆时针旋转至竖直向上过程中，
重力大小和方向都不变，拉力方向不变，电场力大小和方向都改变，作图如下
从图象可以看出，电场力先减小后增加，故电场强度先减小后增加，故B 正确，ACD
错误。故选B。
二、多选题
12．（2023·广西·三模）如图甲所示，圆形区域
处在平行于纸面的匀强电场中，
圆心为
，半径为
。
为圆弧上的一个点，
连线逆时针转动，
为
连
线从
位置开始旋转的角度，
点电势随
变化如图乙所示。下列说法正确的是（
）
A．匀强电场的场强大小为
10
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B．匀强电场的场强方向垂直
连线向右
C．一氦核
从A 点沿圆弧运动到
点，电势能增加了
D．一电子从
点沿圆弧逆时针运动到
点，电场力先做负功后做正功
【答案】AD
【详解】AB．根据图像可知，当
时，P 位于A 点，A 点电势为2V；当
时，
P 点位于P1，电势为1V，当
时，P 点位于P2，电势为5V。根据夹角关系可知，
P1OP2位于同一条直线上，即如图所示
根据等分法可知，OP1中点N 的电势为2V，故AN 的连线为匀强电场中的一条等势线。
根据几何关系可知，AN⊥P1P2。故P1P2即为匀强电场中的一条电场线，且电场方向由
P2指向P1。根据电场强度与电势差的关系可得
故A 正确，B 错误；C．由几何关系可知，C 点与OP2中点M 的连线垂直P1P2，故CM
为等势线，故根据等分法可知
一氦核
从A 点沿圆弧运动到C 点，
电势能变化量为
故C 错误；D．由上可知，电场方向由P2指向
P1，电子从A 点沿圆弧逆时针运动到B 点，电场力先做负功后做正功。故D 正确。故
选AD。
13．（2024·广西桂林·三模）在如图所示的等边三角形ABC 的三个顶点处，分别固定
电荷量为
、-q 和
的点电荷。已知三角形中心
到三个顶点的距离均为，
点
为
边中点，
点为
连线中点，则关于
、
、
三点电势
、
、
关系正
确的是（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】AC．电势是标量，运算法则符合代数运算法则。O 点电势
D 点电势
即
则
故A 错误，C 正确；BD．E 点电
势
则
故B 正确，D 错误。故选BC。
14．（2024·安徽·三模）静电场的电场强度方向与x 轴平行，x 轴上各点电势
随坐标x
分布情况如图所示。现从
处由静止释放一电子（重力不计），电子在
间运动时的速度、电势能
、动能
及电场力的功率P 随坐标x 变化的
图像正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】A．电子在
间做匀加速直线运动，在
间做匀减速直线运动，
在
间做匀加速直线运动，全程加速度大小均相等，但电子速度随位移并非线
性变化，A 错误；B．根据
，B 正确；C．由动能定理，
，故
13
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C 正确；D．电子在越过
前后电场力方向突变，其功率大小不变，由
可知其功率正负值突变，D 错误。故选BC。
15．（2024·安徽·三模）如图1 所示，在竖直面内坐标系的原点O 处有一小球发射装置，
可以沿与x 轴正方向成
的方向，斜向上发射速度大小为10m/s 的带电小球，在y 轴
右侧与直线DF（平行于y 轴）中间范围内有周期性变化的水平方向电场，规定向右为
正方向，交变电场周期
，变化规律如图2.
时刻将带正电绝缘小球射入电场
中，小球在
时刻到达电场边界DF，且速度方向恰与直线DF 平行。已知小球质
量
，电荷量
，重力加速度
，
，不计空气
阻力的影响。下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线DF 到y 轴的距离
C．若小球在不同时刻射入电场，从射入到再次经过x 轴时的时间与入射时刻有关
D．若小球在不同时刻射入电场，再次经过x 轴时的坐标范围为
【答案】ABD
【详解】A．小球到达直线DF 时速度方向恰与DF 平行，即水平速度恰减到0，根据
电场的周期性
解得
根据
解得
选
项A 正确；B．根据速度位移关系式
解得
选项B 正确；C．
小球在y 轴右侧竖直方向做竖直上抛运动，小球再次经过x 轴的运动时间相同
选项C 错误；D．恰经过一个周期，
时刻进入电场，小球在一
个周期内水平方向先减速运动再加速，此过程小球水平方向平均速度最小，离C 点最
14
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近
因为
小球在电场内经过x 轴，
时刻进入电场，
小球在一个周期内水平方向先加速运动
解得
且
恰加速运动至DF 所在直线，小球出电场后做匀速运动
解得
则
此过程小球水平方向平均
速度最大，离C 点最远，综上，小球经过x 轴时的坐标范围为
选项D 正确。故选ABD。
16．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，真空中有一正方体，其上M、P 两个顶点
处分别放置电荷量都为q 的正点电荷，N、Q 两个顶点处分别放置电荷量都为q 的负点
电荷。图中的a、b、c、d 是其他的四个顶点，O 点为正方体中心，规定无穷远处电势
为零，下列表述正确的是（ ）
A．a、b 两点的电场强度大小相等
B．a 点的电势等于b 点的电势
C．O 点的电势为零
D．同一带正电的试探点电荷在c 点电势能小于在d 点电势能
【答案】AC
【详解】A．把四个电荷的叠加场看成两对等量异种点电荷的叠加，M、N 处等量异种
点电荷，a、b 两点处在两点电荷连线中垂线上，且关于连线对称，易知a、b 两点的电
场强度大小相等。P、Q 处等量异种点电荷，a、b 两点分别位于正、负点电荷的正上
方等高处，可知a、b 两点处电场线的疏密程度相同，可知它们的电场强度大小相等。
综上所述a、b 两点的电场强度大小相等，故A 正确；B．M、N 处等量异种点电荷，
a、b 两点处在两点电荷连线中垂线上，可知
P、Q 处等量异种点电荷，a、b 两
15
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点分别位于正、负点电荷的正上方等高处，根据沿电场线方向电势降低可知
综
上所述，a 点的电势大于b 点的电势，故B 错误；C．由图可知，O 点既处在M、N 等
量异种点电荷连线中垂线上也处于P、Q 等量异种点电荷连线中垂线上。可知O 点的
电势为零，故C 正确。D．由B 选项分析可知，c 点电势大于在d 点电势，根据
可知同一带正电的试探点电荷在c 点电势能大于在d 点电势能，故D 错误。故
选AC。
17．（2024·黑龙江·三模）如图所示，倾角为（
的斜面末端连接一段水平轨道
后与竖直的光滑绝缘半圆轨道平滑连接，O 为圆心，A、B 为竖直直径的上、下两端点。
现有一质量为
、带电荷量为
的小球（可视为质点），以大小
为
的初速度从斜面上某点以垂直斜面方向向上抛出，小球恰好从半圆轨道
的最高点A 无碰撞飞入半圆轨道。已知整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度
大小为
，重力加速度g 取10m/s²，
，
下列说法正
确的是（ ）
A．小球在A 点的速度大小为2.25m/s
B．小球从抛出到A 点的运动是类平抛运动
C．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中，可能会在某处脱离半圆轨道
D．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中对轨道的最大压力大小为24N
【答案】BD
【详解】AB．小球受重力和电场力的作用，则合力大小为
设F 与水平方向夹角为
，则
解得
即F 与
垂直，故小球做类
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平抛运动，有几何关系有
故A 错误，B 正确；C．如图所示
根据受力情况可知小球运动过程中的等效最低点为C 点，小球到C 点时对轨道的压力
最大，因在A 点小球恰好能无碰撞飞入半圆轨道，故小球在A 点对轨道的压力为零，
小球在从A 到C 的过程其小球对轨道的压力逐渐增加，所以小球第一次在半圆轨道上
滑行过程中不会脱离半圆轨道，故C 项错误；D．在A 点，根据牛顿第二定律得
解得
从A 到C，对小球由动能定理有
根据牛顿第
二定律有
联立解得
根据牛顿第三定律得小球对轨道的最大压力
大小为24N，故D 项正确。故选BD。
18．（2024·黑龙江大庆·三模）如图所示，直角坐标系
位于竖直平面内，其中x 轴
水平，y 轴竖直。竖直平面中长方形区域
内有垂直于
的匀强电场，
与x 轴
正方向夹角
。一质量为m、电荷量为q 的带正电小球（可看成质点）从y 轴上
的P 点沿x 轴正方向以
射出，恰好从
的中点M 垂直
进入电场区域。已
知电场强度的大小
，重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
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A．
长为
B．P 点的纵坐标
C．若小球从
边界离开电场，小球在电场中的运动时间为0.2s
D．若小球不能从
边界离开电场，应满足
【答案】ABD
【详解】AB．小球在M 点
得
得
长为
由
几何关系知
得
故AB 正确；C．对小球在电场中受力
分析
轴
得
轴
则
轴做匀速直线运动
轴上由运动学公式得
得
故C 错误；D．小
球在M 点
若小球不能从
边界离开电场，应满足
故D 正确。故选ABD。
19．（2024·吉林·三模）如图所示，在边长为
的立方体表面中心
处固定电荷量
均为
的点电荷，表面中心
处固定电荷量均为
的点电荷，下列说法正确的
是（ ）
18
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A．
两点的电势不等
B．一带负电的试探电荷在
点的电势能小于其在
点的电势能
C．若移去
处的点电荷，
处的点电荷所受电场力大小为
D．若移去
处的点电荷，
点和
点场强大小相等，方向相反
【答案】BC
【详解】A．由于A 点到E、H 的距离与C 点到F、G 的距离相等，同时，A 点到F、G
的距离与C 点到E、H 的距离也相等，故A 处电势等于C 处电势，故A 错误；B．
点
靠近正电荷，电势较高，负电荷在电势高的位置电势能较小，所以一带负电的试探电
荷在
点的电势能小于其在
点的电势能，故B 正确；C．若移去F 处的点电荷，H
处的点电荷所受电场力大小为
故C 正确；D．若移去
处的点电荷，根据电场强度的叠加原理，可知
点和
点场强大小相等，方向
相同，故D 错误。故选BC。
三、解答题
20．（2024·江西·三模）某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X
射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸
面的匀强磁场，磁感应强度为
。水平放置的目标靶长为
，靶左端M 与磁场圆心O
的水平距离为、竖直距离为
。从电子枪逸出的电子（质量为
、电荷量为，初
速度可以忽略）经匀强电场加速时间后，以速度
沿PO 方向射入磁场，（PO 与水
平方向夹角为
），恰好击中M 点，求：
19
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（1）匀强电场场强的大小；
（2）匀强磁场的方向及电子在磁场中运动的时间；
（3）为保证电子击中目标靶MN，匀强电场场强的大小范围（匀强电场极板间距不
变）。
【答案】（1）
；（2）垂直纸面向里，
；（3）
【详解】（1）电子穿过匀强电场过程中，由动量定理得
解得
（2）由左手定则，可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里；电子在磁场中运动时，由洛
伦兹力提供向心力得
周期为
联立可得
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设
与竖直方向夹角为
，则有
可得
由图中几何关系可知，电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
，则电子在磁场中
运动时间为
（3）①当电子击中M 点时，电子在磁场中的偏转半径为
设匀强磁场区域半径，由几何关系得
②当电子击中N 点时，设
与竖直方向夹角为
，则有
可得
由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
，则偏转半径为
则有
粒子穿过匀强电场后的速度
，由动能定理得
设极板间距离为
，则有
联立解得
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则匀强电场场强的范围为
21．（2024·广西桂林·三模）如图甲所示，在真空坐标系
中，第二象限内有一有界
匀强电场，现将质量为
、电荷量为
的带正电粒子在
处由静止释放，粒子经电场
加速距离d，最后以速度大小为
、方向与
轴负方向的夹角为
从坐标原点
进入
区域。从粒子通过
点开始计时，
区域的磁感应强度随时间的变化关
系始终如图乙所示，规定当磁场方向垂直
平面向里时磁感应强度为正。已知
，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。求：
（1）匀强电场场强；
（2）粒子从坐标原点
第次经过
轴到第
次经过
轴的时间
；
（3）粒子第
次经过
轴时的
坐标。
【答案】（1）
，方向与
轴负方向夹角
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在加速电场中，由动能定理
解得
22
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方向与
轴负方向夹角
。
（2）由洛伦兹力提供向心力，则
又由
解得
可知微粒从第一次经过
轴到第二次经过
轴时，对应的圆心角为
，则
（3）由于
可知
，微粒刚好转过
。之后磁场大小方向都变了，则偏转方向变了。由洛伦
兹力提供向心力得
联立
解得
将
代入周期公式
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解得
微粒转过
，同理得，时间在
与
的运动轨迹大小
一样，只是偏转方向不一样，
与
的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不
一样，综上所述，得到微粒一个周期的轨迹图如图所示。由几何关系得
则微粒第
次经过
轴时的
坐标为
22．（2024·江西南昌·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限内存在磁感
应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿x 轴正方向
的匀强电场．带正电粒子从x 轴的A 点
沿y 轴正方向以初速度
进入第二象
限，经电场偏转从y 轴上的M 点
进入第一象限，又经匀强磁场从x 轴上的N 点
进入第四象限，不计粒子重力．求：
（1）从A 点出发到N 点所用时间t；
（2）带电粒子的比荷及匀强电场的大小；
（3）撤去匀强磁场，在第一、四象限内施加沿MN 方向的匀强磁场
，带电粒子仍能
过N 点，问
的大小及带电粒子在磁场中的运动路程．
24
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【答案】（1）
；（2）
；
；（3）
；
【详解】（1）从A 到M 的过程，x 方向匀加速
y 方向匀速
进入磁场时带电粒子速度
方向与x 方向成
角。
根据几何关系
得
在磁场中匀速圆周
运动总时间
（2）在磁场中转圈半径
得
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在电场中有
得
（3）当磁场沿MN 方向，进入磁场时v 与B 夹角为
，带电粒子以
沿磁场
方向匀速运动，到达N 所需时间
同时带电粒子以
在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，转圈周期
为了能够到达N 点，要求
得
在磁场中运动路程
23．（2024·安徽合肥·三模）如图所示，在竖直虚线AC 和MN 之间有水平向左的匀强
电场，电场强度大小为E，在竖直虚线MN 和PQ 之间，有垂直纸面向里的匀强磁场，
AC、MN 和MN、PQ 的间距均为d，水平线CNQ 为电场和磁场的下边界。将一质量为
m、电荷量为q 的带负电的粒子在AC 边上的O 点由静止释放，粒子运动中恰好不能从
PQ 边射出磁场，最终从NQ 的中点射出磁场，不计粒子的重力，求：
（1）磁感应强度大小B；
（2）O、C 间的距离；
（3）若在O 点将粒子以初速度
沿AC 方向射出后经一次电场和一次磁场偏转，刚好
从N 点射出场，求初速度
。
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【答案】（1）
；（2）
（不含
）；
（3）
【详解】（1）设粒子进磁场时的速度大小为
，据动能定理有
解得
据题意，粒子在磁场中做圆周运动的半径为d，则有
解得
（2）设粒子最后从NQ 中点射出时离圆心的竖直距离为L，据几何关系有
解得
由粒子运动的重复性，则O 点到C 点的距离为
27
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（不含
）
（3）设粒子进磁场时的速度大小为v，速度与水平方向的夹角为
，则
粒子做圆周运动的半径
粒子进出磁场的位置间的距离
设粒子在电场中运动的时间为t，则有
解得
沿竖直方向运动的距离
又由
解得
24．（2024·黑龙江·三模）如图所示，平面直角坐标系xOy 中存在一与x 轴相切的圆形
匀强磁场区域，圆心坐标为
，匀强磁场的磁感应强度大小为
、方向垂
直纸面向外。
区域，存在电场强度大小为
、方向沿y 轴正方向的
匀强电场。第四象限内的P 点有一质量
、带电量
的带正电粒
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子，以大小为
的初速度沿x 轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O 以与
x 轴负方向成
角进入匀强磁场。粒子重力不计，求：
（1）P 点的坐标；
（2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。
【答案】（1）(0.25，-0.125)；（2）
【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系有
根据牛顿第二定律有
则粒子在匀强电场中运动的时间为
水平方向有
竖直方向有
故
点的坐标为
。
（2）粒子进入匀强磁场的速度大小为
由洛伦兹力提供向心力，有
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解得
粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为
粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角为
，故粒子在匀强磁场中的
运动时间为
25．（2024·黑龙江·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，y 轴左侧存在沿x 轴
负方向的匀强电场，y 轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，匀强磁场的右边界放一竖
直的屏，屏与y 轴平行，且与y 轴间距为2L。质量为m、电量为
的粒子从电
场中的A 点沿y 轴正方向、以初速度
射出，粒子从坐标原点O 进入匀强磁场并恰好
打在屏与x 轴的交点P。已知A 点坐标为
，粒子重力不计，求：
（1）匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B 的大小及粒子从A 运动到P 的时间；
（3）保持其它条件不变，仅改变匀强磁场的磁感应强度大小，让磁感应强度大小在
到
之间变化，则粒子打到屏上的范围。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向有
解得
水平方向有
解得
水平方向由运动学公式，有
解得
（2）粒子射入匀强磁场中的速度大小为
速度方向与x 轴正方向的夹角满足
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解得
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系有
解得
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为
由几何关系可知，粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆弧对应的圆心角为
故粒子在匀强磁场中的运动时间为
则粒子从A 运动到P 的总时间为
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（3）当磁感应强度大小为
时，粒子做圆周运动的半径为
分析可知粒子将垂直打在屏上P 点上方的某点，设为M 点，由几何关系可得
当磁感应强度大小为
时，粒子做圆周运动的半径为
分析可知粒子轨迹恰好与屏相切，且切点在P 点下方，设为N 点，由几何关系可得
故粒子可打到屏上的范围为
26．（2024·黑龙江大庆·三模）如图所示，在
平面内，有两个半圆形同心圆弧，与
坐标轴分别交于a、b、c 点和
、
、
点，其中圆弧
的半径为R。两个半圆弧
之间的区域内分布着辐射状的电场，电场方向由原点O 向外辐射，其间的电势差为
U，圆弧
上方圆周外区域，存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强
磁场，磁感应强度为B，大小为
，圆弧
内无电场和磁场。O 点处有一粒子源，
在
平面内向x 轴上方各个方向，射出质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，带电
粒子射出时的速度大小均为
，被辐射状的电场加速后进入磁场，不计粒子的重
力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动。求：
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（1）粒子被电场加速后的速度v；
（2）如有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，该入射粒子速度方向与y 轴正方向的
夹角
；
（3）当磁场中的磁感应强度大小为
时，能从磁场上边界射出粒子的边界宽度L。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子进入电场中，在电场加速过程中，由动能定理有
解得
（2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有
可得
轨道圆半径
粒子垂直上边界射出磁场，则粒子轨迹圆的圆心必然在上边界线上，且根据几何关系，
轨迹圆圆心到坐标原点的距离
满足
如图所示
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当
时
所以轨迹圆的圆心在
,所以，该粒子入射速度方向与y 轴正方向夹角为
，则
则
（3）当磁感应强度为
时，粒子运动圆半径
如图所示
①粒子轨迹圆与上边界相切时，粒子运动到最左边，有
②当粒子轨迹圆与上边界的交点、运动轨迹圆圆心以及坐标原点O 点三点共线时，粒
子打在最右边，此时有
解得
可知粒子能从磁场上边界射出粒子的边界宽度为
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27．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图所示，虚线MN 左侧空间有竖直向下的匀强电场
和垂直纸面向外的匀强磁场B，右侧空间有水平向右的匀强电场
。在右侧空间O
点用长为 L 的不可伸长的轻质绝缘细绳悬挂质量为 m、电荷量为q 的带电小球。现使
细绳拉直，从A 点由静止释放小球，小球绕O 点做圆周运动，到达B 点（未画出）时
速度达到最大值。此时细绳突然断开，小球继续运动一段时间后，垂直MN 边界从C
（未画出）进入左侧区域，随后又从左侧区域经MN 上D 点（未画出）重新进入MN
右侧区域。已知OA 与竖直方向夹角
，OB 与竖直方向夹角
，左右两侧
空间电场强度大小之比
，匀强磁场的磁感应强度
，重力加速
度为g。试求：（以下各问均可用根号表示）
（1）小球运动到B 点时的速度大小
；
（2）小球运动到C 点时的速度大小
；
（3）DA 两点的高度差h；
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，小球从A 点释放后将向左侧做圆周运动，电场力方向与电场
方向相反，小球带负电，小球 B 点速度最大，则电场力与重力的方向沿OB 向下，根
据动能定理有
解得
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（2）结合上述可知，小球从B 点飞出后做类斜抛运动，将运动沿水平与竖直方向分解，
水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，结合上述在水平方向有
，
利用逆向思维，竖直方向上有
解得
（3）结合上述与题意有
，
则有
可知，在MN 左侧，电场力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，则有
解得
小球做类斜抛竖直方向上升的高度
解得
DA 两点的高度差
解得
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